Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Prozentrechnen, Teil 3

Das Prozentzeichen verspricht einen günstigen Einkauf © Thorben Wengert PIXELIO www.pixelio.de

Das Prozentrechnen ist eine der wenigen Mathe-Stoffgebiete, die alltagstauglich sind. Bei fast jedem Einkauf sieht man nämlich in einem Geschäft ein Prozentzeichen, das auf einen ordentlichen Preisnachlass verweist. Sei es im Supermarkt oder in einem Kleidergeschäft oder sonst einem Laden, überall gibt es um einiges verbilligte Ware. Ganz penible Menschen können dann ihre einst erworbenen Mathematik-Fähigkeiten anwenden und haargenau überprüfen, ob die Schnitzel wirklich vom Ursprungspreis her um 30 % herabgesetzt wurden oder der Pullover um gar 60 %. Hierbei wird Folgendes auffallen: Oftmals wurden die herabgesetzten Schnitzel nicht um 30 %, sondern „nur“ um vielleicht 28,7 % oder 29,3 % rabattiert, genauso der Pullover „nur“ vielleicht um 57,8 % oder 58,9 %. Im Prinzip könnte man hier von einem Handelsbetrug sprechen. Letztlich ist es aber geschicktes Marketing und geschickte Verkaufspsychologie. Ein Preisnachlass mit einem Rabatt von 60 Prozent „wirkt“ einfach ganz anders als ein Rabatt mit 57,8 %. Außerdem sollte man als Kunde eh zufrieden sein, dass man diese oder jene Ware so sehr vergünstigt angeboten bekommt!

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Bruchrechnung

1. Allgemeines zur Bruchrechnung

Nach den dem intensiven Erlernen der Grundrechenarten, der Addition, der Subtraktion, der Multiplikation und der Division, muss irgendwann darauf in Mathe eine neue umfangreiche Rechenart gelernt werden: die Bruchrechnung. Bevor man hier aber anfängt wirklich zu rechnen, wird erst einmal erklärt, was genau ein Bruch ist und wie man einen Bruch verändern kann ohne den Wert eines Bruches zu verändern (das Kürzen und Erweitern von Brüchen). Erst dann wird man in der Mathematik mit dem Bruchrechnen beginnen – und das wird einem unter Garantie nicht allzu schwer fallen, wenn man vorher die Grundrechenarten richtig gut gelernt hat. Bei Brüchen muss man nämlich wiederum eine Addition, eine Subtraktion, eine Multiplikation und eine Division durchführen, nur dieses mal anstatt mit positiven ganzen Zahlen (die natürlichen Zahlen meine ich hiermit), sondern eben mit Bruchzahlen.

Ein Bruch im Einzelhandel © iwona golczyk PIXELIO www.pixelio.de

Ein Bruch im Einzelhandel © iwona golczyk PIXELIO www.pixelio.de

2 Bestandteile einer Bruchzahl

Dadurch, dass eine Bruchzahl eine andere Zahl ist, als die bisher gelernten natürlichen Zahlen, hat diese auch logischerweise eine andere Darstellungsform. Jede Bruchzahl weist hierbei drei Charakteristika/Merkmale als Zahl auf. Sie besteht nämlich stets aus einem Zähler, das ist die obere Zahl, und einem Nenner, das ist die untere Zahl. Getrennt werden beide Zahlen durch den Bruchstrich.

Anstatt Bruchzahl ist auch gebräuchlich Bruch zu sagen, der Plural sind Brüche.

 

Beispiele für Bruchzahlen:

{\frac{1}{2};    {\frac{2}{3};    {\frac{5}{7};    {\frac{15}{29};    {\frac{105}{208};    {\frac{2007}{4223};    {\frac{3}{2}, {\frac{8}{5};    {\frac{23}{7};    {\frac{405}{14};    {\frac{2009}{412};    {\frac{7335}{8857}.

 

2.1 Ein Bruch als Ausdruck einer Division

Jeder Bruch kann im Prinzip auch als eine Division wiedergegeben werden, da der Bruchstrich nichts anderes als ein Geteiltzeichen/“:“ ist:

 

Beispiele für Brüche als Ausdruck einer Division:

{\frac{1}{2} = 1 : 2;

{\frac{2}{3} = 2 : 3;

{\frac{5}{7} = 5 : 7;

{\frac{15}{29} = 15 : 29;

{\frac{105}{208} = 105 : 208;

{\frac{2007}{4223} = 2007 : 4223;

{\frac{3}{2} = 3 : 2;

{\frac{8}{5} = 8 : 5;

{\frac{23}{7} = 23 : 7;

{\frac{405}{14} = 405 : 14;

{\frac{2009}{412} = 2009 : 412;

{\frac{7335}{8857} = 7335 : 8857.

 

2.2 Das Verhältnis natürliche Zahl und Bruchzahl

Jede natürliche Zahl kann auch als eine Bruchzahl dargestellt werden. Daher sind alle natürlichen Zahlen eine Teilmenge der Zahlenmenge der Bruchzahlen (die Umkehrung gilt nämlich nicht!).

 

Beispiele:

4 = {\frac{4}{1};

7 = {\frac{7}{1};

23 = {\frac{23}{1};

73 = {\frac{73}{1};

512 = {\frac{512}{1};

7003 = {\frac{7003}{1}.

 

 

3. Bruchanteile einer bestimmten Menge

Ein Bruchzahl lernt man anfangs ist eine Teilmenge/ein Anteil von einer bestimmten Menge. Hierfür wird oft der Vergleich zu einer ganzen Pizza gezogen. Sitzen nun zwei Personen am Essens-Tisch so bekommt jede Person jeweils die Hälfte, als Bruchzahl {\frac{1}{2}, der Pizza (vorausgesetzt man teilt die Pizza salomonisch, sprich gerecht, auf). Sitzen nun drei Personen am Tisch, so erhält jeder ein Drittel, als Bruchzahl {\frac{1}{3}, der Pizza. Bei vier Personen sind es {\frac{1}{4}, bei fünf Personen {\frac{1}{5} usw.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Jede natürliche Zahl kann auch als Bruchzahl dargestellt werden. So kann man beispielsweise für 1 auch {\frac{1}{1}, für 2 auch {\frac{2}{1}, für 12 auch {\frac{12}{1}, für 523 auch {\frac{523}{1} usw schreiben. Entscheidend ist ja, dass man bei der Umwandlung von der natürlichen Zahl hin zu der Bruchzahl den Wert der Zahl nicht verändert. 1 und {\frac{1}{1} sind immer noch vom Wert her 1, 2 und {\frac{2}{1} sind ebenso vom Wert her noch 2 usw.

 

3.1 Der Mathe-Ausdruck „von“ beim Bruchrechnen bzw. Anteile einer Gesamtmenge

Die ersten Rechenaufgaben, die man in Mathe beim Bruchrechnen machen muss, sind sogenannte „von“-Aufgaben. Hierbei muss man immer einen Bruchteil/Anteil von einer Gesamtmenge berechnen.

 

Beispiele:

{\frac{4}{5} m (von 1 m);

{\frac{5}{6} von 240 min;

{\frac{3}{8} von 80 Personen;

{\frac{8}{10} t (von 1 t).

Damit man Anteile in einer verständlichen Mathe-Schreibweise wiedergeben kann, muss man vorher verstanden haben, was der Bruch oder die Bruchzahl „von“ einer bestimmten Menge in der Sprache der Mathematik bedeutet.

 

Beispiele:

{\frac{4}{5} m heißt 1 m (das ist die Gesamtmenge) 4 (: 5) (das ist der Anteil) = 4 : 5 = 0,8 m = 8 dm = 80 cm. Da man aber zu diesem Zeitpunkt in der Schule in Mathe noch keine Dezimalrechnung hatte, berechnet man den „von“-Anteil normalerweise folgendermaßen: 1 m entsprechen 100 cm („mal 10, mal 10“). {\frac{1}{5} m sind 20 cm („geteilt durch fünf“). {\frac{4}{5} m sind daher 80 cm („mal 4“).

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe zum Umrechnen von Größenangaben auch unter Größen den Unterpunkt Umrechnen von Größen an.

 

{\frac{5}{6} von 240 min berechnet man wie folgt: {\frac{1}{6} min entsprechen 40 min („geteilt durch sechs“). {\frac{5}{6} m sind daher 200 min („mal 5“).

{\frac{3}{8} von 80 Personen berechnet man folgendermaßen: {\frac{1}{8} Personen entsprechen 10 Personen („geteilt durch acht“). {\frac{3}{8} m sind daher 30 Personen („mal 3“).

{\frac{8}{10} t von 1 t berechnet man wie folgt: 1 t entsprechen 1000 kg („mal 1000“). {\frac{1}{10} t sind 100 kg („geteilt durch 10“). {\frac{8}{10} t sind daher 800 kg („mal 8“).

Wenn man in einer höheren Klassenstufe ist oder beispielsweise den MSA (Mittleren Schulabschluss) macht, kann es sein, dass man noch einmal in Mathe mit sogenannten „von“-Aufgaben mit Brüchen konfrontiert wird. Dann sollte man aber wissen, dass in der Sprache der Mathematik ein „von“ immer mit einer Multiplikation gleichzusetzen ist. Demzufolge gibt man dann in seinen Taschenrechner nur den Anteil des Bruches mal der gegeben Gesamtmenge (was natürlich auch ein Bruch sein kann) ein.

 

Beispiele:

{\frac{5}{6} m von 84 m = {\frac{5}{6} m 84 m = 70 m;

{\frac{2}{15} kg von {\frac{14}{15} kg = {\frac{2}{15} {\frac{14}{15} kg = {\frac{28}{225} kg.

 

4. Unechte Brüche

Ein Bruch in Mathe besteht ja immer aus einem Zähler und einem Nenne, die beide durch einen Bruchstrich getrennt sind. Ist nun bei einem Bruch der Zähler kleiner als der Nenner, dann liegt ein sogenannter echter Bruch vor.

 

Beispiele für echte Brüche:

{\frac{1}{2};    {\frac{3}{4};    {\frac{7}{8};    {\frac{23}{25};    {\frac{407}{455};    {\frac{1205}{7067}.

Ist nun bei einem Bruch der Zähler größer als der Nenner oder genauso groß wie der Nenner, so liegt ein sogenannter unechter Bruch vor.

 

Beispiele für „unechte Brüche“:

{\frac{4}{3};    {\frac{7}{4};    {\frac{12}{5};    {\frac{35}{19};    {\frac{41}{41};    {\frac{407}{122}; {\frac{555}{555};    {\frac{3107}{241}.

 

Yeah, it’s ABC-disco-time with Grobi!

 

4.1 Das Umrechnen eines unechten Bruchs in einen gemischten Bruch

Jeden unechten Bruch kann man, vorausgesetzt der Zähler ist nicht genauso groß wie der Nenner, in einen sogenannten gemischten Bruch umrechnen. Ein gemischter Bruch besteht hierbei aus einer ganzen Zahl und einer Bruchzahl, wobei die ganze Zahl immer direkt vor die Bruchzahl gestellt wird.

 

Beispiele für gemischte Brüche:

2{\frac{1}{2};    4{\frac{3}{4};    8{\frac{7}{9};    12{\frac{24}{55};    5{\frac{79}{83};    27{\frac{403}{607};    503{\frac{8603}{9979}.

Einen unechten Bruch rechnet man nun immer wie folgt in einen gemischten Bruch um:

Dieser unechte Bruch ist gegeben: {\frac{17}{3}. Mittels einer Division wandelt man nun den Buch um. Hierfür ist es sinnvoll den Bruch in der gewohnten Divisionsschreibweise darzustellen:

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Bei jedem Bruch kann ein Bruchstrich auch in eine Divisionszeichen umgewandelt werden, der Zähler wird dann zum Dividend und der Nenner zum Divisor.

 

{\frac{17}{3} = 17 : 3

Darauf führt man die Division durch, wie man diese vorher in Mathe gelernt hat.

17 : 3 = 5

{\underline{15}

2 Rest

Die drei „passt“ in die 17 5-mal, das ergibt die ganze Zahl des gemischten Bruchs. Die Bruchzahl aus dem gemischten Bruch enthält als Zähler die 2, dem Rest der Division, und als Nenner die 3, den Nenner des unechten Bruchs.

Daher ist der gemischte Bruch zu dem unechten Bruch {\frac{17}{3} = 5{\frac{2}{3}.

Bei der Umwandlung vom unechten Bruch zum gemischten Bruch erhält man die ganze Zahl des gemischten Bruchs immer durch die Durchführung einer Division. Der Divisions-Rest ist beim gemischten Bruch immer der Zähler der Bruchzahl . Der ursprüngliche Nenner beim unechten Bruch ist immer gleich dem Nenner bei der Bruchzahl, die bei einem gemischter Bruch enthalten ist.

 

Beispiele für die Umwandlung unechter Brüche in gemischte Brüche:

{\frac{29}{4} = 29 : 4

29 : 4 = 7

{\underline{28}

1 Rest

Daher ist der gemischte Bruch: 7{\frac{1}{4}.

 

{\frac{88}{5} = 88 : 5

88 : 5 = 17

{\underline{85}

3 Rest

Deshalb ist hier der gemischte Bruch: 17{\frac{3}{5}.

 

{\frac{215}{12} = 215 : 12

215 : 12 = 17

{\underline{12}

95

{\underline{84}

11 Rest

Daher ist hier der gemischte Bruch: 17{\frac{11}{12}.

 

4.2 Das Umrechnen eines gemischten Bruchs in einen unechten Bruch

Des Öfteren muss man beim Bruchrechnen auch einen gemischten Bruch in einen unechten Bruch umwandeln. Hierzu multipliziert man die ganze Zahl mit dem Nenner des Bruchs. Das Ergebnis addiert man schließlich mit dem Zähler des Bruchs. Die sich hierbei ergebende Zahl ist der neue Zähler des unechten Bruchs, der Nenner des gemischten Bruchs bleibt auch beim unechten Bruch erhalten.

 

Mathematik-Nachhilfe-Blog: Das Umrechnen vom gemischten Bruch hin zum unechten Bruch ist im Bruchrechnen einfach die umgekehrte Rechenoperation zum Umrechnen eines unrechten Bruches in einen gemischten Bruch.

 

Beispiele für die Umwandlung gemischter Brüche in unechte Brüche:

4{\frac{1}{2}, der Zähler des unechten Bruchs = 4 · 2 + 1 = 9, der Nenner des gemischten Bruchs bleibt erhalten: {\frac{9}{2};

6{\frac{2}{5}, der Zähler des unechten Bruchs = 6 · 5 + 2 = 32, der Nenner = 5: {\frac{32}{5};

32{\frac{4}{7}, der Zähler des unechten Bruchs = 32 · 7 + 4 = 228, der Nenner = 7: {\frac{228}{7}.

 

5. Dezimalbrüche

Brüche, die im Nenner die Zahl 10 oder eine Potenz von 10 mit natürlichem Exponenten vorweisen, nennt man Dezimalbrüche.

 

Beispiele von Dezimalbrüchen:

{\frac{7}{10};    {\frac{29}{100};    {\frac{335}{1000};    {\frac{12}{100000}.

 

Hier kann man die Seite des Mathematik Nachhilfe Blogs als PDF downloaden: Mathematik-Nachhilfe: Bruchrechnung.

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Lineare Gleichungssysteme

1. Allgemeines zu linearen Gleichungssystemen

Ein lineares Gleichungssystem (kurz: LGS) besteht jeweils aus zwei linearen Gleichungen, die jeweils zwei Variablen vorweisen. Diese beiden Gleichungen sind gewissermaßen mit einem „und“ miteinander verbunden (in der Sprache der Mathematik gesprochen: 1. Gleichung und 2. Gleichung sind miteinander verbunden = Lineares Gleichungssystem) .

Auf zweierlei Weise wird diese Und-Verknüpfung zweier linearer Gleichungen in Mathe optisch veranschaulicht. Die gängigere Art ist hierbei die Gleichungssysteme mit römischen Ziffern zu unterteilen. Eine weitere Möglichkeit ist rechts und links der Gleichungen einen senkrechten Strich zu machen. Das signalisiert deren Zusammengehörigkeit.

Mittels drei rechnerischer oder eines grafischen (zeichnerischen) Lösungsverfahren kann bei diesen beiden linearen Gleichungen jeweils eine eindeutige Lösung ermittelt werden.

 

Hierbei treten drei mögliche Lösungen auf:

1. Die beiden linearen Gleichungen haben eine gemeinsame Lösung (als Funktionen dargestellt einen gemeinsamen Schnittpunkt S(x/y)).

Ergibt ein Zahlenpaar (x/y) sowohl für die 1. als auch für die 2. Gleichung des Linearen Gleichungssystems eine wahre Aussage, so stellt das Zahlenpaar eine Lösung des Linearen Gleichungssystems dar.

 

Beispiele:

I.     4x + 2y = 4

II.     12x + 4y = 12

Lösung: L = {1/0}

 

Probe:

I.     4 · 1 + 2 · 0 = 4

II.     12 · 1 + 4 · 0 = 12

 

I.     4 = 4

II.     12 = 12

 

I.     3x + 2y = 0

II.      –9x + 4y = –5

Lösung: L = {{\frac{1}{3}}/–{\frac{1}{2}}}

 

Probe:

I.     3 · {\frac{1}{3}} + 2 · (–{\frac{1}{2}}) = 0

II.     –9 · {\frac{1}{3}} + 4 · (–{\frac{1}{2}}) = –5

 

I.     1 – 1 = 0

II.     –3 – 2 = –5

 

I.     0 = 0

II.     –5 = –5

 

2. Die beiden linearen Gleichungen haben keine Lösung (als Funktionen dargestellt verlaufen diese parallel).

Liefern die linearen Gleichungssysteme stets eine unwahre Aussage, so weist das lineare Gleichungssystem keine Lösung auf. Die Lösungsmenge ist dann die leere Menge.

 

Beispiele:

I.      4x + 2y = 4

II.     4x + 2y = 8

 

I.     5x + 4y = 9

II.     5x + 4y = 12

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Ein lineares Gleichungssystem liefert immer dann keine Lösung, wenn die Variablen beider Gleichungen stets den gleichen Faktor vorweisen, sich aber von der „nackten“ Zahl her unterscheiden.

 

3. Die beiden linearen Gleichungen haben unendlich viele Lösungen (als Funktionen dargestellt sind diese identisch).

Liefern die beiden linearen Gleichungssysteme bei jeder Einsetzung eine wahre Aussage, so gibt es unendlich viele Lösungen. Die Lösungsmenge ist dann die Menge aller reellen Zahlen.

 

Beispiele:

I.     4x + 2y = 4

II.     4x + 2y = 4

 

I.     12x + 3y = 5

II.     12x + 3y = 5

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Ein lineares Gleichungssystem hat immer dann unendlich viele Lösungen, wenn die Variablen beider Gleichungen stets den gleichen Faktor vorweisen und ebenfalls bei beiden Gleichungen die „nackte“ Zahl gleich ist.

 

Lineare Gleichungssysteme können mittels verschiedener Lösungsverfahren gelöst werden. Die drei rechnerischen Lösungsverfahren, mithilfe jedes lineare Gleichungssystem gelöst werden kann, heißen hierbei

  • Gleichsetzungsverfahren
  • Einsetzungsverfahren
  • Additionsverfahren

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Das wichtigste aller drei rechnerischen Lösungsverfahren ist das Additionsverfahren, da es später in der Oberstufe beim Matrizen-Rechnen wieder abgerufen werden können muss.

 

2. Das Gleichsetzungsverfahren

Gegeben sind folgende Gleichungen

I.     4x + 2y = 4

II.     12x + 4y = 12

  • Beim Gleichsetzungsverfahren müssen nun beide linearen Gleichungen zunächst nach „ y“ aufgelöst werden.

I.     4x + 2y = 4              Ι – 4x

I.     2y = 4 – 4x              Ι : 2

 

I.     y = 2 – 2x

II.      12x + 4y = 12        Ι – 12x

 

II.     4y = 12 – 12x         Ι : 4

II.      y = 3 – 3x

  • Als nächstes werden beide nach „y“ hin aufgelösten Gleichungen gleichgesetzt. Hierdurch eliminiert man die beiden „y“.

I. = II.     2 – 2x = 3 – 3x

  • Jetzt löst man die Gleichung nach „x“ hin auf.

I. = II.     2 – 2x= 3 – 3x           Ι + 3x

I. = II.     2 + x = 3                    Ι – 2

I. = II.     x = 1

  • Um „y“ zu bestimmen, muss man nun den ermittelten „x“-Wert in eine der beiden Anfangsgleichungen einsetzen.

I.     4 · (1) + 2y = 4

I.     4 + 2y = 4              Ι – 4

 

I.     2y = 0                    Ι : 2

I.     y = 0

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Auch das Einsetzen der Lösung x = 1 bei der II. linearen Gleichung des LGS hätte das gleiche Ergebnis y = 0 ergeben.

 

  • Zum Schluss muss noch die Lösungsmenge angegeben werden.

L = {1/0}

 

Vorgehensweise beim Lösen eines LGS mittels des Gleichsetzungsverfahrens

  1. Zuerst löst man beide Gleichungen zu einem gemeinsamen Term hin auf, entweder zu x oder y.
  2. Durch das Gleichsetzen beider Gleichungen, erhält man eine Gleichung, die nur noch eine Variable vorweist. Ein Ursprungsgleichung behält man normalerweise bei. Man kann diese aber auch erst am Ende, wenn man die Lösung der ersten Gleichung ermittelt hat, wieder aufgreifen, und zwar wenn man die beiden Gleichungen des LGS mit römischen Ziffern unterteilt.
  3. Die Gleichung mit einer Variablen löst man nun nach der Variablen hin auf. Diese Lösung bildet eine Koordinate des Lösungspaares.
  4. Die sich ergebende Lösung bzw. Koordinate setzt man in eine der beiden Ursprungsgleichungen des LGS ein. Indem man die Gleichung nach dem anderen Term hin auflöst, erhält man die zweite Koordinate.
  5. Eine Probe bestätigt die Lösung des LGS.
  6. Die Lösung gibt man mittels einer Lösungsmenge wieder.

Ganz große Musik in Kombination mit ganz fantastischem Nonsens = Bohemian Rhapsody von Queen meets The Muppets!!!

 

3. Das Einsetzungsverfahren

I.     4x + 2y = 4

II.     12x + 4y = 12

  • Beim Einsetzungsverfahren muss zunächst eine lineare Gleichung entweder nach „x“ oder „y“ hin aufgelöst werden.

I.     4x + 2y = 4       Ι – 4x

I.     2y = 4 – 4x       Ι : 2

I.     y = 2 – 2x

Die nach einer Variablen hin aufgelöste Gleichung wird nun in die andere Gleichung eingesetzt. Je nach aufgelöster Variable wird der gesamte Term auf der anderen Seite der Gleichung in die gleiche Variable der anderen Gleichung eingesetzt. Hierdurch eliminiert man eine Variable.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Man sollte möglichst immer die Variable einer Gleichung separieren, mit der dies am einfachsten zu realisieren ist. Dadurch entgeht man der Gefahr einer falschen Gleichungsauflösung.

 

I. in II.     12x + 4 · (2 – 2x) = 12

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Wenn der aufgelöste Term der aufgelösten Gleichung aus zwei Einzeltermen besteht, muss um diese beim Einsetzen in die Variable der zweiten Gleichung eine Klammer gesetzt werden.

 

I. in II.     12x + 8 – 8x = 12

I. in II.     4x + 8 = 12                 Ι – 8

 

I. in II.     4x = 4                         Ι : 4

I. in II.     x = 1

  • Um den „y“-Wert des linearen Gleichungssystems zu bestimmen, setzt man nun den ermittelnden „x“-Wert in eine der beiden Anfangsgleichungen des LGS.

II.     12 · (1) + 4y = 12

II.     12 + 4y = 12                      Ι – 12

 

II.     4y = 0                                Ι : 4

II.     y = 0

  • Zum Schluss muss noch die Lösungsmenge des LGS angegeben werden.

L = {1/0}

 

Vorgehensweise beim Lösen eins LGS mittels des Einsetzungsverfahrens

  1. Zuerst muss man den Term einer Gleichung nach einer Variablen hin separieren, z. B. nach x, y. Hierbei ist es wichtig, dass man eine Variable nimmt, die sich möglichst leicht separieren lässt.
  2. Darauf wird die aufgelöste Gleichung in die andere Gleichung eingesetzt, genau dort, wo genau die Variable auftritt, die man vorher separiert hat. Darauf löst man diese Gleichung nach der noch vorhandenen Variablen hin auf. Die andere Gleichung behält man normalerweise bei. Es ist aber genauso gängig, einfach beide Gleichungen mit einer römischen Ziffer zu versehen.
  3. Das Ergebnis stellt eine Lösungskoordinate dar. Eine Gleichung mit zwei Variablen bleibt unverändert beim LGS mit dabei. Man kann diese aber auch stets erst am Schluss, wenn man die erste Lösungskoordinadete in die andere Ursprungsgleichung einsetzt, heranziehen.
  4. Die Lösung der einen Gleichung wird in die Variable der anderen Ursprungsgleichung des LGS eingesetzt. Diese löst man nun nach der noch vorhandenen Variablen auf. Das Ergebnis ist die zweite Lösungskoordinate.
  5. Die Probe bestätigt die Richtigkeit beider Lösungskoordinaten. Anschließend gibt man die Lösungsmenge des LGS an.

 

4. Das Additionsverfahren

  • Beim Additionsverfahren erfolgt eine Addition zwischen den beiden Gleichungen des LGS. Hierfür ist es in der Regel notwendig, eine Gleichung oder beide Gleichungen mit einer Zahl, die ungleich null ist, malzunehmen. Es muss hierbei immer die gleiche Zahl erzeugt werden, aber jeweils mit umgekehrten Vorzeichen, die vor der eliminieren wollenden Variablen steht. Dies ist gewährleistet, wenn man einen (positiven oder negativen) Faktor findet, der die zu eliminierende Zahl ergibt.

I.     4x + 2y = 4

II.     12x + 4y = 12

  • Will man nun bei der 2. Gleichung des LGS das „12x“ eliminieren, so muss man die 1. Gleichung mit „ –3“ malnehmen. Jeder Einzelterm muss hierbei mit dem Faktor malgenommen werden!

I.     4x + 2y = 4                                    Ι · (–3)

I.     4x · (–3) + 2y · (–3) = 4 · (–3)       Ι · (–3)

I.     –12x – 6y = –12

  • Durch das Malnehmen der 1. Gleichung mit „–3“ erhält man „–12x“, also die vom Vorzeichen umgekehrte Zahl der eliminieren wollenden Variablen „12x“ der 2. Gleichung. Jetzt kann eine Addition der 1. Gleichung mit der 2. Gleichung erfolgen. Hierzu muss jeder gleiche Einzelterm der 1. Gleichung mit jedem gleichen Einzelterm der 2. Gleichung addiert werden.

Hierbei ergeben sich folgende Additionen „–12x“ + „12x“ = 0. „–6y“ + „4y“ = „–2y“ und „–12“ + „12“ =0

I.     –12x – 6y = –12

I. + II.     –2y = 0

  • Dadurch, dass sich durch die Addition der 1. Gleichung mit der 2. Gleichung die Variable „12x“ der 2. Gleichung eliminieren hat lassen, ergibt sich nun eine Gleichung mit der einen Variablen „y“. Bei dieser Gleichung kann man nun durch eine einfache Äquivalenzumformung das „y“ bestimmen.

I.     –12x – 6y = –12

I. + II.     –2y = 0              Ι : (–2)

I. + II.     y = 0

  • Um den „x“-Wert des LGS zu bestimmen, setzt man den ermittelnden „y“-Wert in eine der beiden Ursprungsgleichungen des LGS ein.

II.    12x + 4 · (0) = 12

II.     12x = 12                  Ι : (12)

II.     x = 1

  • Als letztes muss man noch die Lösungsmenge des LGS angeben. L = (1/0)

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Wie man sieht, kommt bei jedem Lösungsverfahren die gleiche Lösungsmenge heraus. Das muss auch so sein, da das LGS bei allen drei Lösungsverfahren jeweils das Gleiche war.

 

5. Das grafische Lösungsverfahren eins linearen Gleichungssystems

Zum grafischen Lösen eines Linearen Gleichungssystems geht man folgendermaßen vor:

1. Zuerst formt man beide Gleichung so um, dass man sie ganz einfach in ein Koordinatensystem einzeichnen kann (bei der Umformung und dem Einzeichnen orientiert man sich an der nach y aufgelösten Form einer linearen Gleichung). Jeder Graph besteht immer aus einer Geraden.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zum Einzeichnen einer linearen Gleichung in ein Koordinatensystem siehe auch: Funktionen/Lineare Funktionen 5. Das Zeichnen von linearen Funktionen an.

 

2. Normalerweise ergibt sich ein Schnittpunkt zweier Geraden als Lösung des Linearen Gleichungssytems. Der Schnittpunkt ist immer eine Zahlenpaar (x/y) und gleichzeitig die Lösung beider Gleichungen des Linearen Gleichungssystems.

3. Als Lösungen kann es aber auch keine Lösung geben sowie unendlich viele Lösungen. Bei keiner Lösung verlaufen die beiden Geraden im Koordinatensystem immer parallel. Bei unendlich vielen Lösungen liegen die beiden Geraden aufeinander bzw. sind identisch.

4. Anschließend sollte immer zur Bestätigung der grafischen Lösung eine Probe durchgeführt werden. Hierfür setzt man die Lösung in beider Gleichungen des Linearen Gleichungssystems ein.

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Beim Ablesen des Schnittpunktes/des Zahlenpaares aus dem Koordinatensystem können immer Ungenauigkeiten auftreten. Das kann an einem etwas ungenauem Zeichnen liegen oder an einem Schnittpunkt, der nicht ganzzahlige Werte vorweist. Die Probe zeigt schließlich eindeutig auf, ob die Lösung stimmt oder nur eine Näherungslösung vorliegt. Liegt eine Näherungslösung vor, so gibt man diese folgendermaßen wieder: x ≈ … und y ≈

 

5.1 Grafische Lösung eines linearen Gleichungssystems mit einer Lösung

Es ist folgendes lineare Gleichungssystem gegeben:

I.    x + y = 1

II.    2x – y = 8

Als Erstes löst man beide Gleichungen des linearen Gleichungssystems nach y hin auf.

I.     x + y = 1

II.     2x – y = 8

 

I.     x + y = 1                | – x

I.     y = –x + 1

 

II.     2x – y = 8 | – x      | – 2x

II.     –y = –2x + 8          | · (–1)

II.     y = 2x – 8

Jetzt zeichnet man beide Gleichungen jeweils als Funktion in ein Koordinatensystem ein.

Graphische Darstellung eines linearen Gleichungssystems mit einer Lösung

Da beide Geraden eine unterschiedliche Steigung vorweisen, schneiden diese sich in einem Punkt. Der Schnittpunkt stellt die Lösung des linearen Gleichungssystems dar. Dieser ist hier: S (3/–2). Daher ist hier die Lösung des linearen Gleichungssystems: L = {(3/–2)}.

Die Probe bestätigt die Richtigkeit der graphischen Lösung:

I.     3 + (–2) = 1

II.     2 · (3) – (–2) = 8

 

I.     3 – 2 = 1

II.     6 + 2 = 8

 

I.     1 = 1

II.     8 = 8

 

5.2 Grafische Lösung eines linearen Gleichungssystems mit keiner Lösung

Folgendes lineares Gleichungssystem ist gegeben:

I.     2x + 2y = 4

II.     4x + 4y = 16

Als Erstes löst man das LGS nach der Variablen y hin auf.

I.     2x + 2y = 4                  | – 2x

II.     4x + 4y = 16               | – 4x

 

I.     2y = –2x + 4               | : 2

II.     4y = –4x + 16             | : 4

 

I.     y = –x + 2

II.     y = –x + 4

Diese beiden Gleichungen zeichnet man jetzt jeweils als Funktion in ein Koordinatenystem ein.

Grafische Darstellung eines linearen Gleichungssystems mit keiner Lösung

Die Gerade haben zwar die gleiche Steigung, aber ihre Ordinatenabschnitte sind verschieden. Die beiden Geraden verlaufen deshalb parallel zueinander und sie haben keinen Schnittpunkt. Aus diesem Grund hat das lineare Gleichungssystem auch keine Lösung. Die Lösungsmenge des LGS ist daher: L = { } bzw. L = {\varnothing}.

 

5.3 Grafisches Lösung eines linearen Gleichungssystems mit unendlich vielen Lösungen

Es ist folgendes lineares Gleichungssystem gegeben:

I.     –x + 2y = –4

II:     –2x + 4y = –8

Zuerst löst man das lineare Gleichungssystem nach y hin auf.

 

I.     –x + 2y = –4               | + x

II:     –2x + 4y = –8            | + 2x

 

I:     2y = x – 4                    | : 2

II.     4y = 2x – 8                 |  : 4

 

I.     y = {\frac{1}{2}x – 2

II.     y = {\frac{1}{2}x – 2

Wie man sieht, erhält man nach dem Separieren von y zwei identische Gleichungen. Diese beiden Gleichungen zeichnet man nun als Funktion in eine Koordinatensystem ein.

Grafische Darstellung eines linearen Gleichungssystems mit unendlich vielen Lösungen

Die beiden Geraden haben jeweils die gleiche Steigung und den gleichen Ordinatenabschnitt. Die beiden Gerden verlaufen daher identisch. Deshalb gibt es auch als Lösungsmenge unendlich viele Zahlenpaare, die bei diesem LGS die Lösung ergeben. Die Lösungsmenge des LGS ist daher:  L  = {x | y}  | y = {\frac{1}{2}x – 2}.

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: In der Sprache der Mathematik heißt das „L  = {x | y}  | y = {\frac{1}{2}x – 2}“: Die Lösungsmenge ist die Menge aller Paare {x | y}, für die gilt : y = {\frac{1}{2}x – 2.

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Bruchterme

1. Allgemeines zu Bruchtermen

Ein Bruch kann in seinem Zähler oder Nenner auch Variablen vorweisen. Ist das bei dem Nenner der Fall, so spricht man allgemein von einem Bruchterm. Alle Rechenoperationen, die beim Bruchrechnen vorkommen, das Addieren, das Subtrahieren, das Multiplizieren und das Dividieren von Brüchen, treten wiederum bei Bruchtermen auf. Wenn man daher das Bruchrechnen beherrscht, wird man normalerweise bei den bei Bruchtermen auftretenden Rechenoperationen nicht allzu große Schwierigkeiten haben. Schließlich kennt man nicht nur bereits die Rechenregeln, sondern hat sie auch schon mannigfach angewendet. Aus diesem Grund wird hier zwangsläufig ein Aha-Erlebnis auftreten, da Bruchterme nur besondere Brüche sind.

Formel bestehend aus einem Bruchterm © Karl-Heinz Laube PIXELIO www.pixelio.de

Formel bestehend aus einem Bruchterm © Karl-Heinz Laube PIXELIO www.pixelio.de

1.1 Die Definitionsmenge bei Bruchtermen

Da Bruchterme oftmals eine oder mehrere Variablen im Nenner vorweisen, ist deren Definitionsmenge häufig auch eingeschränkt. Bereits in der Grundschule hat man ja in Mathe gelernt, dass der Nenner eines Bruchs nicht gleich null werden darf. Ist nämlich dies der Fall, dann ist dieser Bruch nicht definiert. Das Gleiche gilt ebenso für Bruchterme. Daher lässt sich die Definitionsmenge eines Terms folgendermaßen beschreiben:

Die Definitionsmenge eines Terms beinhaltet immer die Menge aller Zahlen, für die der Term definiert ist. Und gerade bei Bruchtermen ist diese Definitionsmenge oftmals eingeschränkt.

Um die Definitionsmenge bei Bruchtermen zu bestimmen, muss man sich nur vor Augen führen, dass der Nenner nicht gleich null werden darf. Daher setzt man den Nenner einfach gleich null – und löst die hieraus sich ergebende Gleichung auf.

 

1. Beispiel: Bei diesem Bruchterm soll die Definitionsmenge bestimmt werden:

{\frac{3}{4~+~\mathrm x}}

Der Nenner ist: 4 + x.

Den Nenner setzt man nun gleich null und löst diesen anschließend nach der Variablen x hin auf.

4 + x = 0          Ι  – 4

x = –4

Bei x = –4 ist der Bruchterm also nicht definiert.

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ –4} oder D = {\mathbb Q} \ {–4}

 

2. Beispiel: Bei folgendem Bruchterm soll die Definitionsmenge bestimmt werden:

{\frac{7\mathrm x~+~42}{14~- ~63\mathrm x}}

Der Nenner ist: 14 – 63x

Diesen setzt man nun gleich null und löst die Gleichung hin zur Variablen auf:

14 – 63x = 0         Ι + 63x

14 = 63x               Ι : 63

x = {\frac{14}{63}};     x = {\frac{2}{9}}

Bei x = {\frac{2}{9}} ist der Bruchterm also nicht definiert.

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ {\frac{2}{9}}} oder D = {\mathbb Q} \ {{\frac{2}{9}}}

 

2. Das Kürzen von Bruchtermen

Bei einem Bruchterm können einzelne Teile gekürzt werden, wenn im Zähler und Nenner gleiche Faktoren vorliegen. Oftmals muss man diese aber mittels einer Faktorisierung/eines Ausklammerns bilden. Denn – was auch für Brüche gilt, das gilt auch für Bruchterme – Summen kürzen nur die …

Folgendermaßen geht man beim Kürzen von Bruchtermen vor:

  • Ein Produkt im Zähler und Nenner bilden
  • Den gemeinsamen Faktor im Zähler und Nenner kürzen

Ein Bruchterm darf niemals mit der Zahl Null gekürzt werden, da für diese Zahl der Bruchterm nicht definiert ist.

Beim Kürzen ändert sich der Wert des Bruchterms nicht.

Die Zahl oder Variable, mit der ein Bruchterm gekürzt wird, nennt man auch Kürzungsfaktor.

 

Allgemeine Darstellung des Kürzens bei Bruchtermen

{\frac{\mathrm a\mathrm c}{\mathrm b\mathrm c}} = {\frac{\mathrm a\ {\cdot}\ \mathrm c}{\mathrm b\ {\cdot}\ \mathrm c}} = {\frac{\mathrm a}{\mathrm b}}     (für b ≠ 0; c ≠ 0)

Nachdem man „c“ im Zähler und im Nenner ausgeklammert/faktorisiert hat, kann man „c“ kürzen. „c“ ist hier der Kürzungsfaktor.

 

Anhand dieser Bruchterme soll exemplarisch gezeigt werden, wie man kürzt:

 

1. Beispiel:

{\frac{7\mathrm x~+~42}{14 ~- ~63\mathrm x}}     (für x ≠ {\frac{14}{63}})

Hier muss man erkennen, dass bei diesem Bruchterm in jedem Einzelterm im Zähler und Nenner der Faktor „7“ enthalten ist. Diesen kann man nun ausklammern.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter dem Stoffgebiet Terme den Punkt 6 „Das Ausklammer/Faktorisieren bei einer algebraischen Summe“ an.

 

{\frac{7\ {\cdot}\ (\mathrm x~+~6)}{7\ {\cdot}\ (2~-~9\mathrm x)}}

Jetzt darf man den ausgeklammerten Faktor „7“ kürzen. Hierdurch erhält man nun folgenden Bruchterm:

{\frac{\mathrm x~+~6}{2~-~9\mathrm x}}

 

2. Beispiel:

{\frac{24\mathrm x\mathrm y~+~8\mathrm x^2}{24\mathrm y~+~8\mathrm x}}      (für x ≠ –3y bzw. y ≠ –{\frac{8}{24}}x)

Bei diesem Bruchterm muss man nun erkennen, dass man eine Faktorisierung/ein Ausklammern mit der Zahl „8“ und dem „x“ durchführen kann: Sowohl im Zähler als auch im Nenner ist bei jedem Einzelterm die Zahl „8“ als Teiler enthalten. Außerdem weist im Zähler jeder Einzelterm ein „x“ auf.

{\frac{8\mathrm x\ {\cdot}\ (3\mathrm y~+~\mathrm x)}{8\ {\cdot}\ (3\mathrm y~+~\mathrm x)}}

Jetzt kann man sowohl die „8“ im Zähler und Nenner kürzen als auch das „3y + x“, da es ebenfalls im Zähler und Nenner als Faktor enthalten ist. Dadurch bleibt folgender Term übrig:

x

Wie man sieht, hat sich nach dem Kürzen der Bruchterm aufgelöst.

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zum Kürzen beim Bruchrechnen siehe auch unter Bruchrechnung, Erweitern und Kürzen 3. Das Kürzen eines Bruchs an.

 

2.1 Das Erweitern von Bruchtermen

Einen Bruchterm kann man stets erweitern. Hierfür muss man den Zähler und den Nenner des Bruchterms jeweils mit einem gleichen Faktor malnehmen (Die Zahl 0 ist hierbei jedoch ausgeschlossen, da ja dann bei einer Multiplikation der ganze Term gleich null werden würde). Wie beim Bruchrechnen stellt das Erweitern die Umkehrung des Kürzens dar.

Beim Erweitern ändert sich der Wert des Bruchterms nicht.

Die Zahl oder Variable, mit der ein Bruchterm erweitert wird, nennt man auch Erweiterungsfaktor.

 

Allgemeine Darstellung des Erweiterns bei Bruchtermen

{\frac{\mathrm a}{\mathrm b}} = {\frac{\mathrm a\ {\cdot}~\mathrm c}{\mathrm b\ {\cdot}~\mathrm c}}     (für b ≠ 0; c ≠ 0)

Jeweils Zähler und Nenner werden mit „c“ erweitert. „c“ ist hier der Erweiterungsfaktor.

 

1. Beispiel:

Der Bruchterm {\frac{5\mathrm x}{8\mathrm x\mathrm y}} soll mit dem Faktor 3 erweitert werden.

{\frac{5\mathrm x\ {\cdot}\ 3}{8\mathrm x\mathrm y\ {\cdot}\ 3}}

Anschließend löst man bei dem Bruchterm das Produkt auf.

{\frac{15\mathrm x}{24\mathrm x\mathrm y}}

 

2. Beispiel:

Der Bruchterm {\frac{4\mathrm x^2}{9\mathrm y}} soll mit dem Faktor x erweitert werden    (für x ≠ 0).

{\frac{4\mathrm x^2\ {\cdot}~\mathrm x}{9\mathrm y\ {\cdot}~\mathrm x}}

Als Nächstes löst man das Produkt auf.

{\frac{4\mathrm x^3}{9\mathrm y\mathrm x}}

Geordnet ergibt sich dieser Bruchterm.

{\frac{4\mathrm x^3}{9\mathrm x\mathrm y}}

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zum Erweitern beim Bruchrechnen siehe auch unter Bruchrechnung/Erweitern und Kürzen 2. Das Erweitern eines Bruchs an.

 

3. Das Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen

Brüche darf man bekanntlich nur addieren und subtrahieren, wenn die Nenner gleichnamig sind. Im der Regel muss man die Brüche aber erst gleichnamig machen, in dem man den sogenannten Hauptnenner ermittelt und die Brüche daraufhin erweitert. Das Gleiche, was für Brüche gilt, das gilt auch weiterhin für Bruchterme. Daher muss man bei der Addition und der Subtraktion von Bruchtermen folgendermaßen vorgehen:

  • Ermittlung des Hauptnenners. Hierfür müssen alle Nenner in Faktoren zerlegt werden. Der Hauptnenner ist nun immer das Produkt, das sich aus der stets höchsten Potenz aller auftretenden Faktoren zusammensetzt.
  • Erweiterung der Brüche auf den Hauptnenner hin. Ist jeder Nenner des Bruchterms in seine Faktoren zerlegt, so kann der Bruch mit den fehlenden Faktoren erweitert werden.
  • Zusammenfassen und Vereinfachung der Bruchterme. Alle Bruchterme werden auf einen Bruchstrich geschrieben und jeder einzelne Zähler in Abhängigkeit zu der Erweiterung ausmultipliziert. Anschließend werden gleiche Einzelterme zusammengefasst. Der Nenner ist der gebildete Hauptnenner. Gegebenenfalls kann der Bruch danach noch gekürzt werden.

 

1. Beispiel: 

{\frac{5}{\mathrm x}}{\frac{2}{\mathrm x^2}}     (für x ≠ 0)

Hier ist der Hauptnenner x² (x² = x · x). Der andere Nenner ist x und somit in x² enthalten. Der erste Bruch muss daher um den Faktor x erweitert werden, der zweite Bruch muss nicht erweitert werden.

{\frac{5\ {\cdot}~\mathrm x}{\mathrm x\ {\cdot}~\mathrm x}}{\frac{2}{\mathrm x^2}}

{\frac{5\mathrm x}{\mathrm x^2}}{\frac{2}{\mathrm x^2}}

Die beiden Bruchterme können nun auf einen Nenner gebracht werden.

{\frac{5\mathrm x~+~2}{\mathrm x^2}}

Das ist schließlich der Bruchterm, den man nach einer Addition erhält.

 

2. Beispiel: 

{\frac{7}{2\mathrm x}} – {\frac{5}{3\mathrm y}}     (für x ≠ 0; für y ≠ 0)

Hier ist der Hauptnenner: 2 · · 3 · y. Denn in keinem Nenner gibt es einen Faktor, der in beiden Nennern auftritt. Der erste Bruch muss daher um dem Faktor 3 · y, der zweite um den Faktor 2 · x erweitert werden.

{\frac{7\ {\cdot}\ 3\ {\cdot}~\mathrm y}{2\mathrm x\ {\cdot}\ 3\ {\cdot}~\mathrm y}} – {\frac{5\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}~\mathrm x}{3\mathrm y\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}~\mathrm x}}

Die Zähler und Nenner und Nenner können nun malgenommen werden.

{\frac{21\mathrm y}{6\mathrm x\mathrm y}} – {\frac{10\mathrm x}{6\mathrm y\mathrm x}}

Geordnet erhält man diese beiden Brüche.

{\frac{21\mathrm y}{6\mathrm x\mathrm y}} – {\frac{10\mathrm x}{6\mathrm x\mathrm y}}

An den beiden Brüchen kann nun eine Subtraktion durchgeführt werden.

{\frac{21\mathrm y~-~10\mathrm x}{6\mathrm x\mathrm y}}

Geordnet erhält man nach der Subtraktion folgenden Bruchterm.

{\frac{-10\mathrm x~+~21\mathrm y}{6\mathrm x\mathrm y}}

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Man kann verschiedene einzelne Bruchterme sofort auch immer als einen Bruchterm schreiben, wenn man diese mit dem Hauptnenner erweitert hat.

 

3. Beispiel:

{\frac{6\mathrm x~+~\mathrm y}{8\mathrm x\mathrm y}} + {\frac{\mathrm x~-~\mathrm y}{\mathrm y^2}}{\frac{1}{8\mathrm x}}     (für x ≠ 0; y ≠ 0)

Zuerst muss man alle Nenner in Faktoren zerlegen und darauf achten, dass (möglichst) die höchste Potenz hierbei zum Vorschein kommt.

Der erste Nenner ist: 8xy = 2³ · x · y; der zweite Nenner ist: y2 = y2  (das ist y · y); der dritte Nenner: 8x = 8 · x

Hieraus ergibt sich folgender Hauptnenner: 2³ · y2 · x = 2³ · x · y2

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Achte bei der Bildung des Hauptnenners, dass jeweils die höchste Potenz der vorkommenden Einzelterme als Faktor vorkommt.

 

{\frac{(6\mathrm x~+~\mathrm y)\ {\cdot}~\mathrm y}{2^3\mathrm x\mathrm y^2}} + {\frac{(\mathrm x~-~\mathrm y)\ {\cdot}\ 2^3\ {\cdot}~\mathrm x}{2^3\mathrm x\mathrm y^2}}{\frac{(1)\ {\cdot}~\mathrm y^2}{2^3\mathrm x\mathrm y^2}}

Da der Hauptnenner „2³ · x · y2“ ist und der Nenner des ersten Bruches „2³ · x · y“ ist, muss der Zähler mit dem Faktor „y“ erweitert werden. Bei dem zweiten Bruch ist der Nenner „y²“. Daher muss man hier den Zähler mit dem Faktor „2³ · x“ erweitern. Bei dem dritten Bruch ist der Nenner „8 · x“, deshalb muss hier der Zähler mit „y2“ erweitert werden.

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Im Prinzip muss man jeden Nenner jedes einzelnen Bruchterms jeweils mit dem gleichen Faktor für den Zähler erweitern. Ersetzt man aber hingegen gleich den jeweiligen Nenner durch den gebildeten Hauptnenner, dann kann man sich dies ersparen.

 

{\frac{(6\mathrm x~+~\mathrm y)\ {\cdot}~\mathrm y~+~(\mathrm x~-~\mathrm y)\ {\cdot}\ 2^3\mathrm x~-~(1)\ {\cdot}~\mathrm y^2}{2^3\mathrm x\mathrm y^2}}

Nachdem alle einzelnen Bruchterme auf einen Bruchstrich geschrieben wurden, können diese ausmultipliziert werden (Das kann man aber auch schon vorher machen!).

{\frac{6\mathrm x\mathrm y~+~\mathrm y^2~+~2^3\mathrm x^2~-~2^3\mathrm x\mathrm y~-~\mathrm y^2}{2^3\mathrm x\mathrm y^2}}

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Achte beim Ausmultiplizieren auf die geltende Vorzeichenregel bei einem Produkt.

 

{\frac{-2\mathrm x\mathrm y~+~2^3\mathrm x^2}{2^3\mathrm x\mathrm y^2}}

Die Einzelterme „6xy“ und „–23xy“ lassen sich zu „–2xy“ zusammenfassen, „y2“ und „–y2“ eliminieren sich.

{\frac{2\mathrm x\ {\cdot}\ (-\mathrm y~+~2^2\mathrm x)}{2\mathrm x\ {\cdot}\ 2^2\mathrm y^2}}

Der Faktor „2x“ kann jetzt gekürzt werden.

{\frac{-\mathrm y~+~2^2\mathrm x}{2^2\mathrm y^2}};

Die reinen Zahlen-Potenz löst man danach auf.

{\frac{-\mathrm y~+~4\mathrm x}{4\mathrm y^2}}

Danach kann man den Bruchterm noch hinsichtlich der vorkommenden Einzelterme ordnen.

{\frac{4\mathrm x~-~\mathrm y}{4\mathrm y^2}}

Das ist schließlich der Bruchterm, der nach der Addition und Subtraktion der einzelnen Bruchterme entsteht.

Ich lache nur bei Sonnenschein © Rike PIXELIO www.pixelio.de

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4. Beispiel:

{\frac{\mathrm x^2~+~8}{4\mathrm x^2}} + {\frac{-5\mathrm x^2~+~3}{2\mathrm x}}{\frac{5\mathrm x~+~2}{4}} + {\frac{7}{3\mathrm x^2}}     (für x ≠ 0)

Zuerst zerlegt man alle Terme im Nenner hin zur jeweils höchsten Potenz.

Der erste Nenner ist: 4x2 = 22 · x2; der zweite Nenner ist: 2x = 2 · x; der dritte Nenner ist: 4 = 22; der vierte Nenner ist: 3x2 = 3 · x2

Der Hauptnenner ist nun folgender: 22 · x2 · 3 = 3 · 22 · x2

{\frac{(\mathrm x^2~+~8)\ {\cdot}\ 3}{3\ {\cdot}\ 2^2\mathrm x^2}} + {\frac{(-5\mathrm x^2~+~3)\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}\ 3\ {\cdot}~\mathrm x}{3\ {\cdot}\ 2^2\mathrm x^2}}{\frac{(5\mathrm x~+~2)\ {\cdot}\ 3\mathrm x^2}{3\ {\cdot}\ 2^2\mathrm x^2}} + {\frac{7\ {\cdot}\ 2^2}{3\ {\cdot}\ 2^2\mathrm x^2}}

Da der Hauptnenner „3 · 22 · x2“ ist und der Nenner des ersten Bruches „4 · x2“ ist, muss dieser Bruch mit dem Faktor „3“ erweitert werden. Beim zweiten Bruch ist der Nenner „2x“. Daher muss dieser mit den Faktoren „3 · 2 · x“ erweitert werden. Der dritte Bruch weist den Nenner „4“ auf. Deshalb muss man diesen mit den Faktoren „3 · x2“ erweitern. Der letzt Bruch hat den Nenner „3 · x²“. Hieraus ergibt sich, dass jener mit dem Faktor „22“ erweitert werden muss.

{\frac{(\mathrm x^2~+~8)\ {\cdot}\ 3~+~(-5\mathrm x^2~+~3)\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}\ 3\ {\cdot}~\mathrm x~-~(5\mathrm x~+~2)\ {\cdot}\ 3\mathrm x^2~+~7\ {\cdot}\ 2^2}{3\ {\cdot}\ 2^2\mathrm x^2}}

Wenn alle Bruchterme auf einem Bruchstrich stehen, kann mit dem Ausmulitplizieren begonnen werden.

{\frac{3\mathrm x^2~+~24~-~30\mathrm x^3~+~18\mathrm x~-~15\mathrm x^3~-~6\mathrm x^2~+~28}{3\ {\cdot}\ 2^2\mathrm x^2}}

Die Einzelterme „–30x3“ und „–15x3“ lassen sich zu „–45x3“ zusammenfassen. Die Einzelterme „3x2“ und „–6x2“ zu „–3x²“. Die Einzelterme „24“ und „28“ wiederum zu „52“

{\frac{-45\mathrm x^3~-~3\mathrm x^2~+~18\mathrm x~+~52}{3\ {\cdot}\ 2^2\mathrm x^2}};

{\frac{-45\mathrm x^3~-~3\mathrm x^2~+~18\mathrm x~+~52}{12\mathrm x^2}}

Das ist schließlich der mittels Addition und Subtraktion der einzelnen Bruchterme enstandene Bruchterm.

 

Speziallfall bei der Addition und Subtraktion gleichnamiger Bruchterme

  • Bei der Addition und Subtraktion gleichnamiger Bruchterme werden die Zähler addiert oder subtrahiert. Der Nenner bleibt hierbei unverändert.

 

Allgemeine Darstellung der Addition und Subtraktion von Bruchtermen

{\frac{\mathrm a}{\mathrm b}} + {\frac{\mathrm c}{\mathrm b}} = {\frac{\mathrm a~+~\mathrm c}{\mathrm b}}      (für b ≠ 0)

{\frac{\mathrm a}{\mathrm b}} – {\frac{\mathrm c}{\mathrm b}} = {\frac{\mathrm a~-~\mathrm c}{\mathrm b}}      (für b ≠ 0)

 

1. Beispiel:

{\frac{4\mathrm x}{\mathrm y}} + {\frac{5\mathrm x}{\mathrm y}} = {\frac{4\mathrm x~+~5\mathrm x}{\mathrm y}}     (für y ≠ 0);

{\frac{4\mathrm x~+~5\mathrm x}{\mathrm y}} = {\frac{9\mathrm x}{\mathrm y}}

 

2. Beispiel:

{\frac{7\mathrm x}{\mathrm y}} – {\frac{3\mathrm x}{\mathrm y}} = {\frac{7\mathrm x~-~3\mathrm x}{\mathrm y}}    (für y ≠ 0);

{\frac{7\mathrm x~-~3\mathrm x}{\mathrm y}} = {\frac{4\mathrm x}{\mathrm y}}

 

4. Das Multiplizieren von Bruchtermen

Das Multiplizieren bei Bruchtermen geht genauso vonstatten wie bei ganz normalen Brüchen. Demzufolge gilt bei einer Multiplikation von Bruchtermen folgende Regel:

  • Beim Multiplizieren von Bruchtermen müssen sowohl die Zähler als auch die Nenner miteinander malgenommen werden.

 

Allgemeine Darstellung der Multiplikation von Bruchtermen

{\frac{\mathrm a}{\mathrm b}} · {\frac{\mathrm c}{\mathrm d}} = {\frac{\mathrm a\ {\cdot}~\mathrm c}{\mathrm b\ {\cdot}~\mathrm d}}        (für b ≠ 0, d ≠ 0)

 

1. Beispiel:

  {\frac{4\mathrm a}{5\mathrm b}} · {\frac{3\mathrm x}{4\mathrm y}};

{\frac{4\mathrm a\ {\cdot}\ 3\mathrm x}{5\mathrm b\ {\cdot}\ 4\mathrm y}};

{\frac{12\mathrm a\mathrm x}{20\mathrm b\mathrm y}}

Der Faktor „12“ im Zähler und der Faktor „20“ im Nenner des Bruchterms haben noch den gemeinsamen Teiler „4“. Daher kann der Bruchterm noch durch „4“ gekürzt werden.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Das Kürzen kann auch bereits, wie man es beim Bruchrechnen gelernt hat, während der Multiplikation durchgeführt werden.

 

  {\frac{3\mathrm a\mathrm x}{5\mathrm b\mathrm y}}

Das ist der mittels Multiplikation entstandene Bruchterm.

 

2. Beispiel:

  {\frac{2\mathrm x~+~3\mathrm y}{3\mathrm x}} · {\frac{3\mathrm y}{5\mathrm x}} = {\frac{(2\mathrm x~+~3\mathrm y)\ {\cdot}\ 3\mathrm y}{3\mathrm x\ {\cdot}\ 5\mathrm x}};

{\frac{(2\mathrm x~+~3\mathrm y)\ {\cdot}\ 3\mathrm y}{3\mathrm x\ {\cdot}\ 5\mathrm x}} = {\frac{6\mathrm x\mathrm y~+~9\mathrm y^2}{15\mathrm x^2}}

Hier können im Zähler die Faktoren „6“ und „9“ sowie im Nenner der Faktor „15“ jeweils durch „3“ geteilt werden.

  {\frac{2\mathrm x\mathrm y~+~3\mathrm y^2}{5\mathrm x^2}}

Das ist der nicht mehr weiter zu vereinfachende Bruchterm.

 

Spezialfall bei der Multiplikation von Bruchtermen

  • Beim Multiplizieren eines Bruchterms mit einem Term muss nur der Zähler des Bruchterms mit dem Term malgenommen werden. Der Nenner bleibt hierbei gleich.

 

Allgemeine Darstellung des Spezialfalls bei der Multiplikation von Bruchtermen

{\frac{\mathrm a}{\mathrm b}} · c = {\frac{\mathrm a\ {\cdot}~\mathrm c}{\mathrm b}}       (für b ≠ 0)

 

1. Beispiel:

{\frac{7}{\mathrm x}} · y = {\frac{7\ {\cdot}~\mathrm y}{\mathrm x}}       (für x ≠ 0);

{\frac{7\ {\cdot}~\mathrm y}{\mathrm x}} = {\frac{7\mathrm y}{\mathrm x}}

 

2. Beispiel:

{\frac{\mathrm x}{\mathrm y}} · 3a = {\frac{\mathrm x\ {\cdot}\ 3\mathrm a}{\mathrm y}}       (für y ≠ 0);

{\frac{\mathrm x\ {\cdot}\ 3\mathrm a}{\mathrm y}}{\frac{\mathrm x3\mathrm a}{\mathrm y}}

Nach den Einzeltermen hin geordnet, erhält man diesen Bruchterm.

{\frac{\mathrm x3\mathrm a}{\mathrm y}}{\frac{3\mathrm a\mathrm x}{\mathrm y}}

 

5. Das Dividieren von Bruchtermen

Genauso wie das Multiplizieren von Bruchtermen auf dem normalen Bruchrechnen basiert, so ist das auch beim Dividieren der Fall. Hierbei gilt daher für die Division folgende Regel.

  • Zwei Bruchterme werden miteinander dividiert, indem der erste Bruchterm mit dem Kehrwert des zweiten Bruchterms multipliziert wird.

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Beim Kehrwert eines Bruches wird einfach der Zähler und der Nenner des Bruchs umgedreht.

 

Allgemeine Darstellung der Division von Bruchtermen

{\frac{\mathrm a}{\mathrm b}} : {\frac{\mathrm c}{\mathrm d}} = {\frac{\mathrm a}{\mathrm b}} · {\frac{\mathrm d}{\mathrm c}}     (für b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0);

{\frac{\mathrm a}{\mathrm b}} · {\frac{\mathrm d}{\mathrm c}}{\frac{\mathrm a\ {\cdot}~\mathrm d}{\mathrm b\ {\cdot}~\mathrm c}} 

 

1. Beispiel:

{\frac{3\mathrm a}{7\mathrm b}} : {\frac{4\mathrm x}{5\mathrm y}} = {\frac{3\mathrm a}{7\mathrm b}} · {\frac{5\mathrm y}{4\mathrm x}}     (für b ≠ 0; x ≠ 0; y ≠ 0);

{\frac{3\mathrm a}{7\mathrm b}} · {\frac{5\mathrm y}{4\mathrm x}} = {\frac{3\mathrm a\ {\cdot}\ 5\mathrm y}{7\mathrm b\ {\cdot}\ 4\mathrm x}};

{\frac{3\mathrm a\ {\cdot}\ 5\mathrm y}{7\mathrm b\ {\cdot}\ 4\mathrm x}} = {\frac{15\mathrm a\mathrm y}{28\mathrm b\mathrm x}}

Das ist der mittels Division entstandene Bruchterm.

 

2. Beispiel:

{\frac{2\mathrm a~+~3\mathrm b}{4\mathrm x}} : {\frac{2\mathrm x}{4\mathrm b}} = {\frac{(2\mathrm a~+~3\mathrm b)}{4\mathrm x}} · {\frac{4\mathrm b}{2\mathrm x}}    (für b ≠ 0; x ≠ 0);

{\frac{(2\mathrm a~+~3\mathrm b)}{4\mathrm x}} · {\frac{4\mathrm b}{2\mathrm x}}{\frac{(2\mathrm a~+~3\mathrm b)\ {\cdot}\ 4\mathrm b}{4\mathrm x\ {\cdot}\ 2\mathrm x}};

{\frac{(2\mathrm a~+~3\mathrm b)\ {\cdot}\ 4\mathrm b}{4\mathrm x\ {\cdot}\ 2\mathrm x}} = {\frac{8\mathrm a\mathrm b~+~12\mathrm b^2}{8\mathrm x^2}}

Das ist der mittels Division entstandene Bruchterm.

 

Spezialfall bei der Division von Bruchtermen

  • Beim Dividieren eines Bruchterms mit einem Term muss der Nenner mit dem Term malgenommen werden. Der Zähler bleibt hierbei unverändert.

 

Allgemeine Darstellung des Spezialfalls bei der Division von Bruchtermen

{\frac{\mathrm a}{\mathrm b}} : c = {\frac{\mathrm a}{\mathrm b\ {\cdot}~\mathrm c}}     (für b ≠ 0, c ≠ 0);

ohne Malzeichen: {\frac{\mathrm a}{\mathrm b\mathrm c}}

 

1. Beispiel:

{\frac{5\mathrm x}{\mathrm y}} : a = {\frac{5\mathrm x}{\mathrm y\ {\cdot}~\mathrm a}}     (für y ≠ 0, a ≠ 0);

Geordnet: {\frac{5\mathrm x}{\mathrm a\mathrm y}}

 

2. Beispiel:

{\frac{2\mathrm x\mathrm y}{\mathrm z}} : 3ab = {\frac{2\mathrm x\mathrm y}{\mathrm z\ {\cdot}\ 3\mathrm a\mathrm b}}     (für y ≠ 0, a ≠ 0, b ≠ 0);

Geordnet und ohne Malzeichen: {\frac{2\mathrm x\mathrm y}{3\mathrm a\mathrm b\mathrm z}}

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Zinsrechnung

Die Ermittlung von Zinsen © GG-Berlin PIXELIO www.pixelio.de

1. Allgemeines zu Geld und der Zinsrechnung

Auf der Welt dreht sich immer mehr alles um Geld. Das zeigt sich augenscheinlich darin, dass es immer mehr Reiche gibt und dass Reiche immer reicher werden. Dies ist eindeutig ein Ausdruck eines immer dominanter werdenden Kapitalismus. Das ist aber alles andere als schön, da hiermit auch eine immer größere Ungerechtigkeit einhergeht. Schließlich geht ein Anwachsen von Geld bei Privatpersonen stets nur auf Kosten einer Vielzahl an anderen Menschen. Das ist die bittere Wahrheit des Kapitalismus. Der Geldfluss geht bei einem ungezügelten Kapitalismus nämlich stets vermehrt in eine Richtung – in die Richtung der Kapitalisten bzw. Reichen.

Unabhängig von der globalen Kapitalentwicklung der Welt hat Geld aber auch etwas sehr Gutes. Jeder Warenwert kann in einen allgemeinen Geldwert umgerechnet werden. Dadurch hat man ein Zahlungsmittel mit dem man alles und jedes kaufen sowie gegen Geld alles und jedes verkaufen kann. Das macht das Leben unglaublich einfacher. Ansonsten müsste man stets dies und jenes gegen jenes und dies tauschen und das immer und immer wieder. So würde aber eine moderne Gesellschaft niemals funktionieren. Geld ist daher unstrittig eine große Errungenschaft unserer Zivilisation – aber bei einseitigem Kapitalfluss auch etwas hochgradig Verachtenswertes.

In der Schule kommt Geld bzw. der Geldwert neben dem Stoffgebiet Größen (Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu unter Größen das Unterstoffgebiet Umrechnen von Größen) noch in einem weiteren um einiges wichtigerem Stoffgebiet vor: der Zinsrechnung. Geld hat ja bekanntlich die Eigenschaft, dass man es auf unterschiedlichste Weise vermehren kann. Eine Möglichkeit stellt hierbei eine Geldanlage bei eine Bank dar. Je nach Länge des dort deponierten Geldes erhält man dann Zinsen, da man hierfür von der Bank einen bestimmten Zinssatz garantiert bekommt.

 

2. Die Begriffe Kapital K, Zinsen Z und Zinssatz p %

Das Angenehme beim Zinsrechnen ist zunächst, dass die gleichen Rechnungen durchgeführt werden, wie es bei dem Prozentrechnen der Fall ist. Die Begriffe, um die sich das Zinsrechnen dreht, heißen zwar anders, sie entsprechen aber den Begriffen der Prozentrechnung.

Daher sollte man zunächst wissen, dass bei der Zinsrechnung:

das Kapital K dem Grundwert G entspricht

die Zinsen Z dem Prozentwert W

der Zinsatz p % dem Prozentsatz p %.

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Hierbei ist anzumerken, dass eine genaue Entsprechung von Zinsen Z und Prozentwert W nur immer dann vorliegt, wenn die Zinsen sich auf 1 Jahr beziehen.

 

3. Die Formeln zur Berechnung des Kapitals K, der Zinsen Z und des Zinssatzes p %

Aufgrund des Bezugszeitraumes von einem Jahr lassen sich auch alle Formeln der Prozentrechnung 1 : 1 auf die Zinsrechnung übertragen. Natürlich stehen dann anstatt der Begriffe aus der Prozentrechnung die entsprechenden Begriffe aus der Zinsrechnung.

 

Das Kapital K kann daher stets folgendermaßen berechnet werden:

K = \frac{Z\ {\cdot}\ 100}{p}

 

Beispiel: Eine angelegte Geldsumme warf 72 Euro an Zinsen ab. Der Zinssatz belief sich hierbei auf 1,2 %. Wie viel Geld wurde angelegt?

K = \frac{Z\ {\cdot}\ 100}{p}; bezogen auf die Aufgabe ergibt sich: K = \frac{72\ {\cdot}\ 100}{1,2} = 6000

Es wurden 6000 Euro angelegt.

 

Beispiel: Eine Verzinsung von 1,4 % warf 56 Euro an Zinsen ab. Wie hoch war der angelegte Geldbetrag?

K = \frac{Z\ {\cdot}\ 100}{p}; bezogen auf die Aufgabe ergibt sich: K = \frac{56\ {\cdot}\ 100}{1,4} = 4000

Der angelegte Geldbetrag betrug 4000 Euro.

 

Die Zinsen Z können stets auf diese Weise berechnet werden:

Z = \frac{K\ {\cdot}\ p}{100}

Beispiel: Eine angelegte Geldsumme in Höhe von 6000 Euro wird zu 1,2 % verzinst. Wie hoche fallen die Zinsen aus?

Z = \frac{K\ {\cdot}\ p}{100}; bezogen auf die Aufgabe ergibt sich: Z = \frac{6000\ {\cdot}\ 1,2}{100} = 72

Es fallen 72 Euro an Zinsen an.

 

Beispiel: Ein Geldbetrag in Höhe von 4000 Euro wird zu 1,4 % verzinst. Wie viel an Zinsen sind das?

Z = \frac{K\ {\cdot}\ p}{100}; bezogen auf die Aufgabe ergibt sich: Z = \frac{4000\ {\cdot}\ 1,4}{100} = 56

Das angelegte Geld wirft 56 Euro an Zinsen ab.

 

Der Zinssatz p % kann man stets mithilfe dieser Formel berechnen:

p = \frac{Z\ {\cdot}\ 100}{K}

 

Beispiel: Ein angelegter Geldbetrag in Höhe von 6000 Euro warf 72 Euro an Zinsen ab. Wie hoch war der Zinssatz?

p = \frac{Z\ {\cdot}\ 100}{K}; bezogen auf die Aufgabe ergibt sich: p = \frac{72\ {\cdot}\ 100}{6000} = 1,2

Der Zinssatz lag bei 1,2 %.

 

Beispiel: Es fielen bei einem Geldbetrag von 4000 Euro 56 Euro an Zinsen an. Welcher Zinssatz lag vor?

p = \frac{Z\ {\cdot}\ 100}{K}; bezogen auf die Aufgabe ergibt sich: p = \frac{56\ {\cdot}\ 100}{4000} = 1,4

Der Zinssatz belief sich auf 1,4 %.

 

4. Wachstumsfaktor und Abnahmefaktor

Genauso wie bei der Prozentrechnung kann man auch bei der Zinsrechnung eine Zunahme des Kapitals K sofort berechnen, und zwar mit dem Wachstumsfaktor.

Den Wachstumsfaktor bei einer Zunahme des Kapitals K berechnet man dergestalt, wenn ein Zinssatz p % vorliegt:

  • Wachstumsfaktor = 1 + {\frac{p}{100}

Eine Zunahme eines Kapitals K berechnet man nun folgendermaßen:

  • Wachstum = Kapital K · Wachstumsfaktor

 

Beispiel für eine Zunahme: Ein Betrag von 520 Euro wurde angelegt und wuchs um 5 % an. Wie hoch ist nun der jetzige Betrag?

Der Wachstumsfaktor = 1 + {\frac{5}{100} = 1,05

Die Zunahme ergibt sich mittels der Multiplikation des Kapitals K und des Wachstumsfaktors:

Zunahme = 520 · 1,05 = 546

Der angelegte Betrag ist nun auf 546 € angewachsen.

 

Beispiel für eine Zunahme: Stefan hat 5320 Euro bei einem Zinssatz von 1,5 % für ein Jahr angelegt. Wie hoch ist die Zunahme nach einem Jahr?

Der Wachstumsfaktor ist hier = 1 + {\frac{1,5}{100} = 1,015

Die Zunahme kann man hier wiederum mittels der Multiplikation des Kapitals K und des Wachstumsfaktors ermitteln:

Zunahme = 5320 · 1,015 = 5399,8

Nach einem Jahr ist Stefans angelegtes Geld auf 5399,80 € angewachsen.

 

5. Die Formel der Zinsrechnung in Abhängigkeit zum Zeitfaktor

Bei sämtlichen obigen Formeln geht man davon aus, das der Zeitraum der jeweils gesuchten Begriffe Kapital, Zinsen und Zinssatz % stets ein Jahr umfasst. Nun gibt es aber auch gerade im Geldwesen andere Anlageformen, bei denen monatlich oder täglich Zinsen anfallen. Hierdurch ändert sich je nach Monatszinsen oder Tageszinsen die Formel zur Berechnung.

 

5.1 Die Berechnung von Monatszinsen und Tageszinsen

Die Formel zur Berechnung von Monatszinsen lautet dann:

Z = \frac{K\ {\cdot}\ p\ {\cdot}\ m}{100\ {\cdot}\ 12}

Die Formel zur Berechnung von Tageszinsen lautet dann:

Z = \frac{K\ {\cdot}\ p\ {\cdot}\ t}{100\ {\cdot}\ 360}

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: In der Zinsrechnung hat jeder Monat 30 Tage und somit ein Jahr insgesamt 360 Tage. Ein Zinsmonat umfasst daher 30 Zinstage, ein Zinsjahr 360 Zinstage.

 

Beispiel zur Berechnung von Monatszinsen

Herr Kaiser legt 4500 Euro über 7 Monate zu einem Zinsatz von 2,5 % an. Wie viel an Zinsen erhält er?

Zur Berechnung muss man diese Formel heranziehen: Z = \frac{K\ {\cdot}\ p\ {\cdot}\ m}{100\ {\cdot}\ 12}. Eingesetzt ergibt sich: Z = \frac{4500\ {\cdot}\ 2,5\ {\cdot}\ 7}{100\ {\cdot}\ 12} = 65,63 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)

Herr Kaiser erhält nach 7 Monaten 65,63 € an Zinsen.

 

Beispiel zur Berechnung von Monatszinsen:

Frau Sommer möchte über einen Zeitraum von 8 Monaten 6500 Euro zu einem Zinssatz von 2 % anlegen. Wie viel an Zinsen erhält sie hierfür?

Zum Berechnen der Zinsen ist diese Formel vonnöten: Z = \frac{K\ {\cdot}\ p\ {\cdot}\ m}{100\ {\cdot}\ 12}. Eingesetzt ergibt sich: Z = \frac{6500\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}\ 8}{100\ {\cdot}\ 12} = 86,67 € (gerundet auf zwei Nachkommastellen)

Frau Sommer würde nach 8 Monaten 86,67 € an Zinsen erhalten.

 

Beispiel zur Berechnung von Tageszinsen:

Ein Sparer legt 2560 € zu einem Zinssatz von 2 % 140 Tage lang an. Wie viele Zinsen fallen während dieses Zeitraums an?

Die Formel zur Berechnung der Zinsen ist hier: Z = \frac{K\ {\cdot}\ p\ {\cdot}\ t}{100\ {\cdot}\ 360}; eingesetzt ergibt sich: Z = \frac{2560\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}\ 140}{100\ {\cdot}\ 360} = 19,91 (gerundet auf zwei Nachkommastellen).

Der Sparer bekommt nach 140 Tagen für sein angelegtes Geld 19,91 € an Zinsen.

 

Beispiel zur Berechnung von Tageszinsen:

Ein Tagesgeldkonto bietet eine Verzinsung von 1,5 %. Wie viele Zinsen fallen nach 88 Tagen an, wenn man dort einen Betrag von 3210 Euro anlegt?

Wiederum muss diese Formel hier herangezogen werden: Z = \frac{K\ {\cdot}\ p\ {\cdot}\ t}{100\ {\cdot}\ 360}; eingesetzt ergibt sich: Z = \frac{3210\ {\cdot}\ 1,5\ {\cdot}\ 88}{100\ {\cdot}\ 360} = 11,77

Nach 88 Tagen fallen für den angelegten Betrag 11,77 € an Zinsen an.

 

5.2 Die Berechnung von Monatszinsen und Tageszinsen mittels des Zeitfaktors i

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Beide Formeln zur Berechnung von Monats- und Tageszinsen können auch mittels des sogenannten Zeitfaktors i zusammengefasst wiedergegeben werden.

Z = K · p · i

Der Zeitfakor i ist nichts anderes als der Quotient aus Monatsanzahl geteilt durch 12: {\frac{Monatsanzahl}{12} oder der Tagesanzahl geteilt durch 360: {\frac{Tagesanzahl}{360}.

 

Beispiel zur Berechnung des Zeifaktors bei Monaten:

Ein Geldanlage soll 3 Monate angelegt werden. Berechne den Zinsfaktor.

Der Zeitfaktor ergibt sich mittels dieser Formel i = {\frac{Monatsanzahl}{12}, eingesetzt ergibt sich für i = {\frac{3}{12} = {\frac{1}{4} = 0,25

Der Zeitfaktor i beträgt hier 0,25.

 

Beispiel zur Berechnung des Zeitfaktors bei Tagen:

Eine Geldanlage soll 36 Tage lang angelegt werden. Berechne den Zeitfaktor.

Der Zeitfaktor kann man hier mittels dieser Formel ermitteln: {\frac{Tagesanzahl}{360}, eingesetzt ergibt sich: {\frac{36}{360} = 0,1

Der Zeitfaktor ist hier 0,1.

 

5.21 Der Zeitfaktor i bei einem Zeitraum von Tagen und/oder Monaten

Bei der Zinsrechnung kann es auch vorkommen, dass Zinsen über einen bestimmten Zeitraum von Tagen und/oder Monaten berechnet werden müssen. Hierzu verwendet man normalerweise ebenso den Zeitfaktor i. Im Bankwesen gilt hierbei: Der Einzahlungstag wird bei der Berechnung der Zinsen nicht mitgerechnet. Ferner gilt, wie oben bereits dargelegt: Ein Monat umfasst 30 Tage und ein Jahr 360 Tage.

Bei einem bestimmten Zeitraum, bei dem Zinsen anfallen, ermittelt man alle einzelnen Tage über eine Subtraktion. Hierbei schreibt man den Tag und den Monat des Zinsertragendes ganz oben und darunter immer den Tag und den Monat des Zinsertraganfangs.

 

Beispiel zur Berechnung des Zeitfaktors bei einem Intervall von Tagen und Monaten

Ein Anlagebetrag wird vom 16.2. bis zum 24.4. angelegt.

24 Tage 4 Monate

{\underline{16~Tage~2~Monate}

8 Tage 2 Monate

= 8 Tage + 2 · 30 Tage = 68 Tage

i = {\frac{68}{360} = {\frac{17}{90} = 0,189 (gerundet auf die 3. Nachkommastellen)

Ist bei einem Zeitraum von Tagen und Monaten der Tag, an dem das Geld angelegt wird, höher (von der Zahl her) als der Tag, an dem die Geldanlage endet, so muss man Folgendes beachten: Damit die Subtraktion ein positives Ergebnis liefert, ist es notwendig einen Anlagemonat zu 30 Tage hin umzuwandeln und die 30 Tage hin mittels Addition zu dem Endtag der Geldanlage dazuzurechnen.

 

Beispiel zur Berechnung des Zeitfaktors bei einem Zeitraum von Tagen und Monaten

Ein Anlagebetrag wird vom 20.4. bis zum 16.6. angelegt.

Den 16.6. wandelt man um zum 46.5. (eine Monat löst man hin zu 30 Tagen auf).

16.6: 46 Tage 5 Monate

20.4: – {\underline{20~Tage~4~Monate}

26 Tage 1 Monat

= 26 Tage + 1 · 30 Tage = 56 Tage

i = {\frac{56}{360} = {\frac{7}{45} = 0,156 (gerundet auf die 3. Nachkommastellen)

 

6. Die Berechnung von Zinseszinsen

Häufig legt man Geld deshalb an, damit die jährlich ausgeschütteten Zinsen mit dem angelegten Geldbetrag im Folgejahr mitverzinst werden – und im darauffolgenden Jahr wieder und dem darauffolgenden Jahr erneut… Dadurch wächst das über einen bestimmten längeren Zeitraum angelegte Geld entschieden schneller an, da hier dann ein sogenannter Zinseszins-Effekt vorliegt. Bei dem Zinseszins-Effekt liegt nämlich ein expotentielles Wachstum vor – was auch bei der Berechnungsformel des Zinseszins zum Ausdruck kommt.

Die Formel zur Berechnung des Zinseszins ist hierbei folgende:

Kn = K0 · (1 + {\frac{p}{100})n

Die Formel zur Berechnung des Zinseszins setzt sich hierbei aus dem Zinsfaktor q zusammen, der nichts anderes als der Wachstumsfaktor ist: q = 1 + {\frac{p}{100}. Die Anlagedauer wird hier mit n-Jahren wiedergegeben und der angelegte Grundbetrag mit K0., der angewachsene Betrag mit Kn.

 

Beispiel:

Acht Jahre lang wird ein Betrag von 1500 € zu einem Zinssatz von 3 % angelegt. Auf welchen Betrag ist das angelegte Geld nach dieser Zeit angewachsen?

n = 8; K0 = 1500 €; p % = 3 %

Die Zinseszinsformel muss hier herangezogen werden: Kn = K0 · (1 + {\frac{p}{100})n; eingesetzt ergibt sich: K8 = 1500 € · (1 + {\frac{3}{100})8 = 1900,16 € (gerundet auf zwei Nachkommastellen).

Nach acht Jahren ist der angelegte Geldbetrag auf 1900,16 € angewachsen.

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Rechenoperationen

Die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division

1. Rechenoperationen und Rechenfähigkeiten

In Mathematik muss man bekanntlich rechnen, rechnen und nochmals rechnen. Je besser man demzufolge rechnen kann, desto weniger Fehler passieren einem beim rechnerischen Lösen von Aufgaben. Die rechnerischen Fähigkeiten eines jeden Schülers hängen hierbei maßgeblich davon ab, wie gut man das elementare Mathe-„Handwerkszeug“ beherrscht – die Rechenoperationen.

Unter Rechenoperationen zählt man bei den Grundrechenarten das Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und das Dividieren und alle darauf basierenden Rechenoperationen wie das Potenzieren, das Wurzelziehen sowie das Logarithmieren. Hierbei lernt man die Rechenoperationen zunächst einzeln, später treten die gelernten Rechenoperationen jeweils beispielsweise bei dem Bruch-, Dezimal- und Prozentrechnen in Kombination wieder auf und anderen komplizierteren zu tätigenden Rechnungen.

Jede dieser Rechenoperationen unterliegt nun bestimmten Rechengesetzen/Rechenregeln. Da die „höheren“ Rechenoperationen wie das Potenzieren, das Wurzelziehen und das Logarithmieren auf den Grundrechenarten aufbauen, kann man tendenziell besser, schneller und vor allem fehlerfreier rechnen, wenn man die Grundrechenarten so gut wie möglich kann. Aufgrund der Tatsache, dass man spätestens ab der 8. Klasse einen Taschenrechner benutzen darf, kann man jedoch bei einem gekonnten Umgang mit dem Taschenrechner wiederum vorher vorhandene und auch spätere Rechenschwächen „umschiffen“ beziehungsweise kaschieren. Das geht aber nur, solange bloß „nackte“ Zahlen vorkommen. Spätestens aber, wenn Terme mit Variablen auftreten, „flackert“ die alte Rechenschwäche aufs Neue auf. Denn auch „höhere“ Rechenoperationen wie das Wurzelziehen und das Logarithmieren kommen in Mathematik bei Termen, Gleichungen und Funktionen vor – und müssen dort vielfach korrekt angewandt werden. Zwar gibt es inzwischen auch Taschenrechner, die beliebig programmierbar sind und auch schwierigere Mathe-Ausdrücke wie Terme, Gleichungen und Funktionen mit unterschiedlichen Variablen und „höheren“ Rechenoperationen wie das Wurzelziehen und Logarithmieren berechnen können, jedoch im Mathe-Abitur sind diese nicht zugelassen. Daher geht kein Weg daran vorbei, im Fach Mathe sich alle Rechenoperationen so gut wie möglich anzueignen – ansonsten verliert man unter Garantie immer schon Punkte aufgrund eines fehlerhaften Rechenweges. Auch besteht die nicht zu unterschätzende Gefahr, dass man durch Rechenfehler den Lösungsweg verkompliziert.

Ebenso sollte man sich im Klaren sein: Je höher die Klassenstufe ist, desto häufiger wird im Fach Mathematik während der Klassenarbeiten die Uhr ticken. Umso mehr gilt das noch für das schriftliche Mathe-Abitur. Hat man daher gerade in der Oberstufe noch irgendwelche Rechenprobleme bei bestimmten Rechenoperationen, dann werden nicht nur die Klassenarbeiten in Mathematik von der Note her mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit alles andere als gut ausfallen – sondern auch das zu absolvierende schriftliche Mathe-Abitur.

 

2. Die Rechenoperationen bei den Grundrechenarten

Die elementarsten Rechenoperationen treten bei den Grundrechenarten, der Addition, Subtraktion, Multiplikation und der Division, auf. Hierbei bezeichnet man die Rechenoperation bei der Addition als ein Addieren, bei der Subtraktion als ein Subtrahieren, bei der Multiplikation als ein Multiplizieren und die Rechenoperation bei der Division als ein Dividieren.

 

Das Addieren: Beim Addieren/einem Zusammenzählen werden mindestens zwei Zahlen zusammengezählt/addiert. Das hierbei verwendete Rechenzeichen/Operarator(zeichen) ist das Pluszeichen/„+“. Die einzelnen mathematischen Zahlen/Operanden werden beim Addieren jeweils als Summanden bezeichnet und das Ergebnis als Summe. Es gilt daher beim Addieren folgende allgemeine Mathematik-Rechenoperation.

Summand + Summand = Summe

Beispiele:

1. 3 + 7 = 10

2. 12 + 34 = 46

3. 400 + 2 = 402

4. 7040051 + 778 = 7040829

Um das Addieren als Rechenoperation bei der Addition korrekt rechnerisch durchzuführen, muss man natürlich noch die hierbei auftretenden Rechengesetze/Rechenregeln beherrschen.

 

Das Subtrahieren: Beim Subtrahieren/einem Abziehen wird mindestens eine Zahl von einer anderen abgezogen/subtrahiert. Das hierbei verwendete Rechenzeichen/Operator(zeichen) ist das Minuszeichen/„„. Die mathematischen Zahlen/Operanden werden bei beim Subtrahieren unterschieden, und zwar in Minuend und Subtrahend (der Minuend steht hierbei immer vor dem Subtahend), und das Ergebnis wird als Differenz bezeichnet. Es gilt daher beim Subtrahieren diese allgemeine Mathematik-Rechenoperation.

Minuend Subtrahend = Differenz

Beispiele:

1. 8 – 5 = 3

2. 25 – 14 = 11

3. 2025 – 493 = 1532

4. 5030678 – 9856 = 5020822

Damit man das Subtrahieren als Rechenoperation bei der Subtraktion auch korrekt rechnerisch umsetzten kann, muss man natürlich ebenso die hier geltenden Rechengesetze/Rechenregeln können.

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Die umgekehrte Rechenoperation zum Addieren/zum Zusammenzählen stellt das Subtrahieren/das Abziehen dar.

 

Das Multiplizieren: Beim Multiplizieren/einem Malnehmen werden mindestens zwei Zahlen miteinander malgenommen/multipliziert. Das hierbei verwendete Rechenzeichen/Operator(zeichen) ist das Multiplikationszeichen/·„. Die mathematischen Zahlen/Operanden werden beim Multiplizieren jeweils als Faktor und das Ergebnis als Produkt bezeichnet. Es gilt daher beim Multiplizieren folgende allgemeine Rechenoperation.

Faktor · Faktor = Produkt

Beispiele:

1. 3 · 4 = 12

2. 18 · 12 = 216

3. 3511 · 432 = 1516752

4. 6693467 · 3406 = 22797948602

Zum korrekten rechnerischen Umsetzen des Multiplizierens als Rechenoperation bei der Multiplikation ist natürlich ebenfalls ein Beherrschen der Rechengesetze/Rechenregeln dieser Grundrechenart vonnöten.

 

Das Dividieren: Beim Dividieren/einem Teilen wird mindestens eine Zahl durch eine andere geteilt/dividiert. Das hierbei verwendete Rechenzeichen/Operator(zeichen) ist das Divisionszeichen/:„. Die mathematischen Zahlen/Operanden werden beim Dividieren unterschieden, und zwar in Dividend und Divisor (der Dividend steht hierbei immer vor dem Divisor) , und das Ergebnis wird als Quotient bezeichnet. Es gilt daher beim Dividieren diese allgemeine Rechenoperation.

Dividend : Divisor = Quotient

Beispiele:

1. 9 : 3 = 3

2. 75 : 15 = 5

3. 978 : 2 = 489

4. 5978808 : 36 = 166078

Damit das Dividieren als Rechenoperation bei der Division fehlerfrei angewandt werden kann, muss man hier ebenfalls natürlich die Rechengesetze/Rechenregeln dieser Grundrechenart können.

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Die umgekehrte Rechenoperation zum Multiplizieren/zum Malnehmen ist das Dividieren/das Teilen

 

2.1 Die Rechenoperationen beim Bruchrechnen

Jeder Bruch kann auf eine Division zurückgeführt werden, da jeder Bruch nichts anderes als eine Division darstellt.

Beispiele Zurückführen von Brüchen auf die Division:

1. {\frac{1}{4} = 1 : 4

2. {\frac{9}{13} = 9 : 13

3. {\frac{5}{907} = 5 : 907

4. {\frac{30010}{667859} = 30010 : 667859

Das Bruchrechnen basiert auf den Grundrechenarten. Daher treten die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division bei Brüchen wieder auf und deren Rechenoperationen. Demzufolge gibt es Brüche, deren Summe man berechnen muss, deren Differenz, deren Produkt und deren Quotient. Deshalb gilt für das Bruchrechnen, dass die Rechengesetze/Rechenregeln der Grundrechenarten beherrscht werden müssen und zudem, dass natürlich die dieser Rechenart zugrunde liegenden Rechengesetze/Rechenregeln korrekt angewandt werden müssen.

Beispiele Addieren bei Brüchen:

1. {\frac{1}{5} + {\frac{2}{5} = {\frac{3}{5}

2. {\frac{5}{12} + {\frac{3}{7} = {\frac{71}{84}

3. {\frac{3}{205} + {\frac{12}{19} = {\frac{2517}{3895}

4. {\frac{141}{5075} + {\frac{507}{4960} = {\frac{654477}{5034400}

 

Beispiele Subtrahieren bei Brüchen:

1. {\frac{3}{7} {\frac{2}{7} = {\frac{1}{7}

2. {\frac{22}{23} {\frac{8}{9} = {\frac{14}{207}

3. {\frac{7}{402} {\frac{3}{1115} = {\frac{6599}{448230}

4. {\frac{151}{4738} {\frac{121}{68905} = {\frac{9831357}{326471890}

 

Beispiele Multiplizieren von Brüchen:

1. {\frac{2}{5} · {\frac{3}{7} = {\frac{6}{35}

2. {\frac{7}{12} · {\frac{19}{25} = {\frac{133}{300}

3. {\frac{305}{2007} · {\frac{33}{35} = {\frac{671}{4683}

4. {\frac{907}{3008} · {\frac{5534}{12877} = {\frac{2509669}{19367008}

 

Beispiele Dividieren von Brüchen:

1. {\frac{3}{7} : {\frac{3}{5} = {\frac{5}{7}

2. {\frac{11}{29} : {\frac{5}{12} = {\frac{132}{145}

3. {\frac{10}{411} : {\frac{554}{679} = {\frac{3395}{113847}

4. {\frac{123}{3217} : {\frac{7004}{9001} = {\frac{1107123}{22531868}

 

2.2 Die Rechenoperationen beim Dezimalrechnen

Nahezu jede Dezimalzahl (bis auf nicht-abbrechende Dezimalzahlen, die nicht periodisch sind). können ohne Weiteres als Bruch dargestellt werden und somit wieder auf die Division zurückgeführt werden.

 

Beispiele Zurückführen von Dezimalzahlen auf Brüche und die Division:

1. 0,2 = {\frac{2}{10} = 2 : 10

2. 0,347 = {\frac{347}{1000} = 347 : 1000

3. 45,87539 = {\frac{4587539}{100000} = 458753 : 100000

4. 876,9659007 = {\frac{8769659007}{10000000} = 8769659007 : 10000000

Das Gleiche, was für das Bruchrechnen gilt, gilt ebenso für das Dezimalrechnen. Auch das Dezimalrechnen basiert auf den Grundrechenarten. Daher kommen auch hier die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division wieder vor sowie deren Rechenoperationen. Folglich treten Dezimalzahlen auf, deren Summe man bilden muss, deren Differenz, deren Produkt und deren Quotient. Deshalb gilt auch beim Dezimalrechnen, dass wiederum die Rechengesetze/Rechenregeln der Grundrechenarten abgerufen werden können müssen und natürlich außerdem die dieser Rechenart zugrunde liegenden Rechenregeln beachtet werden müssen.

 

Beispiele Addieren bei Dezimalzahlen:

1. 3,4 + 5,3 = 8,7

2. 12,9 + 53,8 = 66,7

3. 443,72 + 867,88 = 1311,6

4. 956,75 + 84555,845 = 85512,595

 

Beispiele Subtrahieren bei Dezimalzahlen:

1. 7,9 – 4,5 = 3,4

2. 15,81 – 2,2 = 13,61

3. 4078,74 – 975,65 = 3103,09

4. 685942,5 – 65,5647 = 685876,9353

 

Beispiele Multiplizieren bei Dezimalzahlen:

1. 8,5 · 7,3 = 62,05

2. 12,61 · 4,1 = 51,701

3. 657,43 · 73,82 = 48531,4826

4. 17945,21 · 74562,645 = 1338042322,68045


Beispiele Dividieren bei Dezimalzahlen:

1. 4,6 : 2,5 = 1,84

2. 78,65 : 1,25 = 62,92

3. 876,06 : 12,5 = 70,0848

4. 1456,44 : 10,6 = 137,4

 

2.3 Die Rechenoperationen beim Prozentrechnen

Jede Prozentangabe lässt sich als Bruch darstellen und kann somit auf die Division zurückgeführt werden.

 

Beispiele Zurückführen von Prozentangaben auf Brüche und die Division

1. 5 % = {\frac{5}{100} = 5 : 100

2. 12,76 % = {\frac{1276}{10000} = 1276 : 10000

3. 67,987 % = {\frac{67987}{100000} = 67987 : 100000

4. 8765,87 % = {\frac{876587}{10000} = 876587 : 10000

Da bei der Prozentrechnung immer Proportionalitätsverhältnisse vorliegen, bei der der gesuchte Wert jeweils mittels eines Dreisatzes bestimmt werden kann, lässt sich die Prozentrechnung auf die Multiplikation und Division zurückführen. Denn diese beiden Grundrechenarten müssen beim Dreisatz stets angewandt werden. Daher treten hier als Rechenoperationen das Multiplizieren und das Dividieren auf.

 

2.4 Die Rechenoperationen beim Zinsrechnen

Die Zinsrechnung ist ein Teilgebiet der Prozentrechnung. Daher kommen auch hier stets Proportionalitätsverhältnisse vor, bei denen jeweils der gesuchte Wert mit dem Dreisatz bestimmt werden kann. Da der Dreisatz auf die Multiplikation und die Division zurückgeführt werden kann, basiert die Zinsrechnung ebenso auf diesen beiden Grundrechenarten. Deshalb treten auch hier wiederum als Rechenoperationen das Multiplizieren und das Dividieren auf.

 

3. Die Rechenoperationen beim Potenzieren

Die nächst höhere Rechenoperation, die nach den Grundrechenarten folgt, ist das Potenzieren. Eine Potenz kann hierbei auf eine spezielle Multiplikation zurückgeführt werden, und zwar auf diejenige, bei der die Faktoren jeweils gleich sind. Daher stellt eine Potenz nur eine verkürzte Schreibweise/Darstellung dieser besonderen Multiplikation dar. Eine Potenz selbst besteht hierbei aus einer Basis/„a“und einem Exponenten/„n„. Folgende allgemeine Mathematik-Rechenoperation liegt deshalb dem Potenzieren zugrunde.

a · a · a · a · a · a · ……… · a = an

n-Faktoren von a ergeben an

 

Beispiele:

1. 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 5{^{9}}

2. 27 · 27 · 27 · 27 · 27 · 27 · 27 = 27{^{7}}

3. 8003 · 8003 · 8003 · 8003 · 8003 = 8003{^{5}}

4 {\frac{3}{7} · {\frac{3}{7} · {\frac{3}{7} · {\frac{3}{7} = ({\frac{3}{7}){^{4}}

5 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 = 7,32{^{8}}

Liegt eine Potenz vor, so gibt man in der Sprache der Mathematik die Potenz mit „a“ hoch „n“ wieder.

Das Hohelied auf das zweithöchste Gut des Menschen: der Freiheit! Einfach nur wunderschön!!!

 

Beispiele:

1. 34 heißt in Mathe richtig wiedergegeben 3 hoch 4.

2. 125 heißt in der Mathematik korrekt 12 hoch 5.

 

4. Die Rechenoperationen beim Wurzelziehen/Radizieren

Auf gleicher Ebene zum Potenzieren steht das Wurzelziehen/Radizieren. Denn eine Wurzel kann nahezu immer auf eine Potenz zurückgeführt werden, da das Wurzelziehen/Radizieren die umgekehrte Rechenoperation zum Potenzieren ist. Die Wurzel selbst wird mit folgendem Rechenzeichen/Operatorzeichen wiedergegeben: \sqrt. Eine Wurzel besteht hierbei jeweils aus einem Radikanden/„a“und einem Wurzeleponenten/ „n„. Das Zurückführen einer Wurzel auf eine Potenz zeigt sich in deren Beziehungsverhältnis.

\sqrt[n]{a} = x denn: xn = a

die n-te-Wurzel aus a = x denn: x hoch n = a

 

Beispiele:

1. \sqrt{25} = 5 denn: 52 = 2

2. \sqrt[4]{4096} = 8 denn: 84 = 4096

3. \sqrt[15]{32768} = 2 denn: 215 = 32768

4. {\sqrt{\frac{49}{100} = {\frac{7}{10} denn: ({\frac{7}{10})2 = {\frac{49}{100}

5. \sqrt{6,25} = 2,5 denn: 2,52 = 6,25

 

5. Die Rechenoperationen beim Logarithmieren

Eine weitere in Mathe zu lernende Rechenoperation stellt das Logarithmieren dar. Hierbei wird das Logarithmieren immer angewandt, wenn bei einer Potenz die Variable im Exponenten ermittelt werden soll. Der Logarithmus selbst wird mit folgendem Rechenzeichen/Operatorzeichen wiedergegeben: log. Ein Logarithmus besteht hierbei aus einer Basis/„b“ und einem Numerus/„y“. Zwischen einem Logarithmus und einer Potenz besteht nun folgendes Beziehungsverhältnis:

logby = x denn: bx = y

 

Beispiele:

log3 81 = 4 denn 34 = 81

log8 64 = 2 denn 82 = 64

log3 2187 = 7 denn 37= 2187

log_{\frac{1}{4} 2 = –{\frac{1}{2} denn ({\frac{1}{4})^-^{\frac{1}{2}} = 2

log_0_,_4 2,5 = –1 denn 0,4^-^1 = 2,5

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Terme

Unbekannte Anzahl an Gummibärchen © günther gumhold PIXELIO www.pixelio.de

1. Funktion und Form eines Terms

Um alltägliche Phänomene oder etwas kompliziertere Gegebenheiten in der Sprache der Mathematik wiederzugeben, reichen hierfür oftmals die normalen Grundrechenarten inklusive Dezimal- und Bruchrechnen alleine nicht mehr aus. Ist nämlich bei einem alltäglichen Phänomen oder einer etwas schwierigeren Gegebenheit ein bestimmter Aspekt nicht zahlenmäßig genau erfassbar, dann ist dieser logischerweise unbekannt beziehungsweise – in der Sprache der Mathematik gesprochen – variabel. Da nun hier die bekannten einfachen Rechenoperationen an ihre Grenzen stoßen, müssen diese „phänomenbezogen“ oder „gegebenheitsbezogen“ sinnvoll erweitert werden. Dies macht man in Mathe durch einen sogenannten Term. Denn ein Term ist in der Regel nichts anderes als ein komplexeres Mathematik-Gebilde, das auf den Grundrechenarten inklusive Dezimal- und Bruchrechnen „fußt“. Deshalb kommen auch alle Grundrechenarten („+“, „–“, „·“ und „:“) sowie Dezimal- und Bruchrechnungen bei einem Term weiter vor – aber normalerweise nicht nur. Schließlich muss ja auch ein Term gerade den Aspekt wiedergeben, der bei einem alltäglichen Phänomen oder einer etwas komplizierteren Gegebenheit „unbekannt“ ist beziehungsweise „variabel“. Daher besteht ein Term normalerweise auch aus mindestens einer Variablen. Das war’s aber fast schon an Neuem.

Die Variable x © Claudia Hautumm PIXELIO www.pixelio.de

Angemerkt muss nur noch werden, dass bei einem Term neben einer oder mehreren Variablen, den Grundrechenzeichen natürlich auch Zahlen und ebenso Klammern auftreten können, ebenso Hochzahlen (Potenzen), Dezimalzahlen und Brüche – was jedoch nichts Neues ist. Vor allem Zahlen, aber ebenfalls Klammern sind ja auch bekanntermaßen ein fester Bestandteil bei allen Grundrechenarten. Das Gleiche gilt für Hochzahlen (Potenzen), da diese nur eine andere Schreibweise innerhalb einer bestimmten Multiplikation darstellen. Darüber hinaus sind Dezimalzahlen und Brüche ebenso nichts Neues, da diese ebenso sich aus den Grundrechenarten mittels bestimmter Rechenoperationen ergeben. Des Weiteren können aber bei einem Term auch Zahlen und Rechenzeichen vorkommen, die einem eventuell noch nicht so geläufig sind, wie beispielsweise negative Zahlen, Betragsstriche und Wurzeln.

Als Letztes muss noch erwähnt werden, dass bei einem Term nicht zwingend eine Variable vorkommen muss, da gewissermaßen eine Variable immer bereits mit einem Wert besetzt sein kann und dann nur noch der reine Wert als Term dasteht (Beispiel: Ist bei 3x „x“ bekannt und der Wert x = 1 so ist 3x immer auch gleich 3, weswegen 3 auch immer schon ein Term ist. Daraus ergibt sich, dass jede Zahl immer auch schon ein Term ist, da ja theoretisch bei jeder Zahl immer eine Variable dabeistehen kann, die beispielsweise den Wert 1 hat).

Aus dem bisher Gesagten ergibt sich folgende Definition eines Terms:

Ein Term ist in der Mathematik ein „Gebilde“, das normalerweise aus Variablen, Rechenzeichen und Zahlen besteht und bei dem teilweise auch noch Klammern vorkommen können sowie vielerlei andere mathematische Ausdrücke.

Ein Term beinhaltet immer einen Rechenweg. Indem man eine Zahl in die Variablen des Terms einsetzt, erhält man erneut einen Term. Die Zahl, die sich als das Endergebnis des Rechenweges schließlich ergibt, wird als der Wert des Terms bezeichnet.

Bei der Berechnung eines Terms gibt es einzuhaltende Vorrangregeln.

1. Gibt es keine bestimmte Regel für den Term, so rechnet man immer von links nach rechts.

2. Tritt eine Klammer auf, so muss das Innere der Klammer als Erstes berechnet werden.

3. Ist keine Klammer vorhanden, gilt Punktrechnung vor Strichrechnung sowie Potenzrechnung vor Punktrechung und Strichrechnung.

Die Strichrechnung umfasst die Addition und die Subtraktion, die Punktrechnung die Multiplikation und Division.

 

Beispiele für Terme:

1)    a;   b;   c;   x;   y (ein Term, der nur aus einer Variablen besteht)

2)    2;   4;   19;   55;   75;   450 (ein Term, der nur aus einer Zahl besteht)

3)    4a + 4b;   7a – 12 c;   9d · 14e;   7a : 9b beziehungsweise {\frac{7\mathrm a}{9\mathrm b} (ein Term, der aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen besteht)

4)    7,3c + 4,3 b;   {\frac{3\mathrm d}{4\mathrm e};   (4a + 3);   –12 – 9b;   (7 + 3 a)²;   |5x|;   \sqrt{5\mathrm x} (verschienenartige andere Terme)

 

1.1 Typ eines Terms in Abhängigkeit zur Rechenoperation

Die Rechenoperation, die bei einem Term immer zuletzt durchgeführt werden muss, bestimmt den Typ des Terms (wenn man in die Variable eine Zahl einsetzt und den Term-Wert berechnet).

a)    6 · (5x + 4)

Hier stellt der Term ein Produkt dar, da man als letzte Rechenoperation ein Multiplizieren durchführen muss.

b)    6 · 5x + 4

Hier verkörpert der Term eine Summe, da die letzte Rechenoperation ein Addieren ist.

c)    25 : (x – 4)

Hier ist der Term ein Quotient. Als Letztes wendet man als Rechenoperation nämlich hier ein Dividieren an.

d)    25 : x – 2

Dieser Term ist eine Differenz. Die letzte Rechenoperation ist nämlich hier ein Subtrahieren.

e)     (7 · x + 7)²

Bei diesem Term handelt es sich um eine Potenz. Die letzte Rechenoperation stellt hier ein Potenzieren dar.

f)    ( 7 · x + 7) : 5

Hier liegt wiederum ein Quotient vor, da die letzte Rechenoperation ein Dividieren ist.

 

1.2 Eine algebraische Summe

Der Typ des Terms a + b – c ist strenggenommen eine Differenz, da nach der Vorrangregel von links nach rechts gerechnet werden muss und die letzte Rechenoperation ein Subtrahieren ist. Man kann diesen Term aber auch in eine Summe umwandeln:

a + b – c = a + b + (–c)

Einen Term wie a + b – c wird in der Mathematik daher auch als eine algebraische Summe bezeichnet.

Jeder Typ eines Terms, der entweder eine Summe oder eine Differenz ist, ist immer auch eine algebraische Summe.

 

Beispiele für algebraische Summen:

a)    7x – 8y + 9

b)    8 · a + 9 · b² – 3 · c

c)    5 · y – 6 · z – 9 ·

d)    9 · a + 7 · x – 6 · y – 7 · b

e)    x – y

f)    a + b

 

2. Term-Bildung bei Textaufgaben/Sachaufgaben

Häufig kommt es im Fach Mathe auch vor, dass ein Term erst aufgestellt werden muss. Ist dies der Fall, so muss man alle in der Aufgabe angegebenen relevanten Worte korrekt in die Sprache der Mathematik „umwandeln“ oder die bei einer Aufgabe angegebene Darstellung.

 

Beispiele für Terme, die anhand einer Textaufgabe/Sachaufgabe aufgestellt werden müssen:

a)  Zum Siebenfachen einer unbekannten Zahl soll 9 addiert werden. Der gesuchte Term ist hier: 7x + 9 (die relevanten Worte sind hier „Siebenfachen“, „unbekannte Zahl“, „9“, „addiert“; hierbei muss man zudem wissen, dass das Wort „fach“ in der Sprache der Mathematik ein „Mal“ bedeutet, und „unbekannte Zahl“ ein anderer Ausdruck für die Variable ist, natürlich muss man außerdem innerhalb des Satzes erkennen, auf welche Weise alle relevanten Wörter sich aufeinander beziehen).

b)  Das Dreifache von x wird von 37 subtrahiert. Der gesuchte Term ist hier: 37 – 3x (die relevanten Worte sind hier: „Dreifache“, „x“, „37“, „subtrahiert“).

c)  Multipliziere eine Zahl mit der um 3 größeren Zahl. Der gesuchte Term ist hier: x · (x + 3) (die relevanten Worte sind hier: „Multipliziere“, „Zahl“, „3 größeren Zahl“, hierbei muss man zudem wissen, dass „Zahl“ hier ein anderer Ausdruck für die Variable ist und dass „x + 3“ eine Einheit bildet und daher in Klammern stehen muss).

d)  Dividiere das Sechsfache einer Zahl durch 19. Der Term ist hier: 19 : 6x (die relevanten Worte sind hier: „Dividiere“, „Sechsfache“, „Zahl“, „19“).

 

2.1 Termaufstellung anhand von geometrischen Figuren

Auf dem unteren Bild befinden sich verschiedene geometrische Flächen, zu denen jeweils ein bestimmter Term aufgestellt werden soll.

 

2.11 Terme bei Darstellungen

Kette aus Draht

Kette aus Draht

Das Bild soll einen Weihnachtsschmuck aus Draht darstellen. Wie lautet der Term für den Weihnachtsschmuck?

Der Term lautet:

y + y + y + x + x + x + x + 20;

3y + 4x +20.

 

Wie lang ist die Drahtlänge?

a)   x = 5 und y = 6;

b)   x = 4,8 und y = 5,4 cm (die Maße sind in cm).

 

a)    x = 5 und y = 6:   3 · 6 + 4 · 5 + 20 = 58

Der Weihnachtsschmuck ist 58 cm lang.

 

b)   x = 4,8 cm, y = 5,4 cm:   3 · 5,4 + 4 · 4,8 + 20 = 55,4

Der Weihnachtsschmuck ist 55,4 cm lang.

 

 

Konstruktion aus Draht

Konstruktion aus Draht

Das Bild soll eine Draht-Konstruktion darstellen. Der untere Teil stellt einen Würfel dar. Darauf befinden sich gleichlange Befestigungen. Zum Schluss ist ein gerades Stück Draht angebracht.  Wie lautet der Term für die Draht-Konstruktion?

 

Wie lang ist die Drahtlänge?

a)   x = 5,4 cm; y = 8,6 cm; z = 12,4 cm;

b)   x = 7,2 cm; y = 10,6 cm und z = 20,5 cm.

 

Der Term zu Berechnung der Drahtlänge ist:

x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + y + y + y + y + z;

12x + 4y + z

 

a) Bei x = 5,4 cm; y = 8,6 cm; z = 12,4 cm ist die Drahtlänge:

12 · 5,4 cm + 4 · 8,6 cm + 12,4 cm = 111,6 cm

Die Drahtkonstruktion ist 111,6 cm lang.

 

b) Bei x = 7,2 cm; y = 10,6 cm und z = 20,5 cm ist die Drahtlänge:

12 · 7,2 cm + 4 · 10,6 cm + 20,5 cm = 149,3 cm

Die Drahtkonstruktion ist 149,3 cm lang.

 

2.12 Terme bei Vielecken

Verschiedene geometrische Flächen

Verschiedene geometrische Flächen

a)  Gib einen Term für das Dreieck an, der den Umfang des Dreiecks wiedergibt. Der gesuchte Term lautet hier: a + b + c (zur Ermittlung des Umfangs bei einem Dreieck müssen alle Seiten des Dreiecks addiert werden).

b)  Gib einen Term an, der die Fläche des Rechtecks wiedergibt: Der gesuchte Term ist hier: e · f (die Fläche eines Rechtecks ist immer das Produkt seiner beiden unterschiedlichen Seiten).

c)  Gib einen Term an, der die Fläche des Parallelogramms wiedergibt. Der gesuchte Term lauter hier: g · h (der Fläche eine Parallelogramms ist immer das Produkt aus einer Grundseite zu einer hierzu im rechten Winkel stehenden Höhe).

d)  Gib einen Term an, der den Umfang des Trapezes wiedergibt. Der gesuchte Term ist hier: k + l + m + n (zur Bestimmung des Umfangs bei einem Viereck müssen alle Seiten des Vierecks addiert werden).

 

3. Wert-Berechnung bei einem Term

Ist bei einem Term für jede vorkommende Variable eine Zahl gegeben, so kann man jeweils den Wert des Terms berechnen.

 

Beispiele:

a)  Folgender Term ist gegeben: x + 7.

Darüber hinaus sind die Zahlen x = 0;   x = 1;   x = 12;   x = 44;   x = –5;   x = 1,7;   x = –5,3;   x = {\frac{1}{2};   x = –{\frac{4}{7} gegeben.

Daraus ergeben sich diese Werte für den Term:

für x = 0:   0 + 7;   7;

für x = 1:   1 + 7;    8;

für x = 12:   12 + 7;   19;

für x = 44:   44 + 7;   51;

für x = – 5:   –5 + 7;    2;

für x = 1,7:   1,7 + 7;   8,7;

für x = –5,3:   –5,3 + 7;   1,7;

für x = {\frac{1}{2}:   {\frac{1}{2} + 7;   7{\frac{1}{2};

für x = – {\frac{4}{7}:   – {\frac{4}{7} + {\frac{49}{7};   {\frac{45}{7};   6{\frac{3}{7}

 

b)  Folgender Term ist gegeben: (x – 7) · (x + 7).

Darüber hinaus sind die Zahlen x = 0;   x = 1;   x = 12;   x = 44;   x = –5;   x = 1,7;   x = –5,3;   x = {\frac{1}{2};   x = –{\frac{4}{7} gegeben.

Hieraus ergeben sich diese Werte für den Term:

für x = 0:   (0 – 7) · (0 + 7);   –7 · 7;   –49;

für x = 1:   (1 – 7) · (1 + 7);    –6 · 8;   –48;

für x = 12:   (12 – 7) · (12 + 7);    5 · 19;   95;

für x = 44:   (44 – 7) · (44 + 7);   37 · 51;   1887;

für x = –5:   (–5 – 7) · (5 + 7);   –12 · 12;   –144;

für x = 1,7:   (1,7 – 7) · (1,7 + 7);   –5,3 · 8,7;   –46,11;

für x = –5,3:   (–5,3 – 7) · (–5,3 + 7);   –12,3 · 1,7;   –20,91;

für x = {\frac{1}{2}:   ( {\frac{1}{2} – 7) · ( {\frac{1}{2} + 7);   ( {\frac{1}{2}{\frac{28}{2}) · ( {\frac{1}{2} + {\frac{28}{2});   –{\frac{27}{2} · {\frac{29}{2};   –{\frac{783}{4};   –195{\frac{3}{4};

für x = –{\frac{4}{7}:   (–{\frac{4}{7} – 7) · (– {\frac{4}{7} + 7);   (–{\frac{4}{7}{\frac{49}{7}) · (–{\frac{4}{7} + {\frac{49}{7});   (–{\frac{56}{7}) · ({\frac{45}{7});   –{\frac{2520}{49};   –51{\frac{21}{49}

 

Der „all time favourite“-Sesamstraßen-Song

 

3.1 Wertgleichheit bei Termen

Zwei Terme können in Mathe auch wertgleich sein. Liefern zwei unterschiedlich aussehende Terme beim Einsetzen jedweder Zahlen das gleiche Ergebnis/die gleichen Werte, so liegt zwischen beiden Termen eine Wertgleichheit vor. Diese Wertgleichheit lässt sich dann immer auch algebraisch beweisen, indem ein Term so weit umgeformt wird, bis er die identische Form des anderen hat. Wertgleiche Terme können daher auch immer mittels eines Gleichheitszeichens miteinander verbunden werden.

Mittels einer sogenannten Termunformung kann ein Term verändert werden. Ein derart umgeformter Term stellt in der Regel eine Vereinfachung zum ursprünglichen Term dar. Der ursprüngliche Term und der umgeformte Term sind wertgleich.

 

Beispiele für Wertgleichheit zweier Terme

Es sind die Terme „3x“ und „5x + 2x – 4x“ gegeben. Für x = 0;   für x = 1;   für x = 2;   für x = –1 sollen die Werte der beiden Terme ermittelt werden.

für x = 0:         3 · 0;   0;

5 · 0 + 2 · 0 – 4 · 0;   0

für x = 1:        3 · 1;   3;

5 · 1 + 2 · 1 – 4 · 1;   5 + 2 – 4;   3

für x = 2:        3 · 2;   6;

5 · 2 + 2 · 2 – 4 · 2;   10 + 4 – 8;   6

für x = –1:      3 · (–1);   –3;

5 · (–1) + 2 · (–1) – 4 · (–1);   –5 – 2 + 4;   –3

Beide Terme sind wertgleich. Es gilt daher: 3x = 5x + 2x – 4x.

Durch eine Termumformung kann der Term vereinfacht werden. Denn „3x“ stellt eine Vereinfachung von „5x + 2x – 4x“ dar.

 

Es sind die Terme „x² + 6x + 9“ und „(x + 3)²“ gegeben. Für x = 0;   x = 1;   x = 2;   x = –1 sollen die Werte der beiden Terme berechnet werden.

für x = 0:        (0)² + 6 · 0 + 9;   0 + 0 + 9;   9;

(0 + 3)²;   (3)²;   9

für x = 1:        (1)² + 6 · 1 + 9;   1 + 6 + 9;   16;

(1 + 3)²;   (4)²;   16

für x = 2:        (2)² + 6 · 2 + 9;   4 + 12 + 9;   25;

(2 + 3)²;   (5)²;   25

für x = –1:      (–1)² + 6 · (–1) + 9;   1 – 6 + 9;   4;

(–1 + 3)²;   (2)²;   4

Der Term „x² + 6x + 9“ stellt die 1. Binomische Formel in der aufgelösten Form dar. Der Term „(x + 3)²“ ist die 1. Binomische Formel in der unaufgelösten Form.

 

Beispiel für Nichtwertgleichheit zweier Terme

Es sind die Terme „4x + 4“ und „4 · (x + 4)“ gegeben. Für x = 0;   x = 1;   x = 2;   x = –1 sollen die Werte der beiden Terme berechnet werden.

für x = 0:         4 · 0 + 4;   0 + 4;   4;

4 · (0 + 4);   4 · 4;   16

für x = 1:         4 · 1 + 4;   4 + 4;   8;

4 · (1 + 4);   4 · 5;   20

für x = 2:         4 · 2 + 4;   8 + 4;   12;

4 · (2 + 4);   4 · 6;   24

für x = –1:      4 · (–1) + 4;   –4 + 4;   0;

4 · (–1 + 4);   4 · 3;   12

Unterscheiden sich die Term-Werte bereits bei der Einsetzung einer Zahl, so liegt keine Wertgleichheit vor. Daher sind die beiden Terme „4x + 4“ und „4 · (x + 4)“ nicht wertgleich.

 

3.2 Weglassen von Malpunkten

Bei einem Term, der eindeutige Rechenzeichen vorweist und bei dem somit keine Missverständnisse hinsichtlich des Termaufbaus aufkommen, können die Malpunkte weggelassen werden.

Es gilt daher: 1 · x = x.

 

Beispiele:

5x = 5 · x

xy = x · y

4(x + y) = 4 · (x + y)

Aber es gilt nicht: 27 anstatt 2 · 7. Auch nicht 5{\frac{1}{4} anstatt 5 · {\frac{1}{4}.

 

4. Zusammenfassen von gleichartigen Einzeltermen bei einem Term

Handelt es sich bei einem Term um eine algebraische Summe, das heißt, dass der Term gewissermaßen nur aus Plus- und Minuszeichen besteht, so können hierbei gleichartige Variable zusammengefasst werden, ebenso nur vorkommende Zahlen.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Eine algebraische Summe ist beispielsweise x – 3, da man immer auch schreiben kann: x + (–3).

 

Eine Variable ist dann immer gleichartig zu anderen Variablen, wenn Folgendes gewährleistet ist

  • Die Variable muss den gleichen Buchstaben vorweisen

und

  • Die Variable muss die gleiche Potenz vorweisen.

Verschiedene auftretende „reine“ Zahlen können immer ohne Einschränkung bei einem Term zusammengefasst werden.

 

Die Terme 7b und 3b weisen einzig einen Unterschied im Koeffizienten (Zahlfaktor) auf. Das Gleiche gilt für 5x² und 6x² sowie 12s²t und 5s²t. Diese Einzelterme sind daher gleichartig.

Hingegen nicht gleichartig sind folgende Einzelterme: 4ab und 3a²b, ebenso nicht 4x und 5y oder 5x²y und 7xy².

Gleichartig ist etwas vollkommen anderes als wertgleich! Die Terme 2ab und 5ab sind gleichartig, da einzig ihre Koeffizienten unterschiedlich sind. Diese Terme sind aber nicht wertgleich. Denn bei a = 3 und b = 2 ergibt sich für 2ab: 2 · 3 · 2 = 12 und für 5ab ergibt sich: 5 · 3 · 2 = 30.

 

Gleichartige Einzelterme addiert oder subtrahiert man auf die Art, dass man deren Koeffizienten addiert oder subtrahiert.

a)   8b + 3b = 11b

b)   9a – a = 8a

c)   –7xy + 2xy = –5xy

d)   0,5x²y + {\frac{1}{4}x²y = 0,75x²y

 

Beispiele:

a)   5x + 12 + 19x + 4 + 11 – 3x – 7 + 36x – 29 + 45 – 7x;

Zur besseren Übersicht sollte man gleichartige Einzelterme zuerst ordnen, da hier das Kommutativgesetz/Vertauschungsgesetz gilt. Dann sieht der Term folgendermaßen aus:

5x + 19x – 3x + 36x – 7x + 12 + 4 + 11 – 7 – 29 + 45;

Jetzt kann man die gleichen Einzelterme zusammenfassen. Daraus ergibt sich folgender End-Term:

50x + 36;

 

b)    y³ + 4y + 29 – 3y + 5y³ – 12 – 5y² + 9 + 14y – 2y² + 12y³ + 3y²;

Eine sinnvolle Ordnung bei Einzeltermen mit Variablen, die eine unterschiedliche Potenz vorweisen, ist eine „hierarchische“. Konkret heißt das, dass die gleichartigen Einzelterme mit der höchsten Potenz über der Variablen am Anfang stehen. Danach kommen die gleichartigen Einzelterme, deren Variable die nächst kleinere Potenz vorweisen und so weiter. Ganz am Schluss kommt schließlich die „reine“ Zahl, über der gewissermaßen die Potenz eins steht. Beherzigt man diese „hierarchische“ Schreibweise von Termen, dann tut man sich generell bei späteren Mathe-Stoffgebieten leichter, in denen Terme auf verschiedenartige Weise wieder vorkommen – beziehungsweise verliert bei diesen nicht so leicht den Überblick.

Der Term sieht dann folgendermaßen aus:

y³ + 5y³ + 12y³ – 5y² – 2y² + 3y² + 4y – 3y + 14y + 29 – 12 + 9;

18y³ – 4y² + 15y + 26.

 

5. Das Auflösen von Klammern bei einem Term

5.1 Plus- und Minusklammer

Tritt bei einem Term eine Klammer auf, so ist immer das Vorzeichen vor der Klammer entscheidend. Bei einem Plus vor der Klammer darf man hierbei sofort die Klammer entfernen und an dem Term ändert sich nichts weiter. Bei einem Minus vor der Klammer sieht das anders aus. Dann liegt nämlich eine sogenannte Minusklammer vor. Und hier gilt: Um die Minusklammer zu entfernen, muss man jedes Rechenzeichen (ein Plus oder ein Minus) in der Klammer umdrehen (aus einem Plus wird ein Minus und aus einem Minus wird ein Plus).

In allgemeiner Form sieht ein Auflösen einer Plusklammer folgendermaßen aus:

a + (b + c) = a + b + c

In einer allgemeinen Form sieht ein Auflösen einer Minusklammer wie folgt aus:

a – (b + c) = a – b – c.

 

Beispiele: das Auflösen einer Plusklammer

1.     (7x + 3) = 7x + 3

2.     (–5 + 9x) = –5 + 9x; geordnet: 9x – 5

3.     3x + 12 + 5y + (7x +19 – 3y) =

3x + 12 + 5y + 7x + 19 – 3y;

3x + 7x + 5y – 3y + 12 + 19;

10x + 2y + 31.

 

Beispiele: das Auflösen einer Minusklammer

1.    –(9x + 3) = –9x – 3

2.    –(– 7 + 3y) = 7 – 3y; geordnet: –3y + 7

3.    –3 – 14x + 3y – (5 + 7y – 12x) =

–3 – 14x + 3y – 5 – 7y + 12x;

–14x + 12x + 3y – 7y – 3 – 5;

–2x – 4y – 8.

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Ist direkt nach einer Minusklammer eine Zahl ohne Vorzeichen, dann ist die Zahl immer Positiv, also –(5);   –(+5);   –5.

 

5.2 Klammern bei einem Produkt

Bildet ein Faktor vor einer Klammer mit einer algebraischen Summe in einer Klammer ein Produkt, so löst man die Klammer auf, indem man jeden Summanden mit dem Faktor „malnimmt“. Diesen Vorgang nennt man auch Ausmultiplizieren und das hierbei zum Tragen kommende mathematische Gesetz das Distributivgesetz/Verteilungsgesetz.

In einer allgemeinen Form sieht das Ausmultiplizieren folgendermaßen aus:

a · (b + c) = a · b + a · c.

 

Beispiele für ein Ausmulitplizieren mit Faktor vor der Klammer einer algebraischen Summe:

1.   7 · (9 + 12x) = 7 · 9 + 7 · 12x;   63 + 84x; geordnet: 84x + 63;

2.   5a · (11b – 3c) = 5a · 11b + 5a · (–3c);   55ab – 15ac.

 

Treffen beim Ausmultiplizieren zwei gleiche Variablen aufeinander, so addieren sich deren Potenzen.

 

Beispiele für das Addieren von Potenzen beim Ausmultiplizieren:

1.   5a · (9a – 5) = 5a · 9a + 5a · (–5);    45a1 + 1 – 25a;   45a² – 25a;

2.   12b² · (–3b³ + 2) = 12b² · (–3b³) + 12b² · 2;   –36b2 + 3 + 24b²;   –36b5 + 24b².

Setzt sich ein Produkt aus mehreren Klammern zusammen, so muss man alle Einzelterme der einen Klammer mit allen Einzeltermen der anderen Klammer „malnehmen“.

In einer allgemeinen Form sieht hier das Ausmultiplizieren und somit das Auflösen der Klammern folgendermaßen aus:

(a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d;    ac + ad + bc + bd.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Mit welchem Einzelterm man beim Ausmultiplizieren anfängt, ist egal, da beim hier angewandten Distributivgesetz/Verteilungsgesetz auch gleichzeitig noch das Kommutativgesetz/Vertauschungsgesetz gilt. Trotzdem ist es ratsam, immer ein gleiches Ausmultiplizieren-Schema anzuwenden. Dadurch ist gewährleistet, dass man zum einen schneller zum Ergebnis gelangt und dass man zum anderen auch nicht eine mögliche „Produktkombination“ vergisst/übersieht. Am besten man verinnerlicht das obige Ausmultiplizieren-Schema, da man es sich denkbar einfach merken kann. Schließlich werden hier Schritt für Schritt von „links nach rechts“ alle möglichen „Produktkombinationen“ erzeugt.

 

Beispiele für das Auflösen von zwei Klammern bei einem Produkt

1.    (3a + 5b) · (7c – 12d) = 3a · 7c + 3a · (–12d) + 5b · 7c + 5b · (–12d);

21ac – 36ad + 35bc – 60bd;

 

2.    (7x + 14y) · (5x² + 19y³) = 7x · 5x² + 7x · 19y³ + 14y · 5x² + 14y · 19y³;

35x³ + 133xy³ + 70yx² + 266y4;

35x³ + 133xy³ + 70x²y + 266y4 (geordnet).

 

6. Das Ausklammern/Faktorisieren bei einer algebraischen Summe

Die Umkehrung des Ausmultiplizierens ist das Ausklammern/Faktorisieren. Das Ausklammern/Faktorisieren kann immer dann bei einer algebraischen Summe angewandt werden, wenn bei allen vorkommenden Einzeltermen ein gemeinsamer Faktor gefunden werden kann. Diese Faktor kann dann nämlich jeweils ausgeklammert werden.

Der gemeinsame Faktor kann eine Zahl, eine Variable oder eine Zahl und eine Variable sein. Der ermittelte Faktor wird dann immer vor eine Klammer gesetzt und die anderen Einzelterme mit dem jeweiligen Vorzeichen in die Klammer.

In einer allgemeinen Form sieht das Ausklammer/Faktorisieren folgendermaßen aus:

ax + ay – az = a · (x + y – z).

 

Beispiele für ein Ausklammern/Faktorisieren

1.   5x + 9x² + 2xy = x · (5 + 9x + 2y)

2.   12a² – 24ab + 36ab³ = 12a · (a – 2b + 3b³)

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Hat man den gemeinsamen Faktor bei einer algebraischen Summe gefunden, so teilt man diesen „gedanklich“ duch alle Einzelterme. Das, was dann beim „Divisionsergebnis“ übrig bleibt, wird dann immer in die Klammer geschrieben.

 

6.1 Das Ausklammern/Faktorisieren bei den binomischen Formeln

Als algebraische Summe kann auch eine aufgelöste binomische Formel vorliegen. Diese kann natürlich auch wieder in die unaufgelöste Form gebracht werden, jene algebraische Umformung wird auch als Ausklammern/Faktorisieren bezeichnet.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zur näheren Erläuterung der binomischen Formeln in der unaufgelösten und aufgelösten Form siehe hierzu auch unter dem Reiter Binomische Formeln die dort gemachten Ausführungen an.

 

6.11 Ausklammern/Faktorisieren der 1. Binomische Formel

Um die 1. Binomische Formel ausklammern/faktorisieren zu können, muss man sich diese binomische Formel in der aufgelösten und in der unaufgelösten Form auswendig ins Gedächtnis rufen können.

a² + 2ab + b² = (a + b) · (a + b);   (a + b)²    (1. Binomische Formel)

Daraufhin kann man mit einem geschulten Auge bei bestimmten algebraischen Summen erkennen, dass es sich hier um die 1. Binomische Formel handelt.

 

Beispiele:

16x² + 80xy + 100y²

Hier muss man erkennen, dass der erste Term das „a²“ der 1. Binomischen Formel ist, denn 4x · 4x = 16x²; ebenso, dass der letzte Term das „b²“ der 1. Binomischen Formel ist, denn 10y · 10y = 100y². Hat man das erkannt, so kann man auch den Mittelterm 80xy auf die 1. Binomische Formel hin zurückführen; denn dieser lautet ja 2ab; 2 · 4x · 10y = 80xy.

Daher sieht hier das korrekte Ausklammern/Faktorisieren folgendermaßen aus:

16x² + 80xy + 100y² = (4x + 10y) · (4x + 10y);   (4x + 10y)².

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Um die 1. Binomische Formel in der unaufgelösten Form zu erkennen, muss man nur sehen, dass zwei Terme häufig Variablen mit einer Quadratzahl vorweisen sowie zwei Variablen die Potenz „hoch zwei“/“²“ haben.

 

49r² + 126rs + 81s² = (7r + 9s) · (7r + 9s);   (7r + 9s)².

 

6.12 Ausklammern/Faktorisieren der 2. Binomischen Formel

Für die 2. Binomische Formel gilt für das Ausklammern/Faktorisieren das Gleiche wie bei der 1. Binomischen Formel: Man muss nur erkennen, dass zwei Terme nomalerweise je eine Quadratzahl und die Potenz „hoch zwei“/“²“ vorweisen. Ist nun der dritte Term noch eindeutig auf den Mittelterm der 2. Binomischen Formel zurückführbar, so kann man die 2. Binomische Formel sofort von der unaufgelösten in die aufgelösten Form umformen.

a² – 2ab + b² = (a – b) · (a – b);   (a – b)²    (2. Binomische Formel)

 

Beispiele:

9a² – 48ab + 64b²

Hier muss man erkennen, dass der erste Term das „a²“ der 2. Binomischen Formel ist, denn 3a · 3a = 9a², ebenso, dass der letzte Term das „b²“ der 2. Binomischen Formel ist, denn 8b · 8b = 64b². Hat man diese Erkenntnisleistung vollbracht, so kann man auch den Mittelterm „–48ab“ auf die 2. Binomische Formel hin zurückführen.

Deshalb ist hier das korrekte Ausklammern/Faktorisieren:

9a² – 48ab + 64b² = (3a – 8b) · (3a – 8b);   (3a – 8b)².

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Um zu erkennen, dass die 2. Binomische Formel in der unaufgelösten Form vorliegt, muss man nur sehen, dass häufig zwei Variablen eine Quadratzahl vorweisen und darüber hinaus die Variablen die Potenz „hoch zwei“/“²“ haben.

 

4r² – 28rs + 49s² = (2r – 7s) · (2r – 7s);   (2r – 7s)².

 

6.13 Ausklarmmern/Faktorisieren der 3. Binomischen Formel

Das Ausklammmern/Faktorisieren der 3. Binomischen Formel geht um einiges leichter, als dies bei der 1. und der 2. Binomischen Formel der Fall ist. Der Grund hierfür ist, dass die 3. Binomische Formel in der aufgelösten Form nur aus zwei Termen besteht (da sie keinen Mittelterm vorweist). Natürlich muss man aber auch hier wissen, wie die 3. Binomische Formel in der aufgelösten und unaufgelösten Form aussieht.

a² – b² = (a + b) · (a – b)    (3. Binomische Formel)

 

Beispiele:

x² – y² = (x + y) · (x – y).

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Als entscheidendes Erkennungsmerkmal müssen beide Terme mit einem Minuszeichen als Rechenzeichen miteinander verbunden sein. Darüber hinaus weisen die Terme oftmals Variablen mit der Potenz “hoch zwei”/”²“ auf bzw. bestehen aus Quadratzahlen.

 

64r² – 25s² = (8r + 5s) · (8r – 5s).

 

Diese Seite des Mathematik Nachhilfe Blogs zu Termen kann man hier als PDF downloaden: Mathe-Nachhilfe: Terme.

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Ungleichungen

Siegertreppchen © Ute Pelz PIXELIO www.pixelio.de

1. Grundlegendes zu Ungleichungen

In der Grundschule hat man normalerweise die Bedeutung und die richtige Handhabung des Zeichens „>“/„größer als“ und des Zeichens „<“/„kleiner als“ intensiv gelernt. Daher weiß man, wenn eine Zahl größer als die andere ist, dass man hierfür als Zeichen das „>“ verwendet. Bei den Zahlen 5 und 12 wird man daher sofort in der Sprache der Mathematik ausgedrückt schreiben können: 12 > 5. Ebenso weiß man sofort, wenn eine Zahl kleiner als eine andere Zahl ist, dass man dann das Zeichen „<“ hierfür verwendet. Bei den Zahlen 6 und 9 kann man deshalb sofort mathematisch wiedergeben: 6 < 9.

Das „>“/„größer als“ und das „<“/„kleiner als“ verwendet man daher in Mathe immer, wenn zwei Zahlen, die man miteinander vergleicht, nicht gleich sind. Wären die beiden Zahlen nämlich gleich, so würde man das hierfür in Mathematik gängige Zeichen benutzen, das „=“/„gleich“. Denn unstrittig wird jeder nicht auf den Kopf gefallene Mensch zustimmend nämlich Folgendes mathematisch wiedergeben, wenn man die Zahl 7 mit der Zahl 7 vergleicht: 7 = 7.

In der Mathematik kann man nun das „>“/„größer als“ und das „<“/„kleiner als“ genauso wie das „=“/„gleich“ nicht nur bei dem Vergleich von Zahlen verwenden, sondern auch im Zusammenhang mit Variablen und Termen. Verwendet man nun einen Term zusammen mit einem „>“/„größer als“ oder „<“/„kleiner als“, so liegt in der Mathematik eine sogenannte Ungleichung vor. Benutzt man hingegen das „=“/„gleich“, dann liegt hingegen eine Gleichung vor.

Beispiele für Ungleichungen mit einer Variablen, die jeweils die Potenz „hoch 1″ vorweisen:

  1. x + 2 > 5
  2. 3x > 2
  3. 8x + 3 < 12
  4. 7x – 21 > 12x + 9
  5. –23x – 9 < 18x – 11

 

2. Die Bestimmung der Lösungsmenge einer Ungleichung

2.1 Ein bestimmter Zahlenbereich als Lösungsmenge

Die Lösungsmenge einer Ungleichung ermittelt man genauso wie bei einer Gleichung fast ausschließlich über Äquivalenzumformungen.

x + 2 > 5      | – 2

x > 3

L = {x | x > 3}

Die Lösungsmenge hier würde in Worten lauten: die Menge aller x, für die gilt, dass jedes x größer 3 eine Lösung der Ungleichung ist.

Im Vergleich zu Gleichungen unterscheidet sich aber bei Ungleichungen deren Lösungsmenge. Denn im Gegensatz zu Gleichungen liegt hier oft ein Zahlenbereich als Lösung vor.

Zahlenbereich > 3 auf Zahlengeraden dargestellt

 

2.2 Keine Lösung bei einer Ungleichung

Eliminiert sich das x innerhalb der Ungleichung, so kann die Lösungsmenge genau wie bei einer Gleichung entweder die leere Menge/{ } bzw. {\varnothing} sein oder die Menge aller Zahlen/{\mathbb Q} oder {\mathbb R}.

x + 7 < x      | – x

7 < 0

L = { } bzw. {\varnothing}

Wie das Ergebnis nach der Elimination der Variablen x zeigt, bleibt die widersprüchliche Aussage stehen, dass 7 kleiner 0 ist. Daher gibt es hier für die Ungleichung keine Lösung.

 

2.3 Unendlich viele Lösungen bei einer Ungleichung

x + 4 > x      | – x

4 > 0

L = {\mathbb Q} oder {\mathbb R} (je nach Klassenstufe)

Nach der Elimination der Variable ergibt sich hier als Ergebnis die Aussage, dass 4 größer 0 ist. Diese Aussage ist immer wahr. Daher gibt es für die Ungleichung hier unendlich viele Lösungen.

 

2.4 Ein bestimmter Zahlenbereich als Lösungsmenge bei einer Ungleichung der Form „≥“/„≤“

Neben dem bei einer Ungleichung normalerweise verwendeten Zeichen „>“/„größer als“ und „<“/„kleiner als“ können auch noch diese Zeichen vorkommen: „≥“/„größer gleich“ und „≤“/„kleiner gleich“. Besteht nun eine Ungleichung aus einem „≥“ oder „≤“, so sieht deren Lösungsmenge in der Regel geringfügig anders aus, als dies bei einer reinen Ungleichung der Fall wäre. Denn ein kleiner Unterschied kommt hier hinzu, wenn ein bestimmter Zahlenbereich als Lösungsmenge vorliegt.

x + 7 ≥ 14      | – 7

x ≥ 7

L = {x | x ≥ 7}

Die Lösungsmenge lautet hier in Worten ausgedrückt: die Menge alle x, für die gilt, dass jedes x größer 7 und x gleich 7 eine Lösung der Ungleichung ist.

Zahlenbereich ≥ 7auf Zahlengeraden dargestellt

 


2.5 Keine Lösung bei einer Ungleichung der Form „≥“/„≤“

Keine Lösung liegt bei einer Ungleichung mit der Form „≥“/„≤“ genauso vor wie bei einer reinen Ungleichung, und zwar, wenn sich die Variable eliminiert, das Ergebnis aber widersprüchlich ist.

x + 2 ≤ x      | – x

2 ≤ 0

L = { } bzw. {\varnothing}

Da 2 niemals „kleiner gleich“ 0 ist, gibt es für die Ungleichung hier keine Lösung.

 

2.6 Unendlich viele Lösungen bei einer Ungleichung der Form „≥“/„≤“

Ungleichungen der Form „≥“/„≤“ liefern wie reine Ungleichungen genauso immer dann unendlich viele Lösungen, wenn sich zum einen die Variable eliminiert und zum anderen eine wahre Aussage entsteht.

x + 9 ≥ x      | – x

9 ≥ 0

L = {\mathbb Q} oder {\mathbb R} (je nach Klassenstufe)

Da 9 „größer gleich“ 0 immer eine wahre Aussage der Ungleichung ist, gibt es hier unendlich viele Lösungen.

 

3. Das Umdrehen des Ungleichheitszeichens bei Ungleichungen

Die Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen weisen eine Besonderheit auf, die es stets zu beachten gilt, und zwar das Umdrehen des Ungleichungszeichen bei einer Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl.

1. Beispiel

5x + 5 > 11 – x      | + x

6x + 5 > 11            | – 5

6x > 6                    | : 6

x > 1

L = {x | x > 1}

Führt man bei einer Ungleichung, egal ob eine reine oder nicht, Äquivalenzumformungen mittels einer Addition/„+“, Subtraktion/„– “ oder Multiplikation/„·„eine Division/„:“ mit einer positiven Zahl durch, so bleibt die ursprüngliche Stellung des Ungleichheitszeichens stets gleich.

2. Beispiel

4x + 3 > 9 + 5x      | – 5x

–x + 3 > 9              | – 3

–x > 6                    | · (–1)

x < –6

L = {x | x < –6}

Führt man bei einer Ungleichung eine Äquivalenzumformung durch, bei der eine Multiplikation mit einem negativen Vorzeichen vorkommt, so dreht sich die ursprüngliche Stellung des Ungleichungszeichens um.

3. Beispiel

–x > 6      | : (–1)

x < –6

L = {x | x < –6}

Das Gleiche gilt bei einer Division mit einer negativen Zahl. Auch hier dreht sich die ursprüngliche Stellung des Ungleichszeichens um.

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