Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen, Teil 4

Routine beim Rechnen © teles5 PIXELIO www.pixelio.de

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Lineare Gleichungssysteme sollte man in Mathe anfangs nach dem Gleichsetzungsverfahren oder dem Einsetzungsverfahren mannigfach lösen. So bekommt man die nötige Routine für das Lösen von Gleichungssystemen an sich und auch ein Auge für das jeweils passende Lösungsverfahren, das am schnellsten zu der gewünschten Lösung führt. Das ist aber nicht das wirklich entscheidende bei diesen beiden Lösungsverfahren. Viel wichtiger ist die Routine beim Lösen. Dann ist man nämlich schließlich auch fit für das eigentlich wichtigste Lösungsverfahren für lineare Gleichungen: das Additionsverfahren (und Subtraktionsverfahren). Das Lösungsverfahren ist schließlich zum einen etwas schwieriger als die anderen beiden, dafür aber auch viel besser geeignet – für komplexere Gleichungssysteme. Bei den anderen beiden wird das dann schnell bei umfangreicheren Gleichungssystemen sehr unübersichtlich und demzufolge supernervig. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen, Teil 3

Das Passende in das Andere einsetzen © RainerSturm PIXELIO www.pixelio.de

Neben dem Gleichsetzungsverfahren lernt man in Mathe noch ein weiteres Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme kennen: das Einsetzungsverfahren. Im Gegesatz zum Gleichsetzungsverfahren setzt man hier nicht beide Gleichungen gleich, sondern setzt eine Gleichung in die andere Gleichung ein – daher der Name Einsatzungsverfahren. Das geht natürlich nur, wenn man die einzusetzende Gleichung nach einer Variablen (x oder y) hin separiert hat. Ebenso kann man die einzusetzende Gleichung nach einem Vielfachen der Variablen (z. B. 2x, 3y usw.) hin umformen – vorausgesetzt natürlich, dass dieses Vielfache der Variable (z. B. 2x, 3y usw.) auch bei der Gleichung, in der man die dergestalt aufgelöste Gleichung einsetzt, dort auch haargenau so vorhanden ist. Den Rest kennt man dann bereits. Die daraufhin nur noch eine Variable vorweisende Gleichung löst man nach dieser Unbekannten hin auf. Das Ergebnis setzt man in eine der beiden Ursprungsgleichungen ein und ermittelt hierdurch das zweite Lösungspaar des linearen Gleichungssystems. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen, Teil 2

Das X – die am häufigsten vorkommende Variable in Mathe © schubalu PIXELIO www.pixelio.de

Ein Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme (LGS) stellt das Gleichsetzungsverfahren dar. Wie der Name es schon vermuten lässt, werden hier die beiden Gleichungen miteinander gleichgesetzt. Damit man dies in Mathe bei zwei Gleichungen durchführen kann, müssen vorher die beiden Gleichungen jeweils nach der GLEICHEN Variablen hin aufgelöst werden. Entweder nach x, nach y oder einem gleichen Faktor von x oder y. Darauf löst man diese Gleichung, wie man das bereits gelernt hat, nach der Variablen hin auf. Das Ergebnis ist eine Lösungskoordinate des LGS. Die zweite Lösungskoordinate des linearen Gleichungssystems ermittelt man, indem man die erste Lösungskoordinate in eine der beiden Ursprungsgleichungen einsetzt und diese Gleichung wiederum nach der Variablen hin auflöst. Beide Lösungskoordinaten bilden schließlich die Lösungsmenge des LGS. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen, Teil 1

Gleiches fortlaufendes Muster © Rainer Sturm PIXELIO www.pixelio.de

In Mathematik kann eine Gleichung nicht nur für sich alleine betrachtet werden. Zwei lineare Gleichungen können beispielsweise als eine Einheit angesehen werden – und mittels eines rechnerischen Lösungsverfahren wie das Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren oder Additionsverfahren gelöst werden. Was für einen Mehrwert hat das aber bzw. was soll das? Die Sinnfrage ist ja gerade in Mathe bei Schülerinnen und Schülern stets gegenwärtig. Jedes Mathematik-Stoffgebiet hat seinen Sinn – das ist das eine! Schließlich wird hierdurch etwas gelernt, was förderlich für die Hirnleistung ist! Das andere ist: Betrachtet man zwei lineare Gleichungen als eine Einheit, so kann man die jeweilige Beziehung der Gleichungen bzw. der linearen Funktionen zueinander bestimmen. Beziehung heißt hier: Schneiden sich die linearen Funktion, verlaufen sie parallel oder sind sie gar identisch. Weiterlesen

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Lineare Gleichungssysteme

1. Allgemeines zu linearen Gleichungssystemen

Ein lineares Gleichungssystem (kurz: LGS) besteht jeweils aus zwei linearen Gleichungen, die jeweils zwei Variablen vorweisen. Diese beiden Gleichungen sind gewissermaßen mit einem „und“ miteinander verbunden (in der Sprache der Mathematik gesprochen: 1. Gleichung und 2. Gleichung sind miteinander verbunden = Lineares Gleichungssystem) .

Auf zweierlei Weise wird diese Und-Verknüpfung zweier linearer Gleichungen in Mathe optisch veranschaulicht. Die gängigere Art ist hierbei die Gleichungssysteme mit römischen Ziffern zu unterteilen. Eine weitere Möglichkeit ist rechts und links der Gleichungen einen senkrechten Strich zu machen. Das signalisiert deren Zusammengehörigkeit.

Mittels drei rechnerischer oder eines grafischen (zeichnerischen) Lösungsverfahren kann bei diesen beiden linearen Gleichungen jeweils eine eindeutige Lösung ermittelt werden.

 

Hierbei treten drei mögliche Lösungen auf:

1. Die beiden linearen Gleichungen haben eine gemeinsame Lösung (als Funktionen dargestellt einen gemeinsamen Schnittpunkt S(x/y)).

Ergibt ein Zahlenpaar (x/y) sowohl für die 1. als auch für die 2. Gleichung des Linearen Gleichungssystems eine wahre Aussage, so stellt das Zahlenpaar eine Lösung des Linearen Gleichungssystems dar.

 

Beispiele:

I.     4x + 2y = 4

II.     12x + 4y = 12

Lösung: L = {1/0}

 

Probe:

I.     4 · 1 + 2 · 0 = 4

II.     12 · 1 + 4 · 0 = 12

 

I.     4 = 4

II.     12 = 12

 

I.     3x + 2y = 0

II.      –9x + 4y = –5

Lösung: L = {{\frac{1}{3}}/–{\frac{1}{2}}}

 

Probe:

I.     3 · {\frac{1}{3}} + 2 · (–{\frac{1}{2}}) = 0

II.     –9 · {\frac{1}{3}} + 4 · (–{\frac{1}{2}}) = –5

 

I.     1 – 1 = 0

II.     –3 – 2 = –5

 

I.     0 = 0

II.     –5 = –5

 

2. Die beiden linearen Gleichungen haben keine Lösung (als Funktionen dargestellt verlaufen diese parallel).

Liefern die linearen Gleichungssysteme stets eine unwahre Aussage, so weist das lineare Gleichungssystem keine Lösung auf. Die Lösungsmenge ist dann die leere Menge.

 

Beispiele:

I.      4x + 2y = 4

II.     4x + 2y = 8

 

I.     5x + 4y = 9

II.     5x + 4y = 12

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Ein lineares Gleichungssystem liefert immer dann keine Lösung, wenn die Variablen beider Gleichungen stets den gleichen Faktor vorweisen, sich aber von der „nackten“ Zahl her unterscheiden.

 

3. Die beiden linearen Gleichungen haben unendlich viele Lösungen (als Funktionen dargestellt sind diese identisch).

Liefern die beiden linearen Gleichungssysteme bei jeder Einsetzung eine wahre Aussage, so gibt es unendlich viele Lösungen. Die Lösungsmenge ist dann die Menge aller reellen Zahlen.

 

Beispiele:

I.     4x + 2y = 4

II.     4x + 2y = 4

 

I.     12x + 3y = 5

II.     12x + 3y = 5

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Ein lineares Gleichungssystem hat immer dann unendlich viele Lösungen, wenn die Variablen beider Gleichungen stets den gleichen Faktor vorweisen und ebenfalls bei beiden Gleichungen die „nackte“ Zahl gleich ist.

 

Lineare Gleichungssysteme können mittels verschiedener Lösungsverfahren gelöst werden. Die drei rechnerischen Lösungsverfahren, mithilfe jedes lineare Gleichungssystem gelöst werden kann, heißen hierbei

  • Gleichsetzungsverfahren
  • Einsetzungsverfahren
  • Additionsverfahren

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Das wichtigste aller drei rechnerischen Lösungsverfahren ist das Additionsverfahren, da es später in der Oberstufe beim Matrizen-Rechnen wieder abgerufen werden können muss.

 

2. Das Gleichsetzungsverfahren

Gegeben sind folgende Gleichungen

I.     4x + 2y = 4

II.     12x + 4y = 12

  • Beim Gleichsetzungsverfahren müssen nun beide linearen Gleichungen zunächst nach „ y“ aufgelöst werden.

I.     4x + 2y = 4              Ι – 4x

I.     2y = 4 – 4x              Ι : 2

 

I.     y = 2 – 2x

II.      12x + 4y = 12        Ι – 12x

 

II.     4y = 12 – 12x         Ι : 4

II.      y = 3 – 3x

  • Als nächstes werden beide nach „y“ hin aufgelösten Gleichungen gleichgesetzt. Hierdurch eliminiert man die beiden „y“.

I. = II.     2 – 2x = 3 – 3x

  • Jetzt löst man die Gleichung nach „x“ hin auf.

I. = II.     2 – 2x= 3 – 3x           Ι + 3x

I. = II.     2 + x = 3                    Ι – 2

I. = II.     x = 1

  • Um „y“ zu bestimmen, muss man nun den ermittelten „x“-Wert in eine der beiden Anfangsgleichungen einsetzen.

I.     4 · (1) + 2y = 4

I.     4 + 2y = 4              Ι – 4

 

I.     2y = 0                    Ι : 2

I.     y = 0

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Auch das Einsetzen der Lösung x = 1 bei der II. linearen Gleichung des LGS hätte das gleiche Ergebnis y = 0 ergeben.

 

  • Zum Schluss muss noch die Lösungsmenge angegeben werden.

L = {1/0}

 

Vorgehensweise beim Lösen eines LGS mittels des Gleichsetzungsverfahrens

  1. Zuerst löst man beide Gleichungen zu einem gemeinsamen Term hin auf, entweder zu x oder y.
  2. Durch das Gleichsetzen beider Gleichungen, erhält man eine Gleichung, die nur noch eine Variable vorweist. Ein Ursprungsgleichung behält man normalerweise bei. Man kann diese aber auch erst am Ende, wenn man die Lösung der ersten Gleichung ermittelt hat, wieder aufgreifen, und zwar wenn man die beiden Gleichungen des LGS mit römischen Ziffern unterteilt.
  3. Die Gleichung mit einer Variablen löst man nun nach der Variablen hin auf. Diese Lösung bildet eine Koordinate des Lösungspaares.
  4. Die sich ergebende Lösung bzw. Koordinate setzt man in eine der beiden Ursprungsgleichungen des LGS ein. Indem man die Gleichung nach dem anderen Term hin auflöst, erhält man die zweite Koordinate.
  5. Eine Probe bestätigt die Lösung des LGS.
  6. Die Lösung gibt man mittels einer Lösungsmenge wieder.

Ganz große Musik in Kombination mit ganz fantastischem Nonsens = Bohemian Rhapsody von Queen meets The Muppets!!!

 

3. Das Einsetzungsverfahren

I.     4x + 2y = 4

II.     12x + 4y = 12

  • Beim Einsetzungsverfahren muss zunächst eine lineare Gleichung entweder nach „x“ oder „y“ hin aufgelöst werden.

I.     4x + 2y = 4       Ι – 4x

I.     2y = 4 – 4x       Ι : 2

I.     y = 2 – 2x

Die nach einer Variablen hin aufgelöste Gleichung wird nun in die andere Gleichung eingesetzt. Je nach aufgelöster Variable wird der gesamte Term auf der anderen Seite der Gleichung in die gleiche Variable der anderen Gleichung eingesetzt. Hierdurch eliminiert man eine Variable.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Man sollte möglichst immer die Variable einer Gleichung separieren, mit der dies am einfachsten zu realisieren ist. Dadurch entgeht man der Gefahr einer falschen Gleichungsauflösung.

 

I. in II.     12x + 4 · (2 – 2x) = 12

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Wenn der aufgelöste Term der aufgelösten Gleichung aus zwei Einzeltermen besteht, muss um diese beim Einsetzen in die Variable der zweiten Gleichung eine Klammer gesetzt werden.

 

I. in II.     12x + 8 – 8x = 12

I. in II.     4x + 8 = 12                 Ι – 8

 

I. in II.     4x = 4                         Ι : 4

I. in II.     x = 1

  • Um den „y“-Wert des linearen Gleichungssystems zu bestimmen, setzt man nun den ermittelnden „x“-Wert in eine der beiden Anfangsgleichungen des LGS.

II.     12 · (1) + 4y = 12

II.     12 + 4y = 12                      Ι – 12

 

II.     4y = 0                                Ι : 4

II.     y = 0

  • Zum Schluss muss noch die Lösungsmenge des LGS angegeben werden.

L = {1/0}

 

Vorgehensweise beim Lösen eins LGS mittels des Einsetzungsverfahrens

  1. Zuerst muss man den Term einer Gleichung nach einer Variablen hin separieren, z. B. nach x, y. Hierbei ist es wichtig, dass man eine Variable nimmt, die sich möglichst leicht separieren lässt.
  2. Darauf wird die aufgelöste Gleichung in die andere Gleichung eingesetzt, genau dort, wo genau die Variable auftritt, die man vorher separiert hat. Darauf löst man diese Gleichung nach der noch vorhandenen Variablen hin auf. Die andere Gleichung behält man normalerweise bei. Es ist aber genauso gängig, einfach beide Gleichungen mit einer römischen Ziffer zu versehen.
  3. Das Ergebnis stellt eine Lösungskoordinate dar. Eine Gleichung mit zwei Variablen bleibt unverändert beim LGS mit dabei. Man kann diese aber auch stets erst am Schluss, wenn man die erste Lösungskoordinadete in die andere Ursprungsgleichung einsetzt, heranziehen.
  4. Die Lösung der einen Gleichung wird in die Variable der anderen Ursprungsgleichung des LGS eingesetzt. Diese löst man nun nach der noch vorhandenen Variablen auf. Das Ergebnis ist die zweite Lösungskoordinate.
  5. Die Probe bestätigt die Richtigkeit beider Lösungskoordinaten. Anschließend gibt man die Lösungsmenge des LGS an.

 

4. Das Additionsverfahren

  • Beim Additionsverfahren erfolgt eine Addition zwischen den beiden Gleichungen des LGS. Hierfür ist es in der Regel notwendig, eine Gleichung oder beide Gleichungen mit einer Zahl, die ungleich null ist, malzunehmen. Es muss hierbei immer die gleiche Zahl erzeugt werden, aber jeweils mit umgekehrten Vorzeichen, die vor der eliminieren wollenden Variablen steht. Dies ist gewährleistet, wenn man einen (positiven oder negativen) Faktor findet, der die zu eliminierende Zahl ergibt.

I.     4x + 2y = 4

II.     12x + 4y = 12

  • Will man nun bei der 2. Gleichung des LGS das „12x“ eliminieren, so muss man die 1. Gleichung mit „ –3“ malnehmen. Jeder Einzelterm muss hierbei mit dem Faktor malgenommen werden!

I.     4x + 2y = 4                                    Ι · (–3)

I.     4x · (–3) + 2y · (–3) = 4 · (–3)       Ι · (–3)

I.     –12x – 6y = –12

  • Durch das Malnehmen der 1. Gleichung mit „–3“ erhält man „–12x“, also die vom Vorzeichen umgekehrte Zahl der eliminieren wollenden Variablen „12x“ der 2. Gleichung. Jetzt kann eine Addition der 1. Gleichung mit der 2. Gleichung erfolgen. Hierzu muss jeder gleiche Einzelterm der 1. Gleichung mit jedem gleichen Einzelterm der 2. Gleichung addiert werden.

Hierbei ergeben sich folgende Additionen „–12x“ + „12x“ = 0. „–6y“ + „4y“ = „–2y“ und „–12“ + „12“ =0

I.     –12x – 6y = –12

I. + II.     –2y = 0

  • Dadurch, dass sich durch die Addition der 1. Gleichung mit der 2. Gleichung die Variable „12x“ der 2. Gleichung eliminieren hat lassen, ergibt sich nun eine Gleichung mit der einen Variablen „y“. Bei dieser Gleichung kann man nun durch eine einfache Äquivalenzumformung das „y“ bestimmen.

I.     –12x – 6y = –12

I. + II.     –2y = 0              Ι : (–2)

I. + II.     y = 0

  • Um den „x“-Wert des LGS zu bestimmen, setzt man den ermittelnden „y“-Wert in eine der beiden Ursprungsgleichungen des LGS ein.

II.    12x + 4 · (0) = 12

II.     12x = 12                  Ι : (12)

II.     x = 1

  • Als letztes muss man noch die Lösungsmenge des LGS angeben. L = (1/0)

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Wie man sieht, kommt bei jedem Lösungsverfahren die gleiche Lösungsmenge heraus. Das muss auch so sein, da das LGS bei allen drei Lösungsverfahren jeweils das Gleiche war.

 

5. Das grafische Lösungsverfahren eins linearen Gleichungssystems

Zum grafischen Lösen eines Linearen Gleichungssystems geht man folgendermaßen vor:

1. Zuerst formt man beide Gleichung so um, dass man sie ganz einfach in ein Koordinatensystem einzeichnen kann (bei der Umformung und dem Einzeichnen orientiert man sich an der nach y aufgelösten Form einer linearen Gleichung). Jeder Graph besteht immer aus einer Geraden.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zum Einzeichnen einer linearen Gleichung in ein Koordinatensystem siehe auch: Funktionen/Lineare Funktionen 5. Das Zeichnen von linearen Funktionen an.

 

2. Normalerweise ergibt sich ein Schnittpunkt zweier Geraden als Lösung des Linearen Gleichungssytems. Der Schnittpunkt ist immer eine Zahlenpaar (x/y) und gleichzeitig die Lösung beider Gleichungen des Linearen Gleichungssystems.

3. Als Lösungen kann es aber auch keine Lösung geben sowie unendlich viele Lösungen. Bei keiner Lösung verlaufen die beiden Geraden im Koordinatensystem immer parallel. Bei unendlich vielen Lösungen liegen die beiden Geraden aufeinander bzw. sind identisch.

4. Anschließend sollte immer zur Bestätigung der grafischen Lösung eine Probe durchgeführt werden. Hierfür setzt man die Lösung in beider Gleichungen des Linearen Gleichungssystems ein.

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Beim Ablesen des Schnittpunktes/des Zahlenpaares aus dem Koordinatensystem können immer Ungenauigkeiten auftreten. Das kann an einem etwas ungenauem Zeichnen liegen oder an einem Schnittpunkt, der nicht ganzzahlige Werte vorweist. Die Probe zeigt schließlich eindeutig auf, ob die Lösung stimmt oder nur eine Näherungslösung vorliegt. Liegt eine Näherungslösung vor, so gibt man diese folgendermaßen wieder: x ≈ … und y ≈

 

5.1 Grafische Lösung eines linearen Gleichungssystems mit einer Lösung

Es ist folgendes lineare Gleichungssystem gegeben:

I.    x + y = 1

II.    2x – y = 8

Als Erstes löst man beide Gleichungen des linearen Gleichungssystems nach y hin auf.

I.     x + y = 1

II.     2x – y = 8

 

I.     x + y = 1                | – x

I.     y = –x + 1

 

II.     2x – y = 8 | – x      | – 2x

II.     –y = –2x + 8          | · (–1)

II.     y = 2x – 8

Jetzt zeichnet man beide Gleichungen jeweils als Funktion in ein Koordinatensystem ein.

Graphische Darstellung eines linearen Gleichungssystems mit einer Lösung

Da beide Geraden eine unterschiedliche Steigung vorweisen, schneiden diese sich in einem Punkt. Der Schnittpunkt stellt die Lösung des linearen Gleichungssystems dar. Dieser ist hier: S (3/–2). Daher ist hier die Lösung des linearen Gleichungssystems: L = {(3/–2)}.

Die Probe bestätigt die Richtigkeit der graphischen Lösung:

I.     3 + (–2) = 1

II.     2 · (3) – (–2) = 8

 

I.     3 – 2 = 1

II.     6 + 2 = 8

 

I.     1 = 1

II.     8 = 8

 

5.2 Grafische Lösung eines linearen Gleichungssystems mit keiner Lösung

Folgendes lineares Gleichungssystem ist gegeben:

I.     2x + 2y = 4

II.     4x + 4y = 16

Als Erstes löst man das LGS nach der Variablen y hin auf.

I.     2x + 2y = 4                  | – 2x

II.     4x + 4y = 16               | – 4x

 

I.     2y = –2x + 4               | : 2

II.     4y = –4x + 16             | : 4

 

I.     y = –x + 2

II.     y = –x + 4

Diese beiden Gleichungen zeichnet man jetzt jeweils als Funktion in ein Koordinatenystem ein.

Grafische Darstellung eines linearen Gleichungssystems mit keiner Lösung

Die Gerade haben zwar die gleiche Steigung, aber ihre Ordinatenabschnitte sind verschieden. Die beiden Geraden verlaufen deshalb parallel zueinander und sie haben keinen Schnittpunkt. Aus diesem Grund hat das lineare Gleichungssystem auch keine Lösung. Die Lösungsmenge des LGS ist daher: L = { } bzw. L = {\varnothing}.

 

5.3 Grafisches Lösung eines linearen Gleichungssystems mit unendlich vielen Lösungen

Es ist folgendes lineares Gleichungssystem gegeben:

I.     –x + 2y = –4

II:     –2x + 4y = –8

Zuerst löst man das lineare Gleichungssystem nach y hin auf.

 

I.     –x + 2y = –4               | + x

II:     –2x + 4y = –8            | + 2x

 

I:     2y = x – 4                    | : 2

II.     4y = 2x – 8                 |  : 4

 

I.     y = {\frac{1}{2}x – 2

II.     y = {\frac{1}{2}x – 2

Wie man sieht, erhält man nach dem Separieren von y zwei identische Gleichungen. Diese beiden Gleichungen zeichnet man nun als Funktion in eine Koordinatensystem ein.

Grafische Darstellung eines linearen Gleichungssystems mit unendlich vielen Lösungen

Die beiden Geraden haben jeweils die gleiche Steigung und den gleichen Ordinatenabschnitt. Die beiden Gerden verlaufen daher identisch. Deshalb gibt es auch als Lösungsmenge unendlich viele Zahlenpaare, die bei diesem LGS die Lösung ergeben. Die Lösungsmenge des LGS ist daher:  L  = {x | y}  | y = {\frac{1}{2}x – 2}.

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: In der Sprache der Mathematik heißt das „L  = {x | y}  | y = {\frac{1}{2}x – 2}“: Die Lösungsmenge ist die Menge aller Paare {x | y}, für die gilt : y = {\frac{1}{2}x – 2.

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