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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Satz des Pythagoras, Teil 2

Ein Wohnraum mit rechtwinkliger Grundfläche © CarstenWeber PIXELIO www.pixelio.de

In jedem Raum in einem häuslichen Wohnfeld (es sei denn, man wohnt im Dachgeschoss) begegnet man dem Satz des Pythagoras – und das von Zimmer zu Zimmer gleich doppelt. Normalerweise besitzen ja Räume in Wohnungen eine rechteckige Grundfläche und demzufolge auch die Form eines viereckigen Quaders. Jeder viereckige Quader beziehungsweise Raum enthält nun 2-mal den Satz des Pythagoras – auf der Grundfläche in Form der Flächendiagonalen und im Zimmer selbst in Form der Raumdiagonalen. Hat man daher die Länge und die Breite des Raumes gemessen, dann kann man zunächst über den Satz des Pythagoras die Flächendiagonale des Zimmers berechnen und im Anschluss unter Einbeziehung der Raum-Höhe die Raumdiagonale. Die jeweils ermittelten Ergebnisse lassen dann vielleicht das Zimmer größer erscheinen und man bekommt dadurch eventuell ein positiveres Raumgefühl (das war natürlich eher scherzhaft gemeint 🙂 ).

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Satz des Pythagoras, Teil 1

Die berühmte Mathe-Gesetzmäßigkeit “Satz des Pythagoras“ © S. Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Eine Gesetzmäßigkeit aus dem Mathematik-Unterricht vergessen viele Menschen ihr Leben lang nicht mehr – den „Satz des Pythagoras“. Der Grund hierfür ist aber bestimmt nicht in einem „mathematischen“ Trauma zu finden, den diese Mathe-Gesetzmäßigkeit bei den einstigen Schülern hervorrief. Denn der Satz des Pythagoras stellt für einen „nicht gerade auf den Kopf gefallenen“ Schüler kein allzu schwieriges Mathe-Stoffgebiet dar. Demzufolge sind irgendwelche psychosomatischen „Folgeschäden“ aufgrund dieser mathematischen Gesetzmäßigkeit auf jeden Fall ausgeschlossen. Vielmehr liegt der Nichtvergessenkönnen-Grund nämlich gerade in der großen Einfachheit und Unkompliziertheit des Satzes begründet. Schließlich muss man sich beim Satz des Pythagoras nur eine überaus einprägsame Gleichung merken – und zwar a² + b² = c².

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Gleichungen, Teil 3

Die richtige Lösung garantiert ein Smiley © Thomas Siepmann PIXELIO www.pixelio.de

„Die Probe aufs Exempel machen“, diese Redensart/dieses Sprichwort passt auch bestens zu Gleichungen. Bei jeder Gleichung kann man nämlich mittels des über Äquivalenzumformungen ausfindig gemachten Ergebnisses überprüfen – ob dieses auch wirklich das richtige ist! Hierzu muss man nur einfach stets „die Probe aufs Exempel machen“. Aber wie geht das nun genau bei jeder einzelnen Gleichung? Ganz einfach. Indem man jede ermittelte Lösung in die Ursprungsgleichung einsetzt. Die Ursprungsgleichung ist hierbei immer die Gleichung, an der noch keine Äquivalenzumformungen vorgenommen wurden. „Für mich ist das nicht ganz logisch, da doch eine Lösung eine Lösung ist – und deshalb eigentlich nicht falsch sein kann“, könnte hier jetzt ein „mitdenkender“ Schüler entgegenhalten. Der Mathematik-Lehrer kann zwar den Einwand seines Schülers nachvollziehen, aber trotzdem nichts gegen die Mathe-Tatsache machen, dass nicht jede ermittelte Lösung einer Gleichung auch eine wirkliche Lösung einer Gleichung ist – was demzufolge ebenso der Schüler „schlucken“ muss.

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Gleichungen, Teil 2

Eine Balkenwaage als Symbol für eine Gleichung © Helmut J. Salzer PIXELIO www.pixelio.de

Im Fach Mathematik müssen zum Lösen von Gleichungen fast immer Äquivalenzumformungen angewendet werden. Das sind Umformungen, wobei sich die Lösungsmenge der Ausgangsgleichung nicht ändert. Bei allen Grundrechenarten, „+“, „–“, „·“ und „:“, ist das auf jeden Fall gegeben, wenn hierbei immer nur gleiche Variablen und „nackte“ Zahlen zusammengefasst werden oder die „nackte“ Zahl von der Variable entfernt wird.

Entscheidend bei Äquivalenzumformungen ist nun vor allem, dass jede Äquivalenzumformung einen Schritt näher zur Lösung der Gleichung führen soll. Schließlich tickt in Mathe bei jeder Klassenarbeit und später auch ganz besonders im Abitur stets die Uhr, so dass man eigentlich immer ein Zeitproblem hat, wenn man nicht schnellstmöglich zielgerichtet Aufgaben löst.

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Gleichungen, Teil 1

Schicke Schuhe © Rainer Sturm PIXELIO www.pixelio.de

In der Mathematik kann man immer ganz eindeutig sagen, ob beispielsweise zwei Zahlen, zwei Terme, zwei Funktionen oder gar zwei Gleichungen gleich sind. Ist im Fach Mathe nämlich etwas gleich einem anderen, dann ist das miteinander Verglichene immer auch identisch. In unserer alltäglichen, unmathematischen Welt sieht dies jedoch ganz anders aus – vorausgesetzt man nimmt das Wort „gleich“ wortwörtlich. Denn hier kann man oft unendliche Diskussionen entfachen, wenn ein Otto Normalverbraucher von „gleich im Sinne von identisch“ spricht und sein Gesprächspartner ein Mathematiker oder ein Philosoph ist. Ein gemeinsamer Stadt-Spaziergang kann dann auch schon mal in einer Endlosdiskussion ausarten, wenn der Otto Normalverbraucher damit anfängt, dass nach seinem Empfinden alle Menschen mehr und mehr gleich angezogen seien und gleich aussähen. Als Beispiel führt er sogleich auch zwei vor ihnen zu sehende junge Menschen an, die nach seiner Meinung nach das gleiche Outfit und die gleichen Frisuren hätten. „Früher wäre dies“, so fährt er prompt fort, „vollkommen anders gewesen, da damals nicht alle Menschen uniform ausgesehen hätten.“