Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Strahlensätzen, Teil 1

Strahlensätze - erste Darstellung

Kommen in Mathe vier Geraden vor, die in ganz bestimmter Beziehung zueinander stehen, so ergeben sich hieraus bestimmte Gesetzmäßigkeiten – die Strahlensätze. Bei den vier Geraden muss hierbei Folgendes gewährleistet sein: Zwei Geraden müssen sich in einem Punkt schneiden, die zwei anderen Gerade müssen parallel zueinander verlaufen und diese beiden Geraden jeweils schneiden. Liegt solch eine Konstellation von vier Geraden vor – dann kann man hieraus die sogenannten Strahlensätze ableiten. Bei den Strahlensätzen handelt es sich hierbei um Ähnlichkeitsverhältnisse zwischen Strecken, die mittels Quotientengleichungen wiedergegeben werden können.

Diese zwei Strahlensätze gibt es:

1. Strahlensatz:

{\frac{\overline{ZA}}{\overline{ZA'}} = {\frac{\overline{ZB}}{\overline{ZB'}} bzw: {\frac{\overline{ZA}}{\overline{AA'}} = {\frac{\overline{ZB}}{\overline{BB'}}

2. Strahlensatz:

{\frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = {\frac{\overline{ZA}}{\overline{ZA'}} bzw: {\frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = {\frac{\overline{ZB}}{\overline{ZB'}}

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Doppelbrüche

1. Allgemeines zu Doppelbrüche

In der Mathematik können Brüche nicht nur aus einem einzigen Bruchstrich bestehen, sondern auch mehrere Bruchstriche vorweisen. Ist dies der Fall, so liegt ein sogenannter Doppelbruch vor. Bei einem Doppelbruch wird daher immer ein Bruch durch einen anderen Bruch geteilt. Schließlich ist ein Bruchstrich ja nur ein anderer Ausdruck für ein Geteiltzeichen/„:“.

 

Beispiele für Doppelbrüche:

\frac{1}{\frac{8}{125}}, \frac{6}{\frac{7}{93}}, \frac{\frac{8}{9}}{7}, \frac{\frac{14}{19}}{5}, \frac{\frac{7}{6}}{\frac{10}{93}}, \frac{\frac{12}{17}}{\frac{28}{107}}

 

2. Das Auflösen von Doppelbrüchen

Doppelbrüche lassen sich in Mathe ganz leicht auflösen. Man muss die jeweiligen Doppelbrüche nur jeweils zu einer Division zwischen zwei Brüchen hin umwandeln.

 

2.1 Doppelbrüche mit ganzer Zahl als Zähler

Liegt ein Doppelbruch vor, der nur eine Zahl als Zahl als Zähler vorweist und einen Bruch im Nenner, so kann man diesen folgendermaßen auflösen:

 

Beispiele:

\frac{5}{\frac{4}{7}} = 5 : \frac{4}{7}} = \frac{5}{1}} : \frac{4}{7}} = \frac{5}{1}} · \frac{7}{4}} = {\frac{5\ {\cdot}\ 7}{1\ {\cdot}\ 4} = \frac{35}{4}} = 8\frac{3}{4}}

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Jede natürliche Zahl kann auch als Bruchzahl geschrieben werden. Siehe hierzu auch unter Bruchrechnung 2.2 Das Verhältnis natürliche Zahl und Bruchzahl an.

\frac{12}{\frac{9}{14}} = 12 : \frac{9}{14}} = \frac{12}{1}} : \frac{9}{14}} = \frac{12}{1}} · \frac{14}{9}} = {\frac{12\ {\cdot}\ 14}{1\ {\cdot}\ 9} = \frac{168}{9}} = \frac{56}{3}}= 18\frac{2}{3}}

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zur Division von Brüchen siehe auch unter Bruchrechnung/Multiplikation und Division 3. Die Division von Brüchen an.

\frac{47}{\frac{29}{78}} = 47 : \frac{29}{78}} = \frac{47}{1}} : \frac{29}{78}} = \frac{47}{1}} · \frac{78}{29}} = {\frac{47\ {\cdot}\ 78}{1\ {\cdot}\ 29} = \frac{3666}{29}} = 126\frac{12}{29}}

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zur Umwandlung von unechten Brüchen hin zu gemischten Brüchen siehe auch unter Bruchrechnung 4.1 Das Umrechnen eine unechten Bruchs in einen gemischten Bruch an.

 

2.2 Doppelbrüche mit ganzer Zahl im Nenner

Doppelbrüche können auch nur eine ganze Zahl im Nenner vorweisen. Diese Doppelbrüche löst man dann wie folgt auf.

 

Beispiele:

\frac{\frac{7}{8}}{5} = \frac{7}{8}} : 5 = \frac{7}{8}} : \frac{5}{1}} = \frac{7}{8}} · \frac{1}{5}} = {\frac{7\ {\cdot}\ 1}{8\ {\cdot}\ 5} = \frac{7}{40}}

\frac{\frac{15}{27}}{8} = \frac{15}{27}} : 8 = \frac{15}{27}} : \frac{8}{1}} = \frac{15}{27}} · \frac{1}{8}} = {\frac{15\ {\cdot}\ 1}{27\ {\cdot}\ 8} = \frac{15}{216}} = \frac{5}{72}}

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zum Kürzen von Brüchen siehe auch unter Bruchrechnung/Erweitern und Kürzen, 3. Das Kürzen eines Bruchs an

\frac{\frac{38}{45}}{35} = \frac{38}{45}} : 35 = \frac{38}{45}} : \frac{35}{1}} = \frac{38}{45}} · \frac{1}{35}} = {\frac{38\ {\cdot}\ 1}{45\ {\cdot}\ 35} = \frac{38}{1575}}

 

2.3 Doppelbrüche mit Bruch in Zähler und Nenner

Doppelbrüche weisen natürlich oft auch im Zähler und im Nenner einen Bruch auf. Solche Doppelbrüche löst man folgendermaßen auf:

\frac{\frac{5}{12}}{\frac{7}{13}} = \frac{5}{12}} : \frac{7}{13}} = \frac{5}{12}} · \frac{13}{7}} = {\frac{5\ {\cdot}\ 13}{12\ {\cdot}\ 7} = \frac{65}{84}}

\frac{\frac{12}{19}}{\frac{8}{25}} = \frac{12}{19}} : \frac{8}{25}} = \frac{12}{19}} · \frac{25}{8}} = {\frac{12\ {\cdot}\ 25}{19\ {\cdot}\ 8} = \frac{300}{152}} = \frac{75}{38}} = 1\frac{37}{38}}

\frac{\frac{25}{27}}{\frac{12}{41}} = \frac{25}{27}} : \frac{12}{41}} = \frac{25}{27}} · \frac{41}{12}} = {\frac{25\ {\cdot}\ 41}{27\ {\cdot}\ 12} = \frac{1025}{324}} = 3\frac{53}{324}}

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Wie man sieht, werden alle verschiedene Arten von Doppelbrüchen auf die gleiche Weise aufgelöst. Hierzu muss man deshalb im Prinzip nur die Division und Multiplikation von Brüchen beherrschen.

Später, ab einer höheren Klassenstufe, wenn man nur noch viele frühere auf dem Papier gemachten Rechenoperationen mit dem Taschenrechner durchführt, wird man oftmals auch vergessen haben, wie man Doppelbrüche auflöst. Das Gleiche gilt natürlich für die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von normalen Brüchen. Das ist aber nicht weiter schlimm, da man ja mit dem Taschenrechner, wie gesagt, Doppelbrüche und andere Brüche in Nullkommanix auflösen und das richtige Ergebnis ermitteln kann.

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Bruchrechnen, Teil 1

Krücken © Christiane Heuser PIXELIO www.pixelio.de

Im Körper können die dort befindlichen Knochen brechen. Ist dies der Fall, dann liegt ein Bruch vor. Dass solch ein Knochen-Bruch in den meisten Fällen sehr schmerzhaft ist, dürfte klar sein. Schließlich handelt es sich hierbei um eine schwerwiegendere Verletzung. Daher kann sich jeder Mensch glücklich schätzen, wenn er niemals in solch eine unangenehme Situation kommt, einen Knochen-Bruch erleiden zu müssen. In Mathe wird man in der Grundschule auch irgendwann mit Brüchen konfrontiert werden – diese sind aber bei Weitem nicht so schlimm wie echte! Hat man nämlich vorher alle Grundrechenarten gut verinnerlicht, so meistert man dieses Stoffgebiet mit einem Klacks. Wetten (auch wenn wir hier nicht bei „Wetten, dass..?“ sind)? Denn alle vorher gelernten Rechenoperationen, das Addieren, das Subtrahieren, das Multiplizieren und das Dividieren, kommen bei Brüchen bzw. beim Bruchrechnen wieder vor – und daher jede Menge in Mathe bereits Gelerntes! Daher erleidet man in Mathematik beim Bruchrechnen auch garantiert keinen Schiffbruch! Weiterlesen

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Multiplikation und Division

1. Allgemeines zur Multiplikation und Division von Brüchen

Für die Multiplikation und Division von Bruchzahlen gilt genauso wie bei der Addition und Subtraktion von Brüchen, dass sich die bei den Grundrechenarten erworbenen Fähigkeiten hier entschieden auszahlen. Hierbei profitiert man bei der Multiplikation und Division von Brüchen vor allem, wenn man in Mathe folgende Rechenoperation besonders gut verinnerlicht hat: das Multiplizieren. Ja, man hat hier richtig gelesen: nur das Multiplizieren! Das stellt nämlich eine Besonderheit beim Bruchrechnen dar. Denn sowohl die Multiplikation als auch die Division von Brüchen erfolgt über ein Multiplizieren. Da es sich hierbei, bei dem Multiplizieren und dem Dividieren von Brüchen, aber dennoch um zwei unterschiedliche Rechenoperationen handelt, erfolgt die Berechnung logischerweise auf unterschiedliche Weise. Das ist ja irgendwie auch klar, da ja ansonsten die Multiplikation und die Division von Brüchen haargenau gleich wären. Dieses widerspricht natürlich aber fundamental jeder Mathe-Logik.

 

2. Die Multiplikation von Brüchen

Für die Multiplikation von Brüchen in Mathe gilt: Sowohl echte als auch unechte Brüche werden dahingehend multipliziert, indem man stets Zähler mal Zähler malnimmt und Nenner mal Nenner malnimmt.

Bei der Multiplikation von gemischten Brüchen gilt: Jeder gemischte Bruch, der mit einem anderen Bruch malgenommen wird, muss vorher in einen unechten Bruch umgewandelt werden. Darauf dürfen wiederum sämtliche Zähler miteinander malgenommen werden und sämtliche Nenner.

 

2.1 Die Multiplikation von echten und unechten Brüchen

Bei einer Multiplikation von echten und unechten Brüchen wird sowohl jeder Zähler als auch jeder Nenner miteinander malgenommen.

 

Beispiele für die Multiplikation von echten Brüchen:

{\frac{1}{2} · {\frac{2}{3} = {\frac{1\ {\cdot}\ 2}{2\ {\cdot}\ 3} = {\frac{2}{6} = {\frac{1}{3}

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zum Kürzen von Brüchen siehe auch unter Bruchrechnung/Erweitern und Kürzen das Kapitel 3. Das Kürzen eines Bruchs an.

{\frac{3}{4} · {\frac{5}{7} = {\frac{3\ {\cdot}\ 5}{4\ {\cdot}\ 7} = {\frac{15}{28}

{\frac{14}{15} · {\frac{7}{10} = {\frac{14\ {\cdot}\ 7}{15\ {\cdot}\ 10} = {\frac{98}{150} = {\frac{49}{75}

Die Multiplikation dieser beiden Brüche hätte man auch folgendermaßen machen können:

{\frac{\not14^7}{15} · {\frac{7}{\not10^5} = {\frac{7\ {\cdot}\ 7}{15\ {\cdot}\ 5} = {\frac{49}{75}

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Findet man bei einer Multiplikation bei beiden Brüchen zwischen Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler, so kann man diese beiden Brüche „über Kreuz“ mit dem gemeinsamen Teiler kürzen. Als Hochzahl schreibt man bei dem gekürzten Zähler und Nenner jeweils den Wert hin, der nach dem Kürzen übrig bleibt. Übersieht man jedoch, dass man „über Kreuz“ kürzen kann, dann kann man das wie oben bei der Aufgabe immer noch machen, wenn man die Multiplikation der Brüche durchgeführt hat.

 

Beispiele für die Multiplikation von unechten Brüchen:

{\frac{3}{2} · {\frac{5}{3} = {\frac{3\ {\cdot}\ 5}{2\ {\cdot}\ 3} = {\frac{15}{6} = {\frac{5}{2} = 2{\frac{1}{2}

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zum Umwandeln von unechten Brüchen in gemischte Brüche siehe auch unter Bruchrechnung das Kapitel 4.1 Das Umrechnen eines unechten Bruchs in eine gemischten Bruch an.

{\frac{8}{7} · {\frac{12}{5} = {\frac{8\ {\cdot}\ 12}{7\ {\cdot}\ 5} = {\frac{96}{35} = 2{\frac{26}{35}

{\frac{17}{9} · {\frac{25}{6} = {\frac{17\ {\cdot}\ 25}{9\ {\cdot}\ 6} = {\frac{425}{54} = 7{\frac{47}{54}

 

2.2 Die Multiplikation von gemischten Brüchen

Bevor man gemischte Brüche malnehmen darf, muss man diese immer zuvor in unechte Brüche umwandeln. Anschließend darf man Zähler und Zähler und Nenner Nenner miteinander malnehmen.

 

Beispiele für die Multiplikation von gemischten Brüchen:

2{\frac{1}{2} · 3{\frac{2}{3} = {\frac{5}{2} · {\frac{11}{3} = {\frac{5\ {\cdot}\ 11}{2\ {\cdot}\ 3} = {\frac{55}{6} = 9{\frac{1}{6}

4{\frac{2}{5} · 6{\frac{3}{4} = {\frac{22}{5} · {\frac{27}{4} = {\frac{594}{20} = {\frac{297}{10} = 29{\frac{7}{10}

7{\frac{8}{9} · 12{\frac{15}{17} = {\frac{71}{9} · {\frac{219}{17} = {\frac{15549}{153} = {\frac{5183}{51} = 101{\frac{32}{51}

 

3. Die Division von Brüchen

Ein Division bei Brüchen stellt immer eine Multiplikation dar. Das klingt widersprüchlich, ist es aber nicht. Denn ein Bruch wird durch einen anderen Bruch dividiert, indem man bei dem zweiten Bruch den Kehrwert bildet und anschließend beide Brüche miteinander multipliziert. Der Kehrwert eines Bruches ist hierbei einfach das Vertauschen des Nenners und des Zählers.

 

3.1 Die Division von echten und unechten Brüchen

In Mathe bei der Bruchrechnung darf man nach der Bildung des Kehrwerts sofort sowohl echte als auch unechte Brüche miteinander malnehmen.

 

Beispiele für die Division von echten Brüchen:

{\frac{2}{3} : {\frac{1}{4} = {\frac{2}{3} · {\frac{4}{1} = {\frac{2\ {\cdot}\ 4}{3\ {\cdot}\ 1} = {\frac{8}{3} = 2{\frac{2}{3}

{\frac{7}{9} : {\frac{5}{11} = {\frac{7}{9} · {\frac{11}{5} = {\frac{7\ {\cdot}\ 11}{9\ {\cdot}\ 5} = {\frac{77}{45} = 1{\frac{32}{45}

{\frac{2}{5} : {\frac{7}{10} = {\frac{2}{\not5^1} · {\frac{\not10^2}{7} = {\frac{2\ {\cdot}\ 2}{1\ {\cdot}\ 7} = {\frac{4}{7}

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Hat man den Kehrwert bei der Division von Brüchen gebildet und „über Kreuz“ findet man bei den beiden Brüche zwischen Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler, so kann man diese jeweils mit dem gemeinsamen Teiler kürzen. Als Hochzahl schreibt man über den gekürzten Zähler und Nenner den Wert, der nach dem Kürzen übrig bleibt.

 

Beispiele für die Division von unechten Brüchen:

{\frac{5}{3} : {\frac{7}{4} = {\frac{5}{3} · {\frac{4}{7} = {\frac{5\ {\cdot}\ 4}{3\ {\cdot}\ 7} = {\frac{20}{21}

{\frac{12}{7} : {\frac{20}{3} = {\frac{\not12^3}{7} · {\frac{3}{\not20^5} = {\frac{9}{35}

{\frac{29}{5} : {\frac{34}{7} = {\frac{29}{5} · {\frac{7}{34} = {\frac{203}{170} = 1{\frac{33}{170}

 

3.2 Die Division von gemischten Brüchen

Bei der Division von gemischten Brüchen gilt das Gleiche wie bei der Multiplikation von gemischten Brüchen: Bevor man die Rechenoperation durchführen darf, müssen diese immer vorher in unechte Brüche umgewandelt werden.

 

Beispiele für die Division von gemischten Brüchen:

2{\frac{1}{3} : 3{\frac{2}{5} = {\frac{7}{3} : {\frac{17}{5} = {\frac{7}{3} · {\frac{5}{17} = {\frac{7\ {\cdot}\ 5}{3\ {\cdot}\ 17} = {\frac{35}{51}

4{\frac{2}{7} : 2{\frac{3}{8} = {\frac{30}{7} : {\frac{19}{8} = {\frac{30}{7} · {\frac{8}{19} = {\frac{30\ {\cdot}\ 8}{7\ {\cdot}\ 19} = {\frac{240}{133} = 1{\frac{107}{133}

6{\frac{3}{11} : 9{\frac{5}{17} = {\frac{69}{11} : {\frac{158}{17} = {\frac{69}{11} · {\frac{17}{158} = {\frac{69\ {\cdot}\ 17}{11\ {\cdot}\ 158} = {\frac{1173}{1738}

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Addition und Subtraktion

1. Allgemeines zur Addition und Subtraktion von Bruchzahlen

Die ersten Rechenoperationen die man in Mathe beim Bruchrechnen zwischen zwei Bruchzahlen macht, sind das Addieren und das Subtrahieren. Das Schöne hierbei ist: Hat man vorher bei der Addition und Subtraktion sowie der Multiplikation von natürlichen Zahlen keine großen Probleme gehabt, dann wird das normalerweise auch bei der Addition und der Subtraktion von Bruchzahlen so bleiben. Denn im Prinzip werden hier die vorher gelernten Fähigkeiten erneut auf den Prüfstein gestellt, wenn auch nun auf Brüche bezogen.

 

2. Die Addition und Subtraktion von gleichnamigen Brüchen

In der Mathematik spricht man beim Bruchrechnen von gleichnamigen Brüchen, wenn der Nenner der Bruchzahlen gleich ist. Folgendes sind alles gleichnamige Brüche:

 

Beispiele:

{\frac{1}{4}; {\frac{3}{4}; {\frac{7}{4}; {\frac{99}{4};

{\frac{2}{9}; {\frac{7}{9}; {\frac{11}{9}; {\frac{88}{9}

{\frac{2}{15}; {\frac{8}{15}; {\frac{23}{15}; {\frac{116}{15}

Liegt nun in Mathe ein gleichnamiger Bruch vor, bei dem eine Addition oder Subtraktion durchgeführt werden muss, so gilt folgende Regel: Die Zähler dürfen sofort addiert bzw. subtrahiert werden, der Nenner bleibt hierbei erhalten.

 

Beispiele Addition gleichnamiger Brüche:

{\frac{1}{3} + {\frac{4}{3} = {\frac{1+4}{3} = {\frac{5}{3} = 2{\frac{2}{3}

{\frac{2}{7} + {\frac{6}{7} = {\frac{2+6}{7} = {\frac{8}{7} = 1{\frac{1}{7}

{\frac{3}{5} + {\frac{1}{5} + {\frac{4}{5} = {\frac{3+1+4}{5} = {\frac{8}{5} = 1{\frac{3}{5}

{\frac{4}{11} + {\frac{3}{11} + {\frac{7}{11} + {\frac{28}{11} = {\frac{4+3+7+28}{11} = {\frac{42}{11} = 3{\frac{9}{11}

Auch gemischte Brüche, die gleichnamig sind, dürfen sofort addiert werden. Hierbei addiert man die ganzen Zahlen und die jeweiligen Nenner.

3{\frac{1}{5} + 2{\frac{3}{5} = 5{\frac{1+3}{5} = 5{\frac{4}{5}

4{\frac{2}{7} + 3{\frac{4}{7} = 7{\frac{2+4}{7} = 7{\frac{6}{7}

 

Beispiel Subtraktion gleichnamiger Brüche:

{\frac{5}{7}{\frac{4}{7} = {\frac{5-4}{7} = {\frac{1}{7}

{\frac{8}{9}{\frac{4}{9} = {\frac{8-4}{9} = {\frac{4}{9}

{\frac{11}{15}{\frac{4}{15}{\frac{3}{15} = {\frac{11-4-3}{15} = {\frac{4}{15}

{\frac{18}{29}{\frac{5}{29}{\frac{8}{29}{\frac{2}{29} = {\frac{18-5-8-2}{29} = {\frac{3}{29}

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zur Umwandlung von unechten Brüchen hin zu gemischten Brüchen siehe unter Bruchrechnung den Unterpunkt: 4.1 Das Umrechnen eines unechten Bruchs in eine gemischten Bruch an.

Bei Subtraktion gilbt ebenso: Gleichnamige gemischte Brüche dürfen sofort subtrahiert werden.

3{\frac{3}{4} – 2{\frac{1}{4} = 1{\frac{3-1}{4} = 1{\frac{2}{4} = 1{\frac{1}{2}

7{\frac{5}{7} – 4{\frac{3}{7} = 3{\frac{2}{7}

 

3. Addition und Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern

Bei der Addition und Subtraktion von Brüchen, die keinen gleichen Nenner haben, sprich nicht gleichnamig sind, darf man auf keinen Fall sofort die Nenner der Brüche addieren oder subtrahieren. Das würde nämlich definitiv zum falschen Ergebnis führen. Bevor man nämlich Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren oder subtrahieren darf, muss man diese gleichnamig machen. Das macht man, indem man den sogenannten Hauptnenner (das ist immer das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)) der zu addierenden oder subtrahierenden Brüche bildet und die Brüche vom Nenner und Zähler her schließlich auf den Hauptnenner hin erweitert.

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Um den Hauptnenner bzw. das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zu ermitteln, muss man immer die kleinste Zahl finden, die den gemeinsamen Teiler aller Bruch-Nenner beinhaltet.

 

Beispiele für das Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern

a) bei echten Brüchen

{\frac{1}{2} + {\frac{2}{3}

Der Hauptnenner ist hier 6, da dies das kleinste gemeinsame Vielfache von „2“ und „3“ ist. Nach Ermittlung des Hauptnenners werden die Zähler und Nenner der beiden Brüche auf den Hauptnenner hin erweitert.

Da die „2“ in die „6“ 3-mal „hineinpasst“, wird der Bruch {\frac{1}{2} mit dem Faktor 3 erweitert. In die „6“ passt die „3“ 2-mal, daher wird der Bruch {\frac{2}{3} mit dem Faktor 2 erweitert.

{\frac{1\ {\cdot}\ 3}{2\ {\cdot}\ 3} + {\frac{2\ {\cdot}\ 2}{3\ {\cdot}\ 2} = {\frac{3}{6} + {\frac{4}{6}

Jetzt sind die Brüche gleichnamig und dürfen daher addiert werden.

{\frac{3}{6} + {\frac{4}{6} = {\frac{7}{6} = 1{\frac{1}{6}

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zum Erweitern von Brüchen siehe auch unter Bruchrechnung/Erweitern und Kürzen das Kapitel 2. Das Erweitern eines Bruchs an.

{\frac{3}{4} + {\frac{2}{5}

Der Hauptnenner, sprich das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV), ist hier „20“. Daher muss der erste Bruch mit dem Faktor 5 und der zweite Bruch mit dem Faktor 4 erweitert werden.

{\frac{3\ {\cdot}\ 5}{4\ {\cdot}\ 5} + {\frac{2\ {\cdot}\ 4}{5\ {\cdot}\ 4} = {\frac{15}{20} + {\frac{8}{20}

Die gleichnamige Brüche dürfen nun addiert werden.

{\frac{15}{20} + {\frac{8}{20} = {\frac{23}{20} = 1{\frac{3}{20}

{\frac{3}{4}{\frac{2}{7}

Hier ist der Hauptnenner bzw. das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) 28. Deshalb muss man den ersten Bruch mit „7“ erweitern und den zweiten Bruch mit „4“

{\frac{3\ {\cdot}\ 7}{4\ {\cdot}\ 7}{\frac{2\ {\cdot}\ 4}{7\ {\cdot}\ 4} = {\frac{21}{28}{\frac{6}{28}

Bei den nun gleichnamigen Brüchen darf die Subtraktion durchgeführt werden.

{\frac{21}{28}{\frac{6}{28} = {\frac{15}{28}

 

b) bei unechten Brüchen

{\frac{7}{3} + {\frac{8}{5}

Der Hauptnenner bzw. das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist hier „15“. Deshalb muss man den ersten Bruch mit dem Faktor 5 und den zweiten Bruch mit dem Faktor 3 erweitern.

{\frac{7\ {\cdot}\ 5}{3\ {\cdot}\ 5} + {\frac{8\ {\cdot}\ 3}{5\ {\cdot}\ 3} = {\frac{35}{15} + {\frac{24}{15}

Nun dürfen die beiden Brüche addiert werden.

{\frac{35}{15} + {\frac{24}{15} = {\frac{59}{15}

Anschließend muss man den echten Bruch noch in einen gemischten Bruch umwandeln.

{\frac{59}{15} = 3{\frac{14}{15}

{\frac{10}{3}{\frac{5}{4}

Der Hauptnenner die beiden Brüche bzw. das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist hier „12“. Daher muss man den ersten Bruch mit dem Faktor 4 und den zweiten Bruch mit dem Faktor 3 erweitern.

{\frac{10\ {\cdot}\ 4}{3\ {\cdot}\ 4}{\frac{5\ {\cdot}\ 3}{4\ {\cdot}\ 3} = {\frac{40}{12}{\frac{15}{12}

Daraufhin darf man die den einen Bruch von dem anderen Bruch subtrahieren.

{\frac{40}{12}{\frac{15}{12} = {\frac{25}{12}

Zum Schluss muss man noch den unechten Bruch in einen gemischten Bruch umwandeln.

{\frac{25}{12} = 2{\frac{1}{12}

 

c) bei gemischten Brüchen

Bei der Addition und Subtraktion von gemischten Brüchen gilt: Zuerst muss man diese in unechte Brüche umwandeln. Nach dem Gleichnamigmachen mittels des Hauptnenners bzw. des kleinsten gemeinsamen Vielfachens (kgV) dürfen diese addiert oder subtrahiert werden.

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zum Umwandeln von gemischten Brüchen in unechte Brüche siehe auch unter Bruchrechnung 4.2 Das Umrechnen eines gemischten Bruchs in einen unechten Bruch an.

3{\frac{3}{7} + 4{\frac{1}{2} = {\frac{24}{7} + {\frac{9}{2}

Der Hauptnenner die beiden Brüche bzw. das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist hier „14“. Daher muss der erste Bruch mit dem Faktor 2 und der zweit Bruch mit dem Faktor 7 erweitert werden.

{\frac{24\ {\cdot}\ 2}{7\ {\cdot}\ 2} + {\frac{9\ {\cdot}\ 7}{2\ {\cdot}\ 7} = {\frac{48}{14} + {\frac{63}{14}

Darauf darf man die beiden Brüche addieren.

{\frac{48}{14} + {\frac{63}{14} = {\frac{111}{14}

Zum Schluss muss man noch den unechten Bruch in einen gemischten Bruch umwandeln.

{\frac{111}{14} = 7{\frac{13}{14}

4{\frac{1}{6} – 2{\frac{1}{3}

Zuerst wandelt man die gemischten Brüche hin zu unechte Brüche um.

4{\frac{1}{6} – 2{\frac{1}{3} = {\frac{25}{6}{\frac{7}{3}

Darauf macht man die Brüche gleichnamig. Der Hauptnenner bzw. das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist hier „6“. Daher muss man den ersten Bruch nicht erweitern, da dieser bereits den Hauptnenner vorweist, und den zweiten Bruch mit dem Faktor 2.

{\frac{25}{6}{\frac{7\ {\cdot}\ 2}{3\ {\cdot}\ 2} = {\frac{25}{6}{\frac{14}{6}

Darauf darf man den eine Bruch von dem anderen subtrahieren.

{\frac{25}{6}{\frac{14}{6} = {\frac{11}{6}

Anschließend muss man den unechten Bruch noch in einen gemischten Bruch umwandeln.

{\frac{11}{6} = 1{\frac{5}{6}

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Erweitern und Kürzen

1. Allgemeines zum Erweitern und Kürzen von Brüchen

Jeder Bruch hat einen bestimmten Wert. Bruchzahlen haben nun die Eigenschaft, dass man diese verändern kann – und das bei gleichbleibendem Wert. Das klingt zunächst ein wenig kompliziert, das Umwandeln von Brüchen ohne „Wertverlust“ ist aber überaus einfach.

Verändert man nun einen Bruch, ohne dass der Wert des Bruchs hierbei verändert wird, so liegt ein sogenanntes Erweitern oder Kürzen eines Bruches vor.

Ganz easy meistert man übrigens das Erweitern und Kürzen von Brüchen, wenn man wie üblich bei Mathe nach dem Verstehen des Stoffgebiet noch jede Menge Übungsaufgaben hinterherschiebt.

 

2. Das Erweitern eines Bruchs

In Mathematik erweitert man einen Bruch, indem man den Zähler und den Nenner jeweils mit der gleichen Zahl (ungleich 0) multipliziert. Bei einer Erweiterung eines Bruchs liegt daher immer eine Multiplikation zugrunde. Das Wichtige hierbei ist, dass der Wert des ursprünglichen Bruch-Werts nicht verändert wird, da man ja den Zähler und den Nenner stets mit der gleichen Zahl malnimmt.

Die Zahl, mit der ein Bruch erweitert wird, nennt man auch Erweiterungsfaktor.

 

Beispiele Erweitern echter und unechter Brüche:

Der Bruch {\frac{1}{3} soll mit 4 erweitert werden.

{\frac{1\ {\cdot}\ 4}{3\ {\cdot}\ 4} = {\frac{4}{12}

Der Bruch {\frac{4}{7} soll mit 6 erweitert werden.

{\frac{4\ {\cdot}\ 6}{7\ {\cdot}\ 6} = {\frac{24}{42}

Erweitere den Bruch {\frac{12}{5} mit der Zahl 9.

{\frac{12\ {\cdot}\ 9}{5\ {\cdot}\ 9} = {\frac{108}{45}

Erweitere den Bruch {\frac{15}{7} mit der Zahl 11.

{\frac{15\ {\cdot}\ 11}{7\ {\cdot}\ 11} = {\frac{165}{77}

Jeden echten oder unechten Bruch kann man problemlose mit einer x-beliebigen Zahl erweitern. Für gemischte Brüche gilt das aber nicht. Bevor man nämlich einen gemischten Bruch erweitern kann, muss man diesen immer zuerst in einen unechten Bruch umwandeln. Macht man dies nicht, so verändert man den Wert des Bruchs!

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zu den Begriffen echter, unechter und gemischter Bruch siehe auch unter Bruchrechnung den Unterpunkt 4. Unechte Brüche an.

 

Beispiele Erweitern gemischter Brüche:

Der Bruch 4{\frac{2}{3} soll mit 5 erweitert werden.

Zuerst muss man den gemischten Bruch in einen unechten umwandeln!

4{\frac{2}{3} = {\frac{4\ {\cdot}\ 3+2}{3} = {\frac{14}{3}

Darauf kann man den Bruch mit 5 erweitern.

{\frac{14\ {\cdot}\ 5}{3\ {\cdot}\ 5} = {\frac{70}{15}

Der Bruch 7{\frac{8}{9} soll mit 8 erweitert werden.

7{\frac{8}{9} = {\frac{7\ {\cdot}\ 8+9}{9} = {\frac{65}{9}

Jetzt kann man den Bruch mit 8 erweitern.

{\frac{65\ {\cdot}\ 8}{9\ {\cdot}\ 8} = {\frac{520}{72}

 

3. Das Kürzen eines Bruchs

In Mathe kürzt man einen Bruch, indem man den Zähler und den Nenner eines Bruchs mit der gleichen Zahl (ungleich null) dividiert. Hierbei muss die zu teilende Zahl sowohl im Zähler als auch im Nenner als Teiler enthalten sein. Das Kürzen eines Bruchs basiert daher immer auf einer Division. Das Wichtige ist auch hier, dass der ursprüngliche Bruch-Wert nach dem Kürzen unverändert bleibt, da man ja den Zähler und den Nenner jeweils mit der gleichen Zahl dividiert.

Die Zahl, mit der ein Bruch gekürzt wird, nennt man auch Kürzungsfaktor.

 

Beispiele Kürzen echter und unechter Brüche:

Der Bruch {\frac{6}{8} soll gekürzt werden.

Vor dem Kürzen muss man einen gemeinsame Teiler finden. Der gemeinsame Teiler, der in Zähler und Nenner enthalten ist, ist hier „2“.

{\frac{6:2}{8:2} = {\frac{3}{4}.

Kürze den Bruch {\frac{6}{27}.

Der gemeinsame Teiler ist hier „3“.

{\frac{6:3}{27:3} = {\frac{2}{9}

Kürze den Bruch {\frac{77}{14}.

Der gemeinsame Teiler ist hier „7“.

{\frac{77:7}{14:7} = {\frac{11}{2} = 5{\frac{1}{2}

Der Bruch {\frac{154}{55} soll gekürzt werden.

Der gemeinsame Teiler ist hier „11“.

{\frac{154:11}{55:11} = {\frac{14}{5} = 2{\frac{4}{5}

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Ein Bruch ist erst immer so weit wie möglich gekürzt, wenn man im Zähler und Nenner den größten gemeinsamen Teiler (ggT) gefunden hat. Findet man diesen nicht sofort, so kann man aber immer auch einen Bruch schrittweise kürzen.

 

Beispiele für das schrittweise Kürzen eines Bruchs:

Der Bruch {\frac{27}{99} soll gekürzt werden:

Ein gemeinsamer Teiler ist „3“.

{\frac{27:3}{99:3} = {\frac{9}{33}

Wie man sieht, kann man den Bruch darauf wiederum durch „3“ teilen.

{\frac{9:3}{33:3} = {\frac{3}{11}

Hätte man von Anfang an den Bruch {\frac{27}{99} mit dem größten gemeinsamen Teiler, „9“ (Teiler „3“ mal Teiler „3“), gekürzt, wäre das gleiche Ergebnis herausgekommen: {\frac{27:9}{99:9} = {\frac{3}{11}

Kürze den Bruch {\frac{84}{294}.

Ein gemeinsamer Teiler ist „2“.

Kürze den Bruch {\frac{84:2}{294:2} = {\frac{42}{147}

Ein weiterer gemeinsamer Teiler ist „3“.

{\frac{42:3}{147:3} = {\frac{14}{49}

Noch ein weiterer gemeinsamer Teiler ist „7“.

{\frac{14:7}{49:7} = {\frac{2}{7}

Auch hier hätte man sofort dasselbe Ergebnis erhalten, wenn man {\frac{84}{294} durch den größten gemeinsamen Teiler „42“ (Teiler „2“ mal Teiler „3“ mal Teiler „7“) geteilt hätte: {\frac{84:42}{294:42} = {\frac{2}{7}.

 

Beispiele Kürzen gemischter Brüche:

Der Bruch 4{\frac{5}{10}.

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Ein gemischter Bruch kann nur gekürzt werden, wenn man bei dem Bruch einen gemeinsamen Teiler findet. Die ganze Zahl vor dem Bruch bleibt hierbei unverändert.

Der gemeinsame Teiler beim Bruch ist hier die „5“.

4{\frac{5:5}{10:5} = 4{\frac{1}{2}

Kürze den gemischten Bruch 6{\frac{14}{49}.

Der gemeinsame Teiles des Bruchs ist hier „7“.

6{\frac{14:7}{49:7} = 6{\frac{2}{7}

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Bruchrechnung

1. Allgemeines zur Bruchrechnung

Nach den dem intensiven Erlernen der Grundrechenarten, der Addition, der Subtraktion, der Multiplikation und der Division, muss irgendwann darauf in Mathe eine neue umfangreiche Rechenart gelernt werden: die Bruchrechnung. Bevor man hier aber anfängt wirklich zu rechnen, wird erst einmal erklärt, was genau ein Bruch ist und wie man einen Bruch verändern kann ohne den Wert eines Bruches zu verändern (das Kürzen und Erweitern von Brüchen). Erst dann wird man in der Mathematik mit dem Bruchrechnen beginnen – und das wird einem unter Garantie nicht allzu schwer fallen, wenn man vorher die Grundrechenarten richtig gut gelernt hat. Bei Brüchen muss man nämlich wiederum eine Addition, eine Subtraktion, eine Multiplikation und eine Division durchführen, nur dieses mal anstatt mit positiven ganzen Zahlen (die natürlichen Zahlen meine ich hiermit), sondern eben mit Bruchzahlen.

Ein Bruch im Einzelhandel © iwona golczyk PIXELIO www.pixelio.de

Ein Bruch im Einzelhandel © iwona golczyk PIXELIO www.pixelio.de

2 Bestandteile einer Bruchzahl

Dadurch, dass eine Bruchzahl eine andere Zahl ist, als die bisher gelernten natürlichen Zahlen, hat diese auch logischerweise eine andere Darstellungsform. Jede Bruchzahl weist hierbei drei Charakteristika/Merkmale als Zahl auf. Sie besteht nämlich stets aus einem Zähler, das ist die obere Zahl, und einem Nenner, das ist die untere Zahl. Getrennt werden beide Zahlen durch den Bruchstrich.

Anstatt Bruchzahl ist auch gebräuchlich Bruch zu sagen, der Plural sind Brüche.

 

Beispiele für Bruchzahlen:

{\frac{1}{2};    {\frac{2}{3};    {\frac{5}{7};    {\frac{15}{29};    {\frac{105}{208};    {\frac{2007}{4223};    {\frac{3}{2}, {\frac{8}{5};    {\frac{23}{7};    {\frac{405}{14};    {\frac{2009}{412};    {\frac{7335}{8857}.

 

2.1 Ein Bruch als Ausdruck einer Division

Jeder Bruch kann im Prinzip auch als eine Division wiedergegeben werden, da der Bruchstrich nichts anderes als ein Geteiltzeichen/“:“ ist:

 

Beispiele für Brüche als Ausdruck einer Division:

{\frac{1}{2} = 1 : 2;

{\frac{2}{3} = 2 : 3;

{\frac{5}{7} = 5 : 7;

{\frac{15}{29} = 15 : 29;

{\frac{105}{208} = 105 : 208;

{\frac{2007}{4223} = 2007 : 4223;

{\frac{3}{2} = 3 : 2;

{\frac{8}{5} = 8 : 5;

{\frac{23}{7} = 23 : 7;

{\frac{405}{14} = 405 : 14;

{\frac{2009}{412} = 2009 : 412;

{\frac{7335}{8857} = 7335 : 8857.

 

2.2 Das Verhältnis natürliche Zahl und Bruchzahl

Jede natürliche Zahl kann auch als eine Bruchzahl dargestellt werden. Daher sind alle natürlichen Zahlen eine Teilmenge der Zahlenmenge der Bruchzahlen (die Umkehrung gilt nämlich nicht!).

 

Beispiele:

4 = {\frac{4}{1};

7 = {\frac{7}{1};

23 = {\frac{23}{1};

73 = {\frac{73}{1};

512 = {\frac{512}{1};

7003 = {\frac{7003}{1}.

 

 

3. Bruchanteile einer bestimmten Menge

Ein Bruchzahl lernt man anfangs ist eine Teilmenge/ein Anteil von einer bestimmten Menge. Hierfür wird oft der Vergleich zu einer ganzen Pizza gezogen. Sitzen nun zwei Personen am Essens-Tisch so bekommt jede Person jeweils die Hälfte, als Bruchzahl {\frac{1}{2}, der Pizza (vorausgesetzt man teilt die Pizza salomonisch, sprich gerecht, auf). Sitzen nun drei Personen am Tisch, so erhält jeder ein Drittel, als Bruchzahl {\frac{1}{3}, der Pizza. Bei vier Personen sind es {\frac{1}{4}, bei fünf Personen {\frac{1}{5} usw.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Jede natürliche Zahl kann auch als Bruchzahl dargestellt werden. So kann man beispielsweise für 1 auch {\frac{1}{1}, für 2 auch {\frac{2}{1}, für 12 auch {\frac{12}{1}, für 523 auch {\frac{523}{1} usw schreiben. Entscheidend ist ja, dass man bei der Umwandlung von der natürlichen Zahl hin zu der Bruchzahl den Wert der Zahl nicht verändert. 1 und {\frac{1}{1} sind immer noch vom Wert her 1, 2 und {\frac{2}{1} sind ebenso vom Wert her noch 2 usw.

 

3.1 Der Mathe-Ausdruck „von“ beim Bruchrechnen bzw. Anteile einer Gesamtmenge

Die ersten Rechenaufgaben, die man in Mathe beim Bruchrechnen machen muss, sind sogenannte „von“-Aufgaben. Hierbei muss man immer einen Bruchteil/Anteil von einer Gesamtmenge berechnen.

 

Beispiele:

{\frac{4}{5} m (von 1 m);

{\frac{5}{6} von 240 min;

{\frac{3}{8} von 80 Personen;

{\frac{8}{10} t (von 1 t).

Damit man Anteile in einer verständlichen Mathe-Schreibweise wiedergeben kann, muss man vorher verstanden haben, was der Bruch oder die Bruchzahl „von“ einer bestimmten Menge in der Sprache der Mathematik bedeutet.

 

Beispiele:

{\frac{4}{5} m heißt 1 m (das ist die Gesamtmenge) 4 (: 5) (das ist der Anteil) = 4 : 5 = 0,8 m = 8 dm = 80 cm. Da man aber zu diesem Zeitpunkt in der Schule in Mathe noch keine Dezimalrechnung hatte, berechnet man den „von“-Anteil normalerweise folgendermaßen: 1 m entsprechen 100 cm („mal 10, mal 10“). {\frac{1}{5} m sind 20 cm („geteilt durch fünf“). {\frac{4}{5} m sind daher 80 cm („mal 4“).

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe zum Umrechnen von Größenangaben auch unter Größen den Unterpunkt Umrechnen von Größen an.

 

{\frac{5}{6} von 240 min berechnet man wie folgt: {\frac{1}{6} min entsprechen 40 min („geteilt durch sechs“). {\frac{5}{6} m sind daher 200 min („mal 5“).

{\frac{3}{8} von 80 Personen berechnet man folgendermaßen: {\frac{1}{8} Personen entsprechen 10 Personen („geteilt durch acht“). {\frac{3}{8} m sind daher 30 Personen („mal 3“).

{\frac{8}{10} t von 1 t berechnet man wie folgt: 1 t entsprechen 1000 kg („mal 1000“). {\frac{1}{10} t sind 100 kg („geteilt durch 10“). {\frac{8}{10} t sind daher 800 kg („mal 8“).

Wenn man in einer höheren Klassenstufe ist oder beispielsweise den MSA (Mittleren Schulabschluss) macht, kann es sein, dass man noch einmal in Mathe mit sogenannten „von“-Aufgaben mit Brüchen konfrontiert wird. Dann sollte man aber wissen, dass in der Sprache der Mathematik ein „von“ immer mit einer Multiplikation gleichzusetzen ist. Demzufolge gibt man dann in seinen Taschenrechner nur den Anteil des Bruches mal der gegeben Gesamtmenge (was natürlich auch ein Bruch sein kann) ein.

 

Beispiele:

{\frac{5}{6} m von 84 m = {\frac{5}{6} m 84 m = 70 m;

{\frac{2}{15} kg von {\frac{14}{15} kg = {\frac{2}{15} {\frac{14}{15} kg = {\frac{28}{225} kg.

 

4. Unechte Brüche

Ein Bruch in Mathe besteht ja immer aus einem Zähler und einem Nenne, die beide durch einen Bruchstrich getrennt sind. Ist nun bei einem Bruch der Zähler kleiner als der Nenner, dann liegt ein sogenannter echter Bruch vor.

 

Beispiele für echte Brüche:

{\frac{1}{2};    {\frac{3}{4};    {\frac{7}{8};    {\frac{23}{25};    {\frac{407}{455};    {\frac{1205}{7067}.

Ist nun bei einem Bruch der Zähler größer als der Nenner oder genauso groß wie der Nenner, so liegt ein sogenannter unechter Bruch vor.

 

Beispiele für „unechte Brüche“:

{\frac{4}{3};    {\frac{7}{4};    {\frac{12}{5};    {\frac{35}{19};    {\frac{41}{41};    {\frac{407}{122}; {\frac{555}{555};    {\frac{3107}{241}.

 

Yeah, it’s ABC-disco-time with Grobi!

 

4.1 Das Umrechnen eines unechten Bruchs in einen gemischten Bruch

Jeden unechten Bruch kann man, vorausgesetzt der Zähler ist nicht genauso groß wie der Nenner, in einen sogenannten gemischten Bruch umrechnen. Ein gemischter Bruch besteht hierbei aus einer ganzen Zahl und einer Bruchzahl, wobei die ganze Zahl immer direkt vor die Bruchzahl gestellt wird.

 

Beispiele für gemischte Brüche:

2{\frac{1}{2};    4{\frac{3}{4};    8{\frac{7}{9};    12{\frac{24}{55};    5{\frac{79}{83};    27{\frac{403}{607};    503{\frac{8603}{9979}.

Einen unechten Bruch rechnet man nun immer wie folgt in einen gemischten Bruch um:

Dieser unechte Bruch ist gegeben: {\frac{17}{3}. Mittels einer Division wandelt man nun den Buch um. Hierfür ist es sinnvoll den Bruch in der gewohnten Divisionsschreibweise darzustellen:

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Bei jedem Bruch kann ein Bruchstrich auch in eine Divisionszeichen umgewandelt werden, der Zähler wird dann zum Dividend und der Nenner zum Divisor.

 

{\frac{17}{3} = 17 : 3

Darauf führt man die Division durch, wie man diese vorher in Mathe gelernt hat.

17 : 3 = 5

{\underline{15}

2 Rest

Die drei „passt“ in die 17 5-mal, das ergibt die ganze Zahl des gemischten Bruchs. Die Bruchzahl aus dem gemischten Bruch enthält als Zähler die 2, dem Rest der Division, und als Nenner die 3, den Nenner des unechten Bruchs.

Daher ist der gemischte Bruch zu dem unechten Bruch {\frac{17}{3} = 5{\frac{2}{3}.

Bei der Umwandlung vom unechten Bruch zum gemischten Bruch erhält man die ganze Zahl des gemischten Bruchs immer durch die Durchführung einer Division. Der Divisions-Rest ist beim gemischten Bruch immer der Zähler der Bruchzahl . Der ursprüngliche Nenner beim unechten Bruch ist immer gleich dem Nenner bei der Bruchzahl, die bei einem gemischter Bruch enthalten ist.

 

Beispiele für die Umwandlung unechter Brüche in gemischte Brüche:

{\frac{29}{4} = 29 : 4

29 : 4 = 7

{\underline{28}

1 Rest

Daher ist der gemischte Bruch: 7{\frac{1}{4}.

 

{\frac{88}{5} = 88 : 5

88 : 5 = 17

{\underline{85}

3 Rest

Deshalb ist hier der gemischte Bruch: 17{\frac{3}{5}.

 

{\frac{215}{12} = 215 : 12

215 : 12 = 17

{\underline{12}

95

{\underline{84}

11 Rest

Daher ist hier der gemischte Bruch: 17{\frac{11}{12}.

 

4.2 Das Umrechnen eines gemischten Bruchs in einen unechten Bruch

Des Öfteren muss man beim Bruchrechnen auch einen gemischten Bruch in einen unechten Bruch umwandeln. Hierzu multipliziert man die ganze Zahl mit dem Nenner des Bruchs. Das Ergebnis addiert man schließlich mit dem Zähler des Bruchs. Die sich hierbei ergebende Zahl ist der neue Zähler des unechten Bruchs, der Nenner des gemischten Bruchs bleibt auch beim unechten Bruch erhalten.

 

Mathematik-Nachhilfe-Blog: Das Umrechnen vom gemischten Bruch hin zum unechten Bruch ist im Bruchrechnen einfach die umgekehrte Rechenoperation zum Umrechnen eines unrechten Bruches in einen gemischten Bruch.

 

Beispiele für die Umwandlung gemischter Brüche in unechte Brüche:

4{\frac{1}{2}, der Zähler des unechten Bruchs = 4 · 2 + 1 = 9, der Nenner des gemischten Bruchs bleibt erhalten: {\frac{9}{2};

6{\frac{2}{5}, der Zähler des unechten Bruchs = 6 · 5 + 2 = 32, der Nenner = 5: {\frac{32}{5};

32{\frac{4}{7}, der Zähler des unechten Bruchs = 32 · 7 + 4 = 228, der Nenner = 7: {\frac{228}{7}.

 

5. Dezimalbrüche

Brüche, die im Nenner die Zahl 10 oder eine Potenz von 10 mit natürlichem Exponenten vorweisen, nennt man Dezimalbrüche.

 

Beispiele von Dezimalbrüchen:

{\frac{7}{10};    {\frac{29}{100};    {\frac{335}{1000};    {\frac{12}{100000}.

 

Hier kann man die Seite des Mathematik Nachhilfe Blogs als PDF downloaden: Mathematik-Nachhilfe: Bruchrechnung.

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Wurzeln, Teil 1

Die Beseitigung einer Baumwurzel © Karl-Heinz Laube PIXELIO www.pixelio.de

Bei einer Wurzel denkt man entweder etwa an eine Pflanzenwurzel, wie die beispielsweise von einem Baum, oder an irgendein Wurzelgemüse wie etwa Karotten, Radieschen oder Pastinaken. Irgendwann gibt es aber diesbezüglich auch in der Schule im Fach Mathe eine „Horizonterweiterung“. Wurzeln findet man nämlich nicht nur im Boden vor, sondern diese gibt es auch in der Mathematik. Wurzeln sind in der Mathematik nämlich hierfür dar, um eine Potenz aufzulösen, bzw. das Wurzelziehen stellt die umgekehrte Rechenoperation zum Potenzieren dar. Interessanterweise stammt das in Mathe gebräuchliche Wort Wurzel tatsächlich von der Boden-Wurzel her. Das zeigt sich in der lateinischen Vokabel, dem Radizieren, dem Wurzelziehen. „Radizieren“ stammt nämlich von dem lateinischen Wort „radix“ her – der (Pflanzen-)Wurzel. Aber mal ehrlich: das Wurzelzeichen sieht doch wirklich auch aus wie eine Wurzel – wie eine Zahnwurzel :-). Weiterlesen

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Bruchterme

1. Allgemeines zu Bruchtermen

Ein Bruch kann in seinem Zähler oder Nenner auch Variablen vorweisen. Ist das bei dem Nenner der Fall, so spricht man allgemein von einem Bruchterm. Alle Rechenoperationen, die beim Bruchrechnen vorkommen, das Addieren, das Subtrahieren, das Multiplizieren und das Dividieren von Brüchen, treten wiederum bei Bruchtermen auf. Wenn man daher das Bruchrechnen beherrscht, wird man normalerweise bei den bei Bruchtermen auftretenden Rechenoperationen nicht allzu große Schwierigkeiten haben. Schließlich kennt man nicht nur bereits die Rechenregeln, sondern hat sie auch schon mannigfach angewendet. Aus diesem Grund wird hier zwangsläufig ein Aha-Erlebnis auftreten, da Bruchterme nur besondere Brüche sind.

Formel bestehend aus einem Bruchterm © Karl-Heinz Laube PIXELIO www.pixelio.de

Formel bestehend aus einem Bruchterm © Karl-Heinz Laube PIXELIO www.pixelio.de

1.1 Die Definitionsmenge bei Bruchtermen

Da Bruchterme oftmals eine oder mehrere Variablen im Nenner vorweisen, ist deren Definitionsmenge häufig auch eingeschränkt. Bereits in der Grundschule hat man ja in Mathe gelernt, dass der Nenner eines Bruchs nicht gleich null werden darf. Ist nämlich dies der Fall, dann ist dieser Bruch nicht definiert. Das Gleiche gilt ebenso für Bruchterme. Daher lässt sich die Definitionsmenge eines Terms folgendermaßen beschreiben:

Die Definitionsmenge eines Terms beinhaltet immer die Menge aller Zahlen, für die der Term definiert ist. Und gerade bei Bruchtermen ist diese Definitionsmenge oftmals eingeschränkt.

Um die Definitionsmenge bei Bruchtermen zu bestimmen, muss man sich nur vor Augen führen, dass der Nenner nicht gleich null werden darf. Daher setzt man den Nenner einfach gleich null – und löst die hieraus sich ergebende Gleichung auf.

 

1. Beispiel: Bei diesem Bruchterm soll die Definitionsmenge bestimmt werden:

{\frac{3}{4~+~\mathrm x}}

Der Nenner ist: 4 + x.

Den Nenner setzt man nun gleich null und löst diesen anschließend nach der Variablen x hin auf.

4 + x = 0          Ι  – 4

x = –4

Bei x = –4 ist der Bruchterm also nicht definiert.

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ –4} oder D = {\mathbb Q} \ {–4}

 

2. Beispiel: Bei folgendem Bruchterm soll die Definitionsmenge bestimmt werden:

{\frac{7\mathrm x~+~42}{14~- ~63\mathrm x}}

Der Nenner ist: 14 – 63x

Diesen setzt man nun gleich null und löst die Gleichung hin zur Variablen auf:

14 – 63x = 0         Ι + 63x

14 = 63x               Ι : 63

x = {\frac{14}{63}};     x = {\frac{2}{9}}

Bei x = {\frac{2}{9}} ist der Bruchterm also nicht definiert.

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ {\frac{2}{9}}} oder D = {\mathbb Q} \ {{\frac{2}{9}}}

 

2. Das Kürzen von Bruchtermen

Bei einem Bruchterm können einzelne Teile gekürzt werden, wenn im Zähler und Nenner gleiche Faktoren vorliegen. Oftmals muss man diese aber mittels einer Faktorisierung/eines Ausklammerns bilden. Denn – was auch für Brüche gilt, das gilt auch für Bruchterme – Summen kürzen nur die …

Folgendermaßen geht man beim Kürzen von Bruchtermen vor:

  • Ein Produkt im Zähler und Nenner bilden
  • Den gemeinsamen Faktor im Zähler und Nenner kürzen

Ein Bruchterm darf niemals mit der Zahl Null gekürzt werden, da für diese Zahl der Bruchterm nicht definiert ist.

Beim Kürzen ändert sich der Wert des Bruchterms nicht.

Die Zahl oder Variable, mit der ein Bruchterm gekürzt wird, nennt man auch Kürzungsfaktor.

 

Allgemeine Darstellung des Kürzens bei Bruchtermen

{\frac{\mathrm a\mathrm c}{\mathrm b\mathrm c}} = {\frac{\mathrm a\ {\cdot}\ \mathrm c}{\mathrm b\ {\cdot}\ \mathrm c}} = {\frac{\mathrm a}{\mathrm b}}     (für b ≠ 0; c ≠ 0)

Nachdem man „c“ im Zähler und im Nenner ausgeklammert/faktorisiert hat, kann man „c“ kürzen. „c“ ist hier der Kürzungsfaktor.

 

Anhand dieser Bruchterme soll exemplarisch gezeigt werden, wie man kürzt:

 

1. Beispiel:

{\frac{7\mathrm x~+~42}{14 ~- ~63\mathrm x}}     (für x ≠ {\frac{14}{63}})

Hier muss man erkennen, dass bei diesem Bruchterm in jedem Einzelterm im Zähler und Nenner der Faktor „7“ enthalten ist. Diesen kann man nun ausklammern.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter dem Stoffgebiet Terme den Punkt 6 „Das Ausklammer/Faktorisieren bei einer algebraischen Summe“ an.

 

{\frac{7\ {\cdot}\ (\mathrm x~+~6)}{7\ {\cdot}\ (2~-~9\mathrm x)}}

Jetzt darf man den ausgeklammerten Faktor „7“ kürzen. Hierdurch erhält man nun folgenden Bruchterm:

{\frac{\mathrm x~+~6}{2~-~9\mathrm x}}

 

2. Beispiel:

{\frac{24\mathrm x\mathrm y~+~8\mathrm x^2}{24\mathrm y~+~8\mathrm x}}      (für x ≠ –3y bzw. y ≠ –{\frac{8}{24}}x)

Bei diesem Bruchterm muss man nun erkennen, dass man eine Faktorisierung/ein Ausklammern mit der Zahl „8“ und dem „x“ durchführen kann: Sowohl im Zähler als auch im Nenner ist bei jedem Einzelterm die Zahl „8“ als Teiler enthalten. Außerdem weist im Zähler jeder Einzelterm ein „x“ auf.

{\frac{8\mathrm x\ {\cdot}\ (3\mathrm y~+~\mathrm x)}{8\ {\cdot}\ (3\mathrm y~+~\mathrm x)}}

Jetzt kann man sowohl die „8“ im Zähler und Nenner kürzen als auch das „3y + x“, da es ebenfalls im Zähler und Nenner als Faktor enthalten ist. Dadurch bleibt folgender Term übrig:

x

Wie man sieht, hat sich nach dem Kürzen der Bruchterm aufgelöst.

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zum Kürzen beim Bruchrechnen siehe auch unter Bruchrechnung, Erweitern und Kürzen 3. Das Kürzen eines Bruchs an.

 

2.1 Das Erweitern von Bruchtermen

Einen Bruchterm kann man stets erweitern. Hierfür muss man den Zähler und den Nenner des Bruchterms jeweils mit einem gleichen Faktor malnehmen (Die Zahl 0 ist hierbei jedoch ausgeschlossen, da ja dann bei einer Multiplikation der ganze Term gleich null werden würde). Wie beim Bruchrechnen stellt das Erweitern die Umkehrung des Kürzens dar.

Beim Erweitern ändert sich der Wert des Bruchterms nicht.

Die Zahl oder Variable, mit der ein Bruchterm erweitert wird, nennt man auch Erweiterungsfaktor.

 

Allgemeine Darstellung des Erweiterns bei Bruchtermen

{\frac{\mathrm a}{\mathrm b}} = {\frac{\mathrm a\ {\cdot}~\mathrm c}{\mathrm b\ {\cdot}~\mathrm c}}     (für b ≠ 0; c ≠ 0)

Jeweils Zähler und Nenner werden mit „c“ erweitert. „c“ ist hier der Erweiterungsfaktor.

 

1. Beispiel:

Der Bruchterm {\frac{5\mathrm x}{8\mathrm x\mathrm y}} soll mit dem Faktor 3 erweitert werden.

{\frac{5\mathrm x\ {\cdot}\ 3}{8\mathrm x\mathrm y\ {\cdot}\ 3}}

Anschließend löst man bei dem Bruchterm das Produkt auf.

{\frac{15\mathrm x}{24\mathrm x\mathrm y}}

 

2. Beispiel:

Der Bruchterm {\frac{4\mathrm x^2}{9\mathrm y}} soll mit dem Faktor x erweitert werden    (für x ≠ 0).

{\frac{4\mathrm x^2\ {\cdot}~\mathrm x}{9\mathrm y\ {\cdot}~\mathrm x}}

Als Nächstes löst man das Produkt auf.

{\frac{4\mathrm x^3}{9\mathrm y\mathrm x}}

Geordnet ergibt sich dieser Bruchterm.

{\frac{4\mathrm x^3}{9\mathrm x\mathrm y}}

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zum Erweitern beim Bruchrechnen siehe auch unter Bruchrechnung/Erweitern und Kürzen 2. Das Erweitern eines Bruchs an.

 

3. Das Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen

Brüche darf man bekanntlich nur addieren und subtrahieren, wenn die Nenner gleichnamig sind. Im der Regel muss man die Brüche aber erst gleichnamig machen, in dem man den sogenannten Hauptnenner ermittelt und die Brüche daraufhin erweitert. Das Gleiche, was für Brüche gilt, das gilt auch weiterhin für Bruchterme. Daher muss man bei der Addition und der Subtraktion von Bruchtermen folgendermaßen vorgehen:

  • Ermittlung des Hauptnenners. Hierfür müssen alle Nenner in Faktoren zerlegt werden. Der Hauptnenner ist nun immer das Produkt, das sich aus der stets höchsten Potenz aller auftretenden Faktoren zusammensetzt.
  • Erweiterung der Brüche auf den Hauptnenner hin. Ist jeder Nenner des Bruchterms in seine Faktoren zerlegt, so kann der Bruch mit den fehlenden Faktoren erweitert werden.
  • Zusammenfassen und Vereinfachung der Bruchterme. Alle Bruchterme werden auf einen Bruchstrich geschrieben und jeder einzelne Zähler in Abhängigkeit zu der Erweiterung ausmultipliziert. Anschließend werden gleiche Einzelterme zusammengefasst. Der Nenner ist der gebildete Hauptnenner. Gegebenenfalls kann der Bruch danach noch gekürzt werden.

 

1. Beispiel: 

{\frac{5}{\mathrm x}}{\frac{2}{\mathrm x^2}}     (für x ≠ 0)

Hier ist der Hauptnenner x² (x² = x · x). Der andere Nenner ist x und somit in x² enthalten. Der erste Bruch muss daher um den Faktor x erweitert werden, der zweite Bruch muss nicht erweitert werden.

{\frac{5\ {\cdot}~\mathrm x}{\mathrm x\ {\cdot}~\mathrm x}}{\frac{2}{\mathrm x^2}}

{\frac{5\mathrm x}{\mathrm x^2}}{\frac{2}{\mathrm x^2}}

Die beiden Bruchterme können nun auf einen Nenner gebracht werden.

{\frac{5\mathrm x~+~2}{\mathrm x^2}}

Das ist schließlich der Bruchterm, den man nach einer Addition erhält.

 

2. Beispiel: 

{\frac{7}{2\mathrm x}} – {\frac{5}{3\mathrm y}}     (für x ≠ 0; für y ≠ 0)

Hier ist der Hauptnenner: 2 · · 3 · y. Denn in keinem Nenner gibt es einen Faktor, der in beiden Nennern auftritt. Der erste Bruch muss daher um dem Faktor 3 · y, der zweite um den Faktor 2 · x erweitert werden.

{\frac{7\ {\cdot}\ 3\ {\cdot}~\mathrm y}{2\mathrm x\ {\cdot}\ 3\ {\cdot}~\mathrm y}} – {\frac{5\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}~\mathrm x}{3\mathrm y\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}~\mathrm x}}

Die Zähler und Nenner und Nenner können nun malgenommen werden.

{\frac{21\mathrm y}{6\mathrm x\mathrm y}} – {\frac{10\mathrm x}{6\mathrm y\mathrm x}}

Geordnet erhält man diese beiden Brüche.

{\frac{21\mathrm y}{6\mathrm x\mathrm y}} – {\frac{10\mathrm x}{6\mathrm x\mathrm y}}

An den beiden Brüchen kann nun eine Subtraktion durchgeführt werden.

{\frac{21\mathrm y~-~10\mathrm x}{6\mathrm x\mathrm y}}

Geordnet erhält man nach der Subtraktion folgenden Bruchterm.

{\frac{-10\mathrm x~+~21\mathrm y}{6\mathrm x\mathrm y}}

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Man kann verschiedene einzelne Bruchterme sofort auch immer als einen Bruchterm schreiben, wenn man diese mit dem Hauptnenner erweitert hat.

 

3. Beispiel:

{\frac{6\mathrm x~+~\mathrm y}{8\mathrm x\mathrm y}} + {\frac{\mathrm x~-~\mathrm y}{\mathrm y^2}}{\frac{1}{8\mathrm x}}     (für x ≠ 0; y ≠ 0)

Zuerst muss man alle Nenner in Faktoren zerlegen und darauf achten, dass (möglichst) die höchste Potenz hierbei zum Vorschein kommt.

Der erste Nenner ist: 8xy = 2³ · x · y; der zweite Nenner ist: y2 = y2  (das ist y · y); der dritte Nenner: 8x = 8 · x

Hieraus ergibt sich folgender Hauptnenner: 2³ · y2 · x = 2³ · x · y2

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Achte bei der Bildung des Hauptnenners, dass jeweils die höchste Potenz der vorkommenden Einzelterme als Faktor vorkommt.

 

{\frac{(6\mathrm x~+~\mathrm y)\ {\cdot}~\mathrm y}{2^3\mathrm x\mathrm y^2}} + {\frac{(\mathrm x~-~\mathrm y)\ {\cdot}\ 2^3\ {\cdot}~\mathrm x}{2^3\mathrm x\mathrm y^2}}{\frac{(1)\ {\cdot}~\mathrm y^2}{2^3\mathrm x\mathrm y^2}}

Da der Hauptnenner „2³ · x · y2“ ist und der Nenner des ersten Bruches „2³ · x · y“ ist, muss der Zähler mit dem Faktor „y“ erweitert werden. Bei dem zweiten Bruch ist der Nenner „y²“. Daher muss man hier den Zähler mit dem Faktor „2³ · x“ erweitern. Bei dem dritten Bruch ist der Nenner „8 · x“, deshalb muss hier der Zähler mit „y2“ erweitert werden.

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Im Prinzip muss man jeden Nenner jedes einzelnen Bruchterms jeweils mit dem gleichen Faktor für den Zähler erweitern. Ersetzt man aber hingegen gleich den jeweiligen Nenner durch den gebildeten Hauptnenner, dann kann man sich dies ersparen.

 

{\frac{(6\mathrm x~+~\mathrm y)\ {\cdot}~\mathrm y~+~(\mathrm x~-~\mathrm y)\ {\cdot}\ 2^3\mathrm x~-~(1)\ {\cdot}~\mathrm y^2}{2^3\mathrm x\mathrm y^2}}

Nachdem alle einzelnen Bruchterme auf einen Bruchstrich geschrieben wurden, können diese ausmultipliziert werden (Das kann man aber auch schon vorher machen!).

{\frac{6\mathrm x\mathrm y~+~\mathrm y^2~+~2^3\mathrm x^2~-~2^3\mathrm x\mathrm y~-~\mathrm y^2}{2^3\mathrm x\mathrm y^2}}

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Achte beim Ausmultiplizieren auf die geltende Vorzeichenregel bei einem Produkt.

 

{\frac{-2\mathrm x\mathrm y~+~2^3\mathrm x^2}{2^3\mathrm x\mathrm y^2}}

Die Einzelterme „6xy“ und „–23xy“ lassen sich zu „–2xy“ zusammenfassen, „y2“ und „–y2“ eliminieren sich.

{\frac{2\mathrm x\ {\cdot}\ (-\mathrm y~+~2^2\mathrm x)}{2\mathrm x\ {\cdot}\ 2^2\mathrm y^2}}

Der Faktor „2x“ kann jetzt gekürzt werden.

{\frac{-\mathrm y~+~2^2\mathrm x}{2^2\mathrm y^2}};

Die reinen Zahlen-Potenz löst man danach auf.

{\frac{-\mathrm y~+~4\mathrm x}{4\mathrm y^2}}

Danach kann man den Bruchterm noch hinsichtlich der vorkommenden Einzelterme ordnen.

{\frac{4\mathrm x~-~\mathrm y}{4\mathrm y^2}}

Das ist schließlich der Bruchterm, der nach der Addition und Subtraktion der einzelnen Bruchterme entsteht.

Ich lache nur bei Sonnenschein © Rike PIXELIO www.pixelio.de

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4. Beispiel:

{\frac{\mathrm x^2~+~8}{4\mathrm x^2}} + {\frac{-5\mathrm x^2~+~3}{2\mathrm x}}{\frac{5\mathrm x~+~2}{4}} + {\frac{7}{3\mathrm x^2}}     (für x ≠ 0)

Zuerst zerlegt man alle Terme im Nenner hin zur jeweils höchsten Potenz.

Der erste Nenner ist: 4x2 = 22 · x2; der zweite Nenner ist: 2x = 2 · x; der dritte Nenner ist: 4 = 22; der vierte Nenner ist: 3x2 = 3 · x2

Der Hauptnenner ist nun folgender: 22 · x2 · 3 = 3 · 22 · x2

{\frac{(\mathrm x^2~+~8)\ {\cdot}\ 3}{3\ {\cdot}\ 2^2\mathrm x^2}} + {\frac{(-5\mathrm x^2~+~3)\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}\ 3\ {\cdot}~\mathrm x}{3\ {\cdot}\ 2^2\mathrm x^2}}{\frac{(5\mathrm x~+~2)\ {\cdot}\ 3\mathrm x^2}{3\ {\cdot}\ 2^2\mathrm x^2}} + {\frac{7\ {\cdot}\ 2^2}{3\ {\cdot}\ 2^2\mathrm x^2}}

Da der Hauptnenner „3 · 22 · x2“ ist und der Nenner des ersten Bruches „4 · x2“ ist, muss dieser Bruch mit dem Faktor „3“ erweitert werden. Beim zweiten Bruch ist der Nenner „2x“. Daher muss dieser mit den Faktoren „3 · 2 · x“ erweitert werden. Der dritte Bruch weist den Nenner „4“ auf. Deshalb muss man diesen mit den Faktoren „3 · x2“ erweitern. Der letzt Bruch hat den Nenner „3 · x²“. Hieraus ergibt sich, dass jener mit dem Faktor „22“ erweitert werden muss.

{\frac{(\mathrm x^2~+~8)\ {\cdot}\ 3~+~(-5\mathrm x^2~+~3)\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}\ 3\ {\cdot}~\mathrm x~-~(5\mathrm x~+~2)\ {\cdot}\ 3\mathrm x^2~+~7\ {\cdot}\ 2^2}{3\ {\cdot}\ 2^2\mathrm x^2}}

Wenn alle Bruchterme auf einem Bruchstrich stehen, kann mit dem Ausmulitplizieren begonnen werden.

{\frac{3\mathrm x^2~+~24~-~30\mathrm x^3~+~18\mathrm x~-~15\mathrm x^3~-~6\mathrm x^2~+~28}{3\ {\cdot}\ 2^2\mathrm x^2}}

Die Einzelterme „–30x3“ und „–15x3“ lassen sich zu „–45x3“ zusammenfassen. Die Einzelterme „3x2“ und „–6x2“ zu „–3x²“. Die Einzelterme „24“ und „28“ wiederum zu „52“

{\frac{-45\mathrm x^3~-~3\mathrm x^2~+~18\mathrm x~+~52}{3\ {\cdot}\ 2^2\mathrm x^2}};

{\frac{-45\mathrm x^3~-~3\mathrm x^2~+~18\mathrm x~+~52}{12\mathrm x^2}}

Das ist schließlich der mittels Addition und Subtraktion der einzelnen Bruchterme enstandene Bruchterm.

 

Speziallfall bei der Addition und Subtraktion gleichnamiger Bruchterme

  • Bei der Addition und Subtraktion gleichnamiger Bruchterme werden die Zähler addiert oder subtrahiert. Der Nenner bleibt hierbei unverändert.

 

Allgemeine Darstellung der Addition und Subtraktion von Bruchtermen

{\frac{\mathrm a}{\mathrm b}} + {\frac{\mathrm c}{\mathrm b}} = {\frac{\mathrm a~+~\mathrm c}{\mathrm b}}      (für b ≠ 0)

{\frac{\mathrm a}{\mathrm b}} – {\frac{\mathrm c}{\mathrm b}} = {\frac{\mathrm a~-~\mathrm c}{\mathrm b}}      (für b ≠ 0)

 

1. Beispiel:

{\frac{4\mathrm x}{\mathrm y}} + {\frac{5\mathrm x}{\mathrm y}} = {\frac{4\mathrm x~+~5\mathrm x}{\mathrm y}}     (für y ≠ 0);

{\frac{4\mathrm x~+~5\mathrm x}{\mathrm y}} = {\frac{9\mathrm x}{\mathrm y}}

 

2. Beispiel:

{\frac{7\mathrm x}{\mathrm y}} – {\frac{3\mathrm x}{\mathrm y}} = {\frac{7\mathrm x~-~3\mathrm x}{\mathrm y}}    (für y ≠ 0);

{\frac{7\mathrm x~-~3\mathrm x}{\mathrm y}} = {\frac{4\mathrm x}{\mathrm y}}

 

4. Das Multiplizieren von Bruchtermen

Das Multiplizieren bei Bruchtermen geht genauso vonstatten wie bei ganz normalen Brüchen. Demzufolge gilt bei einer Multiplikation von Bruchtermen folgende Regel:

  • Beim Multiplizieren von Bruchtermen müssen sowohl die Zähler als auch die Nenner miteinander malgenommen werden.

 

Allgemeine Darstellung der Multiplikation von Bruchtermen

{\frac{\mathrm a}{\mathrm b}} · {\frac{\mathrm c}{\mathrm d}} = {\frac{\mathrm a\ {\cdot}~\mathrm c}{\mathrm b\ {\cdot}~\mathrm d}}        (für b ≠ 0, d ≠ 0)

 

1. Beispiel:

  {\frac{4\mathrm a}{5\mathrm b}} · {\frac{3\mathrm x}{4\mathrm y}};

{\frac{4\mathrm a\ {\cdot}\ 3\mathrm x}{5\mathrm b\ {\cdot}\ 4\mathrm y}};

{\frac{12\mathrm a\mathrm x}{20\mathrm b\mathrm y}}

Der Faktor „12“ im Zähler und der Faktor „20“ im Nenner des Bruchterms haben noch den gemeinsamen Teiler „4“. Daher kann der Bruchterm noch durch „4“ gekürzt werden.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Das Kürzen kann auch bereits, wie man es beim Bruchrechnen gelernt hat, während der Multiplikation durchgeführt werden.

 

  {\frac{3\mathrm a\mathrm x}{5\mathrm b\mathrm y}}

Das ist der mittels Multiplikation entstandene Bruchterm.

 

2. Beispiel:

  {\frac{2\mathrm x~+~3\mathrm y}{3\mathrm x}} · {\frac{3\mathrm y}{5\mathrm x}} = {\frac{(2\mathrm x~+~3\mathrm y)\ {\cdot}\ 3\mathrm y}{3\mathrm x\ {\cdot}\ 5\mathrm x}};

{\frac{(2\mathrm x~+~3\mathrm y)\ {\cdot}\ 3\mathrm y}{3\mathrm x\ {\cdot}\ 5\mathrm x}} = {\frac{6\mathrm x\mathrm y~+~9\mathrm y^2}{15\mathrm x^2}}

Hier können im Zähler die Faktoren „6“ und „9“ sowie im Nenner der Faktor „15“ jeweils durch „3“ geteilt werden.

  {\frac{2\mathrm x\mathrm y~+~3\mathrm y^2}{5\mathrm x^2}}

Das ist der nicht mehr weiter zu vereinfachende Bruchterm.

 

Spezialfall bei der Multiplikation von Bruchtermen

  • Beim Multiplizieren eines Bruchterms mit einem Term muss nur der Zähler des Bruchterms mit dem Term malgenommen werden. Der Nenner bleibt hierbei gleich.

 

Allgemeine Darstellung des Spezialfalls bei der Multiplikation von Bruchtermen

{\frac{\mathrm a}{\mathrm b}} · c = {\frac{\mathrm a\ {\cdot}~\mathrm c}{\mathrm b}}       (für b ≠ 0)

 

1. Beispiel:

{\frac{7}{\mathrm x}} · y = {\frac{7\ {\cdot}~\mathrm y}{\mathrm x}}       (für x ≠ 0);

{\frac{7\ {\cdot}~\mathrm y}{\mathrm x}} = {\frac{7\mathrm y}{\mathrm x}}

 

2. Beispiel:

{\frac{\mathrm x}{\mathrm y}} · 3a = {\frac{\mathrm x\ {\cdot}\ 3\mathrm a}{\mathrm y}}       (für y ≠ 0);

{\frac{\mathrm x\ {\cdot}\ 3\mathrm a}{\mathrm y}}{\frac{\mathrm x3\mathrm a}{\mathrm y}}

Nach den Einzeltermen hin geordnet, erhält man diesen Bruchterm.

{\frac{\mathrm x3\mathrm a}{\mathrm y}}{\frac{3\mathrm a\mathrm x}{\mathrm y}}

 

5. Das Dividieren von Bruchtermen

Genauso wie das Multiplizieren von Bruchtermen auf dem normalen Bruchrechnen basiert, so ist das auch beim Dividieren der Fall. Hierbei gilt daher für die Division folgende Regel.

  • Zwei Bruchterme werden miteinander dividiert, indem der erste Bruchterm mit dem Kehrwert des zweiten Bruchterms multipliziert wird.

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Beim Kehrwert eines Bruches wird einfach der Zähler und der Nenner des Bruchs umgedreht.

 

Allgemeine Darstellung der Division von Bruchtermen

{\frac{\mathrm a}{\mathrm b}} : {\frac{\mathrm c}{\mathrm d}} = {\frac{\mathrm a}{\mathrm b}} · {\frac{\mathrm d}{\mathrm c}}     (für b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0);

{\frac{\mathrm a}{\mathrm b}} · {\frac{\mathrm d}{\mathrm c}}{\frac{\mathrm a\ {\cdot}~\mathrm d}{\mathrm b\ {\cdot}~\mathrm c}} 

 

1. Beispiel:

{\frac{3\mathrm a}{7\mathrm b}} : {\frac{4\mathrm x}{5\mathrm y}} = {\frac{3\mathrm a}{7\mathrm b}} · {\frac{5\mathrm y}{4\mathrm x}}     (für b ≠ 0; x ≠ 0; y ≠ 0);

{\frac{3\mathrm a}{7\mathrm b}} · {\frac{5\mathrm y}{4\mathrm x}} = {\frac{3\mathrm a\ {\cdot}\ 5\mathrm y}{7\mathrm b\ {\cdot}\ 4\mathrm x}};

{\frac{3\mathrm a\ {\cdot}\ 5\mathrm y}{7\mathrm b\ {\cdot}\ 4\mathrm x}} = {\frac{15\mathrm a\mathrm y}{28\mathrm b\mathrm x}}

Das ist der mittels Division entstandene Bruchterm.

 

2. Beispiel:

{\frac{2\mathrm a~+~3\mathrm b}{4\mathrm x}} : {\frac{2\mathrm x}{4\mathrm b}} = {\frac{(2\mathrm a~+~3\mathrm b)}{4\mathrm x}} · {\frac{4\mathrm b}{2\mathrm x}}    (für b ≠ 0; x ≠ 0);

{\frac{(2\mathrm a~+~3\mathrm b)}{4\mathrm x}} · {\frac{4\mathrm b}{2\mathrm x}}{\frac{(2\mathrm a~+~3\mathrm b)\ {\cdot}\ 4\mathrm b}{4\mathrm x\ {\cdot}\ 2\mathrm x}};

{\frac{(2\mathrm a~+~3\mathrm b)\ {\cdot}\ 4\mathrm b}{4\mathrm x\ {\cdot}\ 2\mathrm x}} = {\frac{8\mathrm a\mathrm b~+~12\mathrm b^2}{8\mathrm x^2}}

Das ist der mittels Division entstandene Bruchterm.

 

Spezialfall bei der Division von Bruchtermen

  • Beim Dividieren eines Bruchterms mit einem Term muss der Nenner mit dem Term malgenommen werden. Der Zähler bleibt hierbei unverändert.

 

Allgemeine Darstellung des Spezialfalls bei der Division von Bruchtermen

{\frac{\mathrm a}{\mathrm b}} : c = {\frac{\mathrm a}{\mathrm b\ {\cdot}~\mathrm c}}     (für b ≠ 0, c ≠ 0);

ohne Malzeichen: {\frac{\mathrm a}{\mathrm b\mathrm c}}

 

1. Beispiel:

{\frac{5\mathrm x}{\mathrm y}} : a = {\frac{5\mathrm x}{\mathrm y\ {\cdot}~\mathrm a}}     (für y ≠ 0, a ≠ 0);

Geordnet: {\frac{5\mathrm x}{\mathrm a\mathrm y}}

 

2. Beispiel:

{\frac{2\mathrm x\mathrm y}{\mathrm z}} : 3ab = {\frac{2\mathrm x\mathrm y}{\mathrm z\ {\cdot}\ 3\mathrm a\mathrm b}}     (für y ≠ 0, a ≠ 0, b ≠ 0);

Geordnet und ohne Malzeichen: {\frac{2\mathrm x\mathrm y}{3\mathrm a\mathrm b\mathrm z}}

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Rechenoperationen

Die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division

1. Rechenoperationen und Rechenfähigkeiten

In Mathematik muss man bekanntlich rechnen, rechnen und nochmals rechnen. Je besser man demzufolge rechnen kann, desto weniger Fehler passieren einem beim rechnerischen Lösen von Aufgaben. Die rechnerischen Fähigkeiten eines jeden Schülers hängen hierbei maßgeblich davon ab, wie gut man das elementare Mathe-„Handwerkszeug“ beherrscht – die Rechenoperationen.

Unter Rechenoperationen zählt man bei den Grundrechenarten das Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und das Dividieren und alle darauf basierenden Rechenoperationen wie das Potenzieren, das Wurzelziehen sowie das Logarithmieren. Hierbei lernt man die Rechenoperationen zunächst einzeln, später treten die gelernten Rechenoperationen jeweils beispielsweise bei dem Bruch-, Dezimal- und Prozentrechnen in Kombination wieder auf und anderen komplizierteren zu tätigenden Rechnungen.

Jede dieser Rechenoperationen unterliegt nun bestimmten Rechengesetzen/Rechenregeln. Da die „höheren“ Rechenoperationen wie das Potenzieren, das Wurzelziehen und das Logarithmieren auf den Grundrechenarten aufbauen, kann man tendenziell besser, schneller und vor allem fehlerfreier rechnen, wenn man die Grundrechenarten so gut wie möglich kann. Aufgrund der Tatsache, dass man spätestens ab der 8. Klasse einen Taschenrechner benutzen darf, kann man jedoch bei einem gekonnten Umgang mit dem Taschenrechner wiederum vorher vorhandene und auch spätere Rechenschwächen „umschiffen“ beziehungsweise kaschieren. Das geht aber nur, solange bloß „nackte“ Zahlen vorkommen. Spätestens aber, wenn Terme mit Variablen auftreten, „flackert“ die alte Rechenschwäche aufs Neue auf. Denn auch „höhere“ Rechenoperationen wie das Wurzelziehen und das Logarithmieren kommen in Mathematik bei Termen, Gleichungen und Funktionen vor – und müssen dort vielfach korrekt angewandt werden. Zwar gibt es inzwischen auch Taschenrechner, die beliebig programmierbar sind und auch schwierigere Mathe-Ausdrücke wie Terme, Gleichungen und Funktionen mit unterschiedlichen Variablen und „höheren“ Rechenoperationen wie das Wurzelziehen und Logarithmieren berechnen können, jedoch im Mathe-Abitur sind diese nicht zugelassen. Daher geht kein Weg daran vorbei, im Fach Mathe sich alle Rechenoperationen so gut wie möglich anzueignen – ansonsten verliert man unter Garantie immer schon Punkte aufgrund eines fehlerhaften Rechenweges. Auch besteht die nicht zu unterschätzende Gefahr, dass man durch Rechenfehler den Lösungsweg verkompliziert.

Ebenso sollte man sich im Klaren sein: Je höher die Klassenstufe ist, desto häufiger wird im Fach Mathematik während der Klassenarbeiten die Uhr ticken. Umso mehr gilt das noch für das schriftliche Mathe-Abitur. Hat man daher gerade in der Oberstufe noch irgendwelche Rechenprobleme bei bestimmten Rechenoperationen, dann werden nicht nur die Klassenarbeiten in Mathematik von der Note her mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit alles andere als gut ausfallen – sondern auch das zu absolvierende schriftliche Mathe-Abitur.

 

2. Die Rechenoperationen bei den Grundrechenarten

Die elementarsten Rechenoperationen treten bei den Grundrechenarten, der Addition, Subtraktion, Multiplikation und der Division, auf. Hierbei bezeichnet man die Rechenoperation bei der Addition als ein Addieren, bei der Subtraktion als ein Subtrahieren, bei der Multiplikation als ein Multiplizieren und die Rechenoperation bei der Division als ein Dividieren.

 

Das Addieren: Beim Addieren/einem Zusammenzählen werden mindestens zwei Zahlen zusammengezählt/addiert. Das hierbei verwendete Rechenzeichen/Operarator(zeichen) ist das Pluszeichen/„+“. Die einzelnen mathematischen Zahlen/Operanden werden beim Addieren jeweils als Summanden bezeichnet und das Ergebnis als Summe. Es gilt daher beim Addieren folgende allgemeine Mathematik-Rechenoperation.

Summand + Summand = Summe

Beispiele:

1. 3 + 7 = 10

2. 12 + 34 = 46

3. 400 + 2 = 402

4. 7040051 + 778 = 7040829

Um das Addieren als Rechenoperation bei der Addition korrekt rechnerisch durchzuführen, muss man natürlich noch die hierbei auftretenden Rechengesetze/Rechenregeln beherrschen.

 

Das Subtrahieren: Beim Subtrahieren/einem Abziehen wird mindestens eine Zahl von einer anderen abgezogen/subtrahiert. Das hierbei verwendete Rechenzeichen/Operator(zeichen) ist das Minuszeichen/„„. Die mathematischen Zahlen/Operanden werden bei beim Subtrahieren unterschieden, und zwar in Minuend und Subtrahend (der Minuend steht hierbei immer vor dem Subtahend), und das Ergebnis wird als Differenz bezeichnet. Es gilt daher beim Subtrahieren diese allgemeine Mathematik-Rechenoperation.

Minuend Subtrahend = Differenz

Beispiele:

1. 8 – 5 = 3

2. 25 – 14 = 11

3. 2025 – 493 = 1532

4. 5030678 – 9856 = 5020822

Damit man das Subtrahieren als Rechenoperation bei der Subtraktion auch korrekt rechnerisch umsetzten kann, muss man natürlich ebenso die hier geltenden Rechengesetze/Rechenregeln können.

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Die umgekehrte Rechenoperation zum Addieren/zum Zusammenzählen stellt das Subtrahieren/das Abziehen dar.

 

Das Multiplizieren: Beim Multiplizieren/einem Malnehmen werden mindestens zwei Zahlen miteinander malgenommen/multipliziert. Das hierbei verwendete Rechenzeichen/Operator(zeichen) ist das Multiplikationszeichen/·„. Die mathematischen Zahlen/Operanden werden beim Multiplizieren jeweils als Faktor und das Ergebnis als Produkt bezeichnet. Es gilt daher beim Multiplizieren folgende allgemeine Rechenoperation.

Faktor · Faktor = Produkt

Beispiele:

1. 3 · 4 = 12

2. 18 · 12 = 216

3. 3511 · 432 = 1516752

4. 6693467 · 3406 = 22797948602

Zum korrekten rechnerischen Umsetzen des Multiplizierens als Rechenoperation bei der Multiplikation ist natürlich ebenfalls ein Beherrschen der Rechengesetze/Rechenregeln dieser Grundrechenart vonnöten.

 

Das Dividieren: Beim Dividieren/einem Teilen wird mindestens eine Zahl durch eine andere geteilt/dividiert. Das hierbei verwendete Rechenzeichen/Operator(zeichen) ist das Divisionszeichen/:„. Die mathematischen Zahlen/Operanden werden beim Dividieren unterschieden, und zwar in Dividend und Divisor (der Dividend steht hierbei immer vor dem Divisor) , und das Ergebnis wird als Quotient bezeichnet. Es gilt daher beim Dividieren diese allgemeine Rechenoperation.

Dividend : Divisor = Quotient

Beispiele:

1. 9 : 3 = 3

2. 75 : 15 = 5

3. 978 : 2 = 489

4. 5978808 : 36 = 166078

Damit das Dividieren als Rechenoperation bei der Division fehlerfrei angewandt werden kann, muss man hier ebenfalls natürlich die Rechengesetze/Rechenregeln dieser Grundrechenart können.

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Die umgekehrte Rechenoperation zum Multiplizieren/zum Malnehmen ist das Dividieren/das Teilen

 

2.1 Die Rechenoperationen beim Bruchrechnen

Jeder Bruch kann auf eine Division zurückgeführt werden, da jeder Bruch nichts anderes als eine Division darstellt.

Beispiele Zurückführen von Brüchen auf die Division:

1. {\frac{1}{4} = 1 : 4

2. {\frac{9}{13} = 9 : 13

3. {\frac{5}{907} = 5 : 907

4. {\frac{30010}{667859} = 30010 : 667859

Das Bruchrechnen basiert auf den Grundrechenarten. Daher treten die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division bei Brüchen wieder auf und deren Rechenoperationen. Demzufolge gibt es Brüche, deren Summe man berechnen muss, deren Differenz, deren Produkt und deren Quotient. Deshalb gilt für das Bruchrechnen, dass die Rechengesetze/Rechenregeln der Grundrechenarten beherrscht werden müssen und zudem, dass natürlich die dieser Rechenart zugrunde liegenden Rechengesetze/Rechenregeln korrekt angewandt werden müssen.

Beispiele Addieren bei Brüchen:

1. {\frac{1}{5} + {\frac{2}{5} = {\frac{3}{5}

2. {\frac{5}{12} + {\frac{3}{7} = {\frac{71}{84}

3. {\frac{3}{205} + {\frac{12}{19} = {\frac{2517}{3895}

4. {\frac{141}{5075} + {\frac{507}{4960} = {\frac{654477}{5034400}

 

Beispiele Subtrahieren bei Brüchen:

1. {\frac{3}{7} {\frac{2}{7} = {\frac{1}{7}

2. {\frac{22}{23} {\frac{8}{9} = {\frac{14}{207}

3. {\frac{7}{402} {\frac{3}{1115} = {\frac{6599}{448230}

4. {\frac{151}{4738} {\frac{121}{68905} = {\frac{9831357}{326471890}

 

Beispiele Multiplizieren von Brüchen:

1. {\frac{2}{5} · {\frac{3}{7} = {\frac{6}{35}

2. {\frac{7}{12} · {\frac{19}{25} = {\frac{133}{300}

3. {\frac{305}{2007} · {\frac{33}{35} = {\frac{671}{4683}

4. {\frac{907}{3008} · {\frac{5534}{12877} = {\frac{2509669}{19367008}

 

Beispiele Dividieren von Brüchen:

1. {\frac{3}{7} : {\frac{3}{5} = {\frac{5}{7}

2. {\frac{11}{29} : {\frac{5}{12} = {\frac{132}{145}

3. {\frac{10}{411} : {\frac{554}{679} = {\frac{3395}{113847}

4. {\frac{123}{3217} : {\frac{7004}{9001} = {\frac{1107123}{22531868}

 

2.2 Die Rechenoperationen beim Dezimalrechnen

Nahezu jede Dezimalzahl (bis auf nicht-abbrechende Dezimalzahlen, die nicht periodisch sind). können ohne Weiteres als Bruch dargestellt werden und somit wieder auf die Division zurückgeführt werden.

 

Beispiele Zurückführen von Dezimalzahlen auf Brüche und die Division:

1. 0,2 = {\frac{2}{10} = 2 : 10

2. 0,347 = {\frac{347}{1000} = 347 : 1000

3. 45,87539 = {\frac{4587539}{100000} = 458753 : 100000

4. 876,9659007 = {\frac{8769659007}{10000000} = 8769659007 : 10000000

Das Gleiche, was für das Bruchrechnen gilt, gilt ebenso für das Dezimalrechnen. Auch das Dezimalrechnen basiert auf den Grundrechenarten. Daher kommen auch hier die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division wieder vor sowie deren Rechenoperationen. Folglich treten Dezimalzahlen auf, deren Summe man bilden muss, deren Differenz, deren Produkt und deren Quotient. Deshalb gilt auch beim Dezimalrechnen, dass wiederum die Rechengesetze/Rechenregeln der Grundrechenarten abgerufen werden können müssen und natürlich außerdem die dieser Rechenart zugrunde liegenden Rechenregeln beachtet werden müssen.

 

Beispiele Addieren bei Dezimalzahlen:

1. 3,4 + 5,3 = 8,7

2. 12,9 + 53,8 = 66,7

3. 443,72 + 867,88 = 1311,6

4. 956,75 + 84555,845 = 85512,595

 

Beispiele Subtrahieren bei Dezimalzahlen:

1. 7,9 – 4,5 = 3,4

2. 15,81 – 2,2 = 13,61

3. 4078,74 – 975,65 = 3103,09

4. 685942,5 – 65,5647 = 685876,9353

 

Beispiele Multiplizieren bei Dezimalzahlen:

1. 8,5 · 7,3 = 62,05

2. 12,61 · 4,1 = 51,701

3. 657,43 · 73,82 = 48531,4826

4. 17945,21 · 74562,645 = 1338042322,68045


Beispiele Dividieren bei Dezimalzahlen:

1. 4,6 : 2,5 = 1,84

2. 78,65 : 1,25 = 62,92

3. 876,06 : 12,5 = 70,0848

4. 1456,44 : 10,6 = 137,4

 

2.3 Die Rechenoperationen beim Prozentrechnen

Jede Prozentangabe lässt sich als Bruch darstellen und kann somit auf die Division zurückgeführt werden.

 

Beispiele Zurückführen von Prozentangaben auf Brüche und die Division

1. 5 % = {\frac{5}{100} = 5 : 100

2. 12,76 % = {\frac{1276}{10000} = 1276 : 10000

3. 67,987 % = {\frac{67987}{100000} = 67987 : 100000

4. 8765,87 % = {\frac{876587}{10000} = 876587 : 10000

Da bei der Prozentrechnung immer Proportionalitätsverhältnisse vorliegen, bei der der gesuchte Wert jeweils mittels eines Dreisatzes bestimmt werden kann, lässt sich die Prozentrechnung auf die Multiplikation und Division zurückführen. Denn diese beiden Grundrechenarten müssen beim Dreisatz stets angewandt werden. Daher treten hier als Rechenoperationen das Multiplizieren und das Dividieren auf.

 

2.4 Die Rechenoperationen beim Zinsrechnen

Die Zinsrechnung ist ein Teilgebiet der Prozentrechnung. Daher kommen auch hier stets Proportionalitätsverhältnisse vor, bei denen jeweils der gesuchte Wert mit dem Dreisatz bestimmt werden kann. Da der Dreisatz auf die Multiplikation und die Division zurückgeführt werden kann, basiert die Zinsrechnung ebenso auf diesen beiden Grundrechenarten. Deshalb treten auch hier wiederum als Rechenoperationen das Multiplizieren und das Dividieren auf.

 

3. Die Rechenoperationen beim Potenzieren

Die nächst höhere Rechenoperation, die nach den Grundrechenarten folgt, ist das Potenzieren. Eine Potenz kann hierbei auf eine spezielle Multiplikation zurückgeführt werden, und zwar auf diejenige, bei der die Faktoren jeweils gleich sind. Daher stellt eine Potenz nur eine verkürzte Schreibweise/Darstellung dieser besonderen Multiplikation dar. Eine Potenz selbst besteht hierbei aus einer Basis/„a“und einem Exponenten/„n„. Folgende allgemeine Mathematik-Rechenoperation liegt deshalb dem Potenzieren zugrunde.

a · a · a · a · a · a · ……… · a = an

n-Faktoren von a ergeben an

 

Beispiele:

1. 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 5{^{9}}

2. 27 · 27 · 27 · 27 · 27 · 27 · 27 = 27{^{7}}

3. 8003 · 8003 · 8003 · 8003 · 8003 = 8003{^{5}}

4 {\frac{3}{7} · {\frac{3}{7} · {\frac{3}{7} · {\frac{3}{7} = ({\frac{3}{7}){^{4}}

5 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 = 7,32{^{8}}

Liegt eine Potenz vor, so gibt man in der Sprache der Mathematik die Potenz mit „a“ hoch „n“ wieder.

Das Hohelied auf das zweithöchste Gut des Menschen: der Freiheit! Einfach nur wunderschön!!!

 

Beispiele:

1. 34 heißt in Mathe richtig wiedergegeben 3 hoch 4.

2. 125 heißt in der Mathematik korrekt 12 hoch 5.

 

4. Die Rechenoperationen beim Wurzelziehen/Radizieren

Auf gleicher Ebene zum Potenzieren steht das Wurzelziehen/Radizieren. Denn eine Wurzel kann nahezu immer auf eine Potenz zurückgeführt werden, da das Wurzelziehen/Radizieren die umgekehrte Rechenoperation zum Potenzieren ist. Die Wurzel selbst wird mit folgendem Rechenzeichen/Operatorzeichen wiedergegeben: \sqrt. Eine Wurzel besteht hierbei jeweils aus einem Radikanden/„a“und einem Wurzeleponenten/ „n„. Das Zurückführen einer Wurzel auf eine Potenz zeigt sich in deren Beziehungsverhältnis.

\sqrt[n]{a} = x denn: xn = a

die n-te-Wurzel aus a = x denn: x hoch n = a

 

Beispiele:

1. \sqrt{25} = 5 denn: 52 = 2

2. \sqrt[4]{4096} = 8 denn: 84 = 4096

3. \sqrt[15]{32768} = 2 denn: 215 = 32768

4. {\sqrt{\frac{49}{100} = {\frac{7}{10} denn: ({\frac{7}{10})2 = {\frac{49}{100}

5. \sqrt{6,25} = 2,5 denn: 2,52 = 6,25

 

5. Die Rechenoperationen beim Logarithmieren

Eine weitere in Mathe zu lernende Rechenoperation stellt das Logarithmieren dar. Hierbei wird das Logarithmieren immer angewandt, wenn bei einer Potenz die Variable im Exponenten ermittelt werden soll. Der Logarithmus selbst wird mit folgendem Rechenzeichen/Operatorzeichen wiedergegeben: log. Ein Logarithmus besteht hierbei aus einer Basis/„b“ und einem Numerus/„y“. Zwischen einem Logarithmus und einer Potenz besteht nun folgendes Beziehungsverhältnis:

logby = x denn: bx = y

 

Beispiele:

log3 81 = 4 denn 34 = 81

log8 64 = 2 denn 82 = 64

log3 2187 = 7 denn 37= 2187

log_{\frac{1}{4} 2 = –{\frac{1}{2} denn ({\frac{1}{4})^-^{\frac{1}{2}} = 2

log_0_,_4 2,5 = –1 denn 0,4^-^1 = 2,5

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