Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchtermen, Teil 7

Mathe-Klausur in der Schule © Klaus-Uwe Gerhardt PIXELIO www.pixelio.de

Mathe-Klausur in der Schule © Klaus-Uwe Gerhardt PIXELIO www.pixelio.de

Es gibt für Schülerinnen und Schüler in Mathematik nichts Schlimmeres, als während einer Unterrichtsstunde in Anführungszeichen nur Bahnhof zu verstehen. Ist das bei den anderen Anwesenden in der Klasse gar nicht der Fall, so ist das für einen selbst supersuperunangenehm. Man erachtet sich nämlich sogleich als zu blöd. Für eine sensible Kinderpsyche ist das alles andere als gut. Daher sollte man unbedingt in Mathe aufpassen, dass dieses absolute Negativ-Phänomen möglichst eine Ausnahme bleibt. Ansonsten kann es wirklich schnell der Fall sein, dass man dauerhaft den Anschluss verliert – und im Mathematik-Unterricht nur noch Bahnhof versteht. Bruchterme stellen hierbei häufig ein Stoffgebiet dar, das einem oftmals anfangs Schwierigkeiten bereitet, besonders wenn man in der Grundschule sich beim Bruchrechnen schon schwer getan hat.Der „Bahnhof“ verflüchtet sich auch hier, je mehr Aufgaben man zu diesem Stoffgebiet gelöst hat! Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu quadratischen Gleichungen, Teil 7

Eine Puzzlestück-Ergänzung © S. Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Quadratische Gleichungen löst man normalerweise stets rechnerisch. Neben der p-q-Formel (und früher der Mitternachtsformel) ist hierbei besonders das quadratische Ergänzen enorm wichtig. Das hat natürlich auch seinen Grund. Mittels des quadratischen Ergänzens kann man nämlich nicht nur die Lösungen jeder quadratischen Gleichung ermitteln, sondern auch den Scheitelpunkt jeder quadratischen Funktion. In der Normalform, x² + px + q, ist das ja nicht möglich. In der sogenannten Scheitelpunktform hingegen sehr wohl – und diese erzeugt man algebraisch mittels des quadratischen Ergänzens. Um jedoch tipptopp quadratisch ergänzen zu können, muss man auch „im Schlaf“ die binomischen Formeln können. Das quadratische Ergänzen zielt schließlich immer auf die Anwendung einer binomischen Formel. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu quadratischen Gleichungen, Teil 5

Der Ursprung von Alegbra – das Zählen © S. Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Ob man in Mathe alle algebraischen Grundkenntnisse gut verinnerlicht hat, zeigt sich ganz besonders bei quadratischen Gleichungen (und quadratischen Funktionen). Beim Lösen einer quadratischen Gleichung muss man ja oftmals eine binomische Formel auflösen oder mittels quadratischen Ergänzens eine binomische Formel heranziehen. Das Ausmultiplizieren muss man ebenso gut beherrschen. Hierbei kann beim Ausmultiplizieren hin und wieder eine Minusklammer auftreten, auch sind Vorzeichen bei der p-q-Formel stets genau zu beachten. Wie man sieht, treten bei quadratischen Gleichungen schon eine Menge an algebraischen Grundkenntnissen auf einmal auf. Hat man vorher im Fach Mathematik bei einer niederen Klasse hier eine Lernlücke gehabt, so tritt diese hier zwangsläufig wieder auf. Spätestens dann sollte man diese aber schließen. Bei höheren Gleichungen in der Oberstufe muss man nämlich wiederum Algebra-Basics gewissermaßen auf Knopfdruck abrufen können. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchtermen, Teil 3

Bruchterme entknoten © I-vista PIXELIO www.pixelio.de

Bei einem Bruchterm in Mathe ist oftmals die Definitionsmenge – die Menge aller für den Bruchterm zulässigen Zahlen – eingeschränkt. Das liegt an dem Bruch, den Bruchterme vorweisen. Ist nämlich eine oder mehrere Variablen bei dem Bruchterm im Nenner befindlich, so besteht je nach eingesetzter Zahl die „Gefahr“, dass der Nenner gleich null wird. Bereits beim Bruchrechnen hat man im Fach Mathematik aber bereits gelernt: Der Nenner eines Bruchs darf niemals gleich null werden! Daher müssen bei Bruchtermen bei der Definitionsmenge alle Zahlen ausgeschlossen werden, die den Nenner des Bruchs gleich null werden lassen. Klingt logisch, oder? Die genaue Definitionsmenge ermittelt man nun, indem man den Nenner wie eine Gleichung auffasst – und die man gleich null setzt. Alle Ergebnisse, die nun die Gleichung erfüllen, müssen bei der Definitionsmenge ausgeschlossen werden. Klingt ebenfalls logisch, oder? Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu binomischen Formeln, Teil 4

Warum, weshalb schon wieder in Mathe binomische Formeln © w.r.wagner PIXELIO www.pixelio.de

„Hört das denn in Mathe niemals auf mit den binomischen Formeln?“ fragt sich ein innerlich genervter Schüler, als just bei dem Stoffgebiet Quadratische Gleichungen binomischen Formeln wieder aus dem Nichts auftauchen. Unbeantwortete Fragen nerven ja bekanntlich ebenso sehr. Daher möchten wir hier auch keinen Schüler unnötigerweise länger als notwendig damit im Unklaren lassen. Die Antwort zu der an sich selbst gestellten Frage des Schülers ist folgende: bis zum Abitur in Mathematik – dann hat man aber endlich seine Ruhe vor den binomischen Formeln. Trotz jetziger Gewissheit macht das die ganze Sache für den Schüler natürlich nicht wesentlich besser. Korrekt lösen muss er ja in Mathe weiterhin die binomischen Formeln auflösen können. Und das kann man am besten, indem man das übt, übt und nochmals übt. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Stoffgebiet Term, Teil 7

Ein Schüler, der Mathe-Terme aufschreibt © I-vista PIXELIO www.pixelio.de

Immer wieder für einen hervorgerufen Ausdruck des Entsetzens gut ist das in Mathe häufig gebrauchte Wort Term. In einer Runde von Freunden sagt nämlich ein Mathematik-Begeisterter, als die Frage nach dem eigenen Hobby reihum geht: „Ich liebe Terme!“ Die meisten Anwesenden nicken hierbei verständnisvoll und äußern teilweise: „Badeanstalten sind ja auch wirklich großartig und machen enorm viel Spaß!“ Dem entgegnet der Mathe-Term-Liebhaber aber abrupt: Ich meine Terme OHNE ,h!“ „Wie bitte?!“ antworten darauf alle Vorortseienden entsetzt. „Meinst du das wirklich ernst oder soll das ein schlechter April-Scherz sein, auch wenn gerade nicht der 1. April ist (an dem Datum sind ja nur „offiziell“ Aprilscherze erlaubt)?!, fahren sie sogleich immer noch überaus entsetzt fort. Die Antwort des Mathematik-Liebhabers kann jedoch nur lauten: „Nein, nein, nein, in der Tat und schlussendlich meine ich natürlich Mathe-Terme!“

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu binomischen Formeln, Teil 3

Nadel und Faden © erysipel PIXELIO www.pixelio.de

Binomische Formel „meets“ Distributivgesetz „meets“ Minusklammer – die volle Ladung Algebra! Wenn man bei diesem „Algebra-Crossover“ stöhnt, dann ist das eher ein alarmierendes Zeichen. Dann sitzt nämlich fundamentales Mathematik-Handwerkszeug nicht so, wie es eigentlich sein sollte. Das kann man mit einem Schneider vergleichen, der seine Nähkunst nicht wirklich beherrscht, da er seine Nadel nicht richtig „im Griff“ hat. Deshalb pikst solch ein vermeintlicher Handwerker sich auch ständig. Einen ähnlichen Schmerz kann einem ein „Algebra-Crossover“ verursachen – wenn man die hier abzurufenden Regeln nicht verinnerlicht hat. Dann schmerzt nämlich ständig die schlechte Note, die man fortwährend in Mathe mit ziemlicher Sicherheit einfährt. Da sowohl kein Schneider äußerlich als auch kein Schüler innerlich gerne „blutet“, muss man das berufsbedingte bzw. fachbedingte Handwerkszeug tipptopp können. Irgendwelche schmerzhaften Wunden aufgrund der zu bewältigenden Mathe-Materie beim Schüler oder wegen des zu bewältigenden Stoff-Materials beim Schneider kommen sodann erst gar nicht auf. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu binomischen Formeln, Teil 2

Den Blick für binomische Formeln schärfen © günther gumhold PIXELIO www.pixelio.de

Binomische Formeln korrekt auflösen zu können, ist das eine, das andere ist zu erkennen, dass überhaupt eine binomische Formel vorliegt. Denn hin und wieder müssen vorab erst bestimmte algebraische Umformungen vorgenommen werden, um klipp und klar zu sehen – dass eine binomische Formel vorliegt und um welche genau es sich hierbei handelt. Darauf kann man diese schließlich nach dem oft geübten Schema auflösen. Folgende Beispiele sollen hierbei den Schülerinnen und Schülern helfen – um einen besseren „Binomischen-Formel-Blick/Durchblick“ zu bekommen:

Beispiel 1:            (–3 + 7x)²

Hier sieht es zunächst so aus, als ob keine binomische Formel vorliegen würde, da der erste Einzelterm in der Klammer ein Minus vorweist. Da jedoch innerhalb der Klammer eine algebraische Summe vorliegt, darf man dort das Kommutativgesetz/Vertauschungsgesetz anwenden: Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu binomischen Formeln, Teil 1

Das Abitur – der höchste Schulabschluss in Deutschland © S. Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Eine überaus wichtige algebraische Gesetzmäßigkeit stellen die binomischen Formeln dar, da diese ab der 8. Klasse in Mathe immer wieder vorkommen und somit bis zum MSA oder Abi von Schülerinnen und Schülern stets abgerufen werden können müssen. Daher ist ein gewissermaßen blindes Beherrschen der binomischen Formeln Pflicht. Ansonsten ist ein Algebra-Desaster vorprogrammiert. Denn dann kann man mit hoher Wahrscheinlichkeit auch andere algebraische Umformungen nicht korrekt – wodurch sich der komplette Rechenweg verkomplizieren oder gar im schlimmsten Fall komplett falsch sein kann. Verständlicherweise frustet beides gleich stark – und vergellt einem den Spaß an Mathe gänzlich, da die Note in Mathe dann auch  „im Keller“ beziehungsweise (wie man in Berlin eher sagt) „im Souterrain“ angekommen ist. So weit sollte es in Mathematik aber erst gar nicht kommen! Weiterlesen

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Binomische Formeln

Das Schulfach Mathe © Ich-und-Du PIXELIO www.pixelio.de

1. Allgemeines zu den binomischen Formeln

Eine sehr wichtige Sonderform beim Auflösen zweier Term-Klammern mittels des Distributivgesetzes (auch Verteilungsgesetz genannt) stellen die binomischen Formeln dar. Zum einen kann man hierdurch nämlich viel schneller und fehlerfreier solche Term-Klammern auflösen, zum anderen muss man oft die binomischen Formeln beim quadratischen Ergänzen von quadratischen Gleichungen und Funktionen anwenden (entweder zur Nullstellen- oder Scheitelpunkt-Bestimmung). Des Weiteren kommen auch noch in der Oberstufe bei der Analysis/Kurvendiskussion immer wieder quadratische Funktionen und Gleichungen vor – und somit auch die binomischen Formeln. Daher sind die binomischen Formeln eine algebraische Gesetzmäßigkeit, die man unbedingt beherrschen muss – ansonsten wird man ab der 8. Klasse mehr und mehr keinen Durchblick mehr in Mathe haben. Schließlich muss man in den weiteren Klassenstufen ebenso weitere Algebra-Kenntnisse aus dem Effeff können. Nur so ist gewährleistet, dass man überhaupt die Aufgabe versteht – und somit den richtigen Lösungsweg findet. Eine möglichst fehlerfreie und schnelle Berechnung des Ergebnisses ist dann nur noch die Kür, die man aber trotzdem stets problemlos abrufen können sollte. Hat man da aber noch Probleme mit den binomischen Formeln und versteht eher nur Bahnhof, ist auf jeden Fall im Fach Mathematik „Land unter“ angesagt. Und dann hat man wirklich ein ernsthaftes Problem in Mathematik, da ja der Lernstoff trotzdem weitergeht… Für viele Schülerinnen und Schüler ist dann oftmals der Zug in diesem Fach fast bereits abgefahren – und demzufolge nahezu uneinholbar! Deshalb sollte man die binomischen Formeln sehr gut können – und das auswendig, so dass es erst überhaupt nicht so weit kommt. Durch üben, üben und nochmals üben wird das aber auch ohne Weiteres klappen!

Es gibt drei binomische Formeln, die jeweils auf zwei verschiedene Arten dargestellt werden. Entweder in der unaufgelösten Form mit Klammer oder in der aufgelösten Form ohne Klammer. Beide Arten sollte man bei allen drei binomischen Formeln „im Schlaf“ vorsagen können.

1. Binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b²

2. Binomische Formel: (a – b)² = a² – 2ab + b²

3. Binomische Formel: (a + b) · (a – b) = a² – b²

 

2. Erklärung der 1. Binomischen Formel

(a + b)² = (a + b) · (a + b) = a · a + a · b + b · a + b · b = a² + ab + ab + b² =

a² + 2ab + b²

Beim Auflösen der beiden Klammern mittels Ausmultiplizieren und Anwendung des Distributivgesetztes/Verteilungsgesetzes ergeben sich zunächst immer vier Einzelterme. Hierbei ist es völlig egal, wie man mit dem Ausmultiplizieren beginnt. (Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch ergänzend bei der Unterseite Terme Punkt 5.2 Klammern bei einem Produkt an und hierbei speziell das Ausmultiplizieren von zwei Klammern bei einem Produkt.) Das Besondere beim Ausmultiplizieren der 1. Binomischen Formel ist nun, dass zwei/„ab + ab = 2ab“ der vier Einzelterme identisch sind – und somit addiert/zusammengefasst werden können. Dadurch entsteht die aus drei Einzeltermen bestehende aufgelöste Form der 1. Binomischen Formel – woraus eine Regelmäßigkeit ableitbar ist. Der Anfangsterm/„a²“ und der Endterm/„b²“ ergeben sich immer aus den beiden in der Klammer stehenden Einzelterme/„(a + b)²“ und stehen immer im Quadrat. Der Mittelterm/„2ab“ ergibt sich immer aus dem zweifachen Produkt der beiden in der Klammer stehenden Einzeltermen/„(a + b)²“.

 

Beispiele zur 1. Binomischen Formel

1. (m + n)² = (m)² + 2 · m · n + (n)² = m² + 2mn + n²

2. (3s + t)² = (3s)² + 2 · 3s · t + (t)² = 9s² + 6s + t²

3. (a + 5b)² = (a)² + 2 · a · 5b + (5b)² = a² + 10ab + 25b²

4. (12a + 8b)² = (12a)² + 2 · 12a · 8b + (8b)² = 144a² + 192ab + 64b²

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: In der Klammer einer binomischen Formel können auch ganze Zahlen, Bruchzahlen und Dezimalzahlen auftreten. Das gilt für alle drei binomischen Formeln.

5. (9 + a)² = (9)² + 2 · 9 · a + (a)² = 81 + 18a + a² = a² + 18a + 81

6. ({\frac{2}{5} + c)² = ({\frac{2}{5})² + 2 · {\frac{2}{5} · c + (c)² = {\frac{4}{25} + {\frac{4}{5}c + c² = = c² + {\frac{4}{5}c + {\frac{4}{25}

7. (3,5 + 8b)² = (3,5)² + 2 · 3,5 · 8b + (8b)² = 12,25 + 56b + 64b² = 64b² + 56b + 12,25

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Bei jeder binomischen Formel gilt darüber hinaus das Kommutativgesetz/Vertauschungsgesetz. Daher können die vorkommenden Variablen und Zahlen in der Klammer jeweils vertauscht werden.

8. (15b + 9a)² = (9a + 15b)² = 81a² + 270ab + 225b²

9. (7 + b)² = (b + 7)² = b² + 14b + 49

 

3. Erklärung der 2. Binomischen Formel

(a – b)² = (a – b) · (a – b) = a · a + a · (–b) + (–b) · a + (–b) · (–b) = a² + a · (–b) + a · (–b) + b² = a² – 2ab + b²

Die 2. Binomische Formel unterscheidet sich zur 1. Binomischen Formel nur dahingehend, dass in der aufgelösten Form der Mittelterm anstatt eines positiven („+“) ein negatives („–“) Vorzeichen hat. Das liegt an dem in der 2. Binomischen Formel auftretenden Minuszeichen in der unaufgelösten Form. Multipliziert man nämlich die Klammern mittels des Distributivgesetzes/Verteilungsgesetzes aus, so tritt wieder der Sonderfall wie bei der 1. Binomischen Formel auf, und zwar, dass zwei/„(ab) + (–ab) = 2ab“ der vier Einzelterme identisch sind und deshalb wiederum addiert/zusammengefasst werden können. Aufgrund des Minuszeichens in der Klammer weist der Mittelterm aber ein negatives Vorzeichen auf. Hierdurch ensteht schließlich die aus drei Einzeltermen bestehende aufgelöste Form der 2. Binomischen Formel woraus wiederum eine Regelmäßigkeit ableitbar ist. Wie bei der 1. Binomischen Formel ergeben sich bei der 2. Binomischen Formel der Anfangsterm/„a²“ und der Endterm/„b²“ aus den beiden in den Klammern stehenden Einzeltermen/„(a b)²“, wobei beide immer im Quadrat stehen. Der Mittelterm setzt sich immer aus dem zweifachen Produkt der beiden in der Klammer stehenden Einzelterme/„(a b)²“ zusammen, wobei das Vorzeichen des Mittelterms immer ein Minuszeichen/„–“ ist.

 

Beispiele zur 2. Binomischen Formel

1. (f g)² = (f)² – 2 · f · g + (g)² = f² – 2fg + g²

2. (4c – d) = (4c)² – 2 · 4c · d + (g)² = 16c² – 8cd + d²

3. (a – 7b)² = (a)² – 2 · a · 7b + (7b)² = a² – 14ab + 49b²

4. (12a – 15b)² = (12a)² – 2 · 12a · 15b + (15b)² = 144a² – 360ab + 225b²

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Beachte, dass aufgrund des Kommutativgesetzes/Vertauschungsgesetzes auch diese Beispiele unter die 2. Binomische Formel fallen.

5. (–12b + 3a)² = (3a –12b)² = 9a² – 72ab + 144b²

6. (–9 + 18c)² = (18c – 9)² = 324c² – 324c + 81

 

4. Erklärung der 3. Binomischen Formel

(a + b) · (a – b) = a · a + a · (– b) + b · a + b · (– b) = a² – ab + ab – b² = a² – b²

Die 3. Binomische Formel unterscheidet sich zur 1. und zur 2. Binomischen Formel auf zweifache Weise. Zum einen besteht diese in der unaufgelösten Form aus zwei Klammern, deren darin enthaltene Einzelterme nicht wie bei der 1. und 2. Binomischen Formel doppelt vorkommen. Zum anderen hat die 3. Binomische Formel in der aufgelösten Form keinen Mittelterm und besteht daher nur aus zwei Einzeltermen. Dadurch, dass bei der 3. Binomischen Formel nun nicht wie bei der 1. und 2. Binomischen Formel zwei Klammern mit identischen Einzeltermen mittels des Distributivgesetzes/Verteilungsgesetzes ausmultipliziert werden, sondern zwei Klammern, die sich bei dem zweiten Einzelterm nur durch das Vorzeichen unterscheiden („+“, „–“) ergibt sich ein weiterer Sonderfall. Denn hierdurch eliminiert sich der Mittelterm/„– ab + ab = 0“ und man erhält die nur aus zwei Einzeltermen bestehende aufgelöste Form woraus sicher erneut eine Regelmäßigkeit ableiten lässt. Der Anfgangsterm/„a²“ und der Endterm/„b²“ der 3. Binomischen Formel ergeben sich immer aus den beiden ersten mit sich malgenommen Termen (a + b) · (a – b) und den beiden letzten miteinander malgenommenen Termen (a + b) · (a – b), wobei das verbindende Vorzeichen beider Einzelterme/„a² b²“ immer ein Minuszeichen/„–“ ist.

 

Beispiele zur 3. Binomischen Formel

1. (k + l) · (k – l) = (k)² – (l)² = k² – l²

2. (3r + s) · (3r + s) = (3r)² – (s)² = 9r² – s²

3. (a + 9b) · (a – 9b) = (a)² – (9b)² = a² – 81b²

4. (18a + 14b) · (18a – 14b) = (18a)² – (14b)² = 324a² – 196b²

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Beachte auch bei der 3. Binomischen Formel, dass hier das Kommutativgesetz/Vertauschungsgesetz gilt, und das nicht nur bei den Variablen und Zahlen innerhalb der Klammern, sondern auch bei den Klammern selbst. Denn es handelt sich hier um Klammern, die durch ein Mal-Zeichen miteinander verbunden sind, weswegen auch hier das Kommutativgesetz/Vertauschungsgesetz angewendet werden darf.

5. (s + t) · (–t +s) = (s + t) · (s – t) = s² – t²

6. (–12b + 2a) · (2a + 12b) = (2a –12b) · (2a + 12b) = (2a + 12b) · (2a –12b) = 4a² – 144b²

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