Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu quadratischen Gleichungen, Teil 7

Eine Puzzlestück-Ergänzung © S. Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Quadratische Gleichungen löst man normalerweise stets rechnerisch. Neben der p-q-Formel (und früher der Mitternachtsformel) ist hierbei besonders das quadratische Ergänzen enorm wichtig. Das hat natürlich auch seinen Grund. Mittels des quadratischen Ergänzens kann man nämlich nicht nur die Lösungen jeder quadratischen Gleichung ermitteln, sondern auch den Scheitelpunkt jeder quadratischen Funktion. In der Normalform, x² + px + q, ist das ja nicht möglich. In der sogenannten Scheitelpunktform hingegen sehr wohl – und diese erzeugt man algebraisch mittels des quadratischen Ergänzens. Um jedoch tipptopp quadratisch ergänzen zu können, muss man auch „im Schlaf“ die binomischen Formeln können. Das quadratische Ergänzen zielt schließlich immer auf die Anwendung einer binomischen Formel. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Stoffgebiet Funktionen, Teil 2

Eine lineare Funktion im Koordinatensystem grafisch veranschaulicht © Honina

Eine Funktion kann man in Mathe immer grafisch darstellen, und zwar in einem Koordinatensystem. Diesen optischen Verlauf einer Funktion nennt man den Graph der Funktion. Einfache Funktionen wie lineare Funktionen und quadratische Funktionen kann man hierbei recht einfach in ein Koordinatensystem einzeichnen. Bei höheren Funktionen wie ganzrationale Funktionen 3. oder 4. Grades oder gebrochenrationalen Funktionen ist das schon um einiges schwieriger. Umso wichtiger ist es daher, dass bei solchen Funktionen vorher eine genaue Wertetabelle aufgestellt wird, die in einem bestimmten Intervall aufs Beste den Verlauf der Funktion optisch veranschaulicht. Was bei einer Funktion aber alles zu beachten ist, das lernt man in Mathematik schrittweise bzw. von Funktion zu Funktion und das ab der Mittelstufe.

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Gleichungen, Teil 2

Eine “zuckersüße“ Gleichung © S. Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Es gibt in Mathe eine Unzahl verschiedener Arten von Gleichungen. Das liegt an den großen Variationsmöglichkeiten von Termen. Eine Gleichung besteht ja aus Termen. Da ein einziger Term selbst wiederum sehr unterschiedliche Mathematik-Zeichen vorweisen kann, entstehen hierdurch jede Menge verschiedenartiger Gleichungen. Neben den Grundrechenarten, der Addition, der Subtraktion, der Multiplikation und der Division, kann ein Term auch Potenzen und Wurzeln vorweisen – und noch einiges mehr an Mathe-Verknüpfungen. Verschiedenartige Gleichungen kann man aber auch sehr gut veranschaulichen, wenn man eine Gleichung zur Funktion macht und sich den Graphen der Funktion anschaut. Dann sieht man nämlich große Unterschiede in dem Verlauf einer Funktion. Eine lineare Funktion, die auf einer linearen Gleichung basiert, ist z. B. eine Gerade, eine quadratische Funktion, die auf einer quadratischen Funktion basiert, ist hingegen eine Parabel. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Stoffgebiet Funktionen, Teil 1

Graphen von Funktionen und andere Darstellungen im Fach Mathematik

Neben Gleichungen sind in Mathe ebenso Funktionen überaus wichtig. Beides bedingt sich ja. Eine Funktion kann ja immer auch mittels einer Gleichung wiedergegeben werden. Eine Funktion weist hierbei immer folgende Merkmale auf: Sie hat eine Definitionsmenge, eine Zuordnungsvorschrift, eine Funktionsgleichung und einen Funktionsterm. Mittels einer Wertetabelle kann oft eine Funktion in ein Koordinatensystem gezeichnet werden. Das Schaubild im Koordinatensystem nennt man Graphen der Funktion. Eine der einfachsten Funktionen ist die erste Winkelhalbierende. Diese hat die Definitionsmenge D = {\mathbb R}, die Zuordnungsvorschrift x {\mapsto} x, die Funktionsgleichung y = x und der Funktionsterm ist x. Der Graph dieser Funktion ist eine Gerade. Das alles sollte man bei Funktionen sehr gut verinnerlicht haben, da in der Oberstufe in der Analysis nur Funktionen analysiert werden.

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Funktionen, Teil 1

Zwei parallel verlaufende - dicke - Geraden © RoKnoFoto PIXELIO www.pixelio.de

Die ersten in Mathe dran kommenden Funktionen sind lineare Funktionen.

Diese haben folgende Zuordnungsvorschrift:

x {\mapsto} m · x + n

und diese Funktionsgleichung:

y = m · x + n.

Wie man sieht, weisen lineare Funktionen in der Regel eine Variable/„x“ auf, die die Potenz hoch eins/„x“ bzw. „x¹“ besitzt. Darüber hinaus einen konstanten Wert/„m“, der mit der Variablen verbunden ist. „m“ ist hierbei die Steigung der linearen Funktion. Ebenso besitzen lineare Funktionen oftmals einen zweiten konstanten Wert, nämlich „n“. „n“ wird hierbei als das absolut Glied bezeichnet und ist der Ordinatenabschnitt, also der Schnittpunkt mit der y-Achse. Hat man die Funktionsgleichung einer linearen Funktion gegeben, so kann man diese immer sofort in ein Koordinatensystem einzeichnen. Der Graph der so dargestellten linearen Funktion ist hierbei immer eine Gerade.

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Ableitungen von Funktionen, Teil 2

Schule und insbesondere Mathe ist anstrengend © Bernd Kasper PIXELIO www.pixelio.de

„Ich habe heute wieder Funktionen abgelitten.“ Meint eine Schülerin oder ein Schüler diese Aussage ernst, so hat das Ableiten von Funktionen auf jeden Fall keine Freude bereitet. Und das ist nicht gut. Denn das sollte es aber! Hat man nämlich in Mathe jegliche Algebra-Kenntnisse der vergangenen Schuljahre gut verinnerlicht, so sind Ableitungen für einen ein Klacks. Ein „Abgelitten“ kommt dann nämlich nicht ansatzweise vor. Vielmehr wendet man dann die verschiedenen Ableitungsregeln aus dem Effeff an und ist dann im Nu mit den Ableitungen der Funktionen fertig. Zurecht kann man dann auch happy auf sich sein, da man bereits das überaus wichtige Basiswissen zur Analysis beherrscht. Weiterlesen

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Lineare Gleichungssysteme

1. Allgemeines zu linearen Gleichungssystemen

Ein lineares Gleichungssystem (kurz: LGS) besteht jeweils aus zwei linearen Gleichungen, die jeweils zwei Variablen vorweisen. Diese beiden Gleichungen sind gewissermaßen mit einem „und“ miteinander verbunden (in der Sprache der Mathematik gesprochen: 1. Gleichung und 2. Gleichung sind miteinander verbunden = Lineares Gleichungssystem) .

Auf zweierlei Weise wird diese Und-Verknüpfung zweier linearer Gleichungen in Mathe optisch veranschaulicht. Die gängigere Art ist hierbei die Gleichungssysteme mit römischen Ziffern zu unterteilen. Eine weitere Möglichkeit ist rechts und links der Gleichungen einen senkrechten Strich zu machen. Das signalisiert deren Zusammengehörigkeit.

Mittels drei rechnerischer oder eines grafischen (zeichnerischen) Lösungsverfahren kann bei diesen beiden linearen Gleichungen jeweils eine eindeutige Lösung ermittelt werden.

 

Hierbei treten drei mögliche Lösungen auf:

1. Die beiden linearen Gleichungen haben eine gemeinsame Lösung (als Funktionen dargestellt einen gemeinsamen Schnittpunkt S(x/y)).

Ergibt ein Zahlenpaar (x/y) sowohl für die 1. als auch für die 2. Gleichung des Linearen Gleichungssystems eine wahre Aussage, so stellt das Zahlenpaar eine Lösung des Linearen Gleichungssystems dar.

 

Beispiele:

I.     4x + 2y = 4

II.     12x + 4y = 12

Lösung: L = {1/0}

 

Probe:

I.     4 · 1 + 2 · 0 = 4

II.     12 · 1 + 4 · 0 = 12

 

I.     4 = 4

II.     12 = 12

 

I.     3x + 2y = 0

II.      –9x + 4y = –5

Lösung: L = {{\frac{1}{3}}/–{\frac{1}{2}}}

 

Probe:

I.     3 · {\frac{1}{3}} + 2 · (–{\frac{1}{2}}) = 0

II.     –9 · {\frac{1}{3}} + 4 · (–{\frac{1}{2}}) = –5

 

I.     1 – 1 = 0

II.     –3 – 2 = –5

 

I.     0 = 0

II.     –5 = –5

 

2. Die beiden linearen Gleichungen haben keine Lösung (als Funktionen dargestellt verlaufen diese parallel).

Liefern die linearen Gleichungssysteme stets eine unwahre Aussage, so weist das lineare Gleichungssystem keine Lösung auf. Die Lösungsmenge ist dann die leere Menge.

 

Beispiele:

I.      4x + 2y = 4

II.     4x + 2y = 8

 

I.     5x + 4y = 9

II.     5x + 4y = 12

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Ein lineares Gleichungssystem liefert immer dann keine Lösung, wenn die Variablen beider Gleichungen stets den gleichen Faktor vorweisen, sich aber von der „nackten“ Zahl her unterscheiden.

 

3. Die beiden linearen Gleichungen haben unendlich viele Lösungen (als Funktionen dargestellt sind diese identisch).

Liefern die beiden linearen Gleichungssysteme bei jeder Einsetzung eine wahre Aussage, so gibt es unendlich viele Lösungen. Die Lösungsmenge ist dann die Menge aller reellen Zahlen.

 

Beispiele:

I.     4x + 2y = 4

II.     4x + 2y = 4

 

I.     12x + 3y = 5

II.     12x + 3y = 5

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Ein lineares Gleichungssystem hat immer dann unendlich viele Lösungen, wenn die Variablen beider Gleichungen stets den gleichen Faktor vorweisen und ebenfalls bei beiden Gleichungen die „nackte“ Zahl gleich ist.

 

Lineare Gleichungssysteme können mittels verschiedener Lösungsverfahren gelöst werden. Die drei rechnerischen Lösungsverfahren, mithilfe jedes lineare Gleichungssystem gelöst werden kann, heißen hierbei

  • Gleichsetzungsverfahren
  • Einsetzungsverfahren
  • Additionsverfahren

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Das wichtigste aller drei rechnerischen Lösungsverfahren ist das Additionsverfahren, da es später in der Oberstufe beim Matrizen-Rechnen wieder abgerufen werden können muss.

 

2. Das Gleichsetzungsverfahren

Gegeben sind folgende Gleichungen

I.     4x + 2y = 4

II.     12x + 4y = 12

  • Beim Gleichsetzungsverfahren müssen nun beide linearen Gleichungen zunächst nach „ y“ aufgelöst werden.

I.     4x + 2y = 4              Ι – 4x

I.     2y = 4 – 4x              Ι : 2

 

I.     y = 2 – 2x

II.      12x + 4y = 12        Ι – 12x

 

II.     4y = 12 – 12x         Ι : 4

II.      y = 3 – 3x

  • Als nächstes werden beide nach „y“ hin aufgelösten Gleichungen gleichgesetzt. Hierdurch eliminiert man die beiden „y“.

I. = II.     2 – 2x = 3 – 3x

  • Jetzt löst man die Gleichung nach „x“ hin auf.

I. = II.     2 – 2x= 3 – 3x           Ι + 3x

I. = II.     2 + x = 3                    Ι – 2

I. = II.     x = 1

  • Um „y“ zu bestimmen, muss man nun den ermittelten „x“-Wert in eine der beiden Anfangsgleichungen einsetzen.

I.     4 · (1) + 2y = 4

I.     4 + 2y = 4              Ι – 4

 

I.     2y = 0                    Ι : 2

I.     y = 0

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Auch das Einsetzen der Lösung x = 1 bei der II. linearen Gleichung des LGS hätte das gleiche Ergebnis y = 0 ergeben.

 

  • Zum Schluss muss noch die Lösungsmenge angegeben werden.

L = {1/0}

 

Vorgehensweise beim Lösen eines LGS mittels des Gleichsetzungsverfahrens

  1. Zuerst löst man beide Gleichungen zu einem gemeinsamen Term hin auf, entweder zu x oder y.
  2. Durch das Gleichsetzen beider Gleichungen, erhält man eine Gleichung, die nur noch eine Variable vorweist. Ein Ursprungsgleichung behält man normalerweise bei. Man kann diese aber auch erst am Ende, wenn man die Lösung der ersten Gleichung ermittelt hat, wieder aufgreifen, und zwar wenn man die beiden Gleichungen des LGS mit römischen Ziffern unterteilt.
  3. Die Gleichung mit einer Variablen löst man nun nach der Variablen hin auf. Diese Lösung bildet eine Koordinate des Lösungspaares.
  4. Die sich ergebende Lösung bzw. Koordinate setzt man in eine der beiden Ursprungsgleichungen des LGS ein. Indem man die Gleichung nach dem anderen Term hin auflöst, erhält man die zweite Koordinate.
  5. Eine Probe bestätigt die Lösung des LGS.
  6. Die Lösung gibt man mittels einer Lösungsmenge wieder.

Ganz große Musik in Kombination mit ganz fantastischem Nonsens = Bohemian Rhapsody von Queen meets The Muppets!!!

 

3. Das Einsetzungsverfahren

I.     4x + 2y = 4

II.     12x + 4y = 12

  • Beim Einsetzungsverfahren muss zunächst eine lineare Gleichung entweder nach „x“ oder „y“ hin aufgelöst werden.

I.     4x + 2y = 4       Ι – 4x

I.     2y = 4 – 4x       Ι : 2

I.     y = 2 – 2x

Die nach einer Variablen hin aufgelöste Gleichung wird nun in die andere Gleichung eingesetzt. Je nach aufgelöster Variable wird der gesamte Term auf der anderen Seite der Gleichung in die gleiche Variable der anderen Gleichung eingesetzt. Hierdurch eliminiert man eine Variable.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Man sollte möglichst immer die Variable einer Gleichung separieren, mit der dies am einfachsten zu realisieren ist. Dadurch entgeht man der Gefahr einer falschen Gleichungsauflösung.

 

I. in II.     12x + 4 · (2 – 2x) = 12

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Wenn der aufgelöste Term der aufgelösten Gleichung aus zwei Einzeltermen besteht, muss um diese beim Einsetzen in die Variable der zweiten Gleichung eine Klammer gesetzt werden.

 

I. in II.     12x + 8 – 8x = 12

I. in II.     4x + 8 = 12                 Ι – 8

 

I. in II.     4x = 4                         Ι : 4

I. in II.     x = 1

  • Um den „y“-Wert des linearen Gleichungssystems zu bestimmen, setzt man nun den ermittelnden „x“-Wert in eine der beiden Anfangsgleichungen des LGS.

II.     12 · (1) + 4y = 12

II.     12 + 4y = 12                      Ι – 12

 

II.     4y = 0                                Ι : 4

II.     y = 0

  • Zum Schluss muss noch die Lösungsmenge des LGS angegeben werden.

L = {1/0}

 

Vorgehensweise beim Lösen eins LGS mittels des Einsetzungsverfahrens

  1. Zuerst muss man den Term einer Gleichung nach einer Variablen hin separieren, z. B. nach x, y. Hierbei ist es wichtig, dass man eine Variable nimmt, die sich möglichst leicht separieren lässt.
  2. Darauf wird die aufgelöste Gleichung in die andere Gleichung eingesetzt, genau dort, wo genau die Variable auftritt, die man vorher separiert hat. Darauf löst man diese Gleichung nach der noch vorhandenen Variablen hin auf. Die andere Gleichung behält man normalerweise bei. Es ist aber genauso gängig, einfach beide Gleichungen mit einer römischen Ziffer zu versehen.
  3. Das Ergebnis stellt eine Lösungskoordinate dar. Eine Gleichung mit zwei Variablen bleibt unverändert beim LGS mit dabei. Man kann diese aber auch stets erst am Schluss, wenn man die erste Lösungskoordinadete in die andere Ursprungsgleichung einsetzt, heranziehen.
  4. Die Lösung der einen Gleichung wird in die Variable der anderen Ursprungsgleichung des LGS eingesetzt. Diese löst man nun nach der noch vorhandenen Variablen auf. Das Ergebnis ist die zweite Lösungskoordinate.
  5. Die Probe bestätigt die Richtigkeit beider Lösungskoordinaten. Anschließend gibt man die Lösungsmenge des LGS an.

 

4. Das Additionsverfahren

  • Beim Additionsverfahren erfolgt eine Addition zwischen den beiden Gleichungen des LGS. Hierfür ist es in der Regel notwendig, eine Gleichung oder beide Gleichungen mit einer Zahl, die ungleich null ist, malzunehmen. Es muss hierbei immer die gleiche Zahl erzeugt werden, aber jeweils mit umgekehrten Vorzeichen, die vor der eliminieren wollenden Variablen steht. Dies ist gewährleistet, wenn man einen (positiven oder negativen) Faktor findet, der die zu eliminierende Zahl ergibt.

I.     4x + 2y = 4

II.     12x + 4y = 12

  • Will man nun bei der 2. Gleichung des LGS das „12x“ eliminieren, so muss man die 1. Gleichung mit „ –3“ malnehmen. Jeder Einzelterm muss hierbei mit dem Faktor malgenommen werden!

I.     4x + 2y = 4                                    Ι · (–3)

I.     4x · (–3) + 2y · (–3) = 4 · (–3)       Ι · (–3)

I.     –12x – 6y = –12

  • Durch das Malnehmen der 1. Gleichung mit „–3“ erhält man „–12x“, also die vom Vorzeichen umgekehrte Zahl der eliminieren wollenden Variablen „12x“ der 2. Gleichung. Jetzt kann eine Addition der 1. Gleichung mit der 2. Gleichung erfolgen. Hierzu muss jeder gleiche Einzelterm der 1. Gleichung mit jedem gleichen Einzelterm der 2. Gleichung addiert werden.

Hierbei ergeben sich folgende Additionen „–12x“ + „12x“ = 0. „–6y“ + „4y“ = „–2y“ und „–12“ + „12“ =0

I.     –12x – 6y = –12

I. + II.     –2y = 0

  • Dadurch, dass sich durch die Addition der 1. Gleichung mit der 2. Gleichung die Variable „12x“ der 2. Gleichung eliminieren hat lassen, ergibt sich nun eine Gleichung mit der einen Variablen „y“. Bei dieser Gleichung kann man nun durch eine einfache Äquivalenzumformung das „y“ bestimmen.

I.     –12x – 6y = –12

I. + II.     –2y = 0              Ι : (–2)

I. + II.     y = 0

  • Um den „x“-Wert des LGS zu bestimmen, setzt man den ermittelnden „y“-Wert in eine der beiden Ursprungsgleichungen des LGS ein.

II.    12x + 4 · (0) = 12

II.     12x = 12                  Ι : (12)

II.     x = 1

  • Als letztes muss man noch die Lösungsmenge des LGS angeben. L = (1/0)

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Wie man sieht, kommt bei jedem Lösungsverfahren die gleiche Lösungsmenge heraus. Das muss auch so sein, da das LGS bei allen drei Lösungsverfahren jeweils das Gleiche war.

 

5. Das grafische Lösungsverfahren eins linearen Gleichungssystems

Zum grafischen Lösen eines Linearen Gleichungssystems geht man folgendermaßen vor:

1. Zuerst formt man beide Gleichung so um, dass man sie ganz einfach in ein Koordinatensystem einzeichnen kann (bei der Umformung und dem Einzeichnen orientiert man sich an der nach y aufgelösten Form einer linearen Gleichung). Jeder Graph besteht immer aus einer Geraden.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zum Einzeichnen einer linearen Gleichung in ein Koordinatensystem siehe auch: Funktionen/Lineare Funktionen 5. Das Zeichnen von linearen Funktionen an.

 

2. Normalerweise ergibt sich ein Schnittpunkt zweier Geraden als Lösung des Linearen Gleichungssytems. Der Schnittpunkt ist immer eine Zahlenpaar (x/y) und gleichzeitig die Lösung beider Gleichungen des Linearen Gleichungssystems.

3. Als Lösungen kann es aber auch keine Lösung geben sowie unendlich viele Lösungen. Bei keiner Lösung verlaufen die beiden Geraden im Koordinatensystem immer parallel. Bei unendlich vielen Lösungen liegen die beiden Geraden aufeinander bzw. sind identisch.

4. Anschließend sollte immer zur Bestätigung der grafischen Lösung eine Probe durchgeführt werden. Hierfür setzt man die Lösung in beider Gleichungen des Linearen Gleichungssystems ein.

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Beim Ablesen des Schnittpunktes/des Zahlenpaares aus dem Koordinatensystem können immer Ungenauigkeiten auftreten. Das kann an einem etwas ungenauem Zeichnen liegen oder an einem Schnittpunkt, der nicht ganzzahlige Werte vorweist. Die Probe zeigt schließlich eindeutig auf, ob die Lösung stimmt oder nur eine Näherungslösung vorliegt. Liegt eine Näherungslösung vor, so gibt man diese folgendermaßen wieder: x ≈ … und y ≈

 

5.1 Grafische Lösung eines linearen Gleichungssystems mit einer Lösung

Es ist folgendes lineare Gleichungssystem gegeben:

I.    x + y = 1

II.    2x – y = 8

Als Erstes löst man beide Gleichungen des linearen Gleichungssystems nach y hin auf.

I.     x + y = 1

II.     2x – y = 8

 

I.     x + y = 1                | – x

I.     y = –x + 1

 

II.     2x – y = 8 | – x      | – 2x

II.     –y = –2x + 8          | · (–1)

II.     y = 2x – 8

Jetzt zeichnet man beide Gleichungen jeweils als Funktion in ein Koordinatensystem ein.

Graphische Darstellung eines linearen Gleichungssystems mit einer Lösung

Da beide Geraden eine unterschiedliche Steigung vorweisen, schneiden diese sich in einem Punkt. Der Schnittpunkt stellt die Lösung des linearen Gleichungssystems dar. Dieser ist hier: S (3/–2). Daher ist hier die Lösung des linearen Gleichungssystems: L = {(3/–2)}.

Die Probe bestätigt die Richtigkeit der graphischen Lösung:

I.     3 + (–2) = 1

II.     2 · (3) – (–2) = 8

 

I.     3 – 2 = 1

II.     6 + 2 = 8

 

I.     1 = 1

II.     8 = 8

 

5.2 Grafische Lösung eines linearen Gleichungssystems mit keiner Lösung

Folgendes lineares Gleichungssystem ist gegeben:

I.     2x + 2y = 4

II.     4x + 4y = 16

Als Erstes löst man das LGS nach der Variablen y hin auf.

I.     2x + 2y = 4                  | – 2x

II.     4x + 4y = 16               | – 4x

 

I.     2y = –2x + 4               | : 2

II.     4y = –4x + 16             | : 4

 

I.     y = –x + 2

II.     y = –x + 4

Diese beiden Gleichungen zeichnet man jetzt jeweils als Funktion in ein Koordinatenystem ein.

Grafische Darstellung eines linearen Gleichungssystems mit keiner Lösung

Die Gerade haben zwar die gleiche Steigung, aber ihre Ordinatenabschnitte sind verschieden. Die beiden Geraden verlaufen deshalb parallel zueinander und sie haben keinen Schnittpunkt. Aus diesem Grund hat das lineare Gleichungssystem auch keine Lösung. Die Lösungsmenge des LGS ist daher: L = { } bzw. L = {\varnothing}.

 

5.3 Grafisches Lösung eines linearen Gleichungssystems mit unendlich vielen Lösungen

Es ist folgendes lineares Gleichungssystem gegeben:

I.     –x + 2y = –4

II:     –2x + 4y = –8

Zuerst löst man das lineare Gleichungssystem nach y hin auf.

 

I.     –x + 2y = –4               | + x

II:     –2x + 4y = –8            | + 2x

 

I:     2y = x – 4                    | : 2

II.     4y = 2x – 8                 |  : 4

 

I.     y = {\frac{1}{2}x – 2

II.     y = {\frac{1}{2}x – 2

Wie man sieht, erhält man nach dem Separieren von y zwei identische Gleichungen. Diese beiden Gleichungen zeichnet man nun als Funktion in eine Koordinatensystem ein.

Grafische Darstellung eines linearen Gleichungssystems mit unendlich vielen Lösungen

Die beiden Geraden haben jeweils die gleiche Steigung und den gleichen Ordinatenabschnitt. Die beiden Gerden verlaufen daher identisch. Deshalb gibt es auch als Lösungsmenge unendlich viele Zahlenpaare, die bei diesem LGS die Lösung ergeben. Die Lösungsmenge des LGS ist daher:  L  = {x | y}  | y = {\frac{1}{2}x – 2}.

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: In der Sprache der Mathematik heißt das „L  = {x | y}  | y = {\frac{1}{2}x – 2}“: Die Lösungsmenge ist die Menge aller Paare {x | y}, für die gilt : y = {\frac{1}{2}x – 2.

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Potenzfunktionen

1. Allgemeines zu Potenzfunktionen

Der Graph der bekanntesten Potenzfunktion ist die sogenannte Normalparabel. Diese besitzt folgende Funktionsgleichung: f(x) = x². Alle weiteren Funktionen, die aus einer Potenz bestehen und bei denen die Variable die Basis ist, nennt man Potenzfunktionen.

Hieraus ergibt sich, dass auch die Funktion f(x) = x1 eine Potenzfunktion ist – deren Graph eine Gerade ist, und zwar die 1. Winkelhalbierende.

Das sind alles Potenzfunktionen:

x {\mapsto} x^1, die Funktiongleichung ist y = x¹

x {\mapsto} x^2, die Funktionsgleichung ist y = x²

x {\mapsto} x^3, die Funktionsgleichung ist y = x³

x {\mapsto} x^4, die Funktionsgleichung ist y = x^4

x {\mapsto} x^5, die Funktionsgleichung ist y = x^5

x {\mapsto} x^6, die Funktiosgleichung ist y = x^6

1.1 Der Graph von Potenzfunktionen

Die Potenzfunktion x {\mapsto} x^1 hat folgenden Graphen:

Graph der Potenzfunktion mit dem Exponenten hoch 1

Wertetabelle Potenzfunktion mit dem Exponenten hoch 1

Der Graph der Potenzfunktion x {\mapsto} x^1 mit x є {\mathbb R} steigt von links nach rechts.

Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung/P (0/0). Es gilt nämlich: f(x) = x und f(–x) = –x

Beispiel: f(2) = 2 und f(–2) = –2

Die Funktionsgleichung ist y = x¹

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zum Fallen und Ansteigen eine Funktion siehe auch unter dem Reiter Monotonie 1. Allgemeines zur Monotonie an.

 

Die Potenzfunktion x {\mapsto} x^2 hat diesen Graphen:

Graph der Potenzfunktion mit dem Exponenten hoch 2

Wertetabelle Potenzfunktion mit dem Exponenten hoch 2

Der Graph der Potenzfunktion x {\mapsto} x^2 mit x є {\mathbb R} fällt von links nach rechts bis zum Ursprung/P (0/0). Darauf steigt er.

Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse. Es gilt nämlich: f(x) = x² und f(–x) = x².

Beispiel: f(2) = (2)² = 4 und f(–2) = (–2)² = 4

Der Graph schmiegt sich in der Nähe des Ursprungs/P (0/0) an die x-Achse an.

Die Funktionsgleichung ist y = x².

 

Die Potenzfunktion x {\mapsto} x^3 hat diesen Graphen:

Potenzfunktion mit dem Exponenten hoch 3

Wertetabelle Potenzfunktion mit dem Exponentenhoch 3

Der Graph der Potenzfunktion x {\mapsto} x^3 mit x є {\mathbb R} steigt von links nach rechts stetig an.

Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung/P (0/0). Es gilt nämlich: f(x) = x³ und f(–x) = –x³

Beispiel: f(2) = (2)³ = 8 und f(–2) = (–2)³ = –8

Der Graph schmiegt sich in der Nähe des Ursprungs/P (0/0) an die x-Achse an.

Die Funktionsgleichung ist y = x³.

 

Definition:

Eine Funktion, die die Zuordnungsvorschrift x {\mapsto} xn vorweist und somit die Funktionsgleichung f(x) = xn besitzt, nennt man Potenzfunktion (n є N^*).

Der Definitionsbereich der Potenzfunktion ist R.

 

2. Potenzfunktionen mit geradem Exponenten

Potenzfunktionen mit geradem Exponenten

Allgemeine Merkmale von Potenzfunktionen mit geradem Exponenten

  • Jede Potenzfunktion x {\mapsto} x^n mit geradem Exponenten weist einen Graphen auf, der symmetrisch zur y-Achse ist.
  • Alle diese Potenzfunktionen haben drei gemeinsame Punkte: P1 (0/0), P2 = (1/1) und P3 = (–1/1).
  • Ist x < 0, so sind die Funktionen streng monoton fallend, ist x > 0, dann sind die Funktionen streng monoton steigend.

 

3. Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten

Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten

Allgemeine Merkmale von Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten.

  • Jede Potenzfunktion x {\mapsto} x^n mit ungeradem Exponenten hat einen Graphen, der punktsymmetrisch zum Ursprung/P (0/0) ist.
  • Alle diese Potenzfunktionen habe folgende drei gemeinsame Punkte: P_1 (0/0), P_2 (1/1) und P_3 (–1/–1).
  • Die Funktionen sind an jeder Stelle streng monoton steigend.
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Mathematik-Nachhilfe: das Shakehands/Anstoß-Problem

Shakehands © Alexander Klaus PIXELIO www.pixelio.de

Jedes Jahr stehen Familienfeierlichkeiten an. Das ist zweifelsohne sehr schön. Im trauten Kreis der Familie verbringt man schließlich am liebsten seine Zeit, da es viel zu Plaudern und Essen gibt und jede Menge anderweitige Gemeinschaftsaktivitäten gemacht werden. Daher ist die Freude allseits groß, wenn ein Familientreffen im Gange ist. Doch gerade hierbei Anwesende Mathematik– und Rätsel-Begeisterte können oftmals noch nicht gleich die entspannte Familienrunde genießen, da ihnen das Händeschütteln aller Familienmitglieder wiederum Kopfzerbrechen bereitet. Wie bei jedem Familientreffen lässt es nämlich den hier dabei seienden Jung- und Alt-Mathematikern und Jung- und Alt-Rätselfreunden erneut keine Ruhe, nicht genau zu wissen, wie hoch die genaue Anzahl der Familien-Shakehands dieses Mal ist. Deshalb ist auch immer ein vielfaches Getuschel zu hören, da die Mathematik-Begeisterten die Meinung vertreten, dass es für die genaue Shakehands-Anzahl  eine Mathe-Formel gäbe, die Rätsel-Freunde hingegen jedoch der Auffassung sind, dass das Handschüttel-Problem ein immerwährendes Rätsel sei, das deshalb stets nur über ein genaues Abzählverfahren gelöst werden könne. Weiterlesen

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Lineare Funktionen

1. Allgemeines zu linearen Funktionen

Die ersten Funktionen, die im Fach Mathe behandelt werden, sind lineare Funktionen. Da Funktionen ein sehr wichtiges Mathematik-Stoffgebiet darstellen, sollte man hier besonders gut aufpassen, um zu verstehen, was Funktionen sind. Dann wird man sich bei allen noch kommenden Funktionen sowie der Analysis, bei der umfangreiche Funktionsuntersuchungen gemacht werden, umso leichter tun.

Der Graph einer linearen Funktion © Honina

Der namensgebende Teil von linearen Funktionen, das „Linear“, ist aus dem Lateinischen und bedeutet „linienförmig, geradlinig“. Wenn man lineare Funktionen in ein Koordinatensystem einzeichnet, sieht man sofort, dass ihr Graph „linienförmig, geradlinig“ verläuft – und versteht, warum diese Funktionen „lineare Funktionen“ heißen.

 

Die Wertetabelle, der hier dargestellten linearen Funktion y = {\frac{1}{2}}x + 2, ist:

Wertetabelle einer linearen Funktion

 

2. Charakteristika linearer Funktionen

Lineare Funktionen können immer allgemein mithilfe dieser Zuordnungsvorschrift beschrieben werden:

x {\mapsto} m · x + n

oder mittels folgender Funktionsgleichung:

y = m · x + n.

Die Definitionsmenge ist {\mathbb Q}.

Das m bei der Zuordnungsvorschrift oder der Funktionsgleichung ist die Steigung und zeigt immer auf, was für eine Steigung (ob positiv oder negativ und ob steil oder eher flach) die lineare Funktion besitzt; das n bei der Zuordnungsvorschrift oder Funktionsgleichung ist das absolute Glied bzw. der Ordinatenabschnitt (das ist der Schnittpunkt mit der y-Achse im Koordinatensystem). Durch das absolute Glied zeigt sich jeweils an welcher Stelle die lineare Funktion im Koordinatensystem die y-Achse schneidet.

Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade bzw. geradlinig. Der Schnittpunkt zwischen linearer Funktion und der y-Achse weist hierbei stets die Koordinaten P (0/n) auf.

Eine lineare Funktion muss nicht immer eine Steigung vorweisen, da m auch = 0 sein kann. Ist m = 0, so verläuft der Graph der linearen Funktion immer parallel zur x-Achse.

Ebenso muss eine lineare Funktion kein absolutes Glied besitzen. Ist nämlich n = 0 so schneidet die lineare Funktion die y-Achse immer bei 0 und weist dann die Koordinate P (0/0) auf. Man sagt dann, der Graph ist eine Ursprungsgerade, da die Gerade immer durch den Anfang/Ursprung des Koordinatensystems geht.

Je nach Vorzeichen von m ist eine Gerade (streng monoton) steigend oder (streng monoton) fallend. Ist nämlich m positiv/„+“ so sagt man, dass die Gerade eine positive Steigung hat, ist hingegen m negativ/„–“ so sagt man, dass die Gerade eine negative Steigung besitzt.

Abhängig von Größe der Zahl, die die Steigung wiedergibt, kann man sagen, ob die lineare Funktion „steil“ oder „flach“ verläuft. Je größer nämlich die Steigung m ist, desto steiler (streng monoton steigend/fallend) verläuft die linearer Funktion. Je kleiner demzufolge die Steigung m ist, desto flacher (streng monoton steigend/fallend) verläuft die lineare Funktion.

Als Orientierung ist hierbei hilfreich:

Ist die Steigung m > 1, umso steiler steigt sie an. Ist die Steigung m < 1 desto flacher steigt sie an.

ist die Steigung m < –1, desto steiler fällt sie. Ist die Steigung m > –1 desto flacher fällt sie.

 

3. Ermittlung der Steigung und des Schnittpunktes mit der y-Achse anhand der Funktionsgleichung

Beispiele:

Folgendes sind alles lineare Funktionen. Bestimme ihre Steigung und der Schnittpunkt mit der y-Achse, gebe weiter an, ob die Funktion ansteigt oder fällt.

a) y = 2x + 5

b) y = –3 · x + 3

c) y = {\frac{1}{2}}x – 1

d) y = –0,25 · x + 6

e) y = x – 3

f) y = 2x

g) y = 3

Ist die Funktionsgleichung einer linearen Funktion gegeben, so kann man hiervon immer sofort die Steigung m und das absolute Glied n ermitteln.

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Die Steigung m steht bei einer linearen Funktion immer vor der Variablen und stellt hierbei einen Faktor dar. Daher ist die Steigung m mit der Variablen mittels einer Multiplikation verbunden. Das absolute Glied n schließt sich an die Steigung mittels einer Addition oder Subtraktion an.

a) y = 2x + 5

Hier ist die Steigung m = 2 und das absolute Glied n = 5. Da die lineare Funktion eine positive Steigung besitzt, steigt sie. Die y-Achse schneidet sie im Punkt P (0/5).

b) y = –3 · x + 3

Bei dieser linearen Funktion ist die Steigung m = –3 und das absolute Glied n = 3. Da hier die Steigung ein Minus vorweist, ist diese fallend. Im Punkt P (0/3) wird die y-Achse geschnitten.

c) y = {\frac{1}{2}}x – 1

Hier ist die Steigung m = {\frac{1}{2}} und das absolute Glied n = –1. Da die Steigung positiv ist, steigt die Funktion, aber sie verläuft nicht allzu steil. Denn die Steigung m ist < 1. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist P (0/–1).

d) y = –0,25 · x + 6

Diese lineare Funktion besitzt die Steigung m = –0,25 und als absolutes Glied n = 6. Da m negativ ist, ist die Funktion fallend und da m < 1 eher leicht fallend. Bei P (0/6) schneidet die lineare Funktion die y-Achse.

e) y = x – 3

Steht keine Zahl vor der Variablen so, ist die Steigung m immer = 1. Denn die Funktionsgleichung ist dann nichts anderes als y = 1 · x – 3. Das absolute Glied n = – 3. Da die Steigung m positiv ist, steigt die lineare Funktion. Die Funktion schneidet die y-Achse in dem Punkt P (0/ –3).

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Steht bei der Funktionsgleichung einer linearen Funktion vor der Variablen nur ein Minus und kein weitere Faktor, so ist die Steigung immer m = –1.

f) y = 2x

Bei dieser linearen Funktion ist die Steigung m = 2. Da dahinter keine Zahl steht, ist das absolute Glied n = 0. Die Funktion ist steigend, da m positiv ist. Aufgrund der Steigung m > 1 steigt diese steil an. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist bei P (0/0). Hier handelt es sich also um eine Ursprungsgerade, da die lineare Funktion durch den Koordinatenurspung geht.

g) y = 3

Da diese Funktion keine Variable vorweist, hat sie auch keine Steigung. Die Steigung m ist demzufolge = 0. Das absolute Glied ist n = 3. Eine lineare Funktion, die keine Steigung besitzt, verläuft immer parallel zur x-Achse. Den Schnittpunkt mit der y-Achse hat die Funktion bei P (0/3).

 

4. Bestimmung der Funktionsgleichung vom Graphen der linearen Funktion

Anhand einer gegebenen Funktionsgleichung kann man immer die Steigung und deren Schnittpunkt mit der y-Achse ermitteln. Mittels des Graphen einer linearen Funktion, der immer eine Gerade darstellt, kann man umgekehrt immer die Funktionsgleichung aufstellen. Hierfür muss zum einen die Steigung und zum anderen das absolute Glied ermittelt werden.

 

4.1 Bei positiver Steigung

  • Das Ermitteln der Steigung m

Um die Steigung einer linearen Funktion zu ermitteln, bedient man sich eines sogenannten Steigungsdreiecks. Bei dem unten darstellten Graphen einer linearen Funktion sind zwei Steigungsdreiecke mit der Farbe grün eingezeichnet worden. Wie man sieht, weist jedes Steigungsdreieck einen x-Wert und einen y-Wert auf. Damit man den jeweiligen x-Wert und den jeweiligen y-Wert des Steigungsdreiecks genau ermitteln kann, muss man das Steigungssdreieck möglichst immer entlang ganzer Karos einzeichnen. Zudem ist es wichtig, möglichst das Steigungsdreieck immer gleich in den Graphen der linearen Funktion einzuzeichnen. Bei einer linearen Funktion mit positiver Steigung ist es am einfachsten, immer den x-Wert des Steigungsdreiecks nach rechts einzuzeichnen (das steht dann für einen positiven Zahlenwert) und der y-Wert nach oben hin (das steht dann ebenso immer für einen positiven Zahlenwert). Hierbei ist es egal, wie groß das Steigungsdreieck ist, entscheidend ist nur, dass es möglichst entlang ganzer Karos geht, um exakte Zahlenverhältnisse herauslesen zu können. Denn anschließend ermittelt man die Steigung m, indem man folgenden Quotienten des Steigungsdreiecks bildet:

m = {\frac{y}{x}} = {\frac{\Delta y}{\Delta x}} = {\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Fährt man gedanklich das Steigungsdreieck von der x-Achse beginnend und der Geraden hin zu y Achse und wiederum zur Geraden, so hat man auch der Reihe nach immer alle zu ermittelnden Werte: x1 zu Beginn, beim Übergang hin zu Vertikalen x2, dort ist auch y1. Am Ende des Steigungsdreiecks ist schließlich y2.

Bei dem unteren Graphen hat das eine Steigungsdreieck den x-Wert 1 (x2 = 2, x1= 0; x2 – x1 = 1 – 0 = 1) und den y-Wert 2 (y2 = 4, y1 = 2; y2 – y1= 4 – 2 = 2); das andere Steigungsdreieck hat den x-Wert 2 (x2 = –0,5, x1= –2,5; x2 – x1 = –0,5 – (–2,5) = 2) und den y-Wert 4 (y2 = 1, y1 = –3; y2 – y1 = 1 – (–3) = 4)

. Demzufolge ergibt sich für diese lineare Funktion folgende Steigung:

m = {\frac{2}{1}} = 1 oder: m = {\frac{4}{2}} = 1

  • Das Ermitteln des absoluten Gliedes n

Das absolute Glied einer linearen Funktion kann man immer aus dem Schnittpunkt mit der y-Achse herauslesen. Denn hier gilt P (0/n). Da hier P (0/2) ist, ist n = 2.

  • Das Aufstellen der Funktionsgleichung:

Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet: y = mx + n. Jetzt muss man nur noch die ermittelten Werte, die Steigung m und das absolute Glied n, in die Funktionsgleichung einsetzen: y = 2x + 2

Lineare Funktion mit positiver Steigung

 

4.2 Bei negativer Steigung

  • Das Ermitteln der Steigung m

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Hier fährt man wiederum am besten gedanklich das Steigungsdreieck ab, beginnend von der Geraden entlang der x-Achse, hier ist x1, der Übergang zur Vertikalen ist x2. Dort ist auch y1. Am Ende des Steigungsdreiecks hin zur Geraden befindet sich schließlich y2.

Bei dem unteren Graphen hat das Steigungsdreieck den x-Wert –2 ( x2 = –4, x1= –2; x2 – x1 = –4 – (–2) = –2) und den y-Wert 1 (y2 = 1, y1 = 0; y2 – y1 = 1 – 0 = 1); das andere Steigungsdreieck hat x-Wert –4 (x2 = –1, x1 = 3; x2 – x1 = –1 –3 = –4) und den y-Wert 2 (y2 = –0,5, y1 = –2,5; y2 – y1 = –0,5 – (–2,5= 0 2).

Deshalb ergibt sich für diese lineare Funktion folgende Steigung:

m = {\frac{1}{-2}} = –{\frac{1}{2}} oder: m = {\frac{2}{-4}} = –{\frac{1}{2}}

  • Das Ermitteln des absoluten Gliedes n

Das absolute Glied kann man immer aus dem Schnittpunkt mit der y-Achse herauslesen. Diese ist hier P (0/–1). Daher ist hier n = –1.

  • Das Aufstellen der Funktionsgleichung

Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion ist immer f(x) = mx + n. Demzufolge ergibt sich nach dem Einsetzen der ermittelnden Werte folgende Funktionsgleichung für diese linearen Funktion hier: f(x)= –{\frac{1}{2}}x – 1.

Lineare Funktion mit negativer Steigung

 

5. Das Zeichnen von linearen Funktionen

Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade. Daher benötigt man zum Zeichnen einer linearen Funktion immer auch nur zwei Punkte. Diese zwei Punkte ermittelt man am einfachsten aus der gegeben Funktionsgleichung. Ein Punkt ist hierbei stets der Schnittpunkt mit der y-Achse, der Punkt P (0/n). Der andere Punkt ergibt sich nun, indem man ein Steigungsdreieck von dem Schnittpunkt mit der y-Achse aus bildet.

 

5.1 Das Zeichnen einer linearen Funktion mit positiver Steigung

Es ist folgende Funktionsgleichung einer linearen Funktion gegeben:

y = 3x + 1

Den Schnittpunkt mit der y-Achse kann man hierbei sofort herauslesen. Dieser ist P (0/1), ebenso die Steiung, die hier m = m = 3 bzw. {\frac{3}{1}} ist.

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Ist nun die Steigung m jeweils eine ganzzahlige Zahl, so bildet man hieraus jeweils eine Bruchzahl.

Nach dem Ermitteln der Steigung kann man das Steigungsdreieck an den Schnittpunkt mit der y-Achse bilden. Hierbei geht man eine Längeneinheit/LE nach rechts und 3 Längeneinheiten/LE nach oben, da ja hier eine positive Steigung vorliegt. Darauf kann man die Gerade der linearen Funktion zeichnen.

Das Zeichnen einer linearen Funktion mit positiver Steigung

 

5.1 Das Zeichnen einer linearen Funktion mit negativer Steigung

Folgende Funktionsgleichung einer linearen Funktion ist gegeben:

y = − {\frac{1}{4}}x − 2,5

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist hier P (0/−2,5), die Steigung m ist − {\frac{1}{4}}.

Vom Schnittpunkt mit der y-Achse ausgehend kann man nun das Steigungsdreieck einzeichnen. Hierbei geht man vier Längeneinheiten/LE nach links, da eine negative Steigung vorliegt, und eine Längeneinheit/LE nach oben. Darauf kann man die Gerade zeichnen.

Das Zeichnen einer linearen Funktion mit negativer Steigung

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Man sollte sich einprägen, dass rechts und nach oben das Steigungsdreieck mit einer positiven Steigung verläuft, und links und nach oben das Steigungsdreieck mit einer negativen Steigung.

Man sollte aber auch wissen: Die Umkehrung gilt ebenso! Bei einer positiven Steigung kann man daher auch nach links und nach unten das Steigungsdreieck einzeichnen. Bei einer negativen Steigung kann man auch das Steigungsdreieck nach rechts und nach unten einzeichnen. Eine Art des Einzeichnens sollte man sich aber auf jeden Fall einprägen.

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