Grafisches Lösungsverfahren

1. Das grafische Lösungsverfahren bei quadratischen Gleichungen

Bei jeder quadratischen Gleichung kann man auch deren Lösungen grafisch ermitteln. Hierfür ist es notwendig, die quadratische Gleichung mittels Äquivalenzumformungen folgendermaßen umzuformen:

ax² + bx + c = 0    | – bx

ax² + c = –bx        | – c

ax² = –bx – c        | : a

x² = {\frac{-bx~ -~ c}{a}

x² = {\frac{-bx}{a} + ({\frac{-c}{a})

x² = {\frac{-bx}{a}{\frac{c}{a}

 

für a = 1 gilt:

x² = {\frac{-bx~ -~ c}{1}

x² = –bx – c

 

Als nächstes macht man jeweils den Term rechts und links der Gleichung zu einer Funktion.

Bei dem Term x² erhält man dann die Funktionsgleichung f(x) = x². Hiebei handelt es sich um eine quadratische Funktion. Der Graph hiervon ist eine Normalparabel.

Bei dem Term {\frac{-bx}{a} + ({\frac{ -c}{a}) ergibt sich die Funktionsgleichung f(x) = {\frac{-bx}{a} + ({\frac{ -c}{a}) oder –bx – c (für a = 1). Hier liegt eine lineare Funktion vor. Der Graph hiervon ist eine Gerade.

Bei dem Graph der quadratischen Funktion und dem Graph der linearen Funktion ergeben sich nun drei verschiedene Möglichkeiten, wie beide Graphen sich zueinander verhalten. Jede der drei Möglichkeiten stellt eine bestimmte Lösung der quadratischen Gleichung dar.

 

2. Zwei Lösungen einer quadratischen Gleichung

Es ist folgende quadratische Gleichung gegeben: x² – x – 2 = 0.

Mittels Äquivalenzumformungen erhält man diese beiden Terme.

x² – x – 2 = 0     | + x

x² + 2 = x           | + 2

x² = x + 2

 

Hieraus ergeben sich folgende Funktionen:

f(x) = x²;

g(x) = x + 2

Eingezeichnet in ein Koordinatensystem, erhält man diese beiden Graphen:

Zwei Lösungen einer quadratischen Gleichung

Der Schnittpunkt zwischen Parabel und Gerade stellt nun jeweils eine Lösung der quadratischen Gleichung dar. Hier ergeben sich die Schnittpunkte P_1 (–1/1) und P_2 (2/4). Da hier zwei Schnittpunkte vorliegen, hat die quadratische Gleichung x² – x – 2 = 0 zwei Lösungen. Der x-Wert des jeweiligen Schnittpunktes stellt hierbei jeweils eine Lösung der quadratischen Gleichung dar.

x_1 = –1

x_2 = 2

Probe:

für x_1 = –1: (–1)² – (–1) – 2 = 0

2 – 2 = 0

0 = 0

Die Probe bestätigt die Richtigkeit des Ergebnisses.

für x_2 = 2: –1: (2)² – 2 – 2 = 0

4 – 2 – 2 = 0

0 = 0

Die Probe belegt die Richtigkeit des Ergebnisses.

L = {–1; 2}

 

3 Eine Lösung einer quadratischen Gleichung

Es ist folgende Gleichung gegeben: x² + 2x + 1 = 0.

Man erhält mittels Äquivalenzumformungen diese beiden Terme.

x² + 2x + 1 = 0     | – 2x

x² + 1 = –2x         | – 1

x² = –2x – 1

 

Hieraus ergeben sich folgende beiden Funktionsgleichungen:

f(x) = x²

g(x) = –2x – 1

Wenn man beide Funktionen in ein Koordinatensystem einzeichnet, so erhält man diese beiden Graphen.

Eine Lösung einer quadratischen Gleichung

Der Schnittpunkt bzw. Berührpunkt zwischen Parabel und Gerade stellt eine Lösung der quadratischen Gleichung dar. Dieser Schnittpunkt bzw. Berührpunkt ist hier P_1 (–1/1). Der x-Wert des Schnittpunktes bzw. Berührpunktes ist die eine Lösung der quadratischen Gleichung.

x = –1

Probe:

(–1)² + 2(–1) + 1 = 0

1 – 2 + 1 = 0

0 = 0

Die Probe bestätigt die Richtigkeit des Ergebnisses.

L = {–1}

 

4. Keine Lösung einer quadratischen Gleichung

Es ist folgende Gleichung gegeben: x² – {\frac{3}{5}x + 2 = 0.

Mittels Äquivalenzumformen ergeben sich diese beiden Terme.

x² – {\frac{3}{5}x + 2 = 0     |  + {\frac{3}{5}x

x² + 2 = {\frac{3}{5}x           |  – 2

x² = {\frac{3}{5}x – 2

Hieraus ergeben sich folgende beiden Funktionsgleichungen:

f(x) = x²

g(x) = {\frac{3}{5}x – 2

Zeichnet man beide Funktionen in ein Koordinatensystem ein, so erhält man diese beiden Graphen.

Keine Lösung einer quadratischen Gleichung

Wie man sieht, gibt es zwischen der der Parabel und der Geraden keinen Schnittpunkt. Daher gibt es auch keine Lösung für die quadratische Gleichung.

L = { } bzw. {\varnothing}

3 Gedanken zu “Grafisches Lösungsverfahren

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