Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Stoffgebiet Funktionen, Teil 4

Eine lineare Funktion als Graph dargestellt © Honina

Eine lineare Funktion als Graph dargestellt © Honina

Funktionen sind eindeutige Zuordnungen. Das ist ihr Charakteristikum. Ist das bei einer Funktion der Fall, dass eine eindeutige Zuordnung vorliegt, so kann man in Mathe hierzu einen Funktionsterm aufstellen. Dieser Funktionsterm gibt ganz allgemein die Zuordnung wieder. Man kann solch eine eindeutige Zuordnung jedoch nicht nur algebraisch durch einen Term bestimmen, sondern auch graphisch. Eine Funktion kann schließlich immer auch in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden und ihr Verlauf sichtbar gemacht werden. Das nennt man den Graph einer Funktion. Daher kann man auch immer sowohl algebraisch als auch mittels eines Koordinatensystems eindeutig sagen, ob wirklich eine Funktion vorliegt – oder nicht. Es gibt in der Mathematik ja nicht nur Funktionen, das heißt, eindeutige Zuordnungen, sondern auch Relationen, uneindeutige Zuordnungen. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu quadratischen Gleichungen, Teil 10

Schule und insbesondere Mathe sind nicht schön © Alexandra H. PIXELIO www.pixelio.de

Schule und insbesondere Mathe sind nicht schön. © Alexandra H. PIXELIO www.pixelio.de

Bei quadratischen Gleichungen kann man mittels der p-q-Formel, der Mitternachtsformel oder eines quadratischen Ergänzens deren Lösungen ermitteln. Das sind ja alles bekanntermaßen Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen. „Was aber, wenn die Lösung bereits vorliegt?“, sagt der Mathematik-Lehrer. „Schön“, sagt hier ein nicht so interessierter Mathe-Schüler. „Dann muss ich erst gar nicht rechnen.“ „Moment, das kann aber nicht sein,“ sagt hingegen eine an Mathematik eine Freude habende Schülerin. „Stimmt“, sagt schließlich der Lehrer. „Liegt eine Lösung einer quadratischen Gleichungen bereits vor, so soll man mittels eines Lösungsverfahren deren Normalform ermitteln!“, fährt dieser weiter. „Das macht man dann über den sogenannte Satz von Vieta, und zwar …“ „Mathe ist doch nie schön“, denkt sich schlussendlich der an dem Fach nicht interessierte Schüler. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu quadratischen Funktionen, Teil 2

Die Normalparabel

Die Normalparabel

Der bekannteste Graph einer quadratischen Funktion ist die sogenannte Normalparabel. Da es hierfür in Mathe extra eine Schablone gibt, kennt man die Normalparabel normalerweise sehr gut – und deren möglichen Verläufe im Koordinatensystem. Hierfür muss man sich zuvor nur die quadratischen Funktionen genau anschauen. Dann weiß man auch, wo man die Normalparabel im Koordinatensystem einzeichnen muss. Man orientiert sich hierbei an der Funktion y = x². Das stellt die nach oben geöffnete Normalparabel, vom Koordinatenursprung ausgehend, dar. Heißt die Funktion jedoch y = x² + 4, so muss man die Funktion um vier Längeneinheiten nach oben verschieben (entlang der y-Achse). Bei der Funktion y = (x – 4)² um vier Längeneinheiten nach rechts (entlang der x-Achse). Bei der Funktion y = (x – 4)² + 4 um vier Längeneinheiten nach rechts und vier Längeneinheiten nach oben. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Flächeninhalt von Vielecken, Teil 7

Ein rechteckiger Teppich auf einem Boden © Lupo PIXELIO www.pixelio.de

Ein rechteckiger Teppich auf einem Boden © Lupo PIXELIO www.pixelio.de

Bei der Berechnung von Flächen (dem Flächeninhalt) bei Vielecken muss man immer auf zwei Aspekte besonders Acht geben. Der erste und wichtigste Aspekt hierbei ist: die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Vielecks korrekt anzuwenden. Konkret heißt das beispielsweise: bei einem Dreieck, einem Parallelgramm oder einem Trapez die Werte korrekt in die Gleichung einzutragen. Der zweite wichtige Aspekt hierbei ist: Bevor man die Werte in die Flächeninhalts-Formel einträgt, muss man diese eventuell ALLE auf die gleiche Einheit bringen/umrechnen. Konkret heißt das, dass alle Größen beispielsweise die Einheit cm oder m vorweisen. Eigentlich ist die Berechnung eines Flächeninhalts in Mathe nicht schwer. Dennoch bleibt es ein Mathematik-Stoffgebiet – und deshalb treten hier auch immer (vor allem bei diesen beiden genannten Aspekten) Fehler auf! Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Gleichungen mit Parametern, Teil 1

Gleichungen mit Parametern (Formvariablen) © Claudia Hautumm PIXELIO www.pixelio.de

Gleichungen mit Parametern (Formvariablen) © Claudia Hautumm PIXELIO www.pixelio.de

In Mathe können Gleichungen nicht nur eine Variable vorweisen, sondern auch zwei (oder noch mehr). Solch eine Gleichung nennt man dann Gleichung mit Parameter oder Formvariable. Hierbei ist es wichtig zu wissen: Was ist die Lösungsvariable und was ist die Formvariable? Davon hängt ja entscheidend ab, nach welcher Variablen hin man die Gleichung auflösen muss (klingt logisch, oder?). Bei Formeln zur Berechnung des Flächeninhalts von Vielecken oder dem Volumen von Prismen muss man mittels Äquivalenzumformungen die Gleichung immer nach der Lösungsvariablen hin umformen. Das ist dann später eine praktische Anwendung von Gleichungen mit Parametern/Formvariablen. Hier zeigt sich aber dann auch: Jede Variable kann die Lösungsvariable sein. Je nach Aufgabenstellung kann das deshalb variieren. 😉 Weiterlesen

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Gleichungen mit Parametern

1. Allgemeines zu Gleichungen mit Parametern/Formvariablen

Gleichungen können in Mathe nicht nur eine Variable vorweisen, sondern auch mehrere. Am besten kann man solche Gleichungen verstehen, wenn man sich einmal von der Form her gleiche Gleichungen vor Augen führt.

 

Es sind folgende vier Gleichungen samt Lösung gegeben:

a)    (x + 10)² – (x – 10)² = 100;    L = {{\frac{5}{2}}}

b)    (x + 4)² – (x – 4)² = 16;    L = {1}

c)   (x + 2)² – (x – 2)² = 4;    L = {{\frac{1}{2}}}

d)    (x + 1)² – (x – 1)² = 1;    L = {{\frac{1}{4}}}

e)    (x + {\frac{4}{5}})² – (x – {\frac{4}{5}})²;   L = {{\frac{1}{5}}}

 

Alle diese Gleichungen können auf folgende Form hin verallgemeinert werden:

(x + t)² – (x – t)² = t²

 

Denn bei t = 10 ergibt sich die Gleichung:

a)    (x + 10)² – (x – 10)² = 100

 

Bei t = 4 ist die Gleichung:

b)    (x + 4)² – (x – 4)² = 16

 

Bei t = 2 ist die Gleichung:

c)    (x + 2)² – (x – 2)² = 4

 

Bei t = 1 ist die Gleichung:

d)    (x + 1)² – (x – 1)² = 1

 

Bei t = {\frac{4}{5}} ist die Gleichung:

e)   (x + {\frac{4}{5}})² – (x – {\frac{4}{5}})²;   L = {{\frac{1}{5}}}

 

Die bei der Gleichung zusätzlich neben x auftretende Variable t nennt man Parameter oder Formvariable.

Bei den obigen Gleichungen hat der Parameter/die Formvariable jeweils folgenden Wert:

bei a)   t = 10;   b)   t = 4;   c)   t = 2;   d)  t = 1;   e)   t = {\frac{4}{5}}.

 

Aufgrund der Lösungen der Gleichungen liegt die Vermutung nahe, dass die Lösung einer Gleichung diese Form vorweist:   L = {\frac{\mathrm t}{4}}. Bei den Lösungen b) und c) kann man das sofort sehen, bei den Lösungen a), d) und e) muss man die Brüche jeweils erweitern, um das sehen zu können.

Um sicher sagen zu können, dass alle Gleichungen der Form (x + t)² – (x – t)² = t² die Lösung L = {\frac{\mathrm a}{4}} haben, muss man die Gleichung nach der Variablen x hin umformen.

(x + t)² – (x – t)² = t²

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Bei (x + t)² liegt die 1. Binomische Formel vor und bei (x – t)² die 2. Binomische Formel. Siehe hierzu auch ergänzend unter dem Reiter Binomische Formeln die dort gemachten Ausführungen an.

 

x² + 2tx + t² – (x² – 2tx + t²) = t²

t² + 2tx + t² – x² + 2tx – t² = t²

4tx = t²                  |    : 4t                 (für t ≠ 0)

x = {\frac{\mathrm t^2}{4\mathrm t}}

x = {\frac{\mathrm t}{4}}

 

Probe:

({\frac{\mathrm t}{4}} + t)² – ({\frac{\mathrm t}{4}} – t)² = t²

({\frac{5}{4}}t)² – (–{\frac{3}{4}}t)² = t²

{\frac{25}{16}}t² – {\frac{9}{16}}a = t²

t² = t²

Die Probe bestätigt die Reichtigkeit des Ergebnisses.

 

Jetzt gilt es noch zu überprüfen, was für eine Lösung die Gleichung der Form (x + t)² – (x – t)² = a²  für t = 0 hat.

Bei t = 0 ergibt sich die Gleichung:

(x + 0)² – (x – 0)² = (0)²

x – x = 0

0 = 0

Es gilt also nicht bei t = 0, dass L = {{\frac{\mathrm t}{4}}} ist.

Bei t = 0 ist nämlich L = {\mathbb Q} oder {\mathbb R} (je nach Klassenstufe).

Bei t ≠ 0 ist L = {{\frac{\mathrm t}{4}}}.

 

Bei Gleichungen mit Parameter/Formvariable können immer auch Sonderfälle auftreten. Bei der Gleichung mit der Form (x + t)² – (x – t)² = t² tritt ein Sonderfall bei t = 0 auf. Die Gleichung ist dann nämlich: x² – x² = 0. Sollten Sonderfälle bei einer Gleichung mit Parameter/Formvariable vorkommen, so kann man diese ohne Weiteres aus der Definitionsmenge ausschließen.

Für (x + t)² – (x – t)² = t²  kann daher gelten als Definitionsmenge gelten: D = {t Є {\mathbb Q} Ι t ≠ 0} oder D = {\mathbb Q} \ {0}

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Außer t können die Parameter/Formvariablen noch andere Buchstaben des Alphabets sein.

 

2. Lösungsvariable und Formvariable bei Parametergleichungen

Es ist folgende Gleichung gegeben:

4x + 8y = 24

Für diese Gleichung soll die Lösungsmenge bestimmt werden.

Da hier aber zwei Variablen auftreten, muss noch ganz klar definiert sein:

Was ist die Lösungsvariable und was ist die Formvariable? Ansonsten weiß man ja gar nicht, nach welcher Variablen man die Gleichung hin umformen muss.

Beide Aufgaben machen verdeutlichen dies:

a) Gib die Lösungsmenge an. x ist die Lösungsvariable und y die Formvariable.

4x + 8y = 24        |    – 8y

4x = –8y + 24      |    : 4

x = –2y + 6

L = {–2y + 6}

 

b) Gib die Lösungsmenge an: y ist die Lösungsvariable und x die Formvariable.

4x + 8y = 24        |    – 4x

8y = –4x + 24      |     : 8

y = –0,5x + 3

L = {–0,5x + 3}

Wie man sieht, erhält man je nach Aufgabenstellung eine unterschiedliche Lösungsmenge.

Daher muss folgendes bei Gleichungen mit Formvariablen/Parametern gelten:

Bei jeder Gleichung mit zwei und mehr Variablen muss genau definiert sein, was die Lösungsvariable ist und was die Formvariable(n)/Parameter. Nur dann kann man bei der Gleichung auch die Lösungsmenge bestimmen.

Um die Lösungsvariable zu ermitteln, ist es notwendig die Gleichung so umzuformen, dass auf der einen Seite der Gleichung die Lösungsvariable isoliert steht und auf der anderen Seite der Rest der Gleichung. Das ist identisch mit dem Auflösen einer Gleichung nach einer Variablen hin.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter dem Reiter Gleichungen 3. Äquivalenzumformungen bei Gleichungen an.

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchgleichungen, Teil 4

Stop! Hier ist etwas falsch! © Wortinspektor.com PIXELIO www.pixelio.de

Stop! Hier ist etwas falsch! © Wortinspektor.com PIXELIO www.pixelio.de

Bei Bruchgleichungen kann man sich leicht verrechnen, wenn man nicht ganz konzentriert ist und/oder die Rechenregeln nicht besonders gut kann. Dadurch entsteht dann im Nu eine Bruchgleichungen-Mutation – und ein Bruchgleichungen-Monster. Das ist kein Scherz! Die Gleichung kann sich nämlich bereits bei einem kleinen Fehlerchen entschieden verkomplizieren. Und vor einem steht plötzlich ein Bruchgleichungen-Monster! Hier bekommt man als Schülerin oder Schüler bereits einen „Vorgeschmack“ auf mögliche Algebra-Ungetüme in der Oberstufe. Terme, die hier bereits aufgrund einer mangelhaften Rechenkompetenz fies „mutieren“ können, können später zu einem Mutations-Godzilla werden. Daher sollte man rechtzeitig die richtigen Schlüsse ziehen, wenn es bereits bei Bruchgleichungen bei einem entschieden hakt. Eine temporäre/kurzfristige Nachhilfe kann hier beispielsweise sehr hilfreich sein – und jegliche Mutationsmonster im Nu wieder verjagen! Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Stoffgebiet Term, Teil 12

Gleichungen mit Termen © M. Großmann © Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Gleichungen mit Termen © M. Großmann © Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Der kleinste Grundbaustein einer Gleichung und einer Funktion ist ein Term. Gleichungen und Funktionen bestehen daher immer aus Termen bzw. aus Einzeltermen. Hierbei weist ein Term normalerweise immer eine Variable auf. Aber das ist nicht ein absolutes Muss. Ein Term kann auch keine Variable vorweisen, sprich eine „nackte“ Zahl sein. Bei einer Gleichung oder einer Funktion sind die Einzelterme stets mittels sinnvollen Rechenzeichen miteinander verbunden. Terme innerhalb einer Gleichung oder einer Funktion können daher mit einem „+“ mit einem „–“ oder mit einem „·oder auch mit einem „:“ (üblicherweise steht in Mathe statt einem „:“ eher ein Bruch) miteinander verbunden sein. Aber auch andere Mathematik-Symbole wie ein „²“ oder einer „\sqrt{}“ oder einem „Ι4Ι“ (und noch jede Menge andere) können hier auftreten – solange die Verknüpfung aus der Logik der Mathematik sinnvoll ist! Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Gleichungen, Teil 4

Das Wort Test © derateru PIXELIO www.pixelio.de

Das Wort Test © derateru PIXELIO www.pixelio.de

Bei linearen Gleichungen gibt es in Mathe natürlich auch zu lösende Textaufgaben/Sachaufgaben. Das stellt naturgemäß eine erhöhte Schwierigkeit dar. Textaufgaben/Sachaufgaben sind schwieriger, da man zuerst noch die Gleichung aufstellen muss. Hierbei ist es zentral, die wichtigen Wörter in die richtigen Rechenzeichen „umzuwandeln“. Addieren und subtrahieren, heißt dann korrekt „+“ und „–“, aber auch vergrößern/vermehren und verringern, heißt richtig „umgewandelt“ „+“ und „–“. Alles mit dem Wort „fach“ (wie beispielsweise das 5-Fache einer Zahl) stellt eine Multiplikation dar (das 5-Fache einer Zahl ist 5 · x). Bleibt noch das Wort „geteilt“ übrig, das schließlich ein „:“ ist. Da Begriffe aus der Mathematik nicht nur bei Textaufgaben/Sachaufgaben eine zentrale Rolle spielen, sondern allgemein für das Verständnis einer Aufgabe superwichtig sind, sollte man diese – wie Vokabeln lernen! Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen, Teil 4

Routine beim Rechnen © teles5 PIXELIO www.pixelio.de

Routine beim Rechnen © teles5 PIXELIO www.pixelio.de

Lineare Gleichungssysteme sollte man in Mathe anfangs nach dem Gleichsetzungsverfahren oder dem Einsetzungsverfahren mannigfach lösen. So bekommt man die nötige Routine für das Lösen von Gleichungssystemen an sich und auch ein Auge für das jeweils passende Lösungsverfahren, das am schnellsten zu der gewünschten Lösung führt. Das ist aber nicht das wirklich entscheidende bei diesen beiden Lösungsverfahren. Viel wichtiger ist die Routine beim Lösen. Dann ist man nämlich schließlich auch fit für das eigentlich wichtigste Lösungsverfahren für lineare Gleichungen: das Additionsverfahren (und Subtraktionsverfahren). Das Lösungsverfahren ist schließlich zum einen etwas schwieriger als die anderen beiden, dafür aber auch viel besser geeignet – für komplexere Gleichungssysteme. Bei den anderen beiden wird das dann schnell bei umfangreicheren Gleichungssystemen sehr unübersichtlich und demzufolge supernervig. Weiterlesen

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