Rechenoperationen

Die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division

1. Rechenoperationen und Rechenfähigkeiten

In Mathematik muss man bekanntlich rechnen, rechnen und nochmals rechnen. Je besser man demzufolge rechnen kann, desto weniger Fehler passieren einem beim rechnerischen Lösen von Aufgaben. Die rechnerischen Fähigkeiten eines jeden Schülers hängen hierbei maßgeblich davon ab, wie gut man das elementare Mathe-„Handwerkszeug“ beherrscht – die Rechenoperationen.

Unter Rechenoperationen zählt man bei den Grundrechenarten das Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und das Dividieren und alle darauf basierenden Rechenoperationen wie das Potenzieren, das Wurzelziehen sowie das Logarithmieren. Hierbei lernt man die Rechenoperationen zunächst einzeln, später treten die gelernten Rechenoperationen jeweils beispielsweise bei dem Bruch-, Dezimal- und Prozentrechnen in Kombination wieder auf und anderen komplizierteren zu tätigenden Rechnungen.

Jede dieser Rechenoperationen unterliegt nun bestimmten Rechengesetzen/Rechenregeln. Da die „höheren“ Rechenoperationen wie das Potenzieren, das Wurzelziehen und das Logarithmieren auf den Grundrechenarten aufbauen, kann man tendenziell besser, schneller und vor allem fehlerfreier rechnen, wenn man die Grundrechenarten so gut wie möglich kann. Aufgrund der Tatsache, dass man spätestens ab der 8. Klasse einen Taschenrechner benutzen darf, kann man jedoch bei einem gekonnten Umgang mit dem Taschenrechner wiederum vorher vorhandene und auch spätere Rechenschwächen „umschiffen“ beziehungsweise kaschieren. Das geht aber nur, solange bloß „nackte“ Zahlen vorkommen. Spätestens aber, wenn Terme mit Variablen auftreten, „flackert“ die alte Rechenschwäche aufs Neue auf. Denn auch „höhere“ Rechenoperationen wie das Wurzelziehen und das Logarithmieren kommen in Mathematik bei Termen, Gleichungen und Funktionen vor – und müssen dort vielfach korrekt angewandt werden. Zwar gibt es inzwischen auch Taschenrechner, die beliebig programmierbar sind und auch schwierigere Mathe-Ausdrücke wie Terme, Gleichungen und Funktionen mit unterschiedlichen Variablen und „höheren“ Rechenoperationen wie das Wurzelziehen und Logarithmieren berechnen können, jedoch im Mathe-Abitur sind diese nicht zugelassen. Daher geht kein Weg daran vorbei, im Fach Mathe sich alle Rechenoperationen so gut wie möglich anzueignen – ansonsten verliert man unter Garantie immer schon Punkte aufgrund eines fehlerhaften Rechenweges. Auch besteht die nicht zu unterschätzende Gefahr, dass man durch Rechenfehler den Lösungsweg verkompliziert.

Ebenso sollte man sich im Klaren sein: Je höher die Klassenstufe ist, desto häufiger wird im Fach Mathematik während der Klassenarbeiten die Uhr ticken. Umso mehr gilt das noch für das schriftliche Mathe-Abitur. Hat man daher gerade in der Oberstufe noch irgendwelche Rechenprobleme bei bestimmten Rechenoperationen, dann werden nicht nur die Klassenarbeiten in Mathematik von der Note her mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit alles andere als gut ausfallen – sondern auch das zu absolvierende schriftliche Mathe-Abitur.

 

2. Die Rechenoperationen bei den Grundrechenarten

Die elementarsten Rechenoperationen treten bei den Grundrechenarten, der Addition, Subtraktion, Multiplikation und der Division, auf. Hierbei bezeichnet man die Rechenoperation bei der Addition als ein Addieren, bei der Subtraktion als ein Subtrahieren, bei der Multiplikation als ein Multiplizieren und die Rechenoperation bei der Division als ein Dividieren.

 

Das Addieren: Beim Addieren/einem Zusammenzählen werden mindestens zwei Zahlen zusammengezählt/addiert. Das hierbei verwendete Rechenzeichen/Operarator(zeichen) ist das Pluszeichen/„+“. Die einzelnen mathematischen Zahlen/Operanden werden beim Addieren jeweils als Summanden bezeichnet und das Ergebnis als Summe. Es gilt daher beim Addieren folgende allgemeine Mathematik-Rechenoperation.

Summand + Summand = Summe

Beispiele:

1. 3 + 7 = 10

2. 12 + 34 = 46

3. 400 + 2 = 402

4. 7040051 + 778 = 7040829

Um das Addieren als Rechenoperation bei der Addition korrekt rechnerisch durchzuführen, muss man natürlich noch die hierbei auftretenden Rechengesetze/Rechenregeln beherrschen.

 

Das Subtrahieren: Beim Subtrahieren/einem Abziehen wird mindestens eine Zahl von einer anderen abgezogen/subtrahiert. Das hierbei verwendete Rechenzeichen/Operator(zeichen) ist das Minuszeichen/„„. Die mathematischen Zahlen/Operanden werden bei beim Subtrahieren unterschieden, und zwar in Minuend und Subtrahend (der Minuend steht hierbei immer vor dem Subtahend), und das Ergebnis wird als Differenz bezeichnet. Es gilt daher beim Subtrahieren diese allgemeine Mathematik-Rechenoperation.

Minuend Subtrahend = Differenz

Beispiele:

1. 8 – 5 = 3

2. 25 – 14 = 11

3. 2025 – 493 = 1532

4. 5030678 – 9856 = 5020822

Damit man das Subtrahieren als Rechenoperation bei der Subtraktion auch korrekt rechnerisch umsetzten kann, muss man natürlich ebenso die hier geltenden Rechengesetze/Rechenregeln können.

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Die umgekehrte Rechenoperation zum Addieren/zum Zusammenzählen stellt das Subtrahieren/das Abziehen dar.

 

Das Multiplizieren: Beim Multiplizieren/einem Malnehmen werden mindestens zwei Zahlen miteinander malgenommen/multipliziert. Das hierbei verwendete Rechenzeichen/Operator(zeichen) ist das Multiplikationszeichen/·„. Die mathematischen Zahlen/Operanden werden beim Multiplizieren jeweils als Faktor und das Ergebnis als Produkt bezeichnet. Es gilt daher beim Multiplizieren folgende allgemeine Rechenoperation.

Faktor · Faktor = Produkt

Beispiele:

1. 3 · 4 = 12

2. 18 · 12 = 216

3. 3511 · 432 = 1516752

4. 6693467 · 3406 = 22797948602

Zum korrekten rechnerischen Umsetzen des Multiplizierens als Rechenoperation bei der Multiplikation ist natürlich ebenfalls ein Beherrschen der Rechengesetze/Rechenregeln dieser Grundrechenart vonnöten.

 

Das Dividieren: Beim Dividieren/einem Teilen wird mindestens eine Zahl durch eine andere geteilt/dividiert. Das hierbei verwendete Rechenzeichen/Operator(zeichen) ist das Divisionszeichen/:„. Die mathematischen Zahlen/Operanden werden beim Dividieren unterschieden, und zwar in Dividend und Divisor (der Dividend steht hierbei immer vor dem Divisor) , und das Ergebnis wird als Quotient bezeichnet. Es gilt daher beim Dividieren diese allgemeine Rechenoperation.

Dividend : Divisor = Quotient

Beispiele:

1. 9 : 3 = 3

2. 75 : 15 = 5

3. 978 : 2 = 489

4. 5978808 : 36 = 166078

Damit das Dividieren als Rechenoperation bei der Division fehlerfrei angewandt werden kann, muss man hier ebenfalls natürlich die Rechengesetze/Rechenregeln dieser Grundrechenart können.

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Die umgekehrte Rechenoperation zum Multiplizieren/zum Malnehmen ist das Dividieren/das Teilen

 

2.1 Die Rechenoperationen beim Bruchrechnen

Jeder Bruch kann auf eine Division zurückgeführt werden, da jeder Bruch nichts anderes als eine Division darstellt.

Beispiele Zurückführen von Brüchen auf die Division:

1. {\frac{1}{4} = 1 : 4

2. {\frac{9}{13} = 9 : 13

3. {\frac{5}{907} = 5 : 907

4. {\frac{30010}{667859} = 30010 : 667859

Das Bruchrechnen basiert auf den Grundrechenarten. Daher treten die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division bei Brüchen wieder auf und deren Rechenoperationen. Demzufolge gibt es Brüche, deren Summe man berechnen muss, deren Differenz, deren Produkt und deren Quotient. Deshalb gilt für das Bruchrechnen, dass die Rechengesetze/Rechenregeln der Grundrechenarten beherrscht werden müssen und zudem, dass natürlich die dieser Rechenart zugrunde liegenden Rechengesetze/Rechenregeln korrekt angewandt werden müssen.

Beispiele Addieren bei Brüchen:

1. {\frac{1}{5} + {\frac{2}{5} = {\frac{3}{5}

2. {\frac{5}{12} + {\frac{3}{7} = {\frac{71}{84}

3. {\frac{3}{205} + {\frac{12}{19} = {\frac{2517}{3895}

4. {\frac{141}{5075} + {\frac{507}{4960} = {\frac{654477}{5034400}

 

Beispiele Subtrahieren bei Brüchen:

1. {\frac{3}{7} {\frac{2}{7} = {\frac{1}{7}

2. {\frac{22}{23} {\frac{8}{9} = {\frac{14}{207}

3. {\frac{7}{402} {\frac{3}{1115} = {\frac{6599}{448230}

4. {\frac{151}{4738} {\frac{121}{68905} = {\frac{9831357}{326471890}

 

Beispiele Multiplizieren von Brüchen:

1. {\frac{2}{5} · {\frac{3}{7} = {\frac{6}{35}

2. {\frac{7}{12} · {\frac{19}{25} = {\frac{133}{300}

3. {\frac{305}{2007} · {\frac{33}{35} = {\frac{671}{4683}

4. {\frac{907}{3008} · {\frac{5534}{12877} = {\frac{2509669}{19367008}

 

Beispiele Dividieren von Brüchen:

1. {\frac{3}{7} : {\frac{3}{5} = {\frac{5}{7}

2. {\frac{11}{29} : {\frac{5}{12} = {\frac{132}{145}

3. {\frac{10}{411} : {\frac{554}{679} = {\frac{3395}{113847}

4. {\frac{123}{3217} : {\frac{7004}{9001} = {\frac{1107123}{22531868}

 

2.2 Die Rechenoperationen beim Dezimalrechnen

Nahezu jede Dezimalzahl (bis auf nicht-abbrechende Dezimalzahlen, die nicht periodisch sind). können ohne Weiteres als Bruch dargestellt werden und somit wieder auf die Division zurückgeführt werden.

 

Beispiele Zurückführen von Dezimalzahlen auf Brüche und die Division:

1. 0,2 = {\frac{2}{10} = 2 : 10

2. 0,347 = {\frac{347}{1000} = 347 : 1000

3. 45,87539 = {\frac{4587539}{100000} = 458753 : 100000

4. 876,9659007 = {\frac{8769659007}{10000000} = 8769659007 : 10000000

Das Gleiche, was für das Bruchrechnen gilt, gilt ebenso für das Dezimalrechnen. Auch das Dezimalrechnen basiert auf den Grundrechenarten. Daher kommen auch hier die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division wieder vor sowie deren Rechenoperationen. Folglich treten Dezimalzahlen auf, deren Summe man bilden muss, deren Differenz, deren Produkt und deren Quotient. Deshalb gilt auch beim Dezimalrechnen, dass wiederum die Rechengesetze/Rechenregeln der Grundrechenarten abgerufen werden können müssen und natürlich außerdem die dieser Rechenart zugrunde liegenden Rechenregeln beachtet werden müssen.

 

Beispiele Addieren bei Dezimalzahlen:

1. 3,4 + 5,3 = 8,7

2. 12,9 + 53,8 = 66,7

3. 443,72 + 867,88 = 1311,6

4. 956,75 + 84555,845 = 85512,595

 

Beispiele Subtrahieren bei Dezimalzahlen:

1. 7,9 – 4,5 = 3,4

2. 15,81 – 2,2 = 13,61

3. 4078,74 – 975,65 = 3103,09

4. 685942,5 – 65,5647 = 685876,9353

 

Beispiele Multiplizieren bei Dezimalzahlen:

1. 8,5 · 7,3 = 62,05

2. 12,61 · 4,1 = 51,701

3. 657,43 · 73,82 = 48531,4826

4. 17945,21 · 74562,645 = 1338042322,68045


Beispiele Dividieren bei Dezimalzahlen:

1. 4,6 : 2,5 = 1,84

2. 78,65 : 1,25 = 62,92

3. 876,06 : 12,5 = 70,0848

4. 1456,44 : 10,6 = 137,4

 

2.3 Die Rechenoperationen beim Prozentrechnen

Jede Prozentangabe lässt sich als Bruch darstellen und kann somit auf die Division zurückgeführt werden.

 

Beispiele Zurückführen von Prozentangaben auf Brüche und die Division

1. 5 % = {\frac{5}{100} = 5 : 100

2. 12,76 % = {\frac{1276}{10000} = 1276 : 10000

3. 67,987 % = {\frac{67987}{100000} = 67987 : 100000

4. 8765,87 % = {\frac{876587}{10000} = 876587 : 10000

Da bei der Prozentrechnung immer Proportionalitätsverhältnisse vorliegen, bei der der gesuchte Wert jeweils mittels eines Dreisatzes bestimmt werden kann, lässt sich die Prozentrechnung auf die Multiplikation und Division zurückführen. Denn diese beiden Grundrechenarten müssen beim Dreisatz stets angewandt werden. Daher treten hier als Rechenoperationen das Multiplizieren und das Dividieren auf.

 

2.4 Die Rechenoperationen beim Zinsrechnen

Die Zinsrechnung ist ein Teilgebiet der Prozentrechnung. Daher kommen auch hier stets Proportionalitätsverhältnisse vor, bei denen jeweils der gesuchte Wert mit dem Dreisatz bestimmt werden kann. Da der Dreisatz auf die Multiplikation und die Division zurückgeführt werden kann, basiert die Zinsrechnung ebenso auf diesen beiden Grundrechenarten. Deshalb treten auch hier wiederum als Rechenoperationen das Multiplizieren und das Dividieren auf.

 

3. Die Rechenoperationen beim Potenzieren

Die nächst höhere Rechenoperation, die nach den Grundrechenarten folgt, ist das Potenzieren. Eine Potenz kann hierbei auf eine spezielle Multiplikation zurückgeführt werden, und zwar auf diejenige, bei der die Faktoren jeweils gleich sind. Daher stellt eine Potenz nur eine verkürzte Schreibweise/Darstellung dieser besonderen Multiplikation dar. Eine Potenz selbst besteht hierbei aus einer Basis/„a“und einem Exponenten/„n„. Folgende allgemeine Mathematik-Rechenoperation liegt deshalb dem Potenzieren zugrunde.

a · a · a · a · a · a · ……… · a = an

n-Faktoren von a ergeben an

 

Beispiele:

1. 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 5{^{9}}

2. 27 · 27 · 27 · 27 · 27 · 27 · 27 = 27{^{7}}

3. 8003 · 8003 · 8003 · 8003 · 8003 = 8003{^{5}}

4 {\frac{3}{7} · {\frac{3}{7} · {\frac{3}{7} · {\frac{3}{7} = ({\frac{3}{7}){^{4}}

5 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 = 7,32{^{8}}

Liegt eine Potenz vor, so gibt man in der Sprache der Mathematik die Potenz mit „a“ hoch „n“ wieder.

Das Hohelied auf das zweithöchste Gut des Menschen: der Freiheit! Einfach nur wunderschön!!!

 

Beispiele:

1. 34 heißt in Mathe richtig wiedergegeben 3 hoch 4.

2. 125 heißt in der Mathematik korrekt 12 hoch 5.

 

4. Die Rechenoperationen beim Wurzelziehen/Radizieren

Auf gleicher Ebene zum Potenzieren steht das Wurzelziehen/Radizieren. Denn eine Wurzel kann nahezu immer auf eine Potenz zurückgeführt werden, da das Wurzelziehen/Radizieren die umgekehrte Rechenoperation zum Potenzieren ist. Die Wurzel selbst wird mit folgendem Rechenzeichen/Operatorzeichen wiedergegeben: \sqrt. Eine Wurzel besteht hierbei jeweils aus einem Radikanden/„a“und einem Wurzeleponenten/ „n„. Das Zurückführen einer Wurzel auf eine Potenz zeigt sich in deren Beziehungsverhältnis.

\sqrt[n]{a} = x denn: xn = a

die n-te-Wurzel aus a = x denn: x hoch n = a

 

Beispiele:

1. \sqrt{25} = 5 denn: 52 = 2

2. \sqrt[4]{4096} = 8 denn: 84 = 4096

3. \sqrt[15]{32768} = 2 denn: 215 = 32768

4. {\sqrt{\frac{49}{100} = {\frac{7}{10} denn: ({\frac{7}{10})2 = {\frac{49}{100}

5. \sqrt{6,25} = 2,5 denn: 2,52 = 6,25

 

5. Die Rechenoperationen beim Logarithmieren

Eine weitere in Mathe zu lernende Rechenoperation stellt das Logarithmieren dar. Hierbei wird das Logarithmieren immer angewandt, wenn bei einer Potenz die Variable im Exponenten ermittelt werden soll. Der Logarithmus selbst wird mit folgendem Rechenzeichen/Operatorzeichen wiedergegeben: log. Ein Logarithmus besteht hierbei aus einer Basis/„b“ und einem Numerus/„y“. Zwischen einem Logarithmus und einer Potenz besteht nun folgendes Beziehungsverhältnis:

logby = x denn: bx = y

 

Beispiele:

log3 81 = 4 denn 34 = 81

log8 64 = 2 denn 82 = 64

log3 2187 = 7 denn 37= 2187

log_{\frac{1}{4} 2 = –{\frac{1}{2} denn ({\frac{1}{4})^-^{\frac{1}{2}} = 2

log_0_,_4 2,5 = –1 denn 0,4^-^1 = 2,5

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Umrechnen von Größen

Bei Größen müssen im Fach Mathematik die ermittelnden Größenangaben oft umgerechnet werdet, und zwar in eine größere oder eine kleinere Maßeinheit. Das kann aus zweierlei Gründen notwendig sein.

  1. Damit man verschiedene Größenangaben gleicher Größen (z. B. Längen wie 5 m und 1200 mm oder Zeitdauern wie 5 h und 216000 s) bestmöglich vergleichen kann, müssen die Maßeinheiten jeweils gleich sein (z. B. umgerechnet in Längen wie 5 m und 1,2 m oder umgerechnet in Zeitdauern wie 5 h und 1 h).
  2. Wenn die Maßzahl einer Größenangabe sehr groß (z.B. Längen wie 50000000 cm oder Zeitdauern wie 864000 s) oder sehr klein (z. B. Längen wie 0,0000098 km oder Zeitdauern wie 0,02 h) ist und dementsprechend viele Zahlen vor oder nach dem Komma stehen, sollte man immer eine größere (z.B. umgerechnet in die Länge wie 500 km oder umgerechnet in die Zeitdauer wie 10 d) oder kleinere Maßeinheit (z. B. umgerechnet in die Länge wie 9,8 mm oder umgerechnet in die Zeitdauer wie 1,2 min) wählen. Denn dann kann man viel besser sehen, wie groß die Größe wirklich ist.

Entfernung nach Amerika in Kilometer © Marco Barnebeck(Telemarco) PIXELIO www.pixelio.de

Je nach Längeneinheiten, Einheiten für Zeitdauern, Gewichtseinheiten und Einheiten für die Fläche und den Rauminhalt gelten für die Umrechnung in andere Einheiten der gleichen Größe verschiedene Umrechnungszahlen. Nachfolgend ist veranschaulicht, wie eine richtige Umrechnung von Längeneinheiten, Gewichtseinheiten und Einheiten von Zeitdauern gemacht wird.

Umrechnung von Längen- und Gewichtseinheiten sowie Zeitdauern

Durch diese bildliche Veranschaulichung soll deutlich gemacht werden, dass von links nach rechts die Maßeinheiten der Größen Länge, Gewicht und Zeitdauer größer werden (rote Pfeilrichtung). Hierbei wird stets mit einer bestimmten Umrechnungszahl eine Division durchgeführt. Umgekehrt werden dagegen die Maßeinheiten der gleichen Größen von links nach rechts kleiner (blaue Pfeilrichtung). Hierbei wird jeweils mit einer bestimmten Umrechnungszahl eine Multiplikation durchgeführt.

Hierbei ist bei der Größe Länge die kleinste gängige Maßeinheit im Fach Mathematik mm (Millimeter), die nächst größere cm (Zentimeter), die wiederum nächst größere dm (Dezimeter), die daraufhin nächst größere m (Meter) und die darauffolgende letzte relevante Maßeinheit km (Kilometer). Die Umrechnungszahl von mm in cm ist hierbei 10, von cm in dm ebenfalls 10 und von dm in m ebenso 10, von m in km hingegen beträgt die Umrechnungszahl 1000. Die gleichen Umrechnungszahlen gelten natürlich auch in umgekehrter Richtung! Daher ist die Umrechnungszahl von km in m 1000, die Umrechnungszahl von m in dm 10, von dm in cm ebenfalls 10 und von cm in mm ebenso 10.

Bei der Größe Gewicht ist hingegen die kleinste gängige Maßeinheit im Fach Mathe mg (Milligramm), die nächst größere g (Gramm), die wiederum nächst größer kg (Kilogramm) und die darauffolgende letzte relevante t (Tonne). Die Umrechnungszahl von mg in g ist hierbei 1000, von g in kg ebenfalls 1000 und von kg in t ebenso 1000. Auch hier gelten natürlich in umgekehrter Richtung die gleichen Umrechnungszahlen! Deshalb ist die Umrechnungszahl von t in kg 1000, von kg in g ebenfalls 1000 und von g in mg ebenso 1000.

Bei der Größe Zeitdauer ist hingegen die kleinste gängige Maßeinheit im Fach Mathematik s (Sekunde), die nächst größere min (Minute), die wiederum nächst größere h (Stunde), die daraufhin nächst größere d (Tag) und die darauffolgende letzte relevante a (Jahr). Die Umrechnungszahl von s in min ist hierbei 60, von min in h ebenfalls 60, von h in d 24 und von d in a 365. Natürlich gelten auch hier in die umgekehrte Richtung die gleichen Umrechnungszahlen! Daher ist die Umrechnungszahl von a in d 365, von d in h 24, von h in min 60 und von min in s ebenfalls 60. (Anmerkung: Bei einem Schaltjahr umfasst ein Jahr hingegen 366 Tage. In der Zinsrechnung hat ein Jahr hingegen nur 360 Tage).

Damit man nun eine Länge, ein Gewicht oder eine Zeitdauer jeweils dahingehend umrechnen kann, dass deren Maßeinheit stets größer wird, muss man ihre Maßzahl mit einer bestimmten Umrechnungszahl dividieren. Hält man diese bestimmte Umrechnungszahl stets ein, so kann man jeweils die Maßeinheit der Größenangabe ohne Probleme vergrößern (Beispiele: 500 mm wird mit der Umrechnungszahl 10 dividiert, so erhält man 50 cm. Möchte man nun die Maßeinheit weiter zur nächst größeren hin umrechnen, so muss man 50 cm wiederum durch die Umrechnungszahl 10 dividieren. Hierbei ergibt sich dann die Größenangabe 5 dm usw.; 2000000 mg wird mit der Umrechnungszahl 1000 dividiert, so erhält man 2000 g. Möchte man nun die Maßeinheit wiederum weiter zur nächst größeren hin umrechnen, so muss man 2000 g wiederum durch die Umrechnungszahl 1000 dividieren. Hierbei ergibt sich dann die Größenangabe 2 kg usw.; 25200 s wird mit der Umrechnungszahl 60 dividiert, so erhält man 420 min. Möchte man nun die Maßeinheit weiter zur nächst größeren hin umrechnen, so muss man 420 min wiederum durch die Umrechnungszahl 60 dividieren. Hierbei ergibt sich dann die Größenangabe 7 h usw.).

Damit man nun eine Länge, ein Gewicht oder eine Zeitdauer stets dahingehend umrechnen kann, dass deren Maßeinheit jeweils kleiner wird, muss man ihre Maßzahl mit einer bestimmten Umrechnungszahl multiplizieren. Hält man hier ebenfalls die bestimmte Umrechnungszahl stets ein, dann kann man jeweils die Maßeinheit der Größenangabe wiederum problemlos verkleinern (Beispiele: 50 km wird mit der Umrechnungszahl 1000 multipliziert, so erhält man 50000 m. Möchte man nun die Maßeinheit wiederum weiter zur nächst kleineren hin umrechnen, dann muss man 50000 m mit der Umrechnungszahl 10 multiplizieren. Hierbei ergibt sich dann die Größenangabe 500000 dm usw.; 7 t wird mit der Umrechnungszahl 1000 multipliziert, so erhält man 7000 kg. Möchte man nun die Maßeinheit wiederum weiter zur nächst kleineren hin umrechnen, dann muss man 7000 kg wiederum mit der Umrechnungszahl 1000 multiplizieren. Dadurch ergibt sich dann die Größenangabe 7000000 g; 5 a wird mit der Umrechnungszahl 365 multipliziert, so erhält man 1825 d. Möchte man nun die Maßeinheit wiederum zur nächst kleineren hin umrechnen, so muss man 1825 d mit der Umrechnungszahl 24 multiplizieren. Hierdurch ergibt sich dann die Größenangabe 43800 h usw.).

Genauso wie bei den Größen Länge, Gewicht und Zeitdauer bei der Umrechnung in andere Einheiten eindeutige Umrechnungszahlen gelten, gibt es für die Größen Fläche und Rauminhalt ebenso welche. Nachfolgend sind diese wieder bildhaft veranschaulicht.

Durch diese bildhafte Veranschaulichung soll ebenso aufgezeigt werden, dass von links nach rechts die Maßeinheiten der Größen Flächen und Rauminhalt (Volumen) größer werden (rote Pfeilrichtung). Hierbei wird jeweils mit einer bestimmten Umrechnungszahl eine Division durchgeführt. Dagegen werden umgekehrt die Maßeinheiten derselben Größen von rechts nach links kleiner (blaue Pfeilrichtung). Hierbei wird stets mit einer bestimmten Umrechnungszahl eine Multiplikation durchgeführt.

Umrechnung von Flächeneinheiten und Einheiten für Rauminhalten

Hierbei ist im Fach Mathematik bei der Größe Fläche die kleinste gängige Maßeinheit mm² (Quadratmillimeter), die nächst größere cm² (Quadratzentimeter), die wiederum nächst größere dm² (Quadratdezimeter) die daraufhin nächst größere (Quadratmeter), die darauffolgende nächst größere a (Ar) und die daraufhin folgende Maßeinheit ha (Hektar) und die darauffolgende letzte relevante km² (Quadratkilometer). Die Umrechnungszahl von mm² in cm² ist hierbei 100, von cm² in dm² ebenso 100, von dm² in m² ebenfalls 100, von m² in a beträgt die Umrechnungszahl ebenso 100 und von a in ha ebenfalls 100 sowie von ha in km² auch 100. Die Umrechnungszahlen gelten natürlich auch in umgekehrter Richtung! Daher ist die Umrechnungszahl von km² in ha 100, von ha in a ebenfalls 100, von a in m² ebenso 100, von m² in dm² ebenfalls 100, von dm² in cm² ebenso 100 sowie von cm² in mm² auch 100.

Bei der Größe Rauminhalt (Volumen) ist im Fach Mathematik hingegen die kleinste gängige Maßeinheit mm³, die nächst größere cm³, die daraufhin nächst größere dm³ und die darauffolgende letzte relevante . Die Umrechnungszahl von mm³ in cm³ ist hierbei 1000, von cm³ in dm³ ebenso 1000 und von dm³ in m³ ebenfalls 1000. Natürlich gelten auch hier die Umrechnungszahlen in umgekehrter Richtung! Daher ist die Umrechnungszahl von m³ in dm³ 1000, von dm³ in cm³ ebenfalls 1000 und von cm³ in mm³ ebenso 1000 (Anmerkung: Für Rauminhalte/Volumen gibt es noch folgende spezielle Beziehungen verschiedener Maßeinheiten: 1 l sind 1 dm³; 1 ml sind 1 cm³; 1 l sind 1000 ml; 1 hl sind 100 l).

Damit man nun eine Fläche oder ein Rauminhalt stets dahingehend umrechnen kann, dass deren Maßeinheit jeweils größer wird, muss man ihre Maßzahl mit einer bestimmten Umrechnungszahl dividieren. Hält man diese Umrechnungszahl jeweils ein, so kann man auch stets die Maßeinheit der Größenangabe problemlos verkleinern (Beispiele: 90000 mm² wird mit der Umrechnungszahl 100 dividiert, so erhält man 900 cm². Möchte man nun die Maßeinheit weiter zur nächst größeren hin umrechnen, so muss man 900 cm² wiederum durch die Umrechnungszahl 100 dividieren. Hierdurch erhält man dann die Größenangabe 9 dm² usw.; 2000000 mm³ wird durch die Umrechnungszahl 1000 dividiert, so erhält man 2000 cm³. Möchte man nun die Maßeinheit weiter zur nächst größeren hin umrechnen, so muss man 2000 cm³ wiederum durch die Umrechnungszahl 1000 dividieren. Dadurch erhält man die Größenangabe 2 dm³ usw.).

Damit man hingegen nun eine Fläche oder ein Rauminhalt stets derart umrechnen kann, dass deren Maßeinheit jeweils kleiner wird, muss man ihre Maßzahl mit einer bestimmten Umrechnungszahl multiplizieren. Hält man hier ebenso die bestimmte Umrechnungszahl stets ein, so kann man jeweils die Maßeinheit der Größenangabe problemlos verkleinern (Beispiele: 5 km² wird mit der Umrechnungszahl 100 multipliziert, so erhält man 500 ha. Möchte man nun die Maßeinheit weiter zur nächst kleineren hin umrechnen, so muss man 500 ha wiederum mit der Umrechnungszahl 100 multiplizieren. Hierdurch ergibt sich die Größenangabe 50000 a; 30 m³ wird mit der Umrechnungszahl 1000 multipliziert, so erhält man 30000 dm³. Möchte man nun die Maßeinheit weiter zur nächst kleineren hin umrechnen, so muss man 30000 dm³ wiederum mit der Umrechnungszahl 1000 multiplizieren. Hierdurch erhält man die Größenangabe 30000000 cm³ usw.).

Da es bei der Größe Geldwert nur zwei Maßeinheiten gibt, spielt diese Größe im Fach Mathematik bei Größen-Umrechnungen kaum eine Rolle. Trotzdem sollte man die Umrechnungszahl hierfür wissen. Hierzu sollte man sich nur Folgendes einprägen.

1 Euro = 100 Cent

Dadurch weiß mann, dass die Umrechnungszahl von Cent in Euro und von Euro in Cent jeweils 100 ist. Die Maßeinheit für Cent ist hierbei ct, die für Euro €.

Falls ein Schüler bei der Umrechnung von Größen Probleme hat, sollte eine Nachhilfe vier Punkte aufgreifen:

  1. Das Auswendiglernen der verschiedenen Maßeinheiten und das natürlich der Reihenfolge nach (von der kleinsten oder größten her beginnend)
  2. Das Auswendiglernen der Umrechnungszahlen
  3. Das Üben der Grundrechenarten Multiplikation und/oder Division
  4. Das Üben von Dezimalzahlen

Im Fach Mathe treten immer wieder in verschiedenen Klassenstufen Aufgaben auf, in denen die Maßeinheiten von Größenangaben richtig umgerechnet werden müssen. Daher ist ein korrektes Beherrschen überaus wichtig, da das Umrechnen immer auch schon Punkte gibt und somit in die Note einfließt.

Nach so viel Mathematik-Stoff für den Geist hat man sich auf jeden Fall eine tollen Entspannungssong verdient, in dem die wichtigste „Bezugsgröße“ von Ernie zeitweise verschwunden ist!

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Größen

Das Stoffgebiet Größen ist ein Musterbeispiel dafür, dass die Mathematik in der Schule auch oftmals einen konkreten Bezug zu unserem Alltag hat. Denn unser ganzes Leben ist umgeben von Größen – wie ein normaler Schultag beweist!

Lineal zum Messen von Längen © S. Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Lineal zum Messen von Längen © S. Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Schon morgens, wenn man aufsteht, ist hierbei die Uhrzeit (7.00 Uhr) von großer Wichtigkeit. Schließlich ist ein Zuspätkommen in der Schule sehr unerwünscht. Am Küchentisch achten bereits die Eltern mit einem guten ausgewogenen Frühstück darauf, dass der eigene Nachwuchs sich stets gesund ernährt und somit auch ein normales Körpergewicht (40 kg) hat. Auf dem Weg zur Schule spielt die Entfernung (900 m) eine große Rolle, da man je nach Distanz nämlich dorthin hauptsächlich mit dem Schulbus, einem Auto, der S- oder U-Bahn, dem Fahrrad oder auch sogar zu Fuß hingelangt. Möchte man sich während der großen Pause oder nach der Schule noch einen kleinen Snack kaufen, dann benötigt man hierfür bekanntermaßen Geld (3 €). Zurück zuhause ärgert man sich wieder einmal bei den Hausaufgaben über sich selbst, dass die Arbeitsfläche (2 m²) des Schreibtischs mit Spielzeug und anderem Kram restlos zugestellt ist. Auch weiß man wiederum nicht, wohin mit dem ganzen Zeug, da auch kein Platz mehr in den Schubladen (6 dm³) und der Spielkiste (1 m³) ist! Und wenn man abends müde erneut in seinem Bett liegt und auf die Uhrzeit (20 Uhr) seines Weckers schaut, stellt sich sofort das Au-Backe-schon-wieder-ein-Schultag-vorbei-Gefühl ein.

Wie man schön an einem x-beliebigen Schultag eines Schüler sieht: Größen ordnen unser Leben! Und dadurch finden wir uns in unserem Alltag leichter zurecht!

  • In der Schule lernt man in Mathe 6 Größen kennen: die Zeitdauer, das Gewicht, die Länge, die Fläche und den Rauminhalt / das Volumen sowie die Größe Geldwert.
  • Alle in der Mathematik in der Schule behandelten Größen bestehen aus Größenangaben, wie zum Beispiel 7 Uhr, 40 kg, 3 km, 3 €, 2 m², 6 dm³.
  • Alle Größenangaben bestehen aus einer Maßzahl und einer Maßeinheit.
  • Durch die Maßeinheit weiß man immer, welche Größe gemeint ist.

Die Maßeinheit einer bestimmten Größe wird in der Mathematik jeweils mit einer bestimmten Abkürzung wiedergegeben.

In dieser Tabelle findet man eine übersichtliche Darstellung von 5 im Fach Mathematik relevanten Größen mit Maßzahl, Maßeinheit und deren Abkürzung. Die Größe Geldwert wurde hier absichtlich nicht mit aufgelistet, da sie eine Sonderstellung einnimmt. Denn sie ist nicht wirklich messbar und deshalb hinsichtlich ihrer Größenangabe stets sehr relativ.

Größen in Tabelle veranschaulicht
Größen in Tabelle veranschaulicht

 

Für jede Größe gibt es in der Mathematik verschiedene Maßeinheiten. Und das macht auch absolut Sinn! Denn eine bestimmte Größe kann ja eher groß oder klein sein. Damit nun auch die hierzu gehörige Maßzahl nicht zu groß oder zu klein wird, wählt man normalerweise immer eine passende Maßeinheit. Nur so bleibt gewährleistet, dass man die Größe richtig einordnen kann! Deshalb gibt man zum Beispiel für die Größenangabe 3480 s auch 58 min an und für die Größenangabe 50000 m 50 km.

Folgende Maßeinheiten sind in Mathe in der Schule bei den Größen wichtig:

  • Zeitdauer: a (Jahr), d (Tag), h (Stunde), min (Minute), s (Sekunde)
  • Gewicht: t (Tonne), kg (Kilogramm), g (Gramm), mg (Milligramm)
  • Länge: km (Kilometer), m (Meter), dm (Dezimeter), cm (Zentimeter), mm (Millimeter)
  • Fläche: km² (Quadratkilometer), ha (Hektar), a (Ar), m² (Quadratmeter), dm² (Quadratmeter), cm² (Quadratzentimeter), mm² (Quadratmillimeter)
  • Rauminhalt: m³ (Kubikmeter), dm³ (Kubikdezimeter), cm³ (Kubikzentimeter), mm³ (Kubikmillimeter)

Ferner wird noch die Größe Geldwert behandelt. Hierbei gibt es aber nur zwei Maßeinheiten.

  • Geldwert: Euro (€), Cent (ct)

Wenn man in Mathe Probleme mit Größen hat, dann sollte man unbedingt in ein paar Nachhilfe-Sitzungen noch einmal alle oder einzelne dieser Stoffgebiete durchgehen: die ganzen Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und die Dezimalzahlen.

Da jene vorausgesetzten Stoffgebiete noch nicht allzu schwierig sind, kann man die Nachhilfe-Sitzung entweder alleine, mit Freunden oder mit einem Elternteil durchführen.

In nachfolgendem Ausschnitt eines Disney-Klassikers sind übrigens auch viele Größen zu sehen, auch berühmt gewordene Zeichentrick-Filmfigur-Größen!

Ich hoffe, dass ihr alle durch meine Nachhilfe-Lektion in Mathe zu Größen etwas gelernt habt – und dass ihr jetzt wieder etwas mehr Spaß im Fach Mathematik habt!

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