Erweitern und Kürzen

1. Allgemeines zum Erweitern und Kürzen von Brüchen

Jeder Bruch hat einen bestimmten Wert. Bruchzahlen haben nun die Eigenschaft, dass man diese verändern kann – und das bei gleichbleibendem Wert. Das klingt zunächst ein wenig kompliziert, das Umwandeln von Brüchen ohne „Wertverlust“ ist aber überaus einfach.

Verändert man nun einen Bruch, ohne dass der Wert des Bruchs hierbei verändert wird, so liegt ein sogenanntes Erweitern oder Kürzen eines Bruches vor.

Ganz easy meistert man übrigens das Erweitern und Kürzen von Brüchen, wenn man wie üblich bei Mathe nach dem Verstehen des Stoffgebiet noch jede Menge Übungsaufgaben hinterherschiebt.

 

2. Das Erweitern eines Bruchs

In Mathematik erweitert man einen Bruch, indem man den Zähler und den Nenner jeweils mit der gleichen Zahl (ungleich 0) multipliziert. Bei einer Erweiterung eines Bruchs liegt daher immer eine Multiplikation zugrunde. Das Wichtige hierbei ist, dass der Wert des ursprünglichen Bruch-Werts nicht verändert wird, da man ja den Zähler und den Nenner stets mit der gleichen Zahl malnimmt.

Die Zahl, mit der ein Bruch erweitert wird, nennt man auch Erweiterungsfaktor.

 

Beispiele Erweitern echter und unechter Brüche:

Der Bruch {\frac{1}{3} soll mit 4 erweitert werden.

{\frac{1\ {\cdot}\ 4}{3\ {\cdot}\ 4} = {\frac{4}{12}

Der Bruch {\frac{4}{7} soll mit 6 erweitert werden.

{\frac{4\ {\cdot}\ 6}{7\ {\cdot}\ 6} = {\frac{24}{42}

Erweitere den Bruch {\frac{12}{5} mit der Zahl 9.

{\frac{12\ {\cdot}\ 9}{5\ {\cdot}\ 9} = {\frac{108}{45}

Erweitere den Bruch {\frac{15}{7} mit der Zahl 11.

{\frac{15\ {\cdot}\ 11}{7\ {\cdot}\ 11} = {\frac{165}{77}

Jeden echten oder unechten Bruch kann man problemlose mit einer x-beliebigen Zahl erweitern. Für gemischte Brüche gilt das aber nicht. Bevor man nämlich einen gemischten Bruch erweitern kann, muss man diesen immer zuerst in einen unechten Bruch umwandeln. Macht man dies nicht, so verändert man den Wert des Bruchs!

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zu den Begriffen echter, unechter und gemischter Bruch siehe auch unter Bruchrechnung den Unterpunkt 4. Unechte Brüche an.

 

Beispiele Erweitern gemischter Brüche:

Der Bruch 4{\frac{2}{3} soll mit 5 erweitert werden.

Zuerst muss man den gemischten Bruch in einen unechten umwandeln!

4{\frac{2}{3} = {\frac{4\ {\cdot}\ 3+2}{3} = {\frac{14}{3}

Darauf kann man den Bruch mit 5 erweitern.

{\frac{14\ {\cdot}\ 5}{3\ {\cdot}\ 5} = {\frac{70}{15}

Der Bruch 7{\frac{8}{9} soll mit 8 erweitert werden.

7{\frac{8}{9} = {\frac{7\ {\cdot}\ 8+9}{9} = {\frac{65}{9}

Jetzt kann man den Bruch mit 8 erweitern.

{\frac{65\ {\cdot}\ 8}{9\ {\cdot}\ 8} = {\frac{520}{72}

 

3. Das Kürzen eines Bruchs

In Mathe kürzt man einen Bruch, indem man den Zähler und den Nenner eines Bruchs mit der gleichen Zahl (ungleich null) dividiert. Hierbei muss die zu teilende Zahl sowohl im Zähler als auch im Nenner als Teiler enthalten sein. Das Kürzen eines Bruchs basiert daher immer auf einer Division. Das Wichtige ist auch hier, dass der ursprüngliche Bruch-Wert nach dem Kürzen unverändert bleibt, da man ja den Zähler und den Nenner jeweils mit der gleichen Zahl dividiert.

Die Zahl, mit der ein Bruch gekürzt wird, nennt man auch Kürzungsfaktor.

 

Beispiele Kürzen echter und unechter Brüche:

Der Bruch {\frac{6}{8} soll gekürzt werden.

Vor dem Kürzen muss man einen gemeinsame Teiler finden. Der gemeinsame Teiler, der in Zähler und Nenner enthalten ist, ist hier „2“.

{\frac{6:2}{8:2} = {\frac{3}{4}.

Kürze den Bruch {\frac{6}{27}.

Der gemeinsame Teiler ist hier „3“.

{\frac{6:3}{27:3} = {\frac{2}{9}

Kürze den Bruch {\frac{77}{14}.

Der gemeinsame Teiler ist hier „7“.

{\frac{77:7}{14:7} = {\frac{11}{2} = 5{\frac{1}{2}

Der Bruch {\frac{154}{55} soll gekürzt werden.

Der gemeinsame Teiler ist hier „11“.

{\frac{154:11}{55:11} = {\frac{14}{5} = 2{\frac{4}{5}

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Ein Bruch ist erst immer so weit wie möglich gekürzt, wenn man im Zähler und Nenner den größten gemeinsamen Teiler (ggT) gefunden hat. Findet man diesen nicht sofort, so kann man aber immer auch einen Bruch schrittweise kürzen.

 

Beispiele für das schrittweise Kürzen eines Bruchs:

Der Bruch {\frac{27}{99} soll gekürzt werden:

Ein gemeinsamer Teiler ist „3“.

{\frac{27:3}{99:3} = {\frac{9}{33}

Wie man sieht, kann man den Bruch darauf wiederum durch „3“ teilen.

{\frac{9:3}{33:3} = {\frac{3}{11}

Hätte man von Anfang an den Bruch {\frac{27}{99} mit dem größten gemeinsamen Teiler, „9“ (Teiler „3“ mal Teiler „3“), gekürzt, wäre das gleiche Ergebnis herausgekommen: {\frac{27:9}{99:9} = {\frac{3}{11}

Kürze den Bruch {\frac{84}{294}.

Ein gemeinsamer Teiler ist „2“.

Kürze den Bruch {\frac{84:2}{294:2} = {\frac{42}{147}

Ein weiterer gemeinsamer Teiler ist „3“.

{\frac{42:3}{147:3} = {\frac{14}{49}

Noch ein weiterer gemeinsamer Teiler ist „7“.

{\frac{14:7}{49:7} = {\frac{2}{7}

Auch hier hätte man sofort dasselbe Ergebnis erhalten, wenn man {\frac{84}{294} durch den größten gemeinsamen Teiler „42“ (Teiler „2“ mal Teiler „3“ mal Teiler „7“) geteilt hätte: {\frac{84:42}{294:42} = {\frac{2}{7}.

 

Beispiele Kürzen gemischter Brüche:

Der Bruch 4{\frac{5}{10}.

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Ein gemischter Bruch kann nur gekürzt werden, wenn man bei dem Bruch einen gemeinsamen Teiler findet. Die ganze Zahl vor dem Bruch bleibt hierbei unverändert.

Der gemeinsame Teiler beim Bruch ist hier die „5“.

4{\frac{5:5}{10:5} = 4{\frac{1}{2}

Kürze den gemischten Bruch 6{\frac{14}{49}.

Der gemeinsame Teiles des Bruchs ist hier „7“.

6{\frac{14:7}{49:7} = 6{\frac{2}{7}

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Bruchrechnung

1. Allgemeines zur Bruchrechnung

Nach den dem intensiven Erlernen der Grundrechenarten, der Addition, der Subtraktion, der Multiplikation und der Division, muss irgendwann darauf in Mathe eine neue umfangreiche Rechenart gelernt werden: die Bruchrechnung. Bevor man hier aber anfängt wirklich zu rechnen, wird erst einmal erklärt, was genau ein Bruch ist und wie man einen Bruch verändern kann ohne den Wert eines Bruches zu verändern (das Kürzen und Erweitern von Brüchen). Erst dann wird man in der Mathematik mit dem Bruchrechnen beginnen – und das wird einem unter Garantie nicht allzu schwer fallen, wenn man vorher die Grundrechenarten richtig gut gelernt hat. Bei Brüchen muss man nämlich wiederum eine Addition, eine Subtraktion, eine Multiplikation und eine Division durchführen, nur dieses mal anstatt mit positiven ganzen Zahlen (die natürlichen Zahlen meine ich hiermit), sondern eben mit Bruchzahlen.

Ein Bruch im Einzelhandel © iwona golczyk PIXELIO www.pixelio.de

Ein Bruch im Einzelhandel © iwona golczyk PIXELIO www.pixelio.de

2 Bestandteile einer Bruchzahl

Dadurch, dass eine Bruchzahl eine andere Zahl ist, als die bisher gelernten natürlichen Zahlen, hat diese auch logischerweise eine andere Darstellungsform. Jede Bruchzahl weist hierbei drei Charakteristika/Merkmale als Zahl auf. Sie besteht nämlich stets aus einem Zähler, das ist die obere Zahl, und einem Nenner, das ist die untere Zahl. Getrennt werden beide Zahlen durch den Bruchstrich.

Anstatt Bruchzahl ist auch gebräuchlich Bruch zu sagen, der Plural sind Brüche.

 

Beispiele für Bruchzahlen:

{\frac{1}{2};    {\frac{2}{3};    {\frac{5}{7};    {\frac{15}{29};    {\frac{105}{208};    {\frac{2007}{4223};    {\frac{3}{2}, {\frac{8}{5};    {\frac{23}{7};    {\frac{405}{14};    {\frac{2009}{412};    {\frac{7335}{8857}.

 

2.1 Ein Bruch als Ausdruck einer Division

Jeder Bruch kann im Prinzip auch als eine Division wiedergegeben werden, da der Bruchstrich nichts anderes als ein Geteiltzeichen/“:“ ist:

 

Beispiele für Brüche als Ausdruck einer Division:

{\frac{1}{2} = 1 : 2;

{\frac{2}{3} = 2 : 3;

{\frac{5}{7} = 5 : 7;

{\frac{15}{29} = 15 : 29;

{\frac{105}{208} = 105 : 208;

{\frac{2007}{4223} = 2007 : 4223;

{\frac{3}{2} = 3 : 2;

{\frac{8}{5} = 8 : 5;

{\frac{23}{7} = 23 : 7;

{\frac{405}{14} = 405 : 14;

{\frac{2009}{412} = 2009 : 412;

{\frac{7335}{8857} = 7335 : 8857.

 

2.2 Das Verhältnis natürliche Zahl und Bruchzahl

Jede natürliche Zahl kann auch als eine Bruchzahl dargestellt werden. Daher sind alle natürlichen Zahlen eine Teilmenge der Zahlenmenge der Bruchzahlen (die Umkehrung gilt nämlich nicht!).

 

Beispiele:

4 = {\frac{4}{1};

7 = {\frac{7}{1};

23 = {\frac{23}{1};

73 = {\frac{73}{1};

512 = {\frac{512}{1};

7003 = {\frac{7003}{1}.

 

 

3. Bruchanteile einer bestimmten Menge

Ein Bruchzahl lernt man anfangs ist eine Teilmenge/ein Anteil von einer bestimmten Menge. Hierfür wird oft der Vergleich zu einer ganzen Pizza gezogen. Sitzen nun zwei Personen am Essens-Tisch so bekommt jede Person jeweils die Hälfte, als Bruchzahl {\frac{1}{2}, der Pizza (vorausgesetzt man teilt die Pizza salomonisch, sprich gerecht, auf). Sitzen nun drei Personen am Tisch, so erhält jeder ein Drittel, als Bruchzahl {\frac{1}{3}, der Pizza. Bei vier Personen sind es {\frac{1}{4}, bei fünf Personen {\frac{1}{5} usw.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Jede natürliche Zahl kann auch als Bruchzahl dargestellt werden. So kann man beispielsweise für 1 auch {\frac{1}{1}, für 2 auch {\frac{2}{1}, für 12 auch {\frac{12}{1}, für 523 auch {\frac{523}{1} usw schreiben. Entscheidend ist ja, dass man bei der Umwandlung von der natürlichen Zahl hin zu der Bruchzahl den Wert der Zahl nicht verändert. 1 und {\frac{1}{1} sind immer noch vom Wert her 1, 2 und {\frac{2}{1} sind ebenso vom Wert her noch 2 usw.

 

3.1 Der Mathe-Ausdruck „von“ beim Bruchrechnen bzw. Anteile einer Gesamtmenge

Die ersten Rechenaufgaben, die man in Mathe beim Bruchrechnen machen muss, sind sogenannte „von“-Aufgaben. Hierbei muss man immer einen Bruchteil/Anteil von einer Gesamtmenge berechnen.

 

Beispiele:

{\frac{4}{5} m (von 1 m);

{\frac{5}{6} von 240 min;

{\frac{3}{8} von 80 Personen;

{\frac{8}{10} t (von 1 t).

Damit man Anteile in einer verständlichen Mathe-Schreibweise wiedergeben kann, muss man vorher verstanden haben, was der Bruch oder die Bruchzahl „von“ einer bestimmten Menge in der Sprache der Mathematik bedeutet.

 

Beispiele:

{\frac{4}{5} m heißt 1 m (das ist die Gesamtmenge) 4 (: 5) (das ist der Anteil) = 4 : 5 = 0,8 m = 8 dm = 80 cm. Da man aber zu diesem Zeitpunkt in der Schule in Mathe noch keine Dezimalrechnung hatte, berechnet man den „von“-Anteil normalerweise folgendermaßen: 1 m entsprechen 100 cm („mal 10, mal 10“). {\frac{1}{5} m sind 20 cm („geteilt durch fünf“). {\frac{4}{5} m sind daher 80 cm („mal 4“).

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe zum Umrechnen von Größenangaben auch unter Größen den Unterpunkt Umrechnen von Größen an.

 

{\frac{5}{6} von 240 min berechnet man wie folgt: {\frac{1}{6} min entsprechen 40 min („geteilt durch sechs“). {\frac{5}{6} m sind daher 200 min („mal 5“).

{\frac{3}{8} von 80 Personen berechnet man folgendermaßen: {\frac{1}{8} Personen entsprechen 10 Personen („geteilt durch acht“). {\frac{3}{8} m sind daher 30 Personen („mal 3“).

{\frac{8}{10} t von 1 t berechnet man wie folgt: 1 t entsprechen 1000 kg („mal 1000“). {\frac{1}{10} t sind 100 kg („geteilt durch 10“). {\frac{8}{10} t sind daher 800 kg („mal 8“).

Wenn man in einer höheren Klassenstufe ist oder beispielsweise den MSA (Mittleren Schulabschluss) macht, kann es sein, dass man noch einmal in Mathe mit sogenannten „von“-Aufgaben mit Brüchen konfrontiert wird. Dann sollte man aber wissen, dass in der Sprache der Mathematik ein „von“ immer mit einer Multiplikation gleichzusetzen ist. Demzufolge gibt man dann in seinen Taschenrechner nur den Anteil des Bruches mal der gegeben Gesamtmenge (was natürlich auch ein Bruch sein kann) ein.

 

Beispiele:

{\frac{5}{6} m von 84 m = {\frac{5}{6} m 84 m = 70 m;

{\frac{2}{15} kg von {\frac{14}{15} kg = {\frac{2}{15} {\frac{14}{15} kg = {\frac{28}{225} kg.

 

4. Unechte Brüche

Ein Bruch in Mathe besteht ja immer aus einem Zähler und einem Nenne, die beide durch einen Bruchstrich getrennt sind. Ist nun bei einem Bruch der Zähler kleiner als der Nenner, dann liegt ein sogenannter echter Bruch vor.

 

Beispiele für echte Brüche:

{\frac{1}{2};    {\frac{3}{4};    {\frac{7}{8};    {\frac{23}{25};    {\frac{407}{455};    {\frac{1205}{7067}.

Ist nun bei einem Bruch der Zähler größer als der Nenner oder genauso groß wie der Nenner, so liegt ein sogenannter unechter Bruch vor.

 

Beispiele für „unechte Brüche“:

{\frac{4}{3};    {\frac{7}{4};    {\frac{12}{5};    {\frac{35}{19};    {\frac{41}{41};    {\frac{407}{122}; {\frac{555}{555};    {\frac{3107}{241}.

 

Yeah, it’s ABC-disco-time with Grobi!

 

4.1 Das Umrechnen eines unechten Bruchs in einen gemischten Bruch

Jeden unechten Bruch kann man, vorausgesetzt der Zähler ist nicht genauso groß wie der Nenner, in einen sogenannten gemischten Bruch umrechnen. Ein gemischter Bruch besteht hierbei aus einer ganzen Zahl und einer Bruchzahl, wobei die ganze Zahl immer direkt vor die Bruchzahl gestellt wird.

 

Beispiele für gemischte Brüche:

2{\frac{1}{2};    4{\frac{3}{4};    8{\frac{7}{9};    12{\frac{24}{55};    5{\frac{79}{83};    27{\frac{403}{607};    503{\frac{8603}{9979}.

Einen unechten Bruch rechnet man nun immer wie folgt in einen gemischten Bruch um:

Dieser unechte Bruch ist gegeben: {\frac{17}{3}. Mittels einer Division wandelt man nun den Buch um. Hierfür ist es sinnvoll den Bruch in der gewohnten Divisionsschreibweise darzustellen:

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Bei jedem Bruch kann ein Bruchstrich auch in eine Divisionszeichen umgewandelt werden, der Zähler wird dann zum Dividend und der Nenner zum Divisor.

 

{\frac{17}{3} = 17 : 3

Darauf führt man die Division durch, wie man diese vorher in Mathe gelernt hat.

17 : 3 = 5

{\underline{15}

2 Rest

Die drei „passt“ in die 17 5-mal, das ergibt die ganze Zahl des gemischten Bruchs. Die Bruchzahl aus dem gemischten Bruch enthält als Zähler die 2, dem Rest der Division, und als Nenner die 3, den Nenner des unechten Bruchs.

Daher ist der gemischte Bruch zu dem unechten Bruch {\frac{17}{3} = 5{\frac{2}{3}.

Bei der Umwandlung vom unechten Bruch zum gemischten Bruch erhält man die ganze Zahl des gemischten Bruchs immer durch die Durchführung einer Division. Der Divisions-Rest ist beim gemischten Bruch immer der Zähler der Bruchzahl . Der ursprüngliche Nenner beim unechten Bruch ist immer gleich dem Nenner bei der Bruchzahl, die bei einem gemischter Bruch enthalten ist.

 

Beispiele für die Umwandlung unechter Brüche in gemischte Brüche:

{\frac{29}{4} = 29 : 4

29 : 4 = 7

{\underline{28}

1 Rest

Daher ist der gemischte Bruch: 7{\frac{1}{4}.

 

{\frac{88}{5} = 88 : 5

88 : 5 = 17

{\underline{85}

3 Rest

Deshalb ist hier der gemischte Bruch: 17{\frac{3}{5}.

 

{\frac{215}{12} = 215 : 12

215 : 12 = 17

{\underline{12}

95

{\underline{84}

11 Rest

Daher ist hier der gemischte Bruch: 17{\frac{11}{12}.

 

4.2 Das Umrechnen eines gemischten Bruchs in einen unechten Bruch

Des Öfteren muss man beim Bruchrechnen auch einen gemischten Bruch in einen unechten Bruch umwandeln. Hierzu multipliziert man die ganze Zahl mit dem Nenner des Bruchs. Das Ergebnis addiert man schließlich mit dem Zähler des Bruchs. Die sich hierbei ergebende Zahl ist der neue Zähler des unechten Bruchs, der Nenner des gemischten Bruchs bleibt auch beim unechten Bruch erhalten.

 

Mathematik-Nachhilfe-Blog: Das Umrechnen vom gemischten Bruch hin zum unechten Bruch ist im Bruchrechnen einfach die umgekehrte Rechenoperation zum Umrechnen eines unrechten Bruches in einen gemischten Bruch.

 

Beispiele für die Umwandlung gemischter Brüche in unechte Brüche:

4{\frac{1}{2}, der Zähler des unechten Bruchs = 4 · 2 + 1 = 9, der Nenner des gemischten Bruchs bleibt erhalten: {\frac{9}{2};

6{\frac{2}{5}, der Zähler des unechten Bruchs = 6 · 5 + 2 = 32, der Nenner = 5: {\frac{32}{5};

32{\frac{4}{7}, der Zähler des unechten Bruchs = 32 · 7 + 4 = 228, der Nenner = 7: {\frac{228}{7}.

 

5. Dezimalbrüche

Brüche, die im Nenner die Zahl 10 oder eine Potenz von 10 mit natürlichem Exponenten vorweisen, nennt man Dezimalbrüche.

 

Beispiele von Dezimalbrüchen:

{\frac{7}{10};    {\frac{29}{100};    {\frac{335}{1000};    {\frac{12}{100000}.

 

Hier kann man die Seite des Mathematik Nachhilfe Blogs als PDF downloaden: Mathematik-Nachhilfe: Bruchrechnung.

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Bruchterme

1. Allgemeines zu Bruchtermen

Ein Bruch kann in seinem Zähler oder Nenner auch Variablen vorweisen. Ist das bei dem Nenner der Fall, so spricht man allgemein von einem Bruchterm. Alle Rechenoperationen, die beim Bruchrechnen vorkommen, das Addieren, das Subtrahieren, das Multiplizieren und das Dividieren von Brüchen, treten wiederum bei Bruchtermen auf. Wenn man daher das Bruchrechnen beherrscht, wird man normalerweise bei den bei Bruchtermen auftretenden Rechenoperationen nicht allzu große Schwierigkeiten haben. Schließlich kennt man nicht nur bereits die Rechenregeln, sondern hat sie auch schon mannigfach angewendet. Aus diesem Grund wird hier zwangsläufig ein Aha-Erlebnis auftreten, da Bruchterme nur besondere Brüche sind.

Formel bestehend aus einem Bruchterm © Karl-Heinz Laube PIXELIO www.pixelio.de

Formel bestehend aus einem Bruchterm © Karl-Heinz Laube PIXELIO www.pixelio.de

1.1 Die Definitionsmenge bei Bruchtermen

Da Bruchterme oftmals eine oder mehrere Variablen im Nenner vorweisen, ist deren Definitionsmenge häufig auch eingeschränkt. Bereits in der Grundschule hat man ja in Mathe gelernt, dass der Nenner eines Bruchs nicht gleich null werden darf. Ist nämlich dies der Fall, dann ist dieser Bruch nicht definiert. Das Gleiche gilt ebenso für Bruchterme. Daher lässt sich die Definitionsmenge eines Terms folgendermaßen beschreiben:

Die Definitionsmenge eines Terms beinhaltet immer die Menge aller Zahlen, für die der Term definiert ist. Und gerade bei Bruchtermen ist diese Definitionsmenge oftmals eingeschränkt.

Um die Definitionsmenge bei Bruchtermen zu bestimmen, muss man sich nur vor Augen führen, dass der Nenner nicht gleich null werden darf. Daher setzt man den Nenner einfach gleich null – und löst die hieraus sich ergebende Gleichung auf.

 

1. Beispiel: Bei diesem Bruchterm soll die Definitionsmenge bestimmt werden:

{\frac{3}{4~+~\mathrm x}}

Der Nenner ist: 4 + x.

Den Nenner setzt man nun gleich null und löst diesen anschließend nach der Variablen x hin auf.

4 + x = 0          Ι  – 4

x = –4

Bei x = –4 ist der Bruchterm also nicht definiert.

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ –4} oder D = {\mathbb Q} \ {–4}

 

2. Beispiel: Bei folgendem Bruchterm soll die Definitionsmenge bestimmt werden:

{\frac{7\mathrm x~+~42}{14~- ~63\mathrm x}}

Der Nenner ist: 14 – 63x

Diesen setzt man nun gleich null und löst die Gleichung hin zur Variablen auf:

14 – 63x = 0         Ι + 63x

14 = 63x               Ι : 63

x = {\frac{14}{63}};     x = {\frac{2}{9}}

Bei x = {\frac{2}{9}} ist der Bruchterm also nicht definiert.

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ {\frac{2}{9}}} oder D = {\mathbb Q} \ {{\frac{2}{9}}}

 

2. Das Kürzen von Bruchtermen

Bei einem Bruchterm können einzelne Teile gekürzt werden, wenn im Zähler und Nenner gleiche Faktoren vorliegen. Oftmals muss man diese aber mittels einer Faktorisierung/eines Ausklammerns bilden. Denn – was auch für Brüche gilt, das gilt auch für Bruchterme – Summen kürzen nur die …

Folgendermaßen geht man beim Kürzen von Bruchtermen vor:

  • Ein Produkt im Zähler und Nenner bilden
  • Den gemeinsamen Faktor im Zähler und Nenner kürzen

Ein Bruchterm darf niemals mit der Zahl Null gekürzt werden, da für diese Zahl der Bruchterm nicht definiert ist.

Beim Kürzen ändert sich der Wert des Bruchterms nicht.

Die Zahl oder Variable, mit der ein Bruchterm gekürzt wird, nennt man auch Kürzungsfaktor.

 

Allgemeine Darstellung des Kürzens bei Bruchtermen

{\frac{\mathrm a\mathrm c}{\mathrm b\mathrm c}} = {\frac{\mathrm a\ {\cdot}\ \mathrm c}{\mathrm b\ {\cdot}\ \mathrm c}} = {\frac{\mathrm a}{\mathrm b}}     (für b ≠ 0; c ≠ 0)

Nachdem man „c“ im Zähler und im Nenner ausgeklammert/faktorisiert hat, kann man „c“ kürzen. „c“ ist hier der Kürzungsfaktor.

 

Anhand dieser Bruchterme soll exemplarisch gezeigt werden, wie man kürzt:

 

1. Beispiel:

{\frac{7\mathrm x~+~42}{14 ~- ~63\mathrm x}}     (für x ≠ {\frac{14}{63}})

Hier muss man erkennen, dass bei diesem Bruchterm in jedem Einzelterm im Zähler und Nenner der Faktor „7“ enthalten ist. Diesen kann man nun ausklammern.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter dem Stoffgebiet Terme den Punkt 6 „Das Ausklammer/Faktorisieren bei einer algebraischen Summe“ an.

 

{\frac{7\ {\cdot}\ (\mathrm x~+~6)}{7\ {\cdot}\ (2~-~9\mathrm x)}}

Jetzt darf man den ausgeklammerten Faktor „7“ kürzen. Hierdurch erhält man nun folgenden Bruchterm:

{\frac{\mathrm x~+~6}{2~-~9\mathrm x}}

 

2. Beispiel:

{\frac{24\mathrm x\mathrm y~+~8\mathrm x^2}{24\mathrm y~+~8\mathrm x}}      (für x ≠ –3y bzw. y ≠ –{\frac{8}{24}}x)

Bei diesem Bruchterm muss man nun erkennen, dass man eine Faktorisierung/ein Ausklammern mit der Zahl „8“ und dem „x“ durchführen kann: Sowohl im Zähler als auch im Nenner ist bei jedem Einzelterm die Zahl „8“ als Teiler enthalten. Außerdem weist im Zähler jeder Einzelterm ein „x“ auf.

{\frac{8\mathrm x\ {\cdot}\ (3\mathrm y~+~\mathrm x)}{8\ {\cdot}\ (3\mathrm y~+~\mathrm x)}}

Jetzt kann man sowohl die „8“ im Zähler und Nenner kürzen als auch das „3y + x“, da es ebenfalls im Zähler und Nenner als Faktor enthalten ist. Dadurch bleibt folgender Term übrig:

x

Wie man sieht, hat sich nach dem Kürzen der Bruchterm aufgelöst.

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zum Kürzen beim Bruchrechnen siehe auch unter Bruchrechnung, Erweitern und Kürzen 3. Das Kürzen eines Bruchs an.

 

2.1 Das Erweitern von Bruchtermen

Einen Bruchterm kann man stets erweitern. Hierfür muss man den Zähler und den Nenner des Bruchterms jeweils mit einem gleichen Faktor malnehmen (Die Zahl 0 ist hierbei jedoch ausgeschlossen, da ja dann bei einer Multiplikation der ganze Term gleich null werden würde). Wie beim Bruchrechnen stellt das Erweitern die Umkehrung des Kürzens dar.

Beim Erweitern ändert sich der Wert des Bruchterms nicht.

Die Zahl oder Variable, mit der ein Bruchterm erweitert wird, nennt man auch Erweiterungsfaktor.

 

Allgemeine Darstellung des Erweiterns bei Bruchtermen

{\frac{\mathrm a}{\mathrm b}} = {\frac{\mathrm a\ {\cdot}~\mathrm c}{\mathrm b\ {\cdot}~\mathrm c}}     (für b ≠ 0; c ≠ 0)

Jeweils Zähler und Nenner werden mit „c“ erweitert. „c“ ist hier der Erweiterungsfaktor.

 

1. Beispiel:

Der Bruchterm {\frac{5\mathrm x}{8\mathrm x\mathrm y}} soll mit dem Faktor 3 erweitert werden.

{\frac{5\mathrm x\ {\cdot}\ 3}{8\mathrm x\mathrm y\ {\cdot}\ 3}}

Anschließend löst man bei dem Bruchterm das Produkt auf.

{\frac{15\mathrm x}{24\mathrm x\mathrm y}}

 

2. Beispiel:

Der Bruchterm {\frac{4\mathrm x^2}{9\mathrm y}} soll mit dem Faktor x erweitert werden    (für x ≠ 0).

{\frac{4\mathrm x^2\ {\cdot}~\mathrm x}{9\mathrm y\ {\cdot}~\mathrm x}}

Als Nächstes löst man das Produkt auf.

{\frac{4\mathrm x^3}{9\mathrm y\mathrm x}}

Geordnet ergibt sich dieser Bruchterm.

{\frac{4\mathrm x^3}{9\mathrm x\mathrm y}}

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zum Erweitern beim Bruchrechnen siehe auch unter Bruchrechnung/Erweitern und Kürzen 2. Das Erweitern eines Bruchs an.

 

3. Das Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen

Brüche darf man bekanntlich nur addieren und subtrahieren, wenn die Nenner gleichnamig sind. Im der Regel muss man die Brüche aber erst gleichnamig machen, in dem man den sogenannten Hauptnenner ermittelt und die Brüche daraufhin erweitert. Das Gleiche, was für Brüche gilt, das gilt auch weiterhin für Bruchterme. Daher muss man bei der Addition und der Subtraktion von Bruchtermen folgendermaßen vorgehen:

  • Ermittlung des Hauptnenners. Hierfür müssen alle Nenner in Faktoren zerlegt werden. Der Hauptnenner ist nun immer das Produkt, das sich aus der stets höchsten Potenz aller auftretenden Faktoren zusammensetzt.
  • Erweiterung der Brüche auf den Hauptnenner hin. Ist jeder Nenner des Bruchterms in seine Faktoren zerlegt, so kann der Bruch mit den fehlenden Faktoren erweitert werden.
  • Zusammenfassen und Vereinfachung der Bruchterme. Alle Bruchterme werden auf einen Bruchstrich geschrieben und jeder einzelne Zähler in Abhängigkeit zu der Erweiterung ausmultipliziert. Anschließend werden gleiche Einzelterme zusammengefasst. Der Nenner ist der gebildete Hauptnenner. Gegebenenfalls kann der Bruch danach noch gekürzt werden.

 

1. Beispiel: 

{\frac{5}{\mathrm x}}{\frac{2}{\mathrm x^2}}     (für x ≠ 0)

Hier ist der Hauptnenner x² (x² = x · x). Der andere Nenner ist x und somit in x² enthalten. Der erste Bruch muss daher um den Faktor x erweitert werden, der zweite Bruch muss nicht erweitert werden.

{\frac{5\ {\cdot}~\mathrm x}{\mathrm x\ {\cdot}~\mathrm x}}{\frac{2}{\mathrm x^2}}

{\frac{5\mathrm x}{\mathrm x^2}}{\frac{2}{\mathrm x^2}}

Die beiden Bruchterme können nun auf einen Nenner gebracht werden.

{\frac{5\mathrm x~+~2}{\mathrm x^2}}

Das ist schließlich der Bruchterm, den man nach einer Addition erhält.

 

2. Beispiel: 

{\frac{7}{2\mathrm x}} – {\frac{5}{3\mathrm y}}     (für x ≠ 0; für y ≠ 0)

Hier ist der Hauptnenner: 2 · · 3 · y. Denn in keinem Nenner gibt es einen Faktor, der in beiden Nennern auftritt. Der erste Bruch muss daher um dem Faktor 3 · y, der zweite um den Faktor 2 · x erweitert werden.

{\frac{7\ {\cdot}\ 3\ {\cdot}~\mathrm y}{2\mathrm x\ {\cdot}\ 3\ {\cdot}~\mathrm y}} – {\frac{5\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}~\mathrm x}{3\mathrm y\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}~\mathrm x}}

Die Zähler und Nenner und Nenner können nun malgenommen werden.

{\frac{21\mathrm y}{6\mathrm x\mathrm y}} – {\frac{10\mathrm x}{6\mathrm y\mathrm x}}

Geordnet erhält man diese beiden Brüche.

{\frac{21\mathrm y}{6\mathrm x\mathrm y}} – {\frac{10\mathrm x}{6\mathrm x\mathrm y}}

An den beiden Brüchen kann nun eine Subtraktion durchgeführt werden.

{\frac{21\mathrm y~-~10\mathrm x}{6\mathrm x\mathrm y}}

Geordnet erhält man nach der Subtraktion folgenden Bruchterm.

{\frac{-10\mathrm x~+~21\mathrm y}{6\mathrm x\mathrm y}}

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Man kann verschiedene einzelne Bruchterme sofort auch immer als einen Bruchterm schreiben, wenn man diese mit dem Hauptnenner erweitert hat.

 

3. Beispiel:

{\frac{6\mathrm x~+~\mathrm y}{8\mathrm x\mathrm y}} + {\frac{\mathrm x~-~\mathrm y}{\mathrm y^2}}{\frac{1}{8\mathrm x}}     (für x ≠ 0; y ≠ 0)

Zuerst muss man alle Nenner in Faktoren zerlegen und darauf achten, dass (möglichst) die höchste Potenz hierbei zum Vorschein kommt.

Der erste Nenner ist: 8xy = 2³ · x · y; der zweite Nenner ist: y2 = y2  (das ist y · y); der dritte Nenner: 8x = 8 · x

Hieraus ergibt sich folgender Hauptnenner: 2³ · y2 · x = 2³ · x · y2

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Achte bei der Bildung des Hauptnenners, dass jeweils die höchste Potenz der vorkommenden Einzelterme als Faktor vorkommt.

 

{\frac{(6\mathrm x~+~\mathrm y)\ {\cdot}~\mathrm y}{2^3\mathrm x\mathrm y^2}} + {\frac{(\mathrm x~-~\mathrm y)\ {\cdot}\ 2^3\ {\cdot}~\mathrm x}{2^3\mathrm x\mathrm y^2}}{\frac{(1)\ {\cdot}~\mathrm y^2}{2^3\mathrm x\mathrm y^2}}

Da der Hauptnenner „2³ · x · y2“ ist und der Nenner des ersten Bruches „2³ · x · y“ ist, muss der Zähler mit dem Faktor „y“ erweitert werden. Bei dem zweiten Bruch ist der Nenner „y²“. Daher muss man hier den Zähler mit dem Faktor „2³ · x“ erweitern. Bei dem dritten Bruch ist der Nenner „8 · x“, deshalb muss hier der Zähler mit „y2“ erweitert werden.

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Im Prinzip muss man jeden Nenner jedes einzelnen Bruchterms jeweils mit dem gleichen Faktor für den Zähler erweitern. Ersetzt man aber hingegen gleich den jeweiligen Nenner durch den gebildeten Hauptnenner, dann kann man sich dies ersparen.

 

{\frac{(6\mathrm x~+~\mathrm y)\ {\cdot}~\mathrm y~+~(\mathrm x~-~\mathrm y)\ {\cdot}\ 2^3\mathrm x~-~(1)\ {\cdot}~\mathrm y^2}{2^3\mathrm x\mathrm y^2}}

Nachdem alle einzelnen Bruchterme auf einen Bruchstrich geschrieben wurden, können diese ausmultipliziert werden (Das kann man aber auch schon vorher machen!).

{\frac{6\mathrm x\mathrm y~+~\mathrm y^2~+~2^3\mathrm x^2~-~2^3\mathrm x\mathrm y~-~\mathrm y^2}{2^3\mathrm x\mathrm y^2}}

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Achte beim Ausmultiplizieren auf die geltende Vorzeichenregel bei einem Produkt.

 

{\frac{-2\mathrm x\mathrm y~+~2^3\mathrm x^2}{2^3\mathrm x\mathrm y^2}}

Die Einzelterme „6xy“ und „–23xy“ lassen sich zu „–2xy“ zusammenfassen, „y2“ und „–y2“ eliminieren sich.

{\frac{2\mathrm x\ {\cdot}\ (-\mathrm y~+~2^2\mathrm x)}{2\mathrm x\ {\cdot}\ 2^2\mathrm y^2}}

Der Faktor „2x“ kann jetzt gekürzt werden.

{\frac{-\mathrm y~+~2^2\mathrm x}{2^2\mathrm y^2}};

Die reinen Zahlen-Potenz löst man danach auf.

{\frac{-\mathrm y~+~4\mathrm x}{4\mathrm y^2}}

Danach kann man den Bruchterm noch hinsichtlich der vorkommenden Einzelterme ordnen.

{\frac{4\mathrm x~-~\mathrm y}{4\mathrm y^2}}

Das ist schließlich der Bruchterm, der nach der Addition und Subtraktion der einzelnen Bruchterme entsteht.

Ich lache nur bei Sonnenschein © Rike PIXELIO www.pixelio.de

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4. Beispiel:

{\frac{\mathrm x^2~+~8}{4\mathrm x^2}} + {\frac{-5\mathrm x^2~+~3}{2\mathrm x}}{\frac{5\mathrm x~+~2}{4}} + {\frac{7}{3\mathrm x^2}}     (für x ≠ 0)

Zuerst zerlegt man alle Terme im Nenner hin zur jeweils höchsten Potenz.

Der erste Nenner ist: 4x2 = 22 · x2; der zweite Nenner ist: 2x = 2 · x; der dritte Nenner ist: 4 = 22; der vierte Nenner ist: 3x2 = 3 · x2

Der Hauptnenner ist nun folgender: 22 · x2 · 3 = 3 · 22 · x2

{\frac{(\mathrm x^2~+~8)\ {\cdot}\ 3}{3\ {\cdot}\ 2^2\mathrm x^2}} + {\frac{(-5\mathrm x^2~+~3)\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}\ 3\ {\cdot}~\mathrm x}{3\ {\cdot}\ 2^2\mathrm x^2}}{\frac{(5\mathrm x~+~2)\ {\cdot}\ 3\mathrm x^2}{3\ {\cdot}\ 2^2\mathrm x^2}} + {\frac{7\ {\cdot}\ 2^2}{3\ {\cdot}\ 2^2\mathrm x^2}}

Da der Hauptnenner „3 · 22 · x2“ ist und der Nenner des ersten Bruches „4 · x2“ ist, muss dieser Bruch mit dem Faktor „3“ erweitert werden. Beim zweiten Bruch ist der Nenner „2x“. Daher muss dieser mit den Faktoren „3 · 2 · x“ erweitert werden. Der dritte Bruch weist den Nenner „4“ auf. Deshalb muss man diesen mit den Faktoren „3 · x2“ erweitern. Der letzt Bruch hat den Nenner „3 · x²“. Hieraus ergibt sich, dass jener mit dem Faktor „22“ erweitert werden muss.

{\frac{(\mathrm x^2~+~8)\ {\cdot}\ 3~+~(-5\mathrm x^2~+~3)\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}\ 3\ {\cdot}~\mathrm x~-~(5\mathrm x~+~2)\ {\cdot}\ 3\mathrm x^2~+~7\ {\cdot}\ 2^2}{3\ {\cdot}\ 2^2\mathrm x^2}}

Wenn alle Bruchterme auf einem Bruchstrich stehen, kann mit dem Ausmulitplizieren begonnen werden.

{\frac{3\mathrm x^2~+~24~-~30\mathrm x^3~+~18\mathrm x~-~15\mathrm x^3~-~6\mathrm x^2~+~28}{3\ {\cdot}\ 2^2\mathrm x^2}}

Die Einzelterme „–30x3“ und „–15x3“ lassen sich zu „–45x3“ zusammenfassen. Die Einzelterme „3x2“ und „–6x2“ zu „–3x²“. Die Einzelterme „24“ und „28“ wiederum zu „52“

{\frac{-45\mathrm x^3~-~3\mathrm x^2~+~18\mathrm x~+~52}{3\ {\cdot}\ 2^2\mathrm x^2}};

{\frac{-45\mathrm x^3~-~3\mathrm x^2~+~18\mathrm x~+~52}{12\mathrm x^2}}

Das ist schließlich der mittels Addition und Subtraktion der einzelnen Bruchterme enstandene Bruchterm.

 

Speziallfall bei der Addition und Subtraktion gleichnamiger Bruchterme

  • Bei der Addition und Subtraktion gleichnamiger Bruchterme werden die Zähler addiert oder subtrahiert. Der Nenner bleibt hierbei unverändert.

 

Allgemeine Darstellung der Addition und Subtraktion von Bruchtermen

{\frac{\mathrm a}{\mathrm b}} + {\frac{\mathrm c}{\mathrm b}} = {\frac{\mathrm a~+~\mathrm c}{\mathrm b}}      (für b ≠ 0)

{\frac{\mathrm a}{\mathrm b}} – {\frac{\mathrm c}{\mathrm b}} = {\frac{\mathrm a~-~\mathrm c}{\mathrm b}}      (für b ≠ 0)

 

1. Beispiel:

{\frac{4\mathrm x}{\mathrm y}} + {\frac{5\mathrm x}{\mathrm y}} = {\frac{4\mathrm x~+~5\mathrm x}{\mathrm y}}     (für y ≠ 0);

{\frac{4\mathrm x~+~5\mathrm x}{\mathrm y}} = {\frac{9\mathrm x}{\mathrm y}}

 

2. Beispiel:

{\frac{7\mathrm x}{\mathrm y}} – {\frac{3\mathrm x}{\mathrm y}} = {\frac{7\mathrm x~-~3\mathrm x}{\mathrm y}}    (für y ≠ 0);

{\frac{7\mathrm x~-~3\mathrm x}{\mathrm y}} = {\frac{4\mathrm x}{\mathrm y}}

 

4. Das Multiplizieren von Bruchtermen

Das Multiplizieren bei Bruchtermen geht genauso vonstatten wie bei ganz normalen Brüchen. Demzufolge gilt bei einer Multiplikation von Bruchtermen folgende Regel:

  • Beim Multiplizieren von Bruchtermen müssen sowohl die Zähler als auch die Nenner miteinander malgenommen werden.

 

Allgemeine Darstellung der Multiplikation von Bruchtermen

{\frac{\mathrm a}{\mathrm b}} · {\frac{\mathrm c}{\mathrm d}} = {\frac{\mathrm a\ {\cdot}~\mathrm c}{\mathrm b\ {\cdot}~\mathrm d}}        (für b ≠ 0, d ≠ 0)

 

1. Beispiel:

  {\frac{4\mathrm a}{5\mathrm b}} · {\frac{3\mathrm x}{4\mathrm y}};

{\frac{4\mathrm a\ {\cdot}\ 3\mathrm x}{5\mathrm b\ {\cdot}\ 4\mathrm y}};

{\frac{12\mathrm a\mathrm x}{20\mathrm b\mathrm y}}

Der Faktor „12“ im Zähler und der Faktor „20“ im Nenner des Bruchterms haben noch den gemeinsamen Teiler „4“. Daher kann der Bruchterm noch durch „4“ gekürzt werden.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Das Kürzen kann auch bereits, wie man es beim Bruchrechnen gelernt hat, während der Multiplikation durchgeführt werden.

 

  {\frac{3\mathrm a\mathrm x}{5\mathrm b\mathrm y}}

Das ist der mittels Multiplikation entstandene Bruchterm.

 

2. Beispiel:

  {\frac{2\mathrm x~+~3\mathrm y}{3\mathrm x}} · {\frac{3\mathrm y}{5\mathrm x}} = {\frac{(2\mathrm x~+~3\mathrm y)\ {\cdot}\ 3\mathrm y}{3\mathrm x\ {\cdot}\ 5\mathrm x}};

{\frac{(2\mathrm x~+~3\mathrm y)\ {\cdot}\ 3\mathrm y}{3\mathrm x\ {\cdot}\ 5\mathrm x}} = {\frac{6\mathrm x\mathrm y~+~9\mathrm y^2}{15\mathrm x^2}}

Hier können im Zähler die Faktoren „6“ und „9“ sowie im Nenner der Faktor „15“ jeweils durch „3“ geteilt werden.

  {\frac{2\mathrm x\mathrm y~+~3\mathrm y^2}{5\mathrm x^2}}

Das ist der nicht mehr weiter zu vereinfachende Bruchterm.

 

Spezialfall bei der Multiplikation von Bruchtermen

  • Beim Multiplizieren eines Bruchterms mit einem Term muss nur der Zähler des Bruchterms mit dem Term malgenommen werden. Der Nenner bleibt hierbei gleich.

 

Allgemeine Darstellung des Spezialfalls bei der Multiplikation von Bruchtermen

{\frac{\mathrm a}{\mathrm b}} · c = {\frac{\mathrm a\ {\cdot}~\mathrm c}{\mathrm b}}       (für b ≠ 0)

 

1. Beispiel:

{\frac{7}{\mathrm x}} · y = {\frac{7\ {\cdot}~\mathrm y}{\mathrm x}}       (für x ≠ 0);

{\frac{7\ {\cdot}~\mathrm y}{\mathrm x}} = {\frac{7\mathrm y}{\mathrm x}}

 

2. Beispiel:

{\frac{\mathrm x}{\mathrm y}} · 3a = {\frac{\mathrm x\ {\cdot}\ 3\mathrm a}{\mathrm y}}       (für y ≠ 0);

{\frac{\mathrm x\ {\cdot}\ 3\mathrm a}{\mathrm y}}{\frac{\mathrm x3\mathrm a}{\mathrm y}}

Nach den Einzeltermen hin geordnet, erhält man diesen Bruchterm.

{\frac{\mathrm x3\mathrm a}{\mathrm y}}{\frac{3\mathrm a\mathrm x}{\mathrm y}}

 

5. Das Dividieren von Bruchtermen

Genauso wie das Multiplizieren von Bruchtermen auf dem normalen Bruchrechnen basiert, so ist das auch beim Dividieren der Fall. Hierbei gilt daher für die Division folgende Regel.

  • Zwei Bruchterme werden miteinander dividiert, indem der erste Bruchterm mit dem Kehrwert des zweiten Bruchterms multipliziert wird.

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Beim Kehrwert eines Bruches wird einfach der Zähler und der Nenner des Bruchs umgedreht.

 

Allgemeine Darstellung der Division von Bruchtermen

{\frac{\mathrm a}{\mathrm b}} : {\frac{\mathrm c}{\mathrm d}} = {\frac{\mathrm a}{\mathrm b}} · {\frac{\mathrm d}{\mathrm c}}     (für b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0);

{\frac{\mathrm a}{\mathrm b}} · {\frac{\mathrm d}{\mathrm c}}{\frac{\mathrm a\ {\cdot}~\mathrm d}{\mathrm b\ {\cdot}~\mathrm c}} 

 

1. Beispiel:

{\frac{3\mathrm a}{7\mathrm b}} : {\frac{4\mathrm x}{5\mathrm y}} = {\frac{3\mathrm a}{7\mathrm b}} · {\frac{5\mathrm y}{4\mathrm x}}     (für b ≠ 0; x ≠ 0; y ≠ 0);

{\frac{3\mathrm a}{7\mathrm b}} · {\frac{5\mathrm y}{4\mathrm x}} = {\frac{3\mathrm a\ {\cdot}\ 5\mathrm y}{7\mathrm b\ {\cdot}\ 4\mathrm x}};

{\frac{3\mathrm a\ {\cdot}\ 5\mathrm y}{7\mathrm b\ {\cdot}\ 4\mathrm x}} = {\frac{15\mathrm a\mathrm y}{28\mathrm b\mathrm x}}

Das ist der mittels Division entstandene Bruchterm.

 

2. Beispiel:

{\frac{2\mathrm a~+~3\mathrm b}{4\mathrm x}} : {\frac{2\mathrm x}{4\mathrm b}} = {\frac{(2\mathrm a~+~3\mathrm b)}{4\mathrm x}} · {\frac{4\mathrm b}{2\mathrm x}}    (für b ≠ 0; x ≠ 0);

{\frac{(2\mathrm a~+~3\mathrm b)}{4\mathrm x}} · {\frac{4\mathrm b}{2\mathrm x}}{\frac{(2\mathrm a~+~3\mathrm b)\ {\cdot}\ 4\mathrm b}{4\mathrm x\ {\cdot}\ 2\mathrm x}};

{\frac{(2\mathrm a~+~3\mathrm b)\ {\cdot}\ 4\mathrm b}{4\mathrm x\ {\cdot}\ 2\mathrm x}} = {\frac{8\mathrm a\mathrm b~+~12\mathrm b^2}{8\mathrm x^2}}

Das ist der mittels Division entstandene Bruchterm.

 

Spezialfall bei der Division von Bruchtermen

  • Beim Dividieren eines Bruchterms mit einem Term muss der Nenner mit dem Term malgenommen werden. Der Zähler bleibt hierbei unverändert.

 

Allgemeine Darstellung des Spezialfalls bei der Division von Bruchtermen

{\frac{\mathrm a}{\mathrm b}} : c = {\frac{\mathrm a}{\mathrm b\ {\cdot}~\mathrm c}}     (für b ≠ 0, c ≠ 0);

ohne Malzeichen: {\frac{\mathrm a}{\mathrm b\mathrm c}}

 

1. Beispiel:

{\frac{5\mathrm x}{\mathrm y}} : a = {\frac{5\mathrm x}{\mathrm y\ {\cdot}~\mathrm a}}     (für y ≠ 0, a ≠ 0);

Geordnet: {\frac{5\mathrm x}{\mathrm a\mathrm y}}

 

2. Beispiel:

{\frac{2\mathrm x\mathrm y}{\mathrm z}} : 3ab = {\frac{2\mathrm x\mathrm y}{\mathrm z\ {\cdot}\ 3\mathrm a\mathrm b}}     (für y ≠ 0, a ≠ 0, b ≠ 0);

Geordnet und ohne Malzeichen: {\frac{2\mathrm x\mathrm y}{3\mathrm a\mathrm b\mathrm z}}

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Wurzeln

1. Das Wurzelziehen als Gegenrechenoperation des Potenzierens

Zum Addieren gibt es in Mathe bekanntermaßen die Gegenrechenoperation, das Subtrahieren. Das Gleiche gilt für das Multiplizieren, denn hier kennt auch jeder die Gegenrechenoperation: das Dividieren. Wie sieht das nun beim Potenzieren aus? Richtig! Jeder in Mathematik nicht gänzlich auf den Kopf gefallene Schüler weiß auch, dass es hierfür eine Gegenrechenoperation gibt. Egal, ob man den Namen hierfür kennt oder nicht – gemeint ist hier: das Radizieren bzw. auf Deutsch: das Wurzelziehen.

Da eine Wurzel immer auf eine Potenz zurückgeführt werden kann, lässt sich diese neue Rechenoperation, das Radizieren/Wurzelziehen am besten aufgrund des Beziehungsverhältnisses Potenz/Wurzel erklären.

Gegeben ist folgende Potenz: 43

Die diesen Wert hat: 43 = 4 4 4 = 64

Die Gegenrechenoperation ist nun hier: \sqrt[3]{64} = 4

 

Gleichung mit Potenz und Variable x als Basis

Bei einer Variablen/Zahl unter einer Potenz und dem Ergebnis a besteht folgende Wechselbeziehung bzw. die Möglichkeit dieser Gegenrechenoperation (veranschaulicht auf dem anderen Bild).

 

 

 

Variable x in Gleichung mit n-ter Wurzel separiert

Durch das Ziehen der n-ten Wurzel von a erhält man x.

 

 

 

 

Aus dieser Beziehung zwischen Potenz und Wurzel ergibt sich folgende Definition:

Es ist eine nichtnegative Zahl a gegeben (alle Zahlen größer 0).

Die n-te Wurzel (n ≥ 2) ist diejenige nichtnegative Zahl x, aus der man mit n potenziert die Zahl a erhält.

Die n-te Wurzel aus a in der Sprache der Mathematik hat die Form: \sqrt[n]{a}.

Die Zahl n nennt man Wurzelexponent, die unter dem Wurzelzeichen stehende Zahl a bezeichnet man als Radikand.

 

Beispiele:

\sqrt{64} = 8, denn 8 8 = 64 (gesprochen: die Wurzel aus 64, alternativ: die Quadratwurzel aus 64)

\sqrt[3]{729} = 9, denn 9 9 9 = 729 (gesprochen: die 3. Wurzel aus 729, alternativ: die Kubikwurzel aus 729)

\sqrt[4]{1296} = 6, denn 6 6 6 6 = 1296 (gesprochen: die 4. Wurzel aus 1296)

\sqrt[5]{243} = 3, denn 3 3 3 3 3 = 243 (gesprochen: die 5. Wurzel aus 243)

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Weist die Wurzel keinen Wurzelexponenten auf, so handelt es sich immer um eine Quadratwurzel: \sqrt{\ {5} = \sqrt[2]{5}.

 

1.1 Berechnung der n-Wurzel mit dem Taschenrechner

Bei Taschenrechnern für den Mathematik-Unterricht kann man die n-te Wurzel immer mit dieser Taste berechnen: \sqrt[x]{y}. Normalerweise befindet sich diese Taste auf der 2. Belegung des Taschenrechners.

Bei Taschenrechnern, die die Taste \sqrt[x]{y} nicht vorweisen, kann man die n-te Wurzel aber auch folgendermaßen berechnen: Man gibt zuerst den Radikanden in den Taschenrechner ein und drückt als Nächstes die Taste x^y. Darauf gibt man den Kehrwert des Wurzelexponenten ein – und das entweder als Bruch oder Dezimalzahl.

 

Beispiele:

729(^{\frac{1}{3}}) = 9

1296(^{\frac{1}{4}}) = 6 oder: 1296^0^,^2^5 = 6

243(^{\frac{1}{5}}) = 3 oder: 1296^0^,^2 = 3

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Je nach Taschenrechner ist es wichtig, um den Exponenten eine Klammer zu setzen.

 

2. Die Wechselbeziehung zwischen Wurzelziehen und Potenzieren

Ziehen der n-ten Wurzel und Potenzieren mit n

Das Ziehen der n-ten Wurzel wird durch die Gegenrechenoperation, durch das Potenzieren mit n, wieder aufgelöst beziehungsweise rückgängig gemacht.

Denn: (\sqrt[n]{a})n = a für a ≥ 0

 

Beispiele:

(\sqrt[4]{4096})4 = 4096

(\sqrt[3]{27})3 = 27

(\sqrt[5]{4913})^5 = 4913

(\sqrt[6]{0,74})^6 = 0,74

 

 

Potenzieren mit n und Ziehen der n-ten Wurzel

Das Potenzieren von n wird durch die Gegenrechenoperation, das Ziehen der n-ten Wurzel wieder aufgelöst beziehungsweise rückgängig gemacht.

Denn: \sqrt[n]{a^n} = a für a ≥ 0

 

Beispiele:

\sqrt[5]{3^5} = 3

\sqrt[7]{6^7} = 6

 

 

 

2.1 Die Lösungsmenge einer Gleichung der Form x^n = a

Je nach Exponent in Beziehung zu a kann eine Gleichung der Form x^n = a eine Lösung oder zwei Lösungen haben oder keine Lösung vorweisen.

 

Definition:

Für die Lösungsmenge der Gleichung x^n = a gilt

bei geradem Exponenten n: bei ungeradem Exponenten:

{\sqrt[n]{a}; – \sqrt[n]{a}}, wenn a > 0; {\sqrt[n]{a}}, wenn a > 0;

{0}, wenn a = 0; {0}, wenn a = 0;

{ }, wenn a < 0; {– \sqrt[n]{\vert a\vert}}, wenn a < 0.

 

3. Die Erweiterung des Potenzbegriffs: auf gebrochen rationale Exponenten

Jede Wurzel kann auch als Potenz wiedergegeben werden. Hierfür ist nur eine Erweiterung des Potenz-Begriffes vonnöten, und zwar dahingehend, dass der Exponent der Potenz auch gebrochen rationale Zahlen beinhalten kann.

 

Definition:

Eine Potenz mit einem gebrochen rationalem Exponenten kann man zu einer Wurzel hin umwandeln.

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} (für m Є {\mathbb Z}, und n Є {\mathbb N^*}, a > 0)

Hierbei wird der Nenner des Bruchs zum Wurzelexponenten und der Zähler des Bruchs zum Exponenten des Radikanden.

Bei m = 1 tritt dieser Sonderfall auf: a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}.

 

Beispiele:

4^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{4^3}

6^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{6^2}

8^-^{\frac{4}{7}} = 8^{\frac{-4}{7}} = \sqrt[7]{8^-^4} = \sqrt[7]{\frac{1}{8^4}}

32,5 = 3^{\frac{5}{2}} = \sqrt[2]{3^5}

 

4. Wurzelgesetze

Genauso wie bei Potenzen gibt es in Mathe zu Wurzeln Rechenoperationen, die klaren Regeln unterliegen. Diese werden als Wurzelgesetze bezeichnet. Hierbei gibt es folgende Unterteilungen:

  • Wurzelgesetz für die Multiplikation von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten
  • Wurzelgesetz für die Division von Wurzeln bei gleichem Wurzelexponenten
  • Wurzelgesetz für das Wurzelziehen einer Wurzel

 

4.1 Wurzelgesetz für die Multiplikation von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten

Liegt eine Multiplikation zweier Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten vor, so ergibt sich hieraus diese Gesetzmäßigkeit:

\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a\ {\cdot} \ b} für a ≥ 0, b ≥ 0

Bei der Multiplikation zweier verschiedener Radikanden, deren Wurzelexponenten gleich sind, werden die Radikanden miteinander malgenommen. Der Wurzelexponent bleibt hierbei bestehen.

 

Beispiele:

\sqrt[3]{5} \sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{5\ {\cdot} \ 25} = \sqrt[3]{125} = 5

\sqrt{\ {3} \sqrt{\ {27} = \sqrt{3\ {\cdot} \ 27} = \sqrt{\ {81} = 9

 

4.2 Wurzelgesetz für die Division von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten

Bei einer Division zweier Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten ergibt sich folgende Gesetzmäßigkeit:

{\frac{{\sqrt[n]{a}}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} für a ≥ 0, b > 0

Bei der Division zweier verschiedener Radikanden, die den gleichen Wurzelexponenten vorweisen, wird der Quotient beider Radikanden genommen bzw. der zweite Radikand durch den ersten Radikanden dividiert. Der Wurzelexponent bleibt hierbei bestehen.

 

Beispiele:

{\frac{{\sqrt[3]{81}}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{81}{3}} = \sqrt[3]{27} = 9

{\frac{{\sqrt{45}}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{45}{5}} = \sqrt{9} = 3

 

4.3 Wurzelgesetz für das Wurzelziehen aus einer Wurzel

Zieht man aus einer Wurzel die Wurzel, so liegt folgende Gesetzmäßigkeit vor:

{\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m\ {\cdot} \ n]{a} für a ≥ 0

Bei einer Wurzel zieht man die Wurzel, indem man die Wurzelexponenten miteinander multipliziert. Der Radikand der Wurzel bleibt hierbei erhalten.

 

Beispiele:

{\sqrt[4]{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[4\ {\cdot} \ 3]{64} = \sqrt[12]{64}

{\sqrt{\sqrt{16}} = \sqrt[2\ {\cdot} \ 2]{16} = \sqrt[4]{16} = 2

 

4.4 Sonderfälle von Wurzelgesetzen

Aus den obigen Wurzelgesetzen lassen sich folgende Sonderfälle an Wurzelgesetzen ableiten.

 

4.41 Das teilweise Wurzelziehen

1a) \sqrt[n]{a^n\ {\cdot} \ b} = a · \sqrt[n]{b} (für a ≥ 0, b ≥ 0)

 

Beispiele:

\sqrt[4]{5\ {\cdot} \ 16} = \sqrt[4]{5\ {\cdot} \ 2^4} = 2 · \sqrt[4]{5}

\sqrt[3]{8\ {\cdot} \ 2} = \sqrt[3]{2^3\ {\cdot} \ 2} = 2 · \sqrt[3]{2}

\sqrt[3]{48} = \sqrt[3]{8\ {\cdot} \ 6} = \sqrt[3]{2^3\ {\cdot} \ 6} = 2 · \sqrt[3]{6}

\sqrt{12} = \sqrt{4\ {\cdot} \ 3} = \sqrt{2^2\ {\cdot} \ 3} = 2 · \sqrt{3}

 

1b) \sqrt{a^2\ {\cdot} \ b} = \vert a\vert · \sqrt{b} (für b ≥ 0)

 

Beispiele:

\sqrt{9x^2} = 3 · \vert x\vert

\sqrt{x^2y^2} = \vert xy\vert

\sqrt{36a^4} = \sqrt{36a^2\ {\cdot} \  a^2} = 6 · \vert a\vert · \vert a\vert = 6 · \vert a^2\vert

\sqrt{81m^2n^2} = 9 · \vert m\vert · \vert n\vert

 

2) \sqrt[n]{\frac{a}{b^n}} = {\frac{1}{b}} · \sqrt[n]{a} (für a ≥ 0, b > 0)

\sqrt{\frac{a^2}{b}} = {\frac{\vert a\vert}{\sqrt{b}}} (für b > 0)

\sqrt{\frac{a}{b^2}} = {\frac{\sqrt{a}}{\vert b\vert}} (für a ≥ 0, b ≠ 0)

3) \sqrt[m\ {\cdot} \ n]{a^n} = \sqrt[m]{a} (für a ≥ 0)

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Potenzen

1. Bestandteile und Besonderheiten einer Potenz

Potenzen sind Zahlen oder Buchstaben, die sowohl eine Basis als auch einen Exponenten vorweisen. Das lernt man bereits in der Grundschule in Mathe. Auch lernt man hierbei, wie eine Potenz entsteht, nämlich durch eine besondere Multiplikation, bei der die Faktoren jeweils gleich sind.

Aus dem gerade Gesagten ergibt sich demzufolge, dass:

Bestandteile einer Potenz

38 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3

oder:

(–6)5 = (–6) · (–6) · (–6) · (–6) · (–6)

oder:

(\sqrt{\ {7})4 = \sqrt{\ {7} · \sqrt{\ {7} · \sqrt{\ {7} · \sqrt{\ {7} = 49

oder:

({\frac{2}{5})5 = {\frac{2}{5} · {\frac{2}{5} · {\frac{2}{5} · {\frac{2}{5} · {\frac{2}{5} = {\frac{32}{3125}

Allgemein kann man daher eine Potenz folgendermaßen definieren:

a1 = a a^n = \underbrace{a \ {\cdot}\ a\ {\cdot}\ a \ {\cdot}\ ... \ {\cdot}\ a}_{\text{n Faktoren von a}} (für a є {\mathbb R}, n є {\mathbb N^*})

a2 = a · a

a3 = a · a · a

a4 = a · a · a · a

Bei einer Potenz gibt es zwei Besonderheiten, und zwar, wenn der Exponent eine Null vorweist oder wenn der Exponent negativ ist. Dann gilt folgende Definition:

a0 = 1 a – n = {\frac{1}{a^n}} (für a ≠ 0, n є N*)

Beispiele:

30 = 1

(–6)0 = 1

(\sqrt{\ {7})0 = 1

({\frac{2}{5})0 = 1

3 – 2 = {\frac{1}{3^2}} = {\frac{1}{9}}

(–6) – 2 = {\frac{1}{(-6)^2}} = {\frac{1}{36}}

({\sqrt{7^}}) – 2 = {\frac{1}{\sqrt{(7)^2}} = {\frac{1}{\sqrt{49}} = {\frac{1}{7}

({\frac{2}{5}) – 3 = \frac{1}{(\frac{2}{5})^3} = \frac{1}{\frac{8}{125}} = {\frac{125}{8} = 15,625

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Eine Potenz mit der Basis 0 und einem negativen Exponenten ist nicht definiert.

Beispiel: 0 – n = {\frac{1}{0^n}}. Wie man nach der Umformung sieht, steht im Nenner des Bruchs eine Null. Aus dem Mathe-Unterricht weiß man, dass solch ein Bruch nicht definiert ist.

 

2. Potenzgesetze

Wie alle Rechenoperationen, die man in der Schule in Mathematik gelernt hat, bestimmten Gesetzmäßigkeiten unterliegen, so ist dies auch bei Potenzen der Fall. Diese nennt man Potenzgesetze. Die Potenzgesetze werden folgendermaßen unterteilt:

  • Potenzgesetz für die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis
  • Potenzgesetz für die Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten
  • Potenzgesetz für das Potenzieren einer Potenz
  • Potenzgesetz für die Division von Potenzen mit gleicher Basis
  • Potenzgesetz für die Division von Potenzen mit gleichem Exponenten

 

2.1 Potenzgesetz für die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis

Liegt eine Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis vor, so ergibt sich hierbei diese Gesetzmäßigkeit:

am · an = am + n (für a ≠ 0, m є Z, n є Z)

Die gleichen Basen werden miteinander multipliziert, indem man deren Exponenten addiert. Die Basis bleibt hierbei bestehen.

Beispiele:

52 · 57 = 5 2 + 7 = 59

3– 2 · 37 = 3– 2 + 7 = 35

2– 4 · 2– 5 = 2(–4) + (–5) = 2– 9 (–6)4 · (–6)3 = (–6)4 + 3 = (–6)7

({\sqrt{7^}})8 · ({\sqrt{7^}})– 3 = ({\sqrt{7^}})8 + (– 3) = ({\sqrt{7^}})5

 

2.2 Potenzgesetz für die Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten

Liegt eine Multiplikation von Potenzen vor, deren Exponenten gleich sind, so ergibt sich diese Regelmäßigkeit.

an · bn = (a · b)n (für a ≠ 0, b ≠ 0, n є Z)

Die Basen werden miteinander multipliziert und der Exponent bleibt bestehen.

Beispiele:

87 · 57 = (8 · 5)7 = 407

45 · (–7)5 = (4 · (–7))5 = –285

(–3)2 · (–3)2 = ((–3) · (–3))2 = 92

({\sqrt{7^}})– 3 · 2– 3 = ({\sqrt{7^}} · 2)– 3 = 2{\sqrt{7^}}– 3

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Beachte bei der Multiplikation der Basen auf die bei der Multiplikation geltenden Vorzeichenregeln.

 

2.3 Potenzgesetz für das Potenzieren einer Potenz

Potenziert man eine Potenz mit einer weiteren Potenz, so ergibt sich folgende Regelmäßigkeit.

(am)n = am · n (für a ≠ 0, m є Z, n є Z)

Eine Potenz wird potenziert, indem man die beiden Exponenten miteinander multipliziert. Die Basis bleibt hierbei bestehen.

Beispiele:

(53)2 = 53 · 2 = 56; (2–4)5 = 2(–4) · 5 = 2 – 20; (–83)–7= (–8)3 · (–7) = (–8)– 21

 

2.4 Potenzgesetz für die Division von Potenzen mit gleicher Basis

Liegt ein Bruch vor, bei dem Zähler und Nenner die gleiche Basis besitzen, dann gilt diese Regelmäßigkeit.

{\frac{a^m}{a^n}} = am : an = am – n (für a ≠ 0, m є Z, n є Z)

Man zieht die Exponenten voneinander ab, wenn bei einem Bruch im Zähler und im Nenner die gleiche Basis auftritt. Die Basis bleibt bestehen.

Beispiele:

{\frac{3^5}{3^2}} = 35 : 32 = 35 – 2 = 33

{\frac{7^4}{7^-^6}} = 74 : 7– 6 = 74 (–6) = 710

{\frac{2^3}{2^6}} = 23 : 26 = 23 6 = 2– 3 = {\frac{1}{2^3}}

{\frac{8^-^2}{8^-^5}} = 8– 2 : 8– 5 = 8–2 (–5) = 83

 

2.5 Potenzgesetz für die Division von Potenzen mit gleichen Exponenten

Weisen bei einem Bruch sowohl der Zähler als auch der Nenner den gleichen Exponenten auf, so gilt diese Gesetzmäßigkeit.

{\frac{a^n}{b^n}} = an : bn = ({\frac{a}{b})n (für a ≠ 0, b ≠ 0 = n є Z)

Man dividiert die Basen, wenn bei einem Bruch die gleichen Exponenten im Zähler und Nenner auftreten. Der Exponent bleibt bestehen.

Beispiele:

{\frac{8^4}{2^4}} = 84 : 44 = ({\frac{8}{4})4 = 24 = 16

{\frac{2^-^5}{5^-^5}} = 2– 5 : 5– 5 = ({\frac{2}{5})– 5

{\frac{(-8^)^7}{2^7}} = (–8)7 : 27 = (–{\frac{8}{2})7= (–4)7= –16384

{\frac{(-3^)^6}{(-8)^6}} = (–3)6 : (–8)6 = ({\frac{3}{8})6

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Achte auch auf die geltenden Vorzeichenregeln bei der Division.

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Prozentrechnen, Teil 1

Preisnachlasswahnsinn in Prozent © Tony Hegewald PIXELIO www.pixelio.de

Ein nicht allzu schweres Mathe-Stoffgebiet stellt das Prozentrechnen dar. Schließlich basiert es zum einen nur auf der Multiplikation und Division, zum anderen dreht es sich stets um drei Begriffe – wobei der gesuchte Begriff stets mittels einer Mathematik-Formel berechnet werden kann. Daher ist das Prozentrechnen auch für Nicht-Mathe-Fans eine jederzeit zu bewältigende Hürde.

Die drei Begriffe, um die das Prozentrechnen kreist, sind hierbei der Grundwert G, der Prozentwert W und der Prozentsatz p %. Die drei Formeln zur Berechnung des jeweils gesuchten Begriffs setzen sich wie folgt zusammen:

G = \frac{W\ {\cdot}\ 100}{p};              W = \frac{G\ {\cdot}\ p}{100};              p = \frac{W\ {\cdot}\ 100}{G} Weiterlesen

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Rechenoperationen

Die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division

1. Rechenoperationen und Rechenfähigkeiten

In Mathematik muss man bekanntlich rechnen, rechnen und nochmals rechnen. Je besser man demzufolge rechnen kann, desto weniger Fehler passieren einem beim rechnerischen Lösen von Aufgaben. Die rechnerischen Fähigkeiten eines jeden Schülers hängen hierbei maßgeblich davon ab, wie gut man das elementare Mathe-„Handwerkszeug“ beherrscht – die Rechenoperationen.

Unter Rechenoperationen zählt man bei den Grundrechenarten das Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und das Dividieren und alle darauf basierenden Rechenoperationen wie das Potenzieren, das Wurzelziehen sowie das Logarithmieren. Hierbei lernt man die Rechenoperationen zunächst einzeln, später treten die gelernten Rechenoperationen jeweils beispielsweise bei dem Bruch-, Dezimal- und Prozentrechnen in Kombination wieder auf und anderen komplizierteren zu tätigenden Rechnungen.

Jede dieser Rechenoperationen unterliegt nun bestimmten Rechengesetzen/Rechenregeln. Da die „höheren“ Rechenoperationen wie das Potenzieren, das Wurzelziehen und das Logarithmieren auf den Grundrechenarten aufbauen, kann man tendenziell besser, schneller und vor allem fehlerfreier rechnen, wenn man die Grundrechenarten so gut wie möglich kann. Aufgrund der Tatsache, dass man spätestens ab der 8. Klasse einen Taschenrechner benutzen darf, kann man jedoch bei einem gekonnten Umgang mit dem Taschenrechner wiederum vorher vorhandene und auch spätere Rechenschwächen „umschiffen“ beziehungsweise kaschieren. Das geht aber nur, solange bloß „nackte“ Zahlen vorkommen. Spätestens aber, wenn Terme mit Variablen auftreten, „flackert“ die alte Rechenschwäche aufs Neue auf. Denn auch „höhere“ Rechenoperationen wie das Wurzelziehen und das Logarithmieren kommen in Mathematik bei Termen, Gleichungen und Funktionen vor – und müssen dort vielfach korrekt angewandt werden. Zwar gibt es inzwischen auch Taschenrechner, die beliebig programmierbar sind und auch schwierigere Mathe-Ausdrücke wie Terme, Gleichungen und Funktionen mit unterschiedlichen Variablen und „höheren“ Rechenoperationen wie das Wurzelziehen und Logarithmieren berechnen können, jedoch im Mathe-Abitur sind diese nicht zugelassen. Daher geht kein Weg daran vorbei, im Fach Mathe sich alle Rechenoperationen so gut wie möglich anzueignen – ansonsten verliert man unter Garantie immer schon Punkte aufgrund eines fehlerhaften Rechenweges. Auch besteht die nicht zu unterschätzende Gefahr, dass man durch Rechenfehler den Lösungsweg verkompliziert.

Ebenso sollte man sich im Klaren sein: Je höher die Klassenstufe ist, desto häufiger wird im Fach Mathematik während der Klassenarbeiten die Uhr ticken. Umso mehr gilt das noch für das schriftliche Mathe-Abitur. Hat man daher gerade in der Oberstufe noch irgendwelche Rechenprobleme bei bestimmten Rechenoperationen, dann werden nicht nur die Klassenarbeiten in Mathematik von der Note her mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit alles andere als gut ausfallen – sondern auch das zu absolvierende schriftliche Mathe-Abitur.

 

2. Die Rechenoperationen bei den Grundrechenarten

Die elementarsten Rechenoperationen treten bei den Grundrechenarten, der Addition, Subtraktion, Multiplikation und der Division, auf. Hierbei bezeichnet man die Rechenoperation bei der Addition als ein Addieren, bei der Subtraktion als ein Subtrahieren, bei der Multiplikation als ein Multiplizieren und die Rechenoperation bei der Division als ein Dividieren.

 

Das Addieren: Beim Addieren/einem Zusammenzählen werden mindestens zwei Zahlen zusammengezählt/addiert. Das hierbei verwendete Rechenzeichen/Operarator(zeichen) ist das Pluszeichen/„+“. Die einzelnen mathematischen Zahlen/Operanden werden beim Addieren jeweils als Summanden bezeichnet und das Ergebnis als Summe. Es gilt daher beim Addieren folgende allgemeine Mathematik-Rechenoperation.

Summand + Summand = Summe

Beispiele:

1. 3 + 7 = 10

2. 12 + 34 = 46

3. 400 + 2 = 402

4. 7040051 + 778 = 7040829

Um das Addieren als Rechenoperation bei der Addition korrekt rechnerisch durchzuführen, muss man natürlich noch die hierbei auftretenden Rechengesetze/Rechenregeln beherrschen.

 

Das Subtrahieren: Beim Subtrahieren/einem Abziehen wird mindestens eine Zahl von einer anderen abgezogen/subtrahiert. Das hierbei verwendete Rechenzeichen/Operator(zeichen) ist das Minuszeichen/„„. Die mathematischen Zahlen/Operanden werden bei beim Subtrahieren unterschieden, und zwar in Minuend und Subtrahend (der Minuend steht hierbei immer vor dem Subtahend), und das Ergebnis wird als Differenz bezeichnet. Es gilt daher beim Subtrahieren diese allgemeine Mathematik-Rechenoperation.

Minuend Subtrahend = Differenz

Beispiele:

1. 8 – 5 = 3

2. 25 – 14 = 11

3. 2025 – 493 = 1532

4. 5030678 – 9856 = 5020822

Damit man das Subtrahieren als Rechenoperation bei der Subtraktion auch korrekt rechnerisch umsetzten kann, muss man natürlich ebenso die hier geltenden Rechengesetze/Rechenregeln können.

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Die umgekehrte Rechenoperation zum Addieren/zum Zusammenzählen stellt das Subtrahieren/das Abziehen dar.

 

Das Multiplizieren: Beim Multiplizieren/einem Malnehmen werden mindestens zwei Zahlen miteinander malgenommen/multipliziert. Das hierbei verwendete Rechenzeichen/Operator(zeichen) ist das Multiplikationszeichen/·„. Die mathematischen Zahlen/Operanden werden beim Multiplizieren jeweils als Faktor und das Ergebnis als Produkt bezeichnet. Es gilt daher beim Multiplizieren folgende allgemeine Rechenoperation.

Faktor · Faktor = Produkt

Beispiele:

1. 3 · 4 = 12

2. 18 · 12 = 216

3. 3511 · 432 = 1516752

4. 6693467 · 3406 = 22797948602

Zum korrekten rechnerischen Umsetzen des Multiplizierens als Rechenoperation bei der Multiplikation ist natürlich ebenfalls ein Beherrschen der Rechengesetze/Rechenregeln dieser Grundrechenart vonnöten.

 

Das Dividieren: Beim Dividieren/einem Teilen wird mindestens eine Zahl durch eine andere geteilt/dividiert. Das hierbei verwendete Rechenzeichen/Operator(zeichen) ist das Divisionszeichen/:„. Die mathematischen Zahlen/Operanden werden beim Dividieren unterschieden, und zwar in Dividend und Divisor (der Dividend steht hierbei immer vor dem Divisor) , und das Ergebnis wird als Quotient bezeichnet. Es gilt daher beim Dividieren diese allgemeine Rechenoperation.

Dividend : Divisor = Quotient

Beispiele:

1. 9 : 3 = 3

2. 75 : 15 = 5

3. 978 : 2 = 489

4. 5978808 : 36 = 166078

Damit das Dividieren als Rechenoperation bei der Division fehlerfrei angewandt werden kann, muss man hier ebenfalls natürlich die Rechengesetze/Rechenregeln dieser Grundrechenart können.

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Die umgekehrte Rechenoperation zum Multiplizieren/zum Malnehmen ist das Dividieren/das Teilen

 

2.1 Die Rechenoperationen beim Bruchrechnen

Jeder Bruch kann auf eine Division zurückgeführt werden, da jeder Bruch nichts anderes als eine Division darstellt.

Beispiele Zurückführen von Brüchen auf die Division:

1. {\frac{1}{4} = 1 : 4

2. {\frac{9}{13} = 9 : 13

3. {\frac{5}{907} = 5 : 907

4. {\frac{30010}{667859} = 30010 : 667859

Das Bruchrechnen basiert auf den Grundrechenarten. Daher treten die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division bei Brüchen wieder auf und deren Rechenoperationen. Demzufolge gibt es Brüche, deren Summe man berechnen muss, deren Differenz, deren Produkt und deren Quotient. Deshalb gilt für das Bruchrechnen, dass die Rechengesetze/Rechenregeln der Grundrechenarten beherrscht werden müssen und zudem, dass natürlich die dieser Rechenart zugrunde liegenden Rechengesetze/Rechenregeln korrekt angewandt werden müssen.

Beispiele Addieren bei Brüchen:

1. {\frac{1}{5} + {\frac{2}{5} = {\frac{3}{5}

2. {\frac{5}{12} + {\frac{3}{7} = {\frac{71}{84}

3. {\frac{3}{205} + {\frac{12}{19} = {\frac{2517}{3895}

4. {\frac{141}{5075} + {\frac{507}{4960} = {\frac{654477}{5034400}

 

Beispiele Subtrahieren bei Brüchen:

1. {\frac{3}{7} {\frac{2}{7} = {\frac{1}{7}

2. {\frac{22}{23} {\frac{8}{9} = {\frac{14}{207}

3. {\frac{7}{402} {\frac{3}{1115} = {\frac{6599}{448230}

4. {\frac{151}{4738} {\frac{121}{68905} = {\frac{9831357}{326471890}

 

Beispiele Multiplizieren von Brüchen:

1. {\frac{2}{5} · {\frac{3}{7} = {\frac{6}{35}

2. {\frac{7}{12} · {\frac{19}{25} = {\frac{133}{300}

3. {\frac{305}{2007} · {\frac{33}{35} = {\frac{671}{4683}

4. {\frac{907}{3008} · {\frac{5534}{12877} = {\frac{2509669}{19367008}

 

Beispiele Dividieren von Brüchen:

1. {\frac{3}{7} : {\frac{3}{5} = {\frac{5}{7}

2. {\frac{11}{29} : {\frac{5}{12} = {\frac{132}{145}

3. {\frac{10}{411} : {\frac{554}{679} = {\frac{3395}{113847}

4. {\frac{123}{3217} : {\frac{7004}{9001} = {\frac{1107123}{22531868}

 

2.2 Die Rechenoperationen beim Dezimalrechnen

Nahezu jede Dezimalzahl (bis auf nicht-abbrechende Dezimalzahlen, die nicht periodisch sind). können ohne Weiteres als Bruch dargestellt werden und somit wieder auf die Division zurückgeführt werden.

 

Beispiele Zurückführen von Dezimalzahlen auf Brüche und die Division:

1. 0,2 = {\frac{2}{10} = 2 : 10

2. 0,347 = {\frac{347}{1000} = 347 : 1000

3. 45,87539 = {\frac{4587539}{100000} = 458753 : 100000

4. 876,9659007 = {\frac{8769659007}{10000000} = 8769659007 : 10000000

Das Gleiche, was für das Bruchrechnen gilt, gilt ebenso für das Dezimalrechnen. Auch das Dezimalrechnen basiert auf den Grundrechenarten. Daher kommen auch hier die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division wieder vor sowie deren Rechenoperationen. Folglich treten Dezimalzahlen auf, deren Summe man bilden muss, deren Differenz, deren Produkt und deren Quotient. Deshalb gilt auch beim Dezimalrechnen, dass wiederum die Rechengesetze/Rechenregeln der Grundrechenarten abgerufen werden können müssen und natürlich außerdem die dieser Rechenart zugrunde liegenden Rechenregeln beachtet werden müssen.

 

Beispiele Addieren bei Dezimalzahlen:

1. 3,4 + 5,3 = 8,7

2. 12,9 + 53,8 = 66,7

3. 443,72 + 867,88 = 1311,6

4. 956,75 + 84555,845 = 85512,595

 

Beispiele Subtrahieren bei Dezimalzahlen:

1. 7,9 – 4,5 = 3,4

2. 15,81 – 2,2 = 13,61

3. 4078,74 – 975,65 = 3103,09

4. 685942,5 – 65,5647 = 685876,9353

 

Beispiele Multiplizieren bei Dezimalzahlen:

1. 8,5 · 7,3 = 62,05

2. 12,61 · 4,1 = 51,701

3. 657,43 · 73,82 = 48531,4826

4. 17945,21 · 74562,645 = 1338042322,68045


Beispiele Dividieren bei Dezimalzahlen:

1. 4,6 : 2,5 = 1,84

2. 78,65 : 1,25 = 62,92

3. 876,06 : 12,5 = 70,0848

4. 1456,44 : 10,6 = 137,4

 

2.3 Die Rechenoperationen beim Prozentrechnen

Jede Prozentangabe lässt sich als Bruch darstellen und kann somit auf die Division zurückgeführt werden.

 

Beispiele Zurückführen von Prozentangaben auf Brüche und die Division

1. 5 % = {\frac{5}{100} = 5 : 100

2. 12,76 % = {\frac{1276}{10000} = 1276 : 10000

3. 67,987 % = {\frac{67987}{100000} = 67987 : 100000

4. 8765,87 % = {\frac{876587}{10000} = 876587 : 10000

Da bei der Prozentrechnung immer Proportionalitätsverhältnisse vorliegen, bei der der gesuchte Wert jeweils mittels eines Dreisatzes bestimmt werden kann, lässt sich die Prozentrechnung auf die Multiplikation und Division zurückführen. Denn diese beiden Grundrechenarten müssen beim Dreisatz stets angewandt werden. Daher treten hier als Rechenoperationen das Multiplizieren und das Dividieren auf.

 

2.4 Die Rechenoperationen beim Zinsrechnen

Die Zinsrechnung ist ein Teilgebiet der Prozentrechnung. Daher kommen auch hier stets Proportionalitätsverhältnisse vor, bei denen jeweils der gesuchte Wert mit dem Dreisatz bestimmt werden kann. Da der Dreisatz auf die Multiplikation und die Division zurückgeführt werden kann, basiert die Zinsrechnung ebenso auf diesen beiden Grundrechenarten. Deshalb treten auch hier wiederum als Rechenoperationen das Multiplizieren und das Dividieren auf.

 

3. Die Rechenoperationen beim Potenzieren

Die nächst höhere Rechenoperation, die nach den Grundrechenarten folgt, ist das Potenzieren. Eine Potenz kann hierbei auf eine spezielle Multiplikation zurückgeführt werden, und zwar auf diejenige, bei der die Faktoren jeweils gleich sind. Daher stellt eine Potenz nur eine verkürzte Schreibweise/Darstellung dieser besonderen Multiplikation dar. Eine Potenz selbst besteht hierbei aus einer Basis/„a“und einem Exponenten/„n„. Folgende allgemeine Mathematik-Rechenoperation liegt deshalb dem Potenzieren zugrunde.

a · a · a · a · a · a · ……… · a = an

n-Faktoren von a ergeben an

 

Beispiele:

1. 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 5{^{9}}

2. 27 · 27 · 27 · 27 · 27 · 27 · 27 = 27{^{7}}

3. 8003 · 8003 · 8003 · 8003 · 8003 = 8003{^{5}}

4 {\frac{3}{7} · {\frac{3}{7} · {\frac{3}{7} · {\frac{3}{7} = ({\frac{3}{7}){^{4}}

5 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 = 7,32{^{8}}

Liegt eine Potenz vor, so gibt man in der Sprache der Mathematik die Potenz mit „a“ hoch „n“ wieder.

Das Hohelied auf das zweithöchste Gut des Menschen: der Freiheit! Einfach nur wunderschön!!!

 

Beispiele:

1. 34 heißt in Mathe richtig wiedergegeben 3 hoch 4.

2. 125 heißt in der Mathematik korrekt 12 hoch 5.

 

4. Die Rechenoperationen beim Wurzelziehen/Radizieren

Auf gleicher Ebene zum Potenzieren steht das Wurzelziehen/Radizieren. Denn eine Wurzel kann nahezu immer auf eine Potenz zurückgeführt werden, da das Wurzelziehen/Radizieren die umgekehrte Rechenoperation zum Potenzieren ist. Die Wurzel selbst wird mit folgendem Rechenzeichen/Operatorzeichen wiedergegeben: \sqrt. Eine Wurzel besteht hierbei jeweils aus einem Radikanden/„a“und einem Wurzeleponenten/ „n„. Das Zurückführen einer Wurzel auf eine Potenz zeigt sich in deren Beziehungsverhältnis.

\sqrt[n]{a} = x denn: xn = a

die n-te-Wurzel aus a = x denn: x hoch n = a

 

Beispiele:

1. \sqrt{25} = 5 denn: 52 = 2

2. \sqrt[4]{4096} = 8 denn: 84 = 4096

3. \sqrt[15]{32768} = 2 denn: 215 = 32768

4. {\sqrt{\frac{49}{100} = {\frac{7}{10} denn: ({\frac{7}{10})2 = {\frac{49}{100}

5. \sqrt{6,25} = 2,5 denn: 2,52 = 6,25

 

5. Die Rechenoperationen beim Logarithmieren

Eine weitere in Mathe zu lernende Rechenoperation stellt das Logarithmieren dar. Hierbei wird das Logarithmieren immer angewandt, wenn bei einer Potenz die Variable im Exponenten ermittelt werden soll. Der Logarithmus selbst wird mit folgendem Rechenzeichen/Operatorzeichen wiedergegeben: log. Ein Logarithmus besteht hierbei aus einer Basis/„b“ und einem Numerus/„y“. Zwischen einem Logarithmus und einer Potenz besteht nun folgendes Beziehungsverhältnis:

logby = x denn: bx = y

 

Beispiele:

log3 81 = 4 denn 34 = 81

log8 64 = 2 denn 82 = 64

log3 2187 = 7 denn 37= 2187

log_{\frac{1}{4} 2 = –{\frac{1}{2} denn ({\frac{1}{4})^-^{\frac{1}{2}} = 2

log_0_,_4 2,5 = –1 denn 0,4^-^1 = 2,5

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Terme

Unbekannte Anzahl an Gummibärchen © günther gumhold PIXELIO www.pixelio.de

1. Funktion und Form eines Terms

Um alltägliche Phänomene oder etwas kompliziertere Gegebenheiten in der Sprache der Mathematik wiederzugeben, reichen hierfür oftmals die normalen Grundrechenarten inklusive Dezimal- und Bruchrechnen alleine nicht mehr aus. Ist nämlich bei einem alltäglichen Phänomen oder einer etwas schwierigeren Gegebenheit ein bestimmter Aspekt nicht zahlenmäßig genau erfassbar, dann ist dieser logischerweise unbekannt beziehungsweise – in der Sprache der Mathematik gesprochen – variabel. Da nun hier die bekannten einfachen Rechenoperationen an ihre Grenzen stoßen, müssen diese „phänomenbezogen“ oder „gegebenheitsbezogen“ sinnvoll erweitert werden. Dies macht man in Mathe durch einen sogenannten Term. Denn ein Term ist in der Regel nichts anderes als ein komplexeres Mathematik-Gebilde, das auf den Grundrechenarten inklusive Dezimal- und Bruchrechnen „fußt“. Deshalb kommen auch alle Grundrechenarten („+“, „–“, „·“ und „:“) sowie Dezimal- und Bruchrechnungen bei einem Term weiter vor – aber normalerweise nicht nur. Schließlich muss ja auch ein Term gerade den Aspekt wiedergeben, der bei einem alltäglichen Phänomen oder einer etwas komplizierteren Gegebenheit „unbekannt“ ist beziehungsweise „variabel“. Daher besteht ein Term normalerweise auch aus mindestens einer Variablen. Das war’s aber fast schon an Neuem.

Die Variable x © Claudia Hautumm PIXELIO www.pixelio.de

Angemerkt muss nur noch werden, dass bei einem Term neben einer oder mehreren Variablen, den Grundrechenzeichen natürlich auch Zahlen und ebenso Klammern auftreten können, ebenso Hochzahlen (Potenzen), Dezimalzahlen und Brüche – was jedoch nichts Neues ist. Vor allem Zahlen, aber ebenfalls Klammern sind ja auch bekanntermaßen ein fester Bestandteil bei allen Grundrechenarten. Das Gleiche gilt für Hochzahlen (Potenzen), da diese nur eine andere Schreibweise innerhalb einer bestimmten Multiplikation darstellen. Darüber hinaus sind Dezimalzahlen und Brüche ebenso nichts Neues, da diese ebenso sich aus den Grundrechenarten mittels bestimmter Rechenoperationen ergeben. Des Weiteren können aber bei einem Term auch Zahlen und Rechenzeichen vorkommen, die einem eventuell noch nicht so geläufig sind, wie beispielsweise negative Zahlen, Betragsstriche und Wurzeln.

Als Letztes muss noch erwähnt werden, dass bei einem Term nicht zwingend eine Variable vorkommen muss, da gewissermaßen eine Variable immer bereits mit einem Wert besetzt sein kann und dann nur noch der reine Wert als Term dasteht (Beispiel: Ist bei 3x „x“ bekannt und der Wert x = 1 so ist 3x immer auch gleich 3, weswegen 3 auch immer schon ein Term ist. Daraus ergibt sich, dass jede Zahl immer auch schon ein Term ist, da ja theoretisch bei jeder Zahl immer eine Variable dabeistehen kann, die beispielsweise den Wert 1 hat).

Aus dem bisher Gesagten ergibt sich folgende Definition eines Terms:

Ein Term ist in der Mathematik ein „Gebilde“, das normalerweise aus Variablen, Rechenzeichen und Zahlen besteht und bei dem teilweise auch noch Klammern vorkommen können sowie vielerlei andere mathematische Ausdrücke.

Ein Term beinhaltet immer einen Rechenweg. Indem man eine Zahl in die Variablen des Terms einsetzt, erhält man erneut einen Term. Die Zahl, die sich als das Endergebnis des Rechenweges schließlich ergibt, wird als der Wert des Terms bezeichnet.

Bei der Berechnung eines Terms gibt es einzuhaltende Vorrangregeln.

1. Gibt es keine bestimmte Regel für den Term, so rechnet man immer von links nach rechts.

2. Tritt eine Klammer auf, so muss das Innere der Klammer als Erstes berechnet werden.

3. Ist keine Klammer vorhanden, gilt Punktrechnung vor Strichrechnung sowie Potenzrechnung vor Punktrechung und Strichrechnung.

Die Strichrechnung umfasst die Addition und die Subtraktion, die Punktrechnung die Multiplikation und Division.

 

Beispiele für Terme:

1)    a;   b;   c;   x;   y (ein Term, der nur aus einer Variablen besteht)

2)    2;   4;   19;   55;   75;   450 (ein Term, der nur aus einer Zahl besteht)

3)    4a + 4b;   7a – 12 c;   9d · 14e;   7a : 9b beziehungsweise {\frac{7\mathrm a}{9\mathrm b} (ein Term, der aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen besteht)

4)    7,3c + 4,3 b;   {\frac{3\mathrm d}{4\mathrm e};   (4a + 3);   –12 – 9b;   (7 + 3 a)²;   |5x|;   \sqrt{5\mathrm x} (verschienenartige andere Terme)

 

1.1 Typ eines Terms in Abhängigkeit zur Rechenoperation

Die Rechenoperation, die bei einem Term immer zuletzt durchgeführt werden muss, bestimmt den Typ des Terms (wenn man in die Variable eine Zahl einsetzt und den Term-Wert berechnet).

a)    6 · (5x + 4)

Hier stellt der Term ein Produkt dar, da man als letzte Rechenoperation ein Multiplizieren durchführen muss.

b)    6 · 5x + 4

Hier verkörpert der Term eine Summe, da die letzte Rechenoperation ein Addieren ist.

c)    25 : (x – 4)

Hier ist der Term ein Quotient. Als Letztes wendet man als Rechenoperation nämlich hier ein Dividieren an.

d)    25 : x – 2

Dieser Term ist eine Differenz. Die letzte Rechenoperation ist nämlich hier ein Subtrahieren.

e)     (7 · x + 7)²

Bei diesem Term handelt es sich um eine Potenz. Die letzte Rechenoperation stellt hier ein Potenzieren dar.

f)    ( 7 · x + 7) : 5

Hier liegt wiederum ein Quotient vor, da die letzte Rechenoperation ein Dividieren ist.

 

1.2 Eine algebraische Summe

Der Typ des Terms a + b – c ist strenggenommen eine Differenz, da nach der Vorrangregel von links nach rechts gerechnet werden muss und die letzte Rechenoperation ein Subtrahieren ist. Man kann diesen Term aber auch in eine Summe umwandeln:

a + b – c = a + b + (–c)

Einen Term wie a + b – c wird in der Mathematik daher auch als eine algebraische Summe bezeichnet.

Jeder Typ eines Terms, der entweder eine Summe oder eine Differenz ist, ist immer auch eine algebraische Summe.

 

Beispiele für algebraische Summen:

a)    7x – 8y + 9

b)    8 · a + 9 · b² – 3 · c

c)    5 · y – 6 · z – 9 ·

d)    9 · a + 7 · x – 6 · y – 7 · b

e)    x – y

f)    a + b

 

2. Term-Bildung bei Textaufgaben/Sachaufgaben

Häufig kommt es im Fach Mathe auch vor, dass ein Term erst aufgestellt werden muss. Ist dies der Fall, so muss man alle in der Aufgabe angegebenen relevanten Worte korrekt in die Sprache der Mathematik „umwandeln“ oder die bei einer Aufgabe angegebene Darstellung.

 

Beispiele für Terme, die anhand einer Textaufgabe/Sachaufgabe aufgestellt werden müssen:

a)  Zum Siebenfachen einer unbekannten Zahl soll 9 addiert werden. Der gesuchte Term ist hier: 7x + 9 (die relevanten Worte sind hier „Siebenfachen“, „unbekannte Zahl“, „9“, „addiert“; hierbei muss man zudem wissen, dass das Wort „fach“ in der Sprache der Mathematik ein „Mal“ bedeutet, und „unbekannte Zahl“ ein anderer Ausdruck für die Variable ist, natürlich muss man außerdem innerhalb des Satzes erkennen, auf welche Weise alle relevanten Wörter sich aufeinander beziehen).

b)  Das Dreifache von x wird von 37 subtrahiert. Der gesuchte Term ist hier: 37 – 3x (die relevanten Worte sind hier: „Dreifache“, „x“, „37“, „subtrahiert“).

c)  Multipliziere eine Zahl mit der um 3 größeren Zahl. Der gesuchte Term ist hier: x · (x + 3) (die relevanten Worte sind hier: „Multipliziere“, „Zahl“, „3 größeren Zahl“, hierbei muss man zudem wissen, dass „Zahl“ hier ein anderer Ausdruck für die Variable ist und dass „x + 3“ eine Einheit bildet und daher in Klammern stehen muss).

d)  Dividiere das Sechsfache einer Zahl durch 19. Der Term ist hier: 19 : 6x (die relevanten Worte sind hier: „Dividiere“, „Sechsfache“, „Zahl“, „19“).

 

2.1 Termaufstellung anhand von geometrischen Figuren

Auf dem unteren Bild befinden sich verschiedene geometrische Flächen, zu denen jeweils ein bestimmter Term aufgestellt werden soll.

 

2.11 Terme bei Darstellungen

Kette aus Draht

Kette aus Draht

Das Bild soll einen Weihnachtsschmuck aus Draht darstellen. Wie lautet der Term für den Weihnachtsschmuck?

Der Term lautet:

y + y + y + x + x + x + x + 20;

3y + 4x +20.

 

Wie lang ist die Drahtlänge?

a)   x = 5 und y = 6;

b)   x = 4,8 und y = 5,4 cm (die Maße sind in cm).

 

a)    x = 5 und y = 6:   3 · 6 + 4 · 5 + 20 = 58

Der Weihnachtsschmuck ist 58 cm lang.

 

b)   x = 4,8 cm, y = 5,4 cm:   3 · 5,4 + 4 · 4,8 + 20 = 55,4

Der Weihnachtsschmuck ist 55,4 cm lang.

 

 

Konstruktion aus Draht

Konstruktion aus Draht

Das Bild soll eine Draht-Konstruktion darstellen. Der untere Teil stellt einen Würfel dar. Darauf befinden sich gleichlange Befestigungen. Zum Schluss ist ein gerades Stück Draht angebracht.  Wie lautet der Term für die Draht-Konstruktion?

 

Wie lang ist die Drahtlänge?

a)   x = 5,4 cm; y = 8,6 cm; z = 12,4 cm;

b)   x = 7,2 cm; y = 10,6 cm und z = 20,5 cm.

 

Der Term zu Berechnung der Drahtlänge ist:

x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + y + y + y + y + z;

12x + 4y + z

 

a) Bei x = 5,4 cm; y = 8,6 cm; z = 12,4 cm ist die Drahtlänge:

12 · 5,4 cm + 4 · 8,6 cm + 12,4 cm = 111,6 cm

Die Drahtkonstruktion ist 111,6 cm lang.

 

b) Bei x = 7,2 cm; y = 10,6 cm und z = 20,5 cm ist die Drahtlänge:

12 · 7,2 cm + 4 · 10,6 cm + 20,5 cm = 149,3 cm

Die Drahtkonstruktion ist 149,3 cm lang.

 

2.12 Terme bei Vielecken

Verschiedene geometrische Flächen

Verschiedene geometrische Flächen

a)  Gib einen Term für das Dreieck an, der den Umfang des Dreiecks wiedergibt. Der gesuchte Term lautet hier: a + b + c (zur Ermittlung des Umfangs bei einem Dreieck müssen alle Seiten des Dreiecks addiert werden).

b)  Gib einen Term an, der die Fläche des Rechtecks wiedergibt: Der gesuchte Term ist hier: e · f (die Fläche eines Rechtecks ist immer das Produkt seiner beiden unterschiedlichen Seiten).

c)  Gib einen Term an, der die Fläche des Parallelogramms wiedergibt. Der gesuchte Term lauter hier: g · h (der Fläche eine Parallelogramms ist immer das Produkt aus einer Grundseite zu einer hierzu im rechten Winkel stehenden Höhe).

d)  Gib einen Term an, der den Umfang des Trapezes wiedergibt. Der gesuchte Term ist hier: k + l + m + n (zur Bestimmung des Umfangs bei einem Viereck müssen alle Seiten des Vierecks addiert werden).

 

3. Wert-Berechnung bei einem Term

Ist bei einem Term für jede vorkommende Variable eine Zahl gegeben, so kann man jeweils den Wert des Terms berechnen.

 

Beispiele:

a)  Folgender Term ist gegeben: x + 7.

Darüber hinaus sind die Zahlen x = 0;   x = 1;   x = 12;   x = 44;   x = –5;   x = 1,7;   x = –5,3;   x = {\frac{1}{2};   x = –{\frac{4}{7} gegeben.

Daraus ergeben sich diese Werte für den Term:

für x = 0:   0 + 7;   7;

für x = 1:   1 + 7;    8;

für x = 12:   12 + 7;   19;

für x = 44:   44 + 7;   51;

für x = – 5:   –5 + 7;    2;

für x = 1,7:   1,7 + 7;   8,7;

für x = –5,3:   –5,3 + 7;   1,7;

für x = {\frac{1}{2}:   {\frac{1}{2} + 7;   7{\frac{1}{2};

für x = – {\frac{4}{7}:   – {\frac{4}{7} + {\frac{49}{7};   {\frac{45}{7};   6{\frac{3}{7}

 

b)  Folgender Term ist gegeben: (x – 7) · (x + 7).

Darüber hinaus sind die Zahlen x = 0;   x = 1;   x = 12;   x = 44;   x = –5;   x = 1,7;   x = –5,3;   x = {\frac{1}{2};   x = –{\frac{4}{7} gegeben.

Hieraus ergeben sich diese Werte für den Term:

für x = 0:   (0 – 7) · (0 + 7);   –7 · 7;   –49;

für x = 1:   (1 – 7) · (1 + 7);    –6 · 8;   –48;

für x = 12:   (12 – 7) · (12 + 7);    5 · 19;   95;

für x = 44:   (44 – 7) · (44 + 7);   37 · 51;   1887;

für x = –5:   (–5 – 7) · (5 + 7);   –12 · 12;   –144;

für x = 1,7:   (1,7 – 7) · (1,7 + 7);   –5,3 · 8,7;   –46,11;

für x = –5,3:   (–5,3 – 7) · (–5,3 + 7);   –12,3 · 1,7;   –20,91;

für x = {\frac{1}{2}:   ( {\frac{1}{2} – 7) · ( {\frac{1}{2} + 7);   ( {\frac{1}{2}{\frac{28}{2}) · ( {\frac{1}{2} + {\frac{28}{2});   –{\frac{27}{2} · {\frac{29}{2};   –{\frac{783}{4};   –195{\frac{3}{4};

für x = –{\frac{4}{7}:   (–{\frac{4}{7} – 7) · (– {\frac{4}{7} + 7);   (–{\frac{4}{7}{\frac{49}{7}) · (–{\frac{4}{7} + {\frac{49}{7});   (–{\frac{56}{7}) · ({\frac{45}{7});   –{\frac{2520}{49};   –51{\frac{21}{49}

 

Der „all time favourite“-Sesamstraßen-Song

 

3.1 Wertgleichheit bei Termen

Zwei Terme können in Mathe auch wertgleich sein. Liefern zwei unterschiedlich aussehende Terme beim Einsetzen jedweder Zahlen das gleiche Ergebnis/die gleichen Werte, so liegt zwischen beiden Termen eine Wertgleichheit vor. Diese Wertgleichheit lässt sich dann immer auch algebraisch beweisen, indem ein Term so weit umgeformt wird, bis er die identische Form des anderen hat. Wertgleiche Terme können daher auch immer mittels eines Gleichheitszeichens miteinander verbunden werden.

Mittels einer sogenannten Termunformung kann ein Term verändert werden. Ein derart umgeformter Term stellt in der Regel eine Vereinfachung zum ursprünglichen Term dar. Der ursprüngliche Term und der umgeformte Term sind wertgleich.

 

Beispiele für Wertgleichheit zweier Terme

Es sind die Terme „3x“ und „5x + 2x – 4x“ gegeben. Für x = 0;   für x = 1;   für x = 2;   für x = –1 sollen die Werte der beiden Terme ermittelt werden.

für x = 0:         3 · 0;   0;

5 · 0 + 2 · 0 – 4 · 0;   0

für x = 1:        3 · 1;   3;

5 · 1 + 2 · 1 – 4 · 1;   5 + 2 – 4;   3

für x = 2:        3 · 2;   6;

5 · 2 + 2 · 2 – 4 · 2;   10 + 4 – 8;   6

für x = –1:      3 · (–1);   –3;

5 · (–1) + 2 · (–1) – 4 · (–1);   –5 – 2 + 4;   –3

Beide Terme sind wertgleich. Es gilt daher: 3x = 5x + 2x – 4x.

Durch eine Termumformung kann der Term vereinfacht werden. Denn „3x“ stellt eine Vereinfachung von „5x + 2x – 4x“ dar.

 

Es sind die Terme „x² + 6x + 9“ und „(x + 3)²“ gegeben. Für x = 0;   x = 1;   x = 2;   x = –1 sollen die Werte der beiden Terme berechnet werden.

für x = 0:        (0)² + 6 · 0 + 9;   0 + 0 + 9;   9;

(0 + 3)²;   (3)²;   9

für x = 1:        (1)² + 6 · 1 + 9;   1 + 6 + 9;   16;

(1 + 3)²;   (4)²;   16

für x = 2:        (2)² + 6 · 2 + 9;   4 + 12 + 9;   25;

(2 + 3)²;   (5)²;   25

für x = –1:      (–1)² + 6 · (–1) + 9;   1 – 6 + 9;   4;

(–1 + 3)²;   (2)²;   4

Der Term „x² + 6x + 9“ stellt die 1. Binomische Formel in der aufgelösten Form dar. Der Term „(x + 3)²“ ist die 1. Binomische Formel in der unaufgelösten Form.

 

Beispiel für Nichtwertgleichheit zweier Terme

Es sind die Terme „4x + 4“ und „4 · (x + 4)“ gegeben. Für x = 0;   x = 1;   x = 2;   x = –1 sollen die Werte der beiden Terme berechnet werden.

für x = 0:         4 · 0 + 4;   0 + 4;   4;

4 · (0 + 4);   4 · 4;   16

für x = 1:         4 · 1 + 4;   4 + 4;   8;

4 · (1 + 4);   4 · 5;   20

für x = 2:         4 · 2 + 4;   8 + 4;   12;

4 · (2 + 4);   4 · 6;   24

für x = –1:      4 · (–1) + 4;   –4 + 4;   0;

4 · (–1 + 4);   4 · 3;   12

Unterscheiden sich die Term-Werte bereits bei der Einsetzung einer Zahl, so liegt keine Wertgleichheit vor. Daher sind die beiden Terme „4x + 4“ und „4 · (x + 4)“ nicht wertgleich.

 

3.2 Weglassen von Malpunkten

Bei einem Term, der eindeutige Rechenzeichen vorweist und bei dem somit keine Missverständnisse hinsichtlich des Termaufbaus aufkommen, können die Malpunkte weggelassen werden.

Es gilt daher: 1 · x = x.

 

Beispiele:

5x = 5 · x

xy = x · y

4(x + y) = 4 · (x + y)

Aber es gilt nicht: 27 anstatt 2 · 7. Auch nicht 5{\frac{1}{4} anstatt 5 · {\frac{1}{4}.

 

4. Zusammenfassen von gleichartigen Einzeltermen bei einem Term

Handelt es sich bei einem Term um eine algebraische Summe, das heißt, dass der Term gewissermaßen nur aus Plus- und Minuszeichen besteht, so können hierbei gleichartige Variable zusammengefasst werden, ebenso nur vorkommende Zahlen.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Eine algebraische Summe ist beispielsweise x – 3, da man immer auch schreiben kann: x + (–3).

 

Eine Variable ist dann immer gleichartig zu anderen Variablen, wenn Folgendes gewährleistet ist

  • Die Variable muss den gleichen Buchstaben vorweisen

und

  • Die Variable muss die gleiche Potenz vorweisen.

Verschiedene auftretende „reine“ Zahlen können immer ohne Einschränkung bei einem Term zusammengefasst werden.

 

Die Terme 7b und 3b weisen einzig einen Unterschied im Koeffizienten (Zahlfaktor) auf. Das Gleiche gilt für 5x² und 6x² sowie 12s²t und 5s²t. Diese Einzelterme sind daher gleichartig.

Hingegen nicht gleichartig sind folgende Einzelterme: 4ab und 3a²b, ebenso nicht 4x und 5y oder 5x²y und 7xy².

Gleichartig ist etwas vollkommen anderes als wertgleich! Die Terme 2ab und 5ab sind gleichartig, da einzig ihre Koeffizienten unterschiedlich sind. Diese Terme sind aber nicht wertgleich. Denn bei a = 3 und b = 2 ergibt sich für 2ab: 2 · 3 · 2 = 12 und für 5ab ergibt sich: 5 · 3 · 2 = 30.

 

Gleichartige Einzelterme addiert oder subtrahiert man auf die Art, dass man deren Koeffizienten addiert oder subtrahiert.

a)   8b + 3b = 11b

b)   9a – a = 8a

c)   –7xy + 2xy = –5xy

d)   0,5x²y + {\frac{1}{4}x²y = 0,75x²y

 

Beispiele:

a)   5x + 12 + 19x + 4 + 11 – 3x – 7 + 36x – 29 + 45 – 7x;

Zur besseren Übersicht sollte man gleichartige Einzelterme zuerst ordnen, da hier das Kommutativgesetz/Vertauschungsgesetz gilt. Dann sieht der Term folgendermaßen aus:

5x + 19x – 3x + 36x – 7x + 12 + 4 + 11 – 7 – 29 + 45;

Jetzt kann man die gleichen Einzelterme zusammenfassen. Daraus ergibt sich folgender End-Term:

50x + 36;

 

b)    y³ + 4y + 29 – 3y + 5y³ – 12 – 5y² + 9 + 14y – 2y² + 12y³ + 3y²;

Eine sinnvolle Ordnung bei Einzeltermen mit Variablen, die eine unterschiedliche Potenz vorweisen, ist eine „hierarchische“. Konkret heißt das, dass die gleichartigen Einzelterme mit der höchsten Potenz über der Variablen am Anfang stehen. Danach kommen die gleichartigen Einzelterme, deren Variable die nächst kleinere Potenz vorweisen und so weiter. Ganz am Schluss kommt schließlich die „reine“ Zahl, über der gewissermaßen die Potenz eins steht. Beherzigt man diese „hierarchische“ Schreibweise von Termen, dann tut man sich generell bei späteren Mathe-Stoffgebieten leichter, in denen Terme auf verschiedenartige Weise wieder vorkommen – beziehungsweise verliert bei diesen nicht so leicht den Überblick.

Der Term sieht dann folgendermaßen aus:

y³ + 5y³ + 12y³ – 5y² – 2y² + 3y² + 4y – 3y + 14y + 29 – 12 + 9;

18y³ – 4y² + 15y + 26.

 

5. Das Auflösen von Klammern bei einem Term

5.1 Plus- und Minusklammer

Tritt bei einem Term eine Klammer auf, so ist immer das Vorzeichen vor der Klammer entscheidend. Bei einem Plus vor der Klammer darf man hierbei sofort die Klammer entfernen und an dem Term ändert sich nichts weiter. Bei einem Minus vor der Klammer sieht das anders aus. Dann liegt nämlich eine sogenannte Minusklammer vor. Und hier gilt: Um die Minusklammer zu entfernen, muss man jedes Rechenzeichen (ein Plus oder ein Minus) in der Klammer umdrehen (aus einem Plus wird ein Minus und aus einem Minus wird ein Plus).

In allgemeiner Form sieht ein Auflösen einer Plusklammer folgendermaßen aus:

a + (b + c) = a + b + c

In einer allgemeinen Form sieht ein Auflösen einer Minusklammer wie folgt aus:

a – (b + c) = a – b – c.

 

Beispiele: das Auflösen einer Plusklammer

1.     (7x + 3) = 7x + 3

2.     (–5 + 9x) = –5 + 9x; geordnet: 9x – 5

3.     3x + 12 + 5y + (7x +19 – 3y) =

3x + 12 + 5y + 7x + 19 – 3y;

3x + 7x + 5y – 3y + 12 + 19;

10x + 2y + 31.

 

Beispiele: das Auflösen einer Minusklammer

1.    –(9x + 3) = –9x – 3

2.    –(– 7 + 3y) = 7 – 3y; geordnet: –3y + 7

3.    –3 – 14x + 3y – (5 + 7y – 12x) =

–3 – 14x + 3y – 5 – 7y + 12x;

–14x + 12x + 3y – 7y – 3 – 5;

–2x – 4y – 8.

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Ist direkt nach einer Minusklammer eine Zahl ohne Vorzeichen, dann ist die Zahl immer Positiv, also –(5);   –(+5);   –5.

 

5.2 Klammern bei einem Produkt

Bildet ein Faktor vor einer Klammer mit einer algebraischen Summe in einer Klammer ein Produkt, so löst man die Klammer auf, indem man jeden Summanden mit dem Faktor „malnimmt“. Diesen Vorgang nennt man auch Ausmultiplizieren und das hierbei zum Tragen kommende mathematische Gesetz das Distributivgesetz/Verteilungsgesetz.

In einer allgemeinen Form sieht das Ausmultiplizieren folgendermaßen aus:

a · (b + c) = a · b + a · c.

 

Beispiele für ein Ausmulitplizieren mit Faktor vor der Klammer einer algebraischen Summe:

1.   7 · (9 + 12x) = 7 · 9 + 7 · 12x;   63 + 84x; geordnet: 84x + 63;

2.   5a · (11b – 3c) = 5a · 11b + 5a · (–3c);   55ab – 15ac.

 

Treffen beim Ausmultiplizieren zwei gleiche Variablen aufeinander, so addieren sich deren Potenzen.

 

Beispiele für das Addieren von Potenzen beim Ausmultiplizieren:

1.   5a · (9a – 5) = 5a · 9a + 5a · (–5);    45a1 + 1 – 25a;   45a² – 25a;

2.   12b² · (–3b³ + 2) = 12b² · (–3b³) + 12b² · 2;   –36b2 + 3 + 24b²;   –36b5 + 24b².

Setzt sich ein Produkt aus mehreren Klammern zusammen, so muss man alle Einzelterme der einen Klammer mit allen Einzeltermen der anderen Klammer „malnehmen“.

In einer allgemeinen Form sieht hier das Ausmultiplizieren und somit das Auflösen der Klammern folgendermaßen aus:

(a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d;    ac + ad + bc + bd.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Mit welchem Einzelterm man beim Ausmultiplizieren anfängt, ist egal, da beim hier angewandten Distributivgesetz/Verteilungsgesetz auch gleichzeitig noch das Kommutativgesetz/Vertauschungsgesetz gilt. Trotzdem ist es ratsam, immer ein gleiches Ausmultiplizieren-Schema anzuwenden. Dadurch ist gewährleistet, dass man zum einen schneller zum Ergebnis gelangt und dass man zum anderen auch nicht eine mögliche „Produktkombination“ vergisst/übersieht. Am besten man verinnerlicht das obige Ausmultiplizieren-Schema, da man es sich denkbar einfach merken kann. Schließlich werden hier Schritt für Schritt von „links nach rechts“ alle möglichen „Produktkombinationen“ erzeugt.

 

Beispiele für das Auflösen von zwei Klammern bei einem Produkt

1.    (3a + 5b) · (7c – 12d) = 3a · 7c + 3a · (–12d) + 5b · 7c + 5b · (–12d);

21ac – 36ad + 35bc – 60bd;

 

2.    (7x + 14y) · (5x² + 19y³) = 7x · 5x² + 7x · 19y³ + 14y · 5x² + 14y · 19y³;

35x³ + 133xy³ + 70yx² + 266y4;

35x³ + 133xy³ + 70x²y + 266y4 (geordnet).

 

6. Das Ausklammern/Faktorisieren bei einer algebraischen Summe

Die Umkehrung des Ausmultiplizierens ist das Ausklammern/Faktorisieren. Das Ausklammern/Faktorisieren kann immer dann bei einer algebraischen Summe angewandt werden, wenn bei allen vorkommenden Einzeltermen ein gemeinsamer Faktor gefunden werden kann. Diese Faktor kann dann nämlich jeweils ausgeklammert werden.

Der gemeinsame Faktor kann eine Zahl, eine Variable oder eine Zahl und eine Variable sein. Der ermittelte Faktor wird dann immer vor eine Klammer gesetzt und die anderen Einzelterme mit dem jeweiligen Vorzeichen in die Klammer.

In einer allgemeinen Form sieht das Ausklammer/Faktorisieren folgendermaßen aus:

ax + ay – az = a · (x + y – z).

 

Beispiele für ein Ausklammern/Faktorisieren

1.   5x + 9x² + 2xy = x · (5 + 9x + 2y)

2.   12a² – 24ab + 36ab³ = 12a · (a – 2b + 3b³)

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Hat man den gemeinsamen Faktor bei einer algebraischen Summe gefunden, so teilt man diesen „gedanklich“ duch alle Einzelterme. Das, was dann beim „Divisionsergebnis“ übrig bleibt, wird dann immer in die Klammer geschrieben.

 

6.1 Das Ausklammern/Faktorisieren bei den binomischen Formeln

Als algebraische Summe kann auch eine aufgelöste binomische Formel vorliegen. Diese kann natürlich auch wieder in die unaufgelöste Form gebracht werden, jene algebraische Umformung wird auch als Ausklammern/Faktorisieren bezeichnet.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zur näheren Erläuterung der binomischen Formeln in der unaufgelösten und aufgelösten Form siehe hierzu auch unter dem Reiter Binomische Formeln die dort gemachten Ausführungen an.

 

6.11 Ausklammern/Faktorisieren der 1. Binomische Formel

Um die 1. Binomische Formel ausklammern/faktorisieren zu können, muss man sich diese binomische Formel in der aufgelösten und in der unaufgelösten Form auswendig ins Gedächtnis rufen können.

a² + 2ab + b² = (a + b) · (a + b);   (a + b)²    (1. Binomische Formel)

Daraufhin kann man mit einem geschulten Auge bei bestimmten algebraischen Summen erkennen, dass es sich hier um die 1. Binomische Formel handelt.

 

Beispiele:

16x² + 80xy + 100y²

Hier muss man erkennen, dass der erste Term das „a²“ der 1. Binomischen Formel ist, denn 4x · 4x = 16x²; ebenso, dass der letzte Term das „b²“ der 1. Binomischen Formel ist, denn 10y · 10y = 100y². Hat man das erkannt, so kann man auch den Mittelterm 80xy auf die 1. Binomische Formel hin zurückführen; denn dieser lautet ja 2ab; 2 · 4x · 10y = 80xy.

Daher sieht hier das korrekte Ausklammern/Faktorisieren folgendermaßen aus:

16x² + 80xy + 100y² = (4x + 10y) · (4x + 10y);   (4x + 10y)².

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Um die 1. Binomische Formel in der unaufgelösten Form zu erkennen, muss man nur sehen, dass zwei Terme häufig Variablen mit einer Quadratzahl vorweisen sowie zwei Variablen die Potenz „hoch zwei“/“²“ haben.

 

49r² + 126rs + 81s² = (7r + 9s) · (7r + 9s);   (7r + 9s)².

 

6.12 Ausklammern/Faktorisieren der 2. Binomischen Formel

Für die 2. Binomische Formel gilt für das Ausklammern/Faktorisieren das Gleiche wie bei der 1. Binomischen Formel: Man muss nur erkennen, dass zwei Terme nomalerweise je eine Quadratzahl und die Potenz „hoch zwei“/“²“ vorweisen. Ist nun der dritte Term noch eindeutig auf den Mittelterm der 2. Binomischen Formel zurückführbar, so kann man die 2. Binomische Formel sofort von der unaufgelösten in die aufgelösten Form umformen.

a² – 2ab + b² = (a – b) · (a – b);   (a – b)²    (2. Binomische Formel)

 

Beispiele:

9a² – 48ab + 64b²

Hier muss man erkennen, dass der erste Term das „a²“ der 2. Binomischen Formel ist, denn 3a · 3a = 9a², ebenso, dass der letzte Term das „b²“ der 2. Binomischen Formel ist, denn 8b · 8b = 64b². Hat man diese Erkenntnisleistung vollbracht, so kann man auch den Mittelterm „–48ab“ auf die 2. Binomische Formel hin zurückführen.

Deshalb ist hier das korrekte Ausklammern/Faktorisieren:

9a² – 48ab + 64b² = (3a – 8b) · (3a – 8b);   (3a – 8b)².

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Um zu erkennen, dass die 2. Binomische Formel in der unaufgelösten Form vorliegt, muss man nur sehen, dass häufig zwei Variablen eine Quadratzahl vorweisen und darüber hinaus die Variablen die Potenz „hoch zwei“/“²“ haben.

 

4r² – 28rs + 49s² = (2r – 7s) · (2r – 7s);   (2r – 7s)².

 

6.13 Ausklarmmern/Faktorisieren der 3. Binomischen Formel

Das Ausklammmern/Faktorisieren der 3. Binomischen Formel geht um einiges leichter, als dies bei der 1. und der 2. Binomischen Formel der Fall ist. Der Grund hierfür ist, dass die 3. Binomische Formel in der aufgelösten Form nur aus zwei Termen besteht (da sie keinen Mittelterm vorweist). Natürlich muss man aber auch hier wissen, wie die 3. Binomische Formel in der aufgelösten und unaufgelösten Form aussieht.

a² – b² = (a + b) · (a – b)    (3. Binomische Formel)

 

Beispiele:

x² – y² = (x + y) · (x – y).

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Als entscheidendes Erkennungsmerkmal müssen beide Terme mit einem Minuszeichen als Rechenzeichen miteinander verbunden sein. Darüber hinaus weisen die Terme oftmals Variablen mit der Potenz “hoch zwei”/”²“ auf bzw. bestehen aus Quadratzahlen.

 

64r² – 25s² = (8r + 5s) · (8r – 5s).

 

Diese Seite des Mathematik Nachhilfe Blogs zu Termen kann man hier als PDF downloaden: Mathe-Nachhilfe: Terme.

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Umrechnen von Größen

Bei Größen müssen im Fach Mathematik die ermittelnden Größenangaben oft umgerechnet werdet, und zwar in eine größere oder eine kleinere Maßeinheit. Das kann aus zweierlei Gründen notwendig sein.

  1. Damit man verschiedene Größenangaben gleicher Größen (z. B. Längen wie 5 m und 1200 mm oder Zeitdauern wie 5 h und 216000 s) bestmöglich vergleichen kann, müssen die Maßeinheiten jeweils gleich sein (z. B. umgerechnet in Längen wie 5 m und 1,2 m oder umgerechnet in Zeitdauern wie 5 h und 1 h).
  2. Wenn die Maßzahl einer Größenangabe sehr groß (z.B. Längen wie 50000000 cm oder Zeitdauern wie 864000 s) oder sehr klein (z. B. Längen wie 0,0000098 km oder Zeitdauern wie 0,02 h) ist und dementsprechend viele Zahlen vor oder nach dem Komma stehen, sollte man immer eine größere (z.B. umgerechnet in die Länge wie 500 km oder umgerechnet in die Zeitdauer wie 10 d) oder kleinere Maßeinheit (z. B. umgerechnet in die Länge wie 9,8 mm oder umgerechnet in die Zeitdauer wie 1,2 min) wählen. Denn dann kann man viel besser sehen, wie groß die Größe wirklich ist.

Entfernung nach Amerika in Kilometer © Marco Barnebeck(Telemarco) PIXELIO www.pixelio.de

Je nach Längeneinheiten, Einheiten für Zeitdauern, Gewichtseinheiten und Einheiten für die Fläche und den Rauminhalt gelten für die Umrechnung in andere Einheiten der gleichen Größe verschiedene Umrechnungszahlen. Nachfolgend ist veranschaulicht, wie eine richtige Umrechnung von Längeneinheiten, Gewichtseinheiten und Einheiten von Zeitdauern gemacht wird.

Umrechnung von Längen- und Gewichtseinheiten sowie Zeitdauern

Durch diese bildliche Veranschaulichung soll deutlich gemacht werden, dass von links nach rechts die Maßeinheiten der Größen Länge, Gewicht und Zeitdauer größer werden (rote Pfeilrichtung). Hierbei wird stets mit einer bestimmten Umrechnungszahl eine Division durchgeführt. Umgekehrt werden dagegen die Maßeinheiten der gleichen Größen von links nach rechts kleiner (blaue Pfeilrichtung). Hierbei wird jeweils mit einer bestimmten Umrechnungszahl eine Multiplikation durchgeführt.

Hierbei ist bei der Größe Länge die kleinste gängige Maßeinheit im Fach Mathematik mm (Millimeter), die nächst größere cm (Zentimeter), die wiederum nächst größere dm (Dezimeter), die daraufhin nächst größere m (Meter) und die darauffolgende letzte relevante Maßeinheit km (Kilometer). Die Umrechnungszahl von mm in cm ist hierbei 10, von cm in dm ebenfalls 10 und von dm in m ebenso 10, von m in km hingegen beträgt die Umrechnungszahl 1000. Die gleichen Umrechnungszahlen gelten natürlich auch in umgekehrter Richtung! Daher ist die Umrechnungszahl von km in m 1000, die Umrechnungszahl von m in dm 10, von dm in cm ebenfalls 10 und von cm in mm ebenso 10.

Bei der Größe Gewicht ist hingegen die kleinste gängige Maßeinheit im Fach Mathe mg (Milligramm), die nächst größere g (Gramm), die wiederum nächst größer kg (Kilogramm) und die darauffolgende letzte relevante t (Tonne). Die Umrechnungszahl von mg in g ist hierbei 1000, von g in kg ebenfalls 1000 und von kg in t ebenso 1000. Auch hier gelten natürlich in umgekehrter Richtung die gleichen Umrechnungszahlen! Deshalb ist die Umrechnungszahl von t in kg 1000, von kg in g ebenfalls 1000 und von g in mg ebenso 1000.

Bei der Größe Zeitdauer ist hingegen die kleinste gängige Maßeinheit im Fach Mathematik s (Sekunde), die nächst größere min (Minute), die wiederum nächst größere h (Stunde), die daraufhin nächst größere d (Tag) und die darauffolgende letzte relevante a (Jahr). Die Umrechnungszahl von s in min ist hierbei 60, von min in h ebenfalls 60, von h in d 24 und von d in a 365. Natürlich gelten auch hier in die umgekehrte Richtung die gleichen Umrechnungszahlen! Daher ist die Umrechnungszahl von a in d 365, von d in h 24, von h in min 60 und von min in s ebenfalls 60. (Anmerkung: Bei einem Schaltjahr umfasst ein Jahr hingegen 366 Tage. In der Zinsrechnung hat ein Jahr hingegen nur 360 Tage).

Damit man nun eine Länge, ein Gewicht oder eine Zeitdauer jeweils dahingehend umrechnen kann, dass deren Maßeinheit stets größer wird, muss man ihre Maßzahl mit einer bestimmten Umrechnungszahl dividieren. Hält man diese bestimmte Umrechnungszahl stets ein, so kann man jeweils die Maßeinheit der Größenangabe ohne Probleme vergrößern (Beispiele: 500 mm wird mit der Umrechnungszahl 10 dividiert, so erhält man 50 cm. Möchte man nun die Maßeinheit weiter zur nächst größeren hin umrechnen, so muss man 50 cm wiederum durch die Umrechnungszahl 10 dividieren. Hierbei ergibt sich dann die Größenangabe 5 dm usw.; 2000000 mg wird mit der Umrechnungszahl 1000 dividiert, so erhält man 2000 g. Möchte man nun die Maßeinheit wiederum weiter zur nächst größeren hin umrechnen, so muss man 2000 g wiederum durch die Umrechnungszahl 1000 dividieren. Hierbei ergibt sich dann die Größenangabe 2 kg usw.; 25200 s wird mit der Umrechnungszahl 60 dividiert, so erhält man 420 min. Möchte man nun die Maßeinheit weiter zur nächst größeren hin umrechnen, so muss man 420 min wiederum durch die Umrechnungszahl 60 dividieren. Hierbei ergibt sich dann die Größenangabe 7 h usw.).

Damit man nun eine Länge, ein Gewicht oder eine Zeitdauer stets dahingehend umrechnen kann, dass deren Maßeinheit jeweils kleiner wird, muss man ihre Maßzahl mit einer bestimmten Umrechnungszahl multiplizieren. Hält man hier ebenfalls die bestimmte Umrechnungszahl stets ein, dann kann man jeweils die Maßeinheit der Größenangabe wiederum problemlos verkleinern (Beispiele: 50 km wird mit der Umrechnungszahl 1000 multipliziert, so erhält man 50000 m. Möchte man nun die Maßeinheit wiederum weiter zur nächst kleineren hin umrechnen, dann muss man 50000 m mit der Umrechnungszahl 10 multiplizieren. Hierbei ergibt sich dann die Größenangabe 500000 dm usw.; 7 t wird mit der Umrechnungszahl 1000 multipliziert, so erhält man 7000 kg. Möchte man nun die Maßeinheit wiederum weiter zur nächst kleineren hin umrechnen, dann muss man 7000 kg wiederum mit der Umrechnungszahl 1000 multiplizieren. Dadurch ergibt sich dann die Größenangabe 7000000 g; 5 a wird mit der Umrechnungszahl 365 multipliziert, so erhält man 1825 d. Möchte man nun die Maßeinheit wiederum zur nächst kleineren hin umrechnen, so muss man 1825 d mit der Umrechnungszahl 24 multiplizieren. Hierdurch ergibt sich dann die Größenangabe 43800 h usw.).

Genauso wie bei den Größen Länge, Gewicht und Zeitdauer bei der Umrechnung in andere Einheiten eindeutige Umrechnungszahlen gelten, gibt es für die Größen Fläche und Rauminhalt ebenso welche. Nachfolgend sind diese wieder bildhaft veranschaulicht.

Durch diese bildhafte Veranschaulichung soll ebenso aufgezeigt werden, dass von links nach rechts die Maßeinheiten der Größen Flächen und Rauminhalt (Volumen) größer werden (rote Pfeilrichtung). Hierbei wird jeweils mit einer bestimmten Umrechnungszahl eine Division durchgeführt. Dagegen werden umgekehrt die Maßeinheiten derselben Größen von rechts nach links kleiner (blaue Pfeilrichtung). Hierbei wird stets mit einer bestimmten Umrechnungszahl eine Multiplikation durchgeführt.

Umrechnung von Flächeneinheiten und Einheiten für Rauminhalten

Hierbei ist im Fach Mathematik bei der Größe Fläche die kleinste gängige Maßeinheit mm² (Quadratmillimeter), die nächst größere cm² (Quadratzentimeter), die wiederum nächst größere dm² (Quadratdezimeter) die daraufhin nächst größere (Quadratmeter), die darauffolgende nächst größere a (Ar) und die daraufhin folgende Maßeinheit ha (Hektar) und die darauffolgende letzte relevante km² (Quadratkilometer). Die Umrechnungszahl von mm² in cm² ist hierbei 100, von cm² in dm² ebenso 100, von dm² in m² ebenfalls 100, von m² in a beträgt die Umrechnungszahl ebenso 100 und von a in ha ebenfalls 100 sowie von ha in km² auch 100. Die Umrechnungszahlen gelten natürlich auch in umgekehrter Richtung! Daher ist die Umrechnungszahl von km² in ha 100, von ha in a ebenfalls 100, von a in m² ebenso 100, von m² in dm² ebenfalls 100, von dm² in cm² ebenso 100 sowie von cm² in mm² auch 100.

Bei der Größe Rauminhalt (Volumen) ist im Fach Mathematik hingegen die kleinste gängige Maßeinheit mm³, die nächst größere cm³, die daraufhin nächst größere dm³ und die darauffolgende letzte relevante . Die Umrechnungszahl von mm³ in cm³ ist hierbei 1000, von cm³ in dm³ ebenso 1000 und von dm³ in m³ ebenfalls 1000. Natürlich gelten auch hier die Umrechnungszahlen in umgekehrter Richtung! Daher ist die Umrechnungszahl von m³ in dm³ 1000, von dm³ in cm³ ebenfalls 1000 und von cm³ in mm³ ebenso 1000 (Anmerkung: Für Rauminhalte/Volumen gibt es noch folgende spezielle Beziehungen verschiedener Maßeinheiten: 1 l sind 1 dm³; 1 ml sind 1 cm³; 1 l sind 1000 ml; 1 hl sind 100 l).

Damit man nun eine Fläche oder ein Rauminhalt stets dahingehend umrechnen kann, dass deren Maßeinheit jeweils größer wird, muss man ihre Maßzahl mit einer bestimmten Umrechnungszahl dividieren. Hält man diese Umrechnungszahl jeweils ein, so kann man auch stets die Maßeinheit der Größenangabe problemlos verkleinern (Beispiele: 90000 mm² wird mit der Umrechnungszahl 100 dividiert, so erhält man 900 cm². Möchte man nun die Maßeinheit weiter zur nächst größeren hin umrechnen, so muss man 900 cm² wiederum durch die Umrechnungszahl 100 dividieren. Hierdurch erhält man dann die Größenangabe 9 dm² usw.; 2000000 mm³ wird durch die Umrechnungszahl 1000 dividiert, so erhält man 2000 cm³. Möchte man nun die Maßeinheit weiter zur nächst größeren hin umrechnen, so muss man 2000 cm³ wiederum durch die Umrechnungszahl 1000 dividieren. Dadurch erhält man die Größenangabe 2 dm³ usw.).

Damit man hingegen nun eine Fläche oder ein Rauminhalt stets derart umrechnen kann, dass deren Maßeinheit jeweils kleiner wird, muss man ihre Maßzahl mit einer bestimmten Umrechnungszahl multiplizieren. Hält man hier ebenso die bestimmte Umrechnungszahl stets ein, so kann man jeweils die Maßeinheit der Größenangabe problemlos verkleinern (Beispiele: 5 km² wird mit der Umrechnungszahl 100 multipliziert, so erhält man 500 ha. Möchte man nun die Maßeinheit weiter zur nächst kleineren hin umrechnen, so muss man 500 ha wiederum mit der Umrechnungszahl 100 multiplizieren. Hierdurch ergibt sich die Größenangabe 50000 a; 30 m³ wird mit der Umrechnungszahl 1000 multipliziert, so erhält man 30000 dm³. Möchte man nun die Maßeinheit weiter zur nächst kleineren hin umrechnen, so muss man 30000 dm³ wiederum mit der Umrechnungszahl 1000 multiplizieren. Hierdurch erhält man die Größenangabe 30000000 cm³ usw.).

Da es bei der Größe Geldwert nur zwei Maßeinheiten gibt, spielt diese Größe im Fach Mathematik bei Größen-Umrechnungen kaum eine Rolle. Trotzdem sollte man die Umrechnungszahl hierfür wissen. Hierzu sollte man sich nur Folgendes einprägen.

1 Euro = 100 Cent

Dadurch weiß mann, dass die Umrechnungszahl von Cent in Euro und von Euro in Cent jeweils 100 ist. Die Maßeinheit für Cent ist hierbei ct, die für Euro €.

Falls ein Schüler bei der Umrechnung von Größen Probleme hat, sollte eine Nachhilfe vier Punkte aufgreifen:

  1. Das Auswendiglernen der verschiedenen Maßeinheiten und das natürlich der Reihenfolge nach (von der kleinsten oder größten her beginnend)
  2. Das Auswendiglernen der Umrechnungszahlen
  3. Das Üben der Grundrechenarten Multiplikation und/oder Division
  4. Das Üben von Dezimalzahlen

Im Fach Mathe treten immer wieder in verschiedenen Klassenstufen Aufgaben auf, in denen die Maßeinheiten von Größenangaben richtig umgerechnet werden müssen. Daher ist ein korrektes Beherrschen überaus wichtig, da das Umrechnen immer auch schon Punkte gibt und somit in die Note einfließt.

Nach so viel Mathematik-Stoff für den Geist hat man sich auf jeden Fall eine tollen Entspannungssong verdient, in dem die wichtigste „Bezugsgröße“ von Ernie zeitweise verschwunden ist!

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Ungleichungen

Siegertreppchen © Ute Pelz PIXELIO www.pixelio.de

1. Grundlegendes zu Ungleichungen

In der Grundschule hat man normalerweise die Bedeutung und die richtige Handhabung des Zeichens „>“/„größer als“ und des Zeichens „<“/„kleiner als“ intensiv gelernt. Daher weiß man, wenn eine Zahl größer als die andere ist, dass man hierfür als Zeichen das „>“ verwendet. Bei den Zahlen 5 und 12 wird man daher sofort in der Sprache der Mathematik ausgedrückt schreiben können: 12 > 5. Ebenso weiß man sofort, wenn eine Zahl kleiner als eine andere Zahl ist, dass man dann das Zeichen „<“ hierfür verwendet. Bei den Zahlen 6 und 9 kann man deshalb sofort mathematisch wiedergeben: 6 < 9.

Das „>“/„größer als“ und das „<“/„kleiner als“ verwendet man daher in Mathe immer, wenn zwei Zahlen, die man miteinander vergleicht, nicht gleich sind. Wären die beiden Zahlen nämlich gleich, so würde man das hierfür in Mathematik gängige Zeichen benutzen, das „=“/„gleich“. Denn unstrittig wird jeder nicht auf den Kopf gefallene Mensch zustimmend nämlich Folgendes mathematisch wiedergeben, wenn man die Zahl 7 mit der Zahl 7 vergleicht: 7 = 7.

In der Mathematik kann man nun das „>“/„größer als“ und das „<“/„kleiner als“ genauso wie das „=“/„gleich“ nicht nur bei dem Vergleich von Zahlen verwenden, sondern auch im Zusammenhang mit Variablen und Termen. Verwendet man nun einen Term zusammen mit einem „>“/„größer als“ oder „<“/„kleiner als“, so liegt in der Mathematik eine sogenannte Ungleichung vor. Benutzt man hingegen das „=“/„gleich“, dann liegt hingegen eine Gleichung vor.

Beispiele für Ungleichungen mit einer Variablen, die jeweils die Potenz „hoch 1″ vorweisen:

  1. x + 2 > 5
  2. 3x > 2
  3. 8x + 3 < 12
  4. 7x – 21 > 12x + 9
  5. –23x – 9 < 18x – 11

 

2. Die Bestimmung der Lösungsmenge einer Ungleichung

2.1 Ein bestimmter Zahlenbereich als Lösungsmenge

Die Lösungsmenge einer Ungleichung ermittelt man genauso wie bei einer Gleichung fast ausschließlich über Äquivalenzumformungen.

x + 2 > 5      | – 2

x > 3

L = {x | x > 3}

Die Lösungsmenge hier würde in Worten lauten: die Menge aller x, für die gilt, dass jedes x größer 3 eine Lösung der Ungleichung ist.

Im Vergleich zu Gleichungen unterscheidet sich aber bei Ungleichungen deren Lösungsmenge. Denn im Gegensatz zu Gleichungen liegt hier oft ein Zahlenbereich als Lösung vor.

Zahlenbereich > 3 auf Zahlengeraden dargestellt

 

2.2 Keine Lösung bei einer Ungleichung

Eliminiert sich das x innerhalb der Ungleichung, so kann die Lösungsmenge genau wie bei einer Gleichung entweder die leere Menge/{ } bzw. {\varnothing} sein oder die Menge aller Zahlen/{\mathbb Q} oder {\mathbb R}.

x + 7 < x      | – x

7 < 0

L = { } bzw. {\varnothing}

Wie das Ergebnis nach der Elimination der Variablen x zeigt, bleibt die widersprüchliche Aussage stehen, dass 7 kleiner 0 ist. Daher gibt es hier für die Ungleichung keine Lösung.

 

2.3 Unendlich viele Lösungen bei einer Ungleichung

x + 4 > x      | – x

4 > 0

L = {\mathbb Q} oder {\mathbb R} (je nach Klassenstufe)

Nach der Elimination der Variable ergibt sich hier als Ergebnis die Aussage, dass 4 größer 0 ist. Diese Aussage ist immer wahr. Daher gibt es für die Ungleichung hier unendlich viele Lösungen.

 

2.4 Ein bestimmter Zahlenbereich als Lösungsmenge bei einer Ungleichung der Form „≥“/„≤“

Neben dem bei einer Ungleichung normalerweise verwendeten Zeichen „>“/„größer als“ und „<“/„kleiner als“ können auch noch diese Zeichen vorkommen: „≥“/„größer gleich“ und „≤“/„kleiner gleich“. Besteht nun eine Ungleichung aus einem „≥“ oder „≤“, so sieht deren Lösungsmenge in der Regel geringfügig anders aus, als dies bei einer reinen Ungleichung der Fall wäre. Denn ein kleiner Unterschied kommt hier hinzu, wenn ein bestimmter Zahlenbereich als Lösungsmenge vorliegt.

x + 7 ≥ 14      | – 7

x ≥ 7

L = {x | x ≥ 7}

Die Lösungsmenge lautet hier in Worten ausgedrückt: die Menge alle x, für die gilt, dass jedes x größer 7 und x gleich 7 eine Lösung der Ungleichung ist.

Zahlenbereich ≥ 7auf Zahlengeraden dargestellt

 


2.5 Keine Lösung bei einer Ungleichung der Form „≥“/„≤“

Keine Lösung liegt bei einer Ungleichung mit der Form „≥“/„≤“ genauso vor wie bei einer reinen Ungleichung, und zwar, wenn sich die Variable eliminiert, das Ergebnis aber widersprüchlich ist.

x + 2 ≤ x      | – x

2 ≤ 0

L = { } bzw. {\varnothing}

Da 2 niemals „kleiner gleich“ 0 ist, gibt es für die Ungleichung hier keine Lösung.

 

2.6 Unendlich viele Lösungen bei einer Ungleichung der Form „≥“/„≤“

Ungleichungen der Form „≥“/„≤“ liefern wie reine Ungleichungen genauso immer dann unendlich viele Lösungen, wenn sich zum einen die Variable eliminiert und zum anderen eine wahre Aussage entsteht.

x + 9 ≥ x      | – x

9 ≥ 0

L = {\mathbb Q} oder {\mathbb R} (je nach Klassenstufe)

Da 9 „größer gleich“ 0 immer eine wahre Aussage der Ungleichung ist, gibt es hier unendlich viele Lösungen.

 

3. Das Umdrehen des Ungleichheitszeichens bei Ungleichungen

Die Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen weisen eine Besonderheit auf, die es stets zu beachten gilt, und zwar das Umdrehen des Ungleichungszeichen bei einer Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl.

1. Beispiel

5x + 5 > 11 – x      | + x

6x + 5 > 11            | – 5

6x > 6                    | : 6

x > 1

L = {x | x > 1}

Führt man bei einer Ungleichung, egal ob eine reine oder nicht, Äquivalenzumformungen mittels einer Addition/„+“, Subtraktion/„– “ oder Multiplikation/„·„eine Division/„:“ mit einer positiven Zahl durch, so bleibt die ursprüngliche Stellung des Ungleichheitszeichens stets gleich.

2. Beispiel

4x + 3 > 9 + 5x      | – 5x

–x + 3 > 9              | – 3

–x > 6                    | · (–1)

x < –6

L = {x | x < –6}

Führt man bei einer Ungleichung eine Äquivalenzumformung durch, bei der eine Multiplikation mit einem negativen Vorzeichen vorkommt, so dreht sich die ursprüngliche Stellung des Ungleichungszeichens um.

3. Beispiel

–x > 6      | : (–1)

x < –6

L = {x | x < –6}

Das Gleiche gilt bei einer Division mit einer negativen Zahl. Auch hier dreht sich die ursprüngliche Stellung des Ungleichszeichens um.

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