Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Gleichungen, Teil 2

Eine “zuckersüße“ Gleichung © S. Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Es gibt in Mathe eine Unzahl verschiedener Arten von Gleichungen. Das liegt an den großen Variationsmöglichkeiten von Termen. Eine Gleichung besteht ja aus Termen. Da ein einziger Term selbst wiederum sehr unterschiedliche Mathematik-Zeichen vorweisen kann, entstehen hierdurch jede Menge verschiedenartiger Gleichungen. Neben den Grundrechenarten, der Addition, der Subtraktion, der Multiplikation und der Division, kann ein Term auch Potenzen und Wurzeln vorweisen – und noch einiges mehr an Mathe-Verknüpfungen. Verschiedenartige Gleichungen kann man aber auch sehr gut veranschaulichen, wenn man eine Gleichung zur Funktion macht und sich den Graphen der Funktion anschaut. Dann sieht man nämlich große Unterschiede in dem Verlauf einer Funktion. Eine lineare Funktion, die auf einer linearen Gleichung basiert, ist z. B. eine Gerade, eine quadratische Funktion, die auf einer quadratischen Funktion basiert, ist hingegen eine Parabel. Weiterlesen

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Rechenoperationen

Die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division

1. Rechenoperationen und Rechenfähigkeiten

In Mathematik muss man bekanntlich rechnen, rechnen und nochmals rechnen. Je besser man demzufolge rechnen kann, desto weniger Fehler passieren einem beim rechnerischen Lösen von Aufgaben. Die rechnerischen Fähigkeiten eines jeden Schülers hängen hierbei maßgeblich davon ab, wie gut man das elementare Mathe-„Handwerkszeug“ beherrscht – die Rechenoperationen.

Unter Rechenoperationen zählt man bei den Grundrechenarten das Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und das Dividieren und alle darauf basierenden Rechenoperationen wie das Potenzieren, das Wurzelziehen sowie das Logarithmieren. Hierbei lernt man die Rechenoperationen zunächst einzeln, später treten die gelernten Rechenoperationen jeweils beispielsweise bei dem Bruch-, Dezimal- und Prozentrechnen in Kombination wieder auf und anderen komplizierteren zu tätigenden Rechnungen.

Jede dieser Rechenoperationen unterliegt nun bestimmten Rechengesetzen/Rechenregeln. Da die „höheren“ Rechenoperationen wie das Potenzieren, das Wurzelziehen und das Logarithmieren auf den Grundrechenarten aufbauen, kann man tendenziell besser, schneller und vor allem fehlerfreier rechnen, wenn man die Grundrechenarten so gut wie möglich kann. Aufgrund der Tatsache, dass man spätestens ab der 8. Klasse einen Taschenrechner benutzen darf, kann man jedoch bei einem gekonnten Umgang mit dem Taschenrechner wiederum vorher vorhandene und auch spätere Rechenschwächen „umschiffen“ beziehungsweise kaschieren. Das geht aber nur, solange bloß „nackte“ Zahlen vorkommen. Spätestens aber, wenn Terme mit Variablen auftreten, „flackert“ die alte Rechenschwäche aufs Neue auf. Denn auch „höhere“ Rechenoperationen wie das Wurzelziehen und das Logarithmieren kommen in Mathematik bei Termen, Gleichungen und Funktionen vor – und müssen dort vielfach korrekt angewandt werden. Zwar gibt es inzwischen auch Taschenrechner, die beliebig programmierbar sind und auch schwierigere Mathe-Ausdrücke wie Terme, Gleichungen und Funktionen mit unterschiedlichen Variablen und „höheren“ Rechenoperationen wie das Wurzelziehen und Logarithmieren berechnen können, jedoch im Mathe-Abitur sind diese nicht zugelassen. Daher geht kein Weg daran vorbei, im Fach Mathe sich alle Rechenoperationen so gut wie möglich anzueignen – ansonsten verliert man unter Garantie immer schon Punkte aufgrund eines fehlerhaften Rechenweges. Auch besteht die nicht zu unterschätzende Gefahr, dass man durch Rechenfehler den Lösungsweg verkompliziert.

Ebenso sollte man sich im Klaren sein: Je höher die Klassenstufe ist, desto häufiger wird im Fach Mathematik während der Klassenarbeiten die Uhr ticken. Umso mehr gilt das noch für das schriftliche Mathe-Abitur. Hat man daher gerade in der Oberstufe noch irgendwelche Rechenprobleme bei bestimmten Rechenoperationen, dann werden nicht nur die Klassenarbeiten in Mathematik von der Note her mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit alles andere als gut ausfallen – sondern auch das zu absolvierende schriftliche Mathe-Abitur.

 

2. Die Rechenoperationen bei den Grundrechenarten

Die elementarsten Rechenoperationen treten bei den Grundrechenarten, der Addition, Subtraktion, Multiplikation und der Division, auf. Hierbei bezeichnet man die Rechenoperation bei der Addition als ein Addieren, bei der Subtraktion als ein Subtrahieren, bei der Multiplikation als ein Multiplizieren und die Rechenoperation bei der Division als ein Dividieren.

 

Das Addieren: Beim Addieren/einem Zusammenzählen werden mindestens zwei Zahlen zusammengezählt/addiert. Das hierbei verwendete Rechenzeichen/Operarator(zeichen) ist das Pluszeichen/„+“. Die einzelnen mathematischen Zahlen/Operanden werden beim Addieren jeweils als Summanden bezeichnet und das Ergebnis als Summe. Es gilt daher beim Addieren folgende allgemeine Mathematik-Rechenoperation.

Summand + Summand = Summe

Beispiele:

1. 3 + 7 = 10

2. 12 + 34 = 46

3. 400 + 2 = 402

4. 7040051 + 778 = 7040829

Um das Addieren als Rechenoperation bei der Addition korrekt rechnerisch durchzuführen, muss man natürlich noch die hierbei auftretenden Rechengesetze/Rechenregeln beherrschen.

 

Das Subtrahieren: Beim Subtrahieren/einem Abziehen wird mindestens eine Zahl von einer anderen abgezogen/subtrahiert. Das hierbei verwendete Rechenzeichen/Operator(zeichen) ist das Minuszeichen/„„. Die mathematischen Zahlen/Operanden werden bei beim Subtrahieren unterschieden, und zwar in Minuend und Subtrahend (der Minuend steht hierbei immer vor dem Subtahend), und das Ergebnis wird als Differenz bezeichnet. Es gilt daher beim Subtrahieren diese allgemeine Mathematik-Rechenoperation.

Minuend Subtrahend = Differenz

Beispiele:

1. 8 – 5 = 3

2. 25 – 14 = 11

3. 2025 – 493 = 1532

4. 5030678 – 9856 = 5020822

Damit man das Subtrahieren als Rechenoperation bei der Subtraktion auch korrekt rechnerisch umsetzten kann, muss man natürlich ebenso die hier geltenden Rechengesetze/Rechenregeln können.

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Die umgekehrte Rechenoperation zum Addieren/zum Zusammenzählen stellt das Subtrahieren/das Abziehen dar.

 

Das Multiplizieren: Beim Multiplizieren/einem Malnehmen werden mindestens zwei Zahlen miteinander malgenommen/multipliziert. Das hierbei verwendete Rechenzeichen/Operator(zeichen) ist das Multiplikationszeichen/·„. Die mathematischen Zahlen/Operanden werden beim Multiplizieren jeweils als Faktor und das Ergebnis als Produkt bezeichnet. Es gilt daher beim Multiplizieren folgende allgemeine Rechenoperation.

Faktor · Faktor = Produkt

Beispiele:

1. 3 · 4 = 12

2. 18 · 12 = 216

3. 3511 · 432 = 1516752

4. 6693467 · 3406 = 22797948602

Zum korrekten rechnerischen Umsetzen des Multiplizierens als Rechenoperation bei der Multiplikation ist natürlich ebenfalls ein Beherrschen der Rechengesetze/Rechenregeln dieser Grundrechenart vonnöten.

 

Das Dividieren: Beim Dividieren/einem Teilen wird mindestens eine Zahl durch eine andere geteilt/dividiert. Das hierbei verwendete Rechenzeichen/Operator(zeichen) ist das Divisionszeichen/:„. Die mathematischen Zahlen/Operanden werden beim Dividieren unterschieden, und zwar in Dividend und Divisor (der Dividend steht hierbei immer vor dem Divisor) , und das Ergebnis wird als Quotient bezeichnet. Es gilt daher beim Dividieren diese allgemeine Rechenoperation.

Dividend : Divisor = Quotient

Beispiele:

1. 9 : 3 = 3

2. 75 : 15 = 5

3. 978 : 2 = 489

4. 5978808 : 36 = 166078

Damit das Dividieren als Rechenoperation bei der Division fehlerfrei angewandt werden kann, muss man hier ebenfalls natürlich die Rechengesetze/Rechenregeln dieser Grundrechenart können.

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Die umgekehrte Rechenoperation zum Multiplizieren/zum Malnehmen ist das Dividieren/das Teilen

 

2.1 Die Rechenoperationen beim Bruchrechnen

Jeder Bruch kann auf eine Division zurückgeführt werden, da jeder Bruch nichts anderes als eine Division darstellt.

Beispiele Zurückführen von Brüchen auf die Division:

1. {\frac{1}{4} = 1 : 4

2. {\frac{9}{13} = 9 : 13

3. {\frac{5}{907} = 5 : 907

4. {\frac{30010}{667859} = 30010 : 667859

Das Bruchrechnen basiert auf den Grundrechenarten. Daher treten die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division bei Brüchen wieder auf und deren Rechenoperationen. Demzufolge gibt es Brüche, deren Summe man berechnen muss, deren Differenz, deren Produkt und deren Quotient. Deshalb gilt für das Bruchrechnen, dass die Rechengesetze/Rechenregeln der Grundrechenarten beherrscht werden müssen und zudem, dass natürlich die dieser Rechenart zugrunde liegenden Rechengesetze/Rechenregeln korrekt angewandt werden müssen.

Beispiele Addieren bei Brüchen:

1. {\frac{1}{5} + {\frac{2}{5} = {\frac{3}{5}

2. {\frac{5}{12} + {\frac{3}{7} = {\frac{71}{84}

3. {\frac{3}{205} + {\frac{12}{19} = {\frac{2517}{3895}

4. {\frac{141}{5075} + {\frac{507}{4960} = {\frac{654477}{5034400}

 

Beispiele Subtrahieren bei Brüchen:

1. {\frac{3}{7} {\frac{2}{7} = {\frac{1}{7}

2. {\frac{22}{23} {\frac{8}{9} = {\frac{14}{207}

3. {\frac{7}{402} {\frac{3}{1115} = {\frac{6599}{448230}

4. {\frac{151}{4738} {\frac{121}{68905} = {\frac{9831357}{326471890}

 

Beispiele Multiplizieren von Brüchen:

1. {\frac{2}{5} · {\frac{3}{7} = {\frac{6}{35}

2. {\frac{7}{12} · {\frac{19}{25} = {\frac{133}{300}

3. {\frac{305}{2007} · {\frac{33}{35} = {\frac{671}{4683}

4. {\frac{907}{3008} · {\frac{5534}{12877} = {\frac{2509669}{19367008}

 

Beispiele Dividieren von Brüchen:

1. {\frac{3}{7} : {\frac{3}{5} = {\frac{5}{7}

2. {\frac{11}{29} : {\frac{5}{12} = {\frac{132}{145}

3. {\frac{10}{411} : {\frac{554}{679} = {\frac{3395}{113847}

4. {\frac{123}{3217} : {\frac{7004}{9001} = {\frac{1107123}{22531868}

 

2.2 Die Rechenoperationen beim Dezimalrechnen

Nahezu jede Dezimalzahl (bis auf nicht-abbrechende Dezimalzahlen, die nicht periodisch sind). können ohne Weiteres als Bruch dargestellt werden und somit wieder auf die Division zurückgeführt werden.

 

Beispiele Zurückführen von Dezimalzahlen auf Brüche und die Division:

1. 0,2 = {\frac{2}{10} = 2 : 10

2. 0,347 = {\frac{347}{1000} = 347 : 1000

3. 45,87539 = {\frac{4587539}{100000} = 458753 : 100000

4. 876,9659007 = {\frac{8769659007}{10000000} = 8769659007 : 10000000

Das Gleiche, was für das Bruchrechnen gilt, gilt ebenso für das Dezimalrechnen. Auch das Dezimalrechnen basiert auf den Grundrechenarten. Daher kommen auch hier die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division wieder vor sowie deren Rechenoperationen. Folglich treten Dezimalzahlen auf, deren Summe man bilden muss, deren Differenz, deren Produkt und deren Quotient. Deshalb gilt auch beim Dezimalrechnen, dass wiederum die Rechengesetze/Rechenregeln der Grundrechenarten abgerufen werden können müssen und natürlich außerdem die dieser Rechenart zugrunde liegenden Rechenregeln beachtet werden müssen.

 

Beispiele Addieren bei Dezimalzahlen:

1. 3,4 + 5,3 = 8,7

2. 12,9 + 53,8 = 66,7

3. 443,72 + 867,88 = 1311,6

4. 956,75 + 84555,845 = 85512,595

 

Beispiele Subtrahieren bei Dezimalzahlen:

1. 7,9 – 4,5 = 3,4

2. 15,81 – 2,2 = 13,61

3. 4078,74 – 975,65 = 3103,09

4. 685942,5 – 65,5647 = 685876,9353

 

Beispiele Multiplizieren bei Dezimalzahlen:

1. 8,5 · 7,3 = 62,05

2. 12,61 · 4,1 = 51,701

3. 657,43 · 73,82 = 48531,4826

4. 17945,21 · 74562,645 = 1338042322,68045


Beispiele Dividieren bei Dezimalzahlen:

1. 4,6 : 2,5 = 1,84

2. 78,65 : 1,25 = 62,92

3. 876,06 : 12,5 = 70,0848

4. 1456,44 : 10,6 = 137,4

 

2.3 Die Rechenoperationen beim Prozentrechnen

Jede Prozentangabe lässt sich als Bruch darstellen und kann somit auf die Division zurückgeführt werden.

 

Beispiele Zurückführen von Prozentangaben auf Brüche und die Division

1. 5 % = {\frac{5}{100} = 5 : 100

2. 12,76 % = {\frac{1276}{10000} = 1276 : 10000

3. 67,987 % = {\frac{67987}{100000} = 67987 : 100000

4. 8765,87 % = {\frac{876587}{10000} = 876587 : 10000

Da bei der Prozentrechnung immer Proportionalitätsverhältnisse vorliegen, bei der der gesuchte Wert jeweils mittels eines Dreisatzes bestimmt werden kann, lässt sich die Prozentrechnung auf die Multiplikation und Division zurückführen. Denn diese beiden Grundrechenarten müssen beim Dreisatz stets angewandt werden. Daher treten hier als Rechenoperationen das Multiplizieren und das Dividieren auf.

 

2.4 Die Rechenoperationen beim Zinsrechnen

Die Zinsrechnung ist ein Teilgebiet der Prozentrechnung. Daher kommen auch hier stets Proportionalitätsverhältnisse vor, bei denen jeweils der gesuchte Wert mit dem Dreisatz bestimmt werden kann. Da der Dreisatz auf die Multiplikation und die Division zurückgeführt werden kann, basiert die Zinsrechnung ebenso auf diesen beiden Grundrechenarten. Deshalb treten auch hier wiederum als Rechenoperationen das Multiplizieren und das Dividieren auf.

 

3. Die Rechenoperationen beim Potenzieren

Die nächst höhere Rechenoperation, die nach den Grundrechenarten folgt, ist das Potenzieren. Eine Potenz kann hierbei auf eine spezielle Multiplikation zurückgeführt werden, und zwar auf diejenige, bei der die Faktoren jeweils gleich sind. Daher stellt eine Potenz nur eine verkürzte Schreibweise/Darstellung dieser besonderen Multiplikation dar. Eine Potenz selbst besteht hierbei aus einer Basis/„a“und einem Exponenten/„n„. Folgende allgemeine Mathematik-Rechenoperation liegt deshalb dem Potenzieren zugrunde.

a · a · a · a · a · a · ……… · a = an

n-Faktoren von a ergeben an

 

Beispiele:

1. 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 5{^{9}}

2. 27 · 27 · 27 · 27 · 27 · 27 · 27 = 27{^{7}}

3. 8003 · 8003 · 8003 · 8003 · 8003 = 8003{^{5}}

4 {\frac{3}{7} · {\frac{3}{7} · {\frac{3}{7} · {\frac{3}{7} = ({\frac{3}{7}){^{4}}

5 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 = 7,32{^{8}}

Liegt eine Potenz vor, so gibt man in der Sprache der Mathematik die Potenz mit „a“ hoch „n“ wieder.

Das Hohelied auf das zweithöchste Gut des Menschen: der Freiheit! Einfach nur wunderschön!!!

 

Beispiele:

1. 34 heißt in Mathe richtig wiedergegeben 3 hoch 4.

2. 125 heißt in der Mathematik korrekt 12 hoch 5.

 

4. Die Rechenoperationen beim Wurzelziehen/Radizieren

Auf gleicher Ebene zum Potenzieren steht das Wurzelziehen/Radizieren. Denn eine Wurzel kann nahezu immer auf eine Potenz zurückgeführt werden, da das Wurzelziehen/Radizieren die umgekehrte Rechenoperation zum Potenzieren ist. Die Wurzel selbst wird mit folgendem Rechenzeichen/Operatorzeichen wiedergegeben: \sqrt. Eine Wurzel besteht hierbei jeweils aus einem Radikanden/„a“und einem Wurzeleponenten/ „n„. Das Zurückführen einer Wurzel auf eine Potenz zeigt sich in deren Beziehungsverhältnis.

\sqrt[n]{a} = x denn: xn = a

die n-te-Wurzel aus a = x denn: x hoch n = a

 

Beispiele:

1. \sqrt{25} = 5 denn: 52 = 2

2. \sqrt[4]{4096} = 8 denn: 84 = 4096

3. \sqrt[15]{32768} = 2 denn: 215 = 32768

4. {\sqrt{\frac{49}{100} = {\frac{7}{10} denn: ({\frac{7}{10})2 = {\frac{49}{100}

5. \sqrt{6,25} = 2,5 denn: 2,52 = 6,25

 

5. Die Rechenoperationen beim Logarithmieren

Eine weitere in Mathe zu lernende Rechenoperation stellt das Logarithmieren dar. Hierbei wird das Logarithmieren immer angewandt, wenn bei einer Potenz die Variable im Exponenten ermittelt werden soll. Der Logarithmus selbst wird mit folgendem Rechenzeichen/Operatorzeichen wiedergegeben: log. Ein Logarithmus besteht hierbei aus einer Basis/„b“ und einem Numerus/„y“. Zwischen einem Logarithmus und einer Potenz besteht nun folgendes Beziehungsverhältnis:

logby = x denn: bx = y

 

Beispiele:

log3 81 = 4 denn 34 = 81

log8 64 = 2 denn 82 = 64

log3 2187 = 7 denn 37= 2187

log_{\frac{1}{4} 2 = –{\frac{1}{2} denn ({\frac{1}{4})^-^{\frac{1}{2}} = 2

log_0_,_4 2,5 = –1 denn 0,4^-^1 = 2,5

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Terme

Unbekannte Anzahl an Gummibärchen © günther gumhold PIXELIO www.pixelio.de

1. Funktion und Form eines Terms

Um alltägliche Phänomene oder etwas kompliziertere Gegebenheiten in der Sprache der Mathematik wiederzugeben, reichen hierfür oftmals die normalen Grundrechenarten inklusive Dezimal- und Bruchrechnen alleine nicht mehr aus. Ist nämlich bei einem alltäglichen Phänomen oder einer etwas schwierigeren Gegebenheit ein bestimmter Aspekt nicht zahlenmäßig genau erfassbar, dann ist dieser logischerweise unbekannt beziehungsweise – in der Sprache der Mathematik gesprochen – variabel. Da nun hier die bekannten einfachen Rechenoperationen an ihre Grenzen stoßen, müssen diese „phänomenbezogen“ oder „gegebenheitsbezogen“ sinnvoll erweitert werden. Dies macht man in Mathe durch einen sogenannten Term. Denn ein Term ist in der Regel nichts anderes als ein komplexeres Mathematik-Gebilde, das auf den Grundrechenarten inklusive Dezimal- und Bruchrechnen „fußt“. Deshalb kommen auch alle Grundrechenarten („+“, „–“, „·“ und „:“) sowie Dezimal- und Bruchrechnungen bei einem Term weiter vor – aber normalerweise nicht nur. Schließlich muss ja auch ein Term gerade den Aspekt wiedergeben, der bei einem alltäglichen Phänomen oder einer etwas komplizierteren Gegebenheit „unbekannt“ ist beziehungsweise „variabel“. Daher besteht ein Term normalerweise auch aus mindestens einer Variablen. Das war’s aber fast schon an Neuem.

Die Variable x © Claudia Hautumm PIXELIO www.pixelio.de

Angemerkt muss nur noch werden, dass bei einem Term neben einer oder mehreren Variablen, den Grundrechenzeichen natürlich auch Zahlen und ebenso Klammern auftreten können, ebenso Hochzahlen (Potenzen), Dezimalzahlen und Brüche – was jedoch nichts Neues ist. Vor allem Zahlen, aber ebenfalls Klammern sind ja auch bekanntermaßen ein fester Bestandteil bei allen Grundrechenarten. Das Gleiche gilt für Hochzahlen (Potenzen), da diese nur eine andere Schreibweise innerhalb einer bestimmten Multiplikation darstellen. Darüber hinaus sind Dezimalzahlen und Brüche ebenso nichts Neues, da diese ebenso sich aus den Grundrechenarten mittels bestimmter Rechenoperationen ergeben. Des Weiteren können aber bei einem Term auch Zahlen und Rechenzeichen vorkommen, die einem eventuell noch nicht so geläufig sind, wie beispielsweise negative Zahlen, Betragsstriche und Wurzeln.

Als Letztes muss noch erwähnt werden, dass bei einem Term nicht zwingend eine Variable vorkommen muss, da gewissermaßen eine Variable immer bereits mit einem Wert besetzt sein kann und dann nur noch der reine Wert als Term dasteht (Beispiel: Ist bei 3x „x“ bekannt und der Wert x = 1 so ist 3x immer auch gleich 3, weswegen 3 auch immer schon ein Term ist. Daraus ergibt sich, dass jede Zahl immer auch schon ein Term ist, da ja theoretisch bei jeder Zahl immer eine Variable dabeistehen kann, die beispielsweise den Wert 1 hat).

Aus dem bisher Gesagten ergibt sich folgende Definition eines Terms:

Ein Term ist in der Mathematik ein „Gebilde“, das normalerweise aus Variablen, Rechenzeichen und Zahlen besteht und bei dem teilweise auch noch Klammern vorkommen können sowie vielerlei andere mathematische Ausdrücke.

Ein Term beinhaltet immer einen Rechenweg. Indem man eine Zahl in die Variablen des Terms einsetzt, erhält man erneut einen Term. Die Zahl, die sich als das Endergebnis des Rechenweges schließlich ergibt, wird als der Wert des Terms bezeichnet.

Bei der Berechnung eines Terms gibt es einzuhaltende Vorrangregeln.

1. Gibt es keine bestimmte Regel für den Term, so rechnet man immer von links nach rechts.

2. Tritt eine Klammer auf, so muss das Innere der Klammer als Erstes berechnet werden.

3. Ist keine Klammer vorhanden, gilt Punktrechnung vor Strichrechnung sowie Potenzrechnung vor Punktrechung und Strichrechnung.

Die Strichrechnung umfasst die Addition und die Subtraktion, die Punktrechnung die Multiplikation und Division.

 

Beispiele für Terme:

1)    a;   b;   c;   x;   y (ein Term, der nur aus einer Variablen besteht)

2)    2;   4;   19;   55;   75;   450 (ein Term, der nur aus einer Zahl besteht)

3)    4a + 4b;   7a – 12 c;   9d · 14e;   7a : 9b beziehungsweise {\frac{7\mathrm a}{9\mathrm b} (ein Term, der aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen besteht)

4)    7,3c + 4,3 b;   {\frac{3\mathrm d}{4\mathrm e};   (4a + 3);   –12 – 9b;   (7 + 3 a)²;   |5x|;   \sqrt{5\mathrm x} (verschienenartige andere Terme)

 

1.1 Typ eines Terms in Abhängigkeit zur Rechenoperation

Die Rechenoperation, die bei einem Term immer zuletzt durchgeführt werden muss, bestimmt den Typ des Terms (wenn man in die Variable eine Zahl einsetzt und den Term-Wert berechnet).

a)    6 · (5x + 4)

Hier stellt der Term ein Produkt dar, da man als letzte Rechenoperation ein Multiplizieren durchführen muss.

b)    6 · 5x + 4

Hier verkörpert der Term eine Summe, da die letzte Rechenoperation ein Addieren ist.

c)    25 : (x – 4)

Hier ist der Term ein Quotient. Als Letztes wendet man als Rechenoperation nämlich hier ein Dividieren an.

d)    25 : x – 2

Dieser Term ist eine Differenz. Die letzte Rechenoperation ist nämlich hier ein Subtrahieren.

e)     (7 · x + 7)²

Bei diesem Term handelt es sich um eine Potenz. Die letzte Rechenoperation stellt hier ein Potenzieren dar.

f)    ( 7 · x + 7) : 5

Hier liegt wiederum ein Quotient vor, da die letzte Rechenoperation ein Dividieren ist.

 

1.2 Eine algebraische Summe

Der Typ des Terms a + b – c ist strenggenommen eine Differenz, da nach der Vorrangregel von links nach rechts gerechnet werden muss und die letzte Rechenoperation ein Subtrahieren ist. Man kann diesen Term aber auch in eine Summe umwandeln:

a + b – c = a + b + (–c)

Einen Term wie a + b – c wird in der Mathematik daher auch als eine algebraische Summe bezeichnet.

Jeder Typ eines Terms, der entweder eine Summe oder eine Differenz ist, ist immer auch eine algebraische Summe.

 

Beispiele für algebraische Summen:

a)    7x – 8y + 9

b)    8 · a + 9 · b² – 3 · c

c)    5 · y – 6 · z – 9 ·

d)    9 · a + 7 · x – 6 · y – 7 · b

e)    x – y

f)    a + b

 

2. Term-Bildung bei Textaufgaben/Sachaufgaben

Häufig kommt es im Fach Mathe auch vor, dass ein Term erst aufgestellt werden muss. Ist dies der Fall, so muss man alle in der Aufgabe angegebenen relevanten Worte korrekt in die Sprache der Mathematik „umwandeln“ oder die bei einer Aufgabe angegebene Darstellung.

 

Beispiele für Terme, die anhand einer Textaufgabe/Sachaufgabe aufgestellt werden müssen:

a)  Zum Siebenfachen einer unbekannten Zahl soll 9 addiert werden. Der gesuchte Term ist hier: 7x + 9 (die relevanten Worte sind hier „Siebenfachen“, „unbekannte Zahl“, „9“, „addiert“; hierbei muss man zudem wissen, dass das Wort „fach“ in der Sprache der Mathematik ein „Mal“ bedeutet, und „unbekannte Zahl“ ein anderer Ausdruck für die Variable ist, natürlich muss man außerdem innerhalb des Satzes erkennen, auf welche Weise alle relevanten Wörter sich aufeinander beziehen).

b)  Das Dreifache von x wird von 37 subtrahiert. Der gesuchte Term ist hier: 37 – 3x (die relevanten Worte sind hier: „Dreifache“, „x“, „37“, „subtrahiert“).

c)  Multipliziere eine Zahl mit der um 3 größeren Zahl. Der gesuchte Term ist hier: x · (x + 3) (die relevanten Worte sind hier: „Multipliziere“, „Zahl“, „3 größeren Zahl“, hierbei muss man zudem wissen, dass „Zahl“ hier ein anderer Ausdruck für die Variable ist und dass „x + 3“ eine Einheit bildet und daher in Klammern stehen muss).

d)  Dividiere das Sechsfache einer Zahl durch 19. Der Term ist hier: 19 : 6x (die relevanten Worte sind hier: „Dividiere“, „Sechsfache“, „Zahl“, „19“).

 

2.1 Termaufstellung anhand von geometrischen Figuren

Auf dem unteren Bild befinden sich verschiedene geometrische Flächen, zu denen jeweils ein bestimmter Term aufgestellt werden soll.

 

2.11 Terme bei Darstellungen

Kette aus Draht

Kette aus Draht

Das Bild soll einen Weihnachtsschmuck aus Draht darstellen. Wie lautet der Term für den Weihnachtsschmuck?

Der Term lautet:

y + y + y + x + x + x + x + 20;

3y + 4x +20.

 

Wie lang ist die Drahtlänge?

a)   x = 5 und y = 6;

b)   x = 4,8 und y = 5,4 cm (die Maße sind in cm).

 

a)    x = 5 und y = 6:   3 · 6 + 4 · 5 + 20 = 58

Der Weihnachtsschmuck ist 58 cm lang.

 

b)   x = 4,8 cm, y = 5,4 cm:   3 · 5,4 + 4 · 4,8 + 20 = 55,4

Der Weihnachtsschmuck ist 55,4 cm lang.

 

 

Konstruktion aus Draht

Konstruktion aus Draht

Das Bild soll eine Draht-Konstruktion darstellen. Der untere Teil stellt einen Würfel dar. Darauf befinden sich gleichlange Befestigungen. Zum Schluss ist ein gerades Stück Draht angebracht.  Wie lautet der Term für die Draht-Konstruktion?

 

Wie lang ist die Drahtlänge?

a)   x = 5,4 cm; y = 8,6 cm; z = 12,4 cm;

b)   x = 7,2 cm; y = 10,6 cm und z = 20,5 cm.

 

Der Term zu Berechnung der Drahtlänge ist:

x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + y + y + y + y + z;

12x + 4y + z

 

a) Bei x = 5,4 cm; y = 8,6 cm; z = 12,4 cm ist die Drahtlänge:

12 · 5,4 cm + 4 · 8,6 cm + 12,4 cm = 111,6 cm

Die Drahtkonstruktion ist 111,6 cm lang.

 

b) Bei x = 7,2 cm; y = 10,6 cm und z = 20,5 cm ist die Drahtlänge:

12 · 7,2 cm + 4 · 10,6 cm + 20,5 cm = 149,3 cm

Die Drahtkonstruktion ist 149,3 cm lang.

 

2.12 Terme bei Vielecken

Verschiedene geometrische Flächen

Verschiedene geometrische Flächen

a)  Gib einen Term für das Dreieck an, der den Umfang des Dreiecks wiedergibt. Der gesuchte Term lautet hier: a + b + c (zur Ermittlung des Umfangs bei einem Dreieck müssen alle Seiten des Dreiecks addiert werden).

b)  Gib einen Term an, der die Fläche des Rechtecks wiedergibt: Der gesuchte Term ist hier: e · f (die Fläche eines Rechtecks ist immer das Produkt seiner beiden unterschiedlichen Seiten).

c)  Gib einen Term an, der die Fläche des Parallelogramms wiedergibt. Der gesuchte Term lauter hier: g · h (der Fläche eine Parallelogramms ist immer das Produkt aus einer Grundseite zu einer hierzu im rechten Winkel stehenden Höhe).

d)  Gib einen Term an, der den Umfang des Trapezes wiedergibt. Der gesuchte Term ist hier: k + l + m + n (zur Bestimmung des Umfangs bei einem Viereck müssen alle Seiten des Vierecks addiert werden).

 

3. Wert-Berechnung bei einem Term

Ist bei einem Term für jede vorkommende Variable eine Zahl gegeben, so kann man jeweils den Wert des Terms berechnen.

 

Beispiele:

a)  Folgender Term ist gegeben: x + 7.

Darüber hinaus sind die Zahlen x = 0;   x = 1;   x = 12;   x = 44;   x = –5;   x = 1,7;   x = –5,3;   x = {\frac{1}{2};   x = –{\frac{4}{7} gegeben.

Daraus ergeben sich diese Werte für den Term:

für x = 0:   0 + 7;   7;

für x = 1:   1 + 7;    8;

für x = 12:   12 + 7;   19;

für x = 44:   44 + 7;   51;

für x = – 5:   –5 + 7;    2;

für x = 1,7:   1,7 + 7;   8,7;

für x = –5,3:   –5,3 + 7;   1,7;

für x = {\frac{1}{2}:   {\frac{1}{2} + 7;   7{\frac{1}{2};

für x = – {\frac{4}{7}:   – {\frac{4}{7} + {\frac{49}{7};   {\frac{45}{7};   6{\frac{3}{7}

 

b)  Folgender Term ist gegeben: (x – 7) · (x + 7).

Darüber hinaus sind die Zahlen x = 0;   x = 1;   x = 12;   x = 44;   x = –5;   x = 1,7;   x = –5,3;   x = {\frac{1}{2};   x = –{\frac{4}{7} gegeben.

Hieraus ergeben sich diese Werte für den Term:

für x = 0:   (0 – 7) · (0 + 7);   –7 · 7;   –49;

für x = 1:   (1 – 7) · (1 + 7);    –6 · 8;   –48;

für x = 12:   (12 – 7) · (12 + 7);    5 · 19;   95;

für x = 44:   (44 – 7) · (44 + 7);   37 · 51;   1887;

für x = –5:   (–5 – 7) · (5 + 7);   –12 · 12;   –144;

für x = 1,7:   (1,7 – 7) · (1,7 + 7);   –5,3 · 8,7;   –46,11;

für x = –5,3:   (–5,3 – 7) · (–5,3 + 7);   –12,3 · 1,7;   –20,91;

für x = {\frac{1}{2}:   ( {\frac{1}{2} – 7) · ( {\frac{1}{2} + 7);   ( {\frac{1}{2}{\frac{28}{2}) · ( {\frac{1}{2} + {\frac{28}{2});   –{\frac{27}{2} · {\frac{29}{2};   –{\frac{783}{4};   –195{\frac{3}{4};

für x = –{\frac{4}{7}:   (–{\frac{4}{7} – 7) · (– {\frac{4}{7} + 7);   (–{\frac{4}{7}{\frac{49}{7}) · (–{\frac{4}{7} + {\frac{49}{7});   (–{\frac{56}{7}) · ({\frac{45}{7});   –{\frac{2520}{49};   –51{\frac{21}{49}

 

Der „all time favourite“-Sesamstraßen-Song

 

3.1 Wertgleichheit bei Termen

Zwei Terme können in Mathe auch wertgleich sein. Liefern zwei unterschiedlich aussehende Terme beim Einsetzen jedweder Zahlen das gleiche Ergebnis/die gleichen Werte, so liegt zwischen beiden Termen eine Wertgleichheit vor. Diese Wertgleichheit lässt sich dann immer auch algebraisch beweisen, indem ein Term so weit umgeformt wird, bis er die identische Form des anderen hat. Wertgleiche Terme können daher auch immer mittels eines Gleichheitszeichens miteinander verbunden werden.

Mittels einer sogenannten Termunformung kann ein Term verändert werden. Ein derart umgeformter Term stellt in der Regel eine Vereinfachung zum ursprünglichen Term dar. Der ursprüngliche Term und der umgeformte Term sind wertgleich.

 

Beispiele für Wertgleichheit zweier Terme

Es sind die Terme „3x“ und „5x + 2x – 4x“ gegeben. Für x = 0;   für x = 1;   für x = 2;   für x = –1 sollen die Werte der beiden Terme ermittelt werden.

für x = 0:         3 · 0;   0;

5 · 0 + 2 · 0 – 4 · 0;   0

für x = 1:        3 · 1;   3;

5 · 1 + 2 · 1 – 4 · 1;   5 + 2 – 4;   3

für x = 2:        3 · 2;   6;

5 · 2 + 2 · 2 – 4 · 2;   10 + 4 – 8;   6

für x = –1:      3 · (–1);   –3;

5 · (–1) + 2 · (–1) – 4 · (–1);   –5 – 2 + 4;   –3

Beide Terme sind wertgleich. Es gilt daher: 3x = 5x + 2x – 4x.

Durch eine Termumformung kann der Term vereinfacht werden. Denn „3x“ stellt eine Vereinfachung von „5x + 2x – 4x“ dar.

 

Es sind die Terme „x² + 6x + 9“ und „(x + 3)²“ gegeben. Für x = 0;   x = 1;   x = 2;   x = –1 sollen die Werte der beiden Terme berechnet werden.

für x = 0:        (0)² + 6 · 0 + 9;   0 + 0 + 9;   9;

(0 + 3)²;   (3)²;   9

für x = 1:        (1)² + 6 · 1 + 9;   1 + 6 + 9;   16;

(1 + 3)²;   (4)²;   16

für x = 2:        (2)² + 6 · 2 + 9;   4 + 12 + 9;   25;

(2 + 3)²;   (5)²;   25

für x = –1:      (–1)² + 6 · (–1) + 9;   1 – 6 + 9;   4;

(–1 + 3)²;   (2)²;   4

Der Term „x² + 6x + 9“ stellt die 1. Binomische Formel in der aufgelösten Form dar. Der Term „(x + 3)²“ ist die 1. Binomische Formel in der unaufgelösten Form.

 

Beispiel für Nichtwertgleichheit zweier Terme

Es sind die Terme „4x + 4“ und „4 · (x + 4)“ gegeben. Für x = 0;   x = 1;   x = 2;   x = –1 sollen die Werte der beiden Terme berechnet werden.

für x = 0:         4 · 0 + 4;   0 + 4;   4;

4 · (0 + 4);   4 · 4;   16

für x = 1:         4 · 1 + 4;   4 + 4;   8;

4 · (1 + 4);   4 · 5;   20

für x = 2:         4 · 2 + 4;   8 + 4;   12;

4 · (2 + 4);   4 · 6;   24

für x = –1:      4 · (–1) + 4;   –4 + 4;   0;

4 · (–1 + 4);   4 · 3;   12

Unterscheiden sich die Term-Werte bereits bei der Einsetzung einer Zahl, so liegt keine Wertgleichheit vor. Daher sind die beiden Terme „4x + 4“ und „4 · (x + 4)“ nicht wertgleich.

 

3.2 Weglassen von Malpunkten

Bei einem Term, der eindeutige Rechenzeichen vorweist und bei dem somit keine Missverständnisse hinsichtlich des Termaufbaus aufkommen, können die Malpunkte weggelassen werden.

Es gilt daher: 1 · x = x.

 

Beispiele:

5x = 5 · x

xy = x · y

4(x + y) = 4 · (x + y)

Aber es gilt nicht: 27 anstatt 2 · 7. Auch nicht 5{\frac{1}{4} anstatt 5 · {\frac{1}{4}.

 

4. Zusammenfassen von gleichartigen Einzeltermen bei einem Term

Handelt es sich bei einem Term um eine algebraische Summe, das heißt, dass der Term gewissermaßen nur aus Plus- und Minuszeichen besteht, so können hierbei gleichartige Variable zusammengefasst werden, ebenso nur vorkommende Zahlen.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Eine algebraische Summe ist beispielsweise x – 3, da man immer auch schreiben kann: x + (–3).

 

Eine Variable ist dann immer gleichartig zu anderen Variablen, wenn Folgendes gewährleistet ist

  • Die Variable muss den gleichen Buchstaben vorweisen

und

  • Die Variable muss die gleiche Potenz vorweisen.

Verschiedene auftretende „reine“ Zahlen können immer ohne Einschränkung bei einem Term zusammengefasst werden.

 

Die Terme 7b und 3b weisen einzig einen Unterschied im Koeffizienten (Zahlfaktor) auf. Das Gleiche gilt für 5x² und 6x² sowie 12s²t und 5s²t. Diese Einzelterme sind daher gleichartig.

Hingegen nicht gleichartig sind folgende Einzelterme: 4ab und 3a²b, ebenso nicht 4x und 5y oder 5x²y und 7xy².

Gleichartig ist etwas vollkommen anderes als wertgleich! Die Terme 2ab und 5ab sind gleichartig, da einzig ihre Koeffizienten unterschiedlich sind. Diese Terme sind aber nicht wertgleich. Denn bei a = 3 und b = 2 ergibt sich für 2ab: 2 · 3 · 2 = 12 und für 5ab ergibt sich: 5 · 3 · 2 = 30.

 

Gleichartige Einzelterme addiert oder subtrahiert man auf die Art, dass man deren Koeffizienten addiert oder subtrahiert.

a)   8b + 3b = 11b

b)   9a – a = 8a

c)   –7xy + 2xy = –5xy

d)   0,5x²y + {\frac{1}{4}x²y = 0,75x²y

 

Beispiele:

a)   5x + 12 + 19x + 4 + 11 – 3x – 7 + 36x – 29 + 45 – 7x;

Zur besseren Übersicht sollte man gleichartige Einzelterme zuerst ordnen, da hier das Kommutativgesetz/Vertauschungsgesetz gilt. Dann sieht der Term folgendermaßen aus:

5x + 19x – 3x + 36x – 7x + 12 + 4 + 11 – 7 – 29 + 45;

Jetzt kann man die gleichen Einzelterme zusammenfassen. Daraus ergibt sich folgender End-Term:

50x + 36;

 

b)    y³ + 4y + 29 – 3y + 5y³ – 12 – 5y² + 9 + 14y – 2y² + 12y³ + 3y²;

Eine sinnvolle Ordnung bei Einzeltermen mit Variablen, die eine unterschiedliche Potenz vorweisen, ist eine „hierarchische“. Konkret heißt das, dass die gleichartigen Einzelterme mit der höchsten Potenz über der Variablen am Anfang stehen. Danach kommen die gleichartigen Einzelterme, deren Variable die nächst kleinere Potenz vorweisen und so weiter. Ganz am Schluss kommt schließlich die „reine“ Zahl, über der gewissermaßen die Potenz eins steht. Beherzigt man diese „hierarchische“ Schreibweise von Termen, dann tut man sich generell bei späteren Mathe-Stoffgebieten leichter, in denen Terme auf verschiedenartige Weise wieder vorkommen – beziehungsweise verliert bei diesen nicht so leicht den Überblick.

Der Term sieht dann folgendermaßen aus:

y³ + 5y³ + 12y³ – 5y² – 2y² + 3y² + 4y – 3y + 14y + 29 – 12 + 9;

18y³ – 4y² + 15y + 26.

 

5. Das Auflösen von Klammern bei einem Term

5.1 Plus- und Minusklammer

Tritt bei einem Term eine Klammer auf, so ist immer das Vorzeichen vor der Klammer entscheidend. Bei einem Plus vor der Klammer darf man hierbei sofort die Klammer entfernen und an dem Term ändert sich nichts weiter. Bei einem Minus vor der Klammer sieht das anders aus. Dann liegt nämlich eine sogenannte Minusklammer vor. Und hier gilt: Um die Minusklammer zu entfernen, muss man jedes Rechenzeichen (ein Plus oder ein Minus) in der Klammer umdrehen (aus einem Plus wird ein Minus und aus einem Minus wird ein Plus).

In allgemeiner Form sieht ein Auflösen einer Plusklammer folgendermaßen aus:

a + (b + c) = a + b + c

In einer allgemeinen Form sieht ein Auflösen einer Minusklammer wie folgt aus:

a – (b + c) = a – b – c.

 

Beispiele: das Auflösen einer Plusklammer

1.     (7x + 3) = 7x + 3

2.     (–5 + 9x) = –5 + 9x; geordnet: 9x – 5

3.     3x + 12 + 5y + (7x +19 – 3y) =

3x + 12 + 5y + 7x + 19 – 3y;

3x + 7x + 5y – 3y + 12 + 19;

10x + 2y + 31.

 

Beispiele: das Auflösen einer Minusklammer

1.    –(9x + 3) = –9x – 3

2.    –(– 7 + 3y) = 7 – 3y; geordnet: –3y + 7

3.    –3 – 14x + 3y – (5 + 7y – 12x) =

–3 – 14x + 3y – 5 – 7y + 12x;

–14x + 12x + 3y – 7y – 3 – 5;

–2x – 4y – 8.

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Ist direkt nach einer Minusklammer eine Zahl ohne Vorzeichen, dann ist die Zahl immer Positiv, also –(5);   –(+5);   –5.

 

5.2 Klammern bei einem Produkt

Bildet ein Faktor vor einer Klammer mit einer algebraischen Summe in einer Klammer ein Produkt, so löst man die Klammer auf, indem man jeden Summanden mit dem Faktor „malnimmt“. Diesen Vorgang nennt man auch Ausmultiplizieren und das hierbei zum Tragen kommende mathematische Gesetz das Distributivgesetz/Verteilungsgesetz.

In einer allgemeinen Form sieht das Ausmultiplizieren folgendermaßen aus:

a · (b + c) = a · b + a · c.

 

Beispiele für ein Ausmulitplizieren mit Faktor vor der Klammer einer algebraischen Summe:

1.   7 · (9 + 12x) = 7 · 9 + 7 · 12x;   63 + 84x; geordnet: 84x + 63;

2.   5a · (11b – 3c) = 5a · 11b + 5a · (–3c);   55ab – 15ac.

 

Treffen beim Ausmultiplizieren zwei gleiche Variablen aufeinander, so addieren sich deren Potenzen.

 

Beispiele für das Addieren von Potenzen beim Ausmultiplizieren:

1.   5a · (9a – 5) = 5a · 9a + 5a · (–5);    45a1 + 1 – 25a;   45a² – 25a;

2.   12b² · (–3b³ + 2) = 12b² · (–3b³) + 12b² · 2;   –36b2 + 3 + 24b²;   –36b5 + 24b².

Setzt sich ein Produkt aus mehreren Klammern zusammen, so muss man alle Einzelterme der einen Klammer mit allen Einzeltermen der anderen Klammer „malnehmen“.

In einer allgemeinen Form sieht hier das Ausmultiplizieren und somit das Auflösen der Klammern folgendermaßen aus:

(a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d;    ac + ad + bc + bd.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Mit welchem Einzelterm man beim Ausmultiplizieren anfängt, ist egal, da beim hier angewandten Distributivgesetz/Verteilungsgesetz auch gleichzeitig noch das Kommutativgesetz/Vertauschungsgesetz gilt. Trotzdem ist es ratsam, immer ein gleiches Ausmultiplizieren-Schema anzuwenden. Dadurch ist gewährleistet, dass man zum einen schneller zum Ergebnis gelangt und dass man zum anderen auch nicht eine mögliche „Produktkombination“ vergisst/übersieht. Am besten man verinnerlicht das obige Ausmultiplizieren-Schema, da man es sich denkbar einfach merken kann. Schließlich werden hier Schritt für Schritt von „links nach rechts“ alle möglichen „Produktkombinationen“ erzeugt.

 

Beispiele für das Auflösen von zwei Klammern bei einem Produkt

1.    (3a + 5b) · (7c – 12d) = 3a · 7c + 3a · (–12d) + 5b · 7c + 5b · (–12d);

21ac – 36ad + 35bc – 60bd;

 

2.    (7x + 14y) · (5x² + 19y³) = 7x · 5x² + 7x · 19y³ + 14y · 5x² + 14y · 19y³;

35x³ + 133xy³ + 70yx² + 266y4;

35x³ + 133xy³ + 70x²y + 266y4 (geordnet).

 

6. Das Ausklammern/Faktorisieren bei einer algebraischen Summe

Die Umkehrung des Ausmultiplizierens ist das Ausklammern/Faktorisieren. Das Ausklammern/Faktorisieren kann immer dann bei einer algebraischen Summe angewandt werden, wenn bei allen vorkommenden Einzeltermen ein gemeinsamer Faktor gefunden werden kann. Diese Faktor kann dann nämlich jeweils ausgeklammert werden.

Der gemeinsame Faktor kann eine Zahl, eine Variable oder eine Zahl und eine Variable sein. Der ermittelte Faktor wird dann immer vor eine Klammer gesetzt und die anderen Einzelterme mit dem jeweiligen Vorzeichen in die Klammer.

In einer allgemeinen Form sieht das Ausklammer/Faktorisieren folgendermaßen aus:

ax + ay – az = a · (x + y – z).

 

Beispiele für ein Ausklammern/Faktorisieren

1.   5x + 9x² + 2xy = x · (5 + 9x + 2y)

2.   12a² – 24ab + 36ab³ = 12a · (a – 2b + 3b³)

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Hat man den gemeinsamen Faktor bei einer algebraischen Summe gefunden, so teilt man diesen „gedanklich“ duch alle Einzelterme. Das, was dann beim „Divisionsergebnis“ übrig bleibt, wird dann immer in die Klammer geschrieben.

 

6.1 Das Ausklammern/Faktorisieren bei den binomischen Formeln

Als algebraische Summe kann auch eine aufgelöste binomische Formel vorliegen. Diese kann natürlich auch wieder in die unaufgelöste Form gebracht werden, jene algebraische Umformung wird auch als Ausklammern/Faktorisieren bezeichnet.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zur näheren Erläuterung der binomischen Formeln in der unaufgelösten und aufgelösten Form siehe hierzu auch unter dem Reiter Binomische Formeln die dort gemachten Ausführungen an.

 

6.11 Ausklammern/Faktorisieren der 1. Binomische Formel

Um die 1. Binomische Formel ausklammern/faktorisieren zu können, muss man sich diese binomische Formel in der aufgelösten und in der unaufgelösten Form auswendig ins Gedächtnis rufen können.

a² + 2ab + b² = (a + b) · (a + b);   (a + b)²    (1. Binomische Formel)

Daraufhin kann man mit einem geschulten Auge bei bestimmten algebraischen Summen erkennen, dass es sich hier um die 1. Binomische Formel handelt.

 

Beispiele:

16x² + 80xy + 100y²

Hier muss man erkennen, dass der erste Term das „a²“ der 1. Binomischen Formel ist, denn 4x · 4x = 16x²; ebenso, dass der letzte Term das „b²“ der 1. Binomischen Formel ist, denn 10y · 10y = 100y². Hat man das erkannt, so kann man auch den Mittelterm 80xy auf die 1. Binomische Formel hin zurückführen; denn dieser lautet ja 2ab; 2 · 4x · 10y = 80xy.

Daher sieht hier das korrekte Ausklammern/Faktorisieren folgendermaßen aus:

16x² + 80xy + 100y² = (4x + 10y) · (4x + 10y);   (4x + 10y)².

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Um die 1. Binomische Formel in der unaufgelösten Form zu erkennen, muss man nur sehen, dass zwei Terme häufig Variablen mit einer Quadratzahl vorweisen sowie zwei Variablen die Potenz „hoch zwei“/“²“ haben.

 

49r² + 126rs + 81s² = (7r + 9s) · (7r + 9s);   (7r + 9s)².

 

6.12 Ausklammern/Faktorisieren der 2. Binomischen Formel

Für die 2. Binomische Formel gilt für das Ausklammern/Faktorisieren das Gleiche wie bei der 1. Binomischen Formel: Man muss nur erkennen, dass zwei Terme nomalerweise je eine Quadratzahl und die Potenz „hoch zwei“/“²“ vorweisen. Ist nun der dritte Term noch eindeutig auf den Mittelterm der 2. Binomischen Formel zurückführbar, so kann man die 2. Binomische Formel sofort von der unaufgelösten in die aufgelösten Form umformen.

a² – 2ab + b² = (a – b) · (a – b);   (a – b)²    (2. Binomische Formel)

 

Beispiele:

9a² – 48ab + 64b²

Hier muss man erkennen, dass der erste Term das „a²“ der 2. Binomischen Formel ist, denn 3a · 3a = 9a², ebenso, dass der letzte Term das „b²“ der 2. Binomischen Formel ist, denn 8b · 8b = 64b². Hat man diese Erkenntnisleistung vollbracht, so kann man auch den Mittelterm „–48ab“ auf die 2. Binomische Formel hin zurückführen.

Deshalb ist hier das korrekte Ausklammern/Faktorisieren:

9a² – 48ab + 64b² = (3a – 8b) · (3a – 8b);   (3a – 8b)².

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Um zu erkennen, dass die 2. Binomische Formel in der unaufgelösten Form vorliegt, muss man nur sehen, dass häufig zwei Variablen eine Quadratzahl vorweisen und darüber hinaus die Variablen die Potenz „hoch zwei“/“²“ haben.

 

4r² – 28rs + 49s² = (2r – 7s) · (2r – 7s);   (2r – 7s)².

 

6.13 Ausklarmmern/Faktorisieren der 3. Binomischen Formel

Das Ausklammmern/Faktorisieren der 3. Binomischen Formel geht um einiges leichter, als dies bei der 1. und der 2. Binomischen Formel der Fall ist. Der Grund hierfür ist, dass die 3. Binomische Formel in der aufgelösten Form nur aus zwei Termen besteht (da sie keinen Mittelterm vorweist). Natürlich muss man aber auch hier wissen, wie die 3. Binomische Formel in der aufgelösten und unaufgelösten Form aussieht.

a² – b² = (a + b) · (a – b)    (3. Binomische Formel)

 

Beispiele:

x² – y² = (x + y) · (x – y).

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Als entscheidendes Erkennungsmerkmal müssen beide Terme mit einem Minuszeichen als Rechenzeichen miteinander verbunden sein. Darüber hinaus weisen die Terme oftmals Variablen mit der Potenz “hoch zwei”/”²“ auf bzw. bestehen aus Quadratzahlen.

 

64r² – 25s² = (8r + 5s) · (8r – 5s).

 

Diese Seite des Mathematik Nachhilfe Blogs zu Termen kann man hier als PDF downloaden: Mathe-Nachhilfe: Terme.

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Umrechnen von Größen

Bei Größen müssen im Fach Mathematik die ermittelnden Größenangaben oft umgerechnet werdet, und zwar in eine größere oder eine kleinere Maßeinheit. Das kann aus zweierlei Gründen notwendig sein.

  1. Damit man verschiedene Größenangaben gleicher Größen (z. B. Längen wie 5 m und 1200 mm oder Zeitdauern wie 5 h und 216000 s) bestmöglich vergleichen kann, müssen die Maßeinheiten jeweils gleich sein (z. B. umgerechnet in Längen wie 5 m und 1,2 m oder umgerechnet in Zeitdauern wie 5 h und 1 h).
  2. Wenn die Maßzahl einer Größenangabe sehr groß (z.B. Längen wie 50000000 cm oder Zeitdauern wie 864000 s) oder sehr klein (z. B. Längen wie 0,0000098 km oder Zeitdauern wie 0,02 h) ist und dementsprechend viele Zahlen vor oder nach dem Komma stehen, sollte man immer eine größere (z.B. umgerechnet in die Länge wie 500 km oder umgerechnet in die Zeitdauer wie 10 d) oder kleinere Maßeinheit (z. B. umgerechnet in die Länge wie 9,8 mm oder umgerechnet in die Zeitdauer wie 1,2 min) wählen. Denn dann kann man viel besser sehen, wie groß die Größe wirklich ist.

Entfernung nach Amerika in Kilometer © Marco Barnebeck(Telemarco) PIXELIO www.pixelio.de

Je nach Längeneinheiten, Einheiten für Zeitdauern, Gewichtseinheiten und Einheiten für die Fläche und den Rauminhalt gelten für die Umrechnung in andere Einheiten der gleichen Größe verschiedene Umrechnungszahlen. Nachfolgend ist veranschaulicht, wie eine richtige Umrechnung von Längeneinheiten, Gewichtseinheiten und Einheiten von Zeitdauern gemacht wird.

Umrechnung von Längen- und Gewichtseinheiten sowie Zeitdauern

Durch diese bildliche Veranschaulichung soll deutlich gemacht werden, dass von links nach rechts die Maßeinheiten der Größen Länge, Gewicht und Zeitdauer größer werden (rote Pfeilrichtung). Hierbei wird stets mit einer bestimmten Umrechnungszahl eine Division durchgeführt. Umgekehrt werden dagegen die Maßeinheiten der gleichen Größen von links nach rechts kleiner (blaue Pfeilrichtung). Hierbei wird jeweils mit einer bestimmten Umrechnungszahl eine Multiplikation durchgeführt.

Hierbei ist bei der Größe Länge die kleinste gängige Maßeinheit im Fach Mathematik mm (Millimeter), die nächst größere cm (Zentimeter), die wiederum nächst größere dm (Dezimeter), die daraufhin nächst größere m (Meter) und die darauffolgende letzte relevante Maßeinheit km (Kilometer). Die Umrechnungszahl von mm in cm ist hierbei 10, von cm in dm ebenfalls 10 und von dm in m ebenso 10, von m in km hingegen beträgt die Umrechnungszahl 1000. Die gleichen Umrechnungszahlen gelten natürlich auch in umgekehrter Richtung! Daher ist die Umrechnungszahl von km in m 1000, die Umrechnungszahl von m in dm 10, von dm in cm ebenfalls 10 und von cm in mm ebenso 10.

Bei der Größe Gewicht ist hingegen die kleinste gängige Maßeinheit im Fach Mathe mg (Milligramm), die nächst größere g (Gramm), die wiederum nächst größer kg (Kilogramm) und die darauffolgende letzte relevante t (Tonne). Die Umrechnungszahl von mg in g ist hierbei 1000, von g in kg ebenfalls 1000 und von kg in t ebenso 1000. Auch hier gelten natürlich in umgekehrter Richtung die gleichen Umrechnungszahlen! Deshalb ist die Umrechnungszahl von t in kg 1000, von kg in g ebenfalls 1000 und von g in mg ebenso 1000.

Bei der Größe Zeitdauer ist hingegen die kleinste gängige Maßeinheit im Fach Mathematik s (Sekunde), die nächst größere min (Minute), die wiederum nächst größere h (Stunde), die daraufhin nächst größere d (Tag) und die darauffolgende letzte relevante a (Jahr). Die Umrechnungszahl von s in min ist hierbei 60, von min in h ebenfalls 60, von h in d 24 und von d in a 365. Natürlich gelten auch hier in die umgekehrte Richtung die gleichen Umrechnungszahlen! Daher ist die Umrechnungszahl von a in d 365, von d in h 24, von h in min 60 und von min in s ebenfalls 60. (Anmerkung: Bei einem Schaltjahr umfasst ein Jahr hingegen 366 Tage. In der Zinsrechnung hat ein Jahr hingegen nur 360 Tage).

Damit man nun eine Länge, ein Gewicht oder eine Zeitdauer jeweils dahingehend umrechnen kann, dass deren Maßeinheit stets größer wird, muss man ihre Maßzahl mit einer bestimmten Umrechnungszahl dividieren. Hält man diese bestimmte Umrechnungszahl stets ein, so kann man jeweils die Maßeinheit der Größenangabe ohne Probleme vergrößern (Beispiele: 500 mm wird mit der Umrechnungszahl 10 dividiert, so erhält man 50 cm. Möchte man nun die Maßeinheit weiter zur nächst größeren hin umrechnen, so muss man 50 cm wiederum durch die Umrechnungszahl 10 dividieren. Hierbei ergibt sich dann die Größenangabe 5 dm usw.; 2000000 mg wird mit der Umrechnungszahl 1000 dividiert, so erhält man 2000 g. Möchte man nun die Maßeinheit wiederum weiter zur nächst größeren hin umrechnen, so muss man 2000 g wiederum durch die Umrechnungszahl 1000 dividieren. Hierbei ergibt sich dann die Größenangabe 2 kg usw.; 25200 s wird mit der Umrechnungszahl 60 dividiert, so erhält man 420 min. Möchte man nun die Maßeinheit weiter zur nächst größeren hin umrechnen, so muss man 420 min wiederum durch die Umrechnungszahl 60 dividieren. Hierbei ergibt sich dann die Größenangabe 7 h usw.).

Damit man nun eine Länge, ein Gewicht oder eine Zeitdauer stets dahingehend umrechnen kann, dass deren Maßeinheit jeweils kleiner wird, muss man ihre Maßzahl mit einer bestimmten Umrechnungszahl multiplizieren. Hält man hier ebenfalls die bestimmte Umrechnungszahl stets ein, dann kann man jeweils die Maßeinheit der Größenangabe wiederum problemlos verkleinern (Beispiele: 50 km wird mit der Umrechnungszahl 1000 multipliziert, so erhält man 50000 m. Möchte man nun die Maßeinheit wiederum weiter zur nächst kleineren hin umrechnen, dann muss man 50000 m mit der Umrechnungszahl 10 multiplizieren. Hierbei ergibt sich dann die Größenangabe 500000 dm usw.; 7 t wird mit der Umrechnungszahl 1000 multipliziert, so erhält man 7000 kg. Möchte man nun die Maßeinheit wiederum weiter zur nächst kleineren hin umrechnen, dann muss man 7000 kg wiederum mit der Umrechnungszahl 1000 multiplizieren. Dadurch ergibt sich dann die Größenangabe 7000000 g; 5 a wird mit der Umrechnungszahl 365 multipliziert, so erhält man 1825 d. Möchte man nun die Maßeinheit wiederum zur nächst kleineren hin umrechnen, so muss man 1825 d mit der Umrechnungszahl 24 multiplizieren. Hierdurch ergibt sich dann die Größenangabe 43800 h usw.).

Genauso wie bei den Größen Länge, Gewicht und Zeitdauer bei der Umrechnung in andere Einheiten eindeutige Umrechnungszahlen gelten, gibt es für die Größen Fläche und Rauminhalt ebenso welche. Nachfolgend sind diese wieder bildhaft veranschaulicht.

Durch diese bildhafte Veranschaulichung soll ebenso aufgezeigt werden, dass von links nach rechts die Maßeinheiten der Größen Flächen und Rauminhalt (Volumen) größer werden (rote Pfeilrichtung). Hierbei wird jeweils mit einer bestimmten Umrechnungszahl eine Division durchgeführt. Dagegen werden umgekehrt die Maßeinheiten derselben Größen von rechts nach links kleiner (blaue Pfeilrichtung). Hierbei wird stets mit einer bestimmten Umrechnungszahl eine Multiplikation durchgeführt.

Umrechnung von Flächeneinheiten und Einheiten für Rauminhalten

Hierbei ist im Fach Mathematik bei der Größe Fläche die kleinste gängige Maßeinheit mm² (Quadratmillimeter), die nächst größere cm² (Quadratzentimeter), die wiederum nächst größere dm² (Quadratdezimeter) die daraufhin nächst größere (Quadratmeter), die darauffolgende nächst größere a (Ar) und die daraufhin folgende Maßeinheit ha (Hektar) und die darauffolgende letzte relevante km² (Quadratkilometer). Die Umrechnungszahl von mm² in cm² ist hierbei 100, von cm² in dm² ebenso 100, von dm² in m² ebenfalls 100, von m² in a beträgt die Umrechnungszahl ebenso 100 und von a in ha ebenfalls 100 sowie von ha in km² auch 100. Die Umrechnungszahlen gelten natürlich auch in umgekehrter Richtung! Daher ist die Umrechnungszahl von km² in ha 100, von ha in a ebenfalls 100, von a in m² ebenso 100, von m² in dm² ebenfalls 100, von dm² in cm² ebenso 100 sowie von cm² in mm² auch 100.

Bei der Größe Rauminhalt (Volumen) ist im Fach Mathematik hingegen die kleinste gängige Maßeinheit mm³, die nächst größere cm³, die daraufhin nächst größere dm³ und die darauffolgende letzte relevante . Die Umrechnungszahl von mm³ in cm³ ist hierbei 1000, von cm³ in dm³ ebenso 1000 und von dm³ in m³ ebenfalls 1000. Natürlich gelten auch hier die Umrechnungszahlen in umgekehrter Richtung! Daher ist die Umrechnungszahl von m³ in dm³ 1000, von dm³ in cm³ ebenfalls 1000 und von cm³ in mm³ ebenso 1000 (Anmerkung: Für Rauminhalte/Volumen gibt es noch folgende spezielle Beziehungen verschiedener Maßeinheiten: 1 l sind 1 dm³; 1 ml sind 1 cm³; 1 l sind 1000 ml; 1 hl sind 100 l).

Damit man nun eine Fläche oder ein Rauminhalt stets dahingehend umrechnen kann, dass deren Maßeinheit jeweils größer wird, muss man ihre Maßzahl mit einer bestimmten Umrechnungszahl dividieren. Hält man diese Umrechnungszahl jeweils ein, so kann man auch stets die Maßeinheit der Größenangabe problemlos verkleinern (Beispiele: 90000 mm² wird mit der Umrechnungszahl 100 dividiert, so erhält man 900 cm². Möchte man nun die Maßeinheit weiter zur nächst größeren hin umrechnen, so muss man 900 cm² wiederum durch die Umrechnungszahl 100 dividieren. Hierdurch erhält man dann die Größenangabe 9 dm² usw.; 2000000 mm³ wird durch die Umrechnungszahl 1000 dividiert, so erhält man 2000 cm³. Möchte man nun die Maßeinheit weiter zur nächst größeren hin umrechnen, so muss man 2000 cm³ wiederum durch die Umrechnungszahl 1000 dividieren. Dadurch erhält man die Größenangabe 2 dm³ usw.).

Damit man hingegen nun eine Fläche oder ein Rauminhalt stets derart umrechnen kann, dass deren Maßeinheit jeweils kleiner wird, muss man ihre Maßzahl mit einer bestimmten Umrechnungszahl multiplizieren. Hält man hier ebenso die bestimmte Umrechnungszahl stets ein, so kann man jeweils die Maßeinheit der Größenangabe problemlos verkleinern (Beispiele: 5 km² wird mit der Umrechnungszahl 100 multipliziert, so erhält man 500 ha. Möchte man nun die Maßeinheit weiter zur nächst kleineren hin umrechnen, so muss man 500 ha wiederum mit der Umrechnungszahl 100 multiplizieren. Hierdurch ergibt sich die Größenangabe 50000 a; 30 m³ wird mit der Umrechnungszahl 1000 multipliziert, so erhält man 30000 dm³. Möchte man nun die Maßeinheit weiter zur nächst kleineren hin umrechnen, so muss man 30000 dm³ wiederum mit der Umrechnungszahl 1000 multiplizieren. Hierdurch erhält man die Größenangabe 30000000 cm³ usw.).

Da es bei der Größe Geldwert nur zwei Maßeinheiten gibt, spielt diese Größe im Fach Mathematik bei Größen-Umrechnungen kaum eine Rolle. Trotzdem sollte man die Umrechnungszahl hierfür wissen. Hierzu sollte man sich nur Folgendes einprägen.

1 Euro = 100 Cent

Dadurch weiß mann, dass die Umrechnungszahl von Cent in Euro und von Euro in Cent jeweils 100 ist. Die Maßeinheit für Cent ist hierbei ct, die für Euro €.

Falls ein Schüler bei der Umrechnung von Größen Probleme hat, sollte eine Nachhilfe vier Punkte aufgreifen:

  1. Das Auswendiglernen der verschiedenen Maßeinheiten und das natürlich der Reihenfolge nach (von der kleinsten oder größten her beginnend)
  2. Das Auswendiglernen der Umrechnungszahlen
  3. Das Üben der Grundrechenarten Multiplikation und/oder Division
  4. Das Üben von Dezimalzahlen

Im Fach Mathe treten immer wieder in verschiedenen Klassenstufen Aufgaben auf, in denen die Maßeinheiten von Größenangaben richtig umgerechnet werden müssen. Daher ist ein korrektes Beherrschen überaus wichtig, da das Umrechnen immer auch schon Punkte gibt und somit in die Note einfließt.

Nach so viel Mathematik-Stoff für den Geist hat man sich auf jeden Fall eine tollen Entspannungssong verdient, in dem die wichtigste „Bezugsgröße“ von Ernie zeitweise verschwunden ist!

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Größen

Das Stoffgebiet Größen ist ein Musterbeispiel dafür, dass die Mathematik in der Schule auch oftmals einen konkreten Bezug zu unserem Alltag hat. Denn unser ganzes Leben ist umgeben von Größen – wie ein normaler Schultag beweist!

Lineal zum Messen von Längen © S. Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Lineal zum Messen von Längen © S. Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Schon morgens, wenn man aufsteht, ist hierbei die Uhrzeit (7.00 Uhr) von großer Wichtigkeit. Schließlich ist ein Zuspätkommen in der Schule sehr unerwünscht. Am Küchentisch achten bereits die Eltern mit einem guten ausgewogenen Frühstück darauf, dass der eigene Nachwuchs sich stets gesund ernährt und somit auch ein normales Körpergewicht (40 kg) hat. Auf dem Weg zur Schule spielt die Entfernung (900 m) eine große Rolle, da man je nach Distanz nämlich dorthin hauptsächlich mit dem Schulbus, einem Auto, der S- oder U-Bahn, dem Fahrrad oder auch sogar zu Fuß hingelangt. Möchte man sich während der großen Pause oder nach der Schule noch einen kleinen Snack kaufen, dann benötigt man hierfür bekanntermaßen Geld (3 €). Zurück zuhause ärgert man sich wieder einmal bei den Hausaufgaben über sich selbst, dass die Arbeitsfläche (2 m²) des Schreibtischs mit Spielzeug und anderem Kram restlos zugestellt ist. Auch weiß man wiederum nicht, wohin mit dem ganzen Zeug, da auch kein Platz mehr in den Schubladen (6 dm³) und der Spielkiste (1 m³) ist! Und wenn man abends müde erneut in seinem Bett liegt und auf die Uhrzeit (20 Uhr) seines Weckers schaut, stellt sich sofort das Au-Backe-schon-wieder-ein-Schultag-vorbei-Gefühl ein.

Wie man schön an einem x-beliebigen Schultag eines Schüler sieht: Größen ordnen unser Leben! Und dadurch finden wir uns in unserem Alltag leichter zurecht!

  • In der Schule lernt man in Mathe 6 Größen kennen: die Zeitdauer, das Gewicht, die Länge, die Fläche und den Rauminhalt / das Volumen sowie die Größe Geldwert.
  • Alle in der Mathematik in der Schule behandelten Größen bestehen aus Größenangaben, wie zum Beispiel 7 Uhr, 40 kg, 3 km, 3 €, 2 m², 6 dm³.
  • Alle Größenangaben bestehen aus einer Maßzahl und einer Maßeinheit.
  • Durch die Maßeinheit weiß man immer, welche Größe gemeint ist.

Die Maßeinheit einer bestimmten Größe wird in der Mathematik jeweils mit einer bestimmten Abkürzung wiedergegeben.

In dieser Tabelle findet man eine übersichtliche Darstellung von 5 im Fach Mathematik relevanten Größen mit Maßzahl, Maßeinheit und deren Abkürzung. Die Größe Geldwert wurde hier absichtlich nicht mit aufgelistet, da sie eine Sonderstellung einnimmt. Denn sie ist nicht wirklich messbar und deshalb hinsichtlich ihrer Größenangabe stets sehr relativ.

Größen in Tabelle veranschaulicht
Größen in Tabelle veranschaulicht

 

Für jede Größe gibt es in der Mathematik verschiedene Maßeinheiten. Und das macht auch absolut Sinn! Denn eine bestimmte Größe kann ja eher groß oder klein sein. Damit nun auch die hierzu gehörige Maßzahl nicht zu groß oder zu klein wird, wählt man normalerweise immer eine passende Maßeinheit. Nur so bleibt gewährleistet, dass man die Größe richtig einordnen kann! Deshalb gibt man zum Beispiel für die Größenangabe 3480 s auch 58 min an und für die Größenangabe 50000 m 50 km.

Folgende Maßeinheiten sind in Mathe in der Schule bei den Größen wichtig:

  • Zeitdauer: a (Jahr), d (Tag), h (Stunde), min (Minute), s (Sekunde)
  • Gewicht: t (Tonne), kg (Kilogramm), g (Gramm), mg (Milligramm)
  • Länge: km (Kilometer), m (Meter), dm (Dezimeter), cm (Zentimeter), mm (Millimeter)
  • Fläche: km² (Quadratkilometer), ha (Hektar), a (Ar), m² (Quadratmeter), dm² (Quadratmeter), cm² (Quadratzentimeter), mm² (Quadratmillimeter)
  • Rauminhalt: m³ (Kubikmeter), dm³ (Kubikdezimeter), cm³ (Kubikzentimeter), mm³ (Kubikmillimeter)

Ferner wird noch die Größe Geldwert behandelt. Hierbei gibt es aber nur zwei Maßeinheiten.

  • Geldwert: Euro (€), Cent (ct)

Wenn man in Mathe Probleme mit Größen hat, dann sollte man unbedingt in ein paar Nachhilfe-Sitzungen noch einmal alle oder einzelne dieser Stoffgebiete durchgehen: die ganzen Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und die Dezimalzahlen.

Da jene vorausgesetzten Stoffgebiete noch nicht allzu schwierig sind, kann man die Nachhilfe-Sitzung entweder alleine, mit Freunden oder mit einem Elternteil durchführen.

In nachfolgendem Ausschnitt eines Disney-Klassikers sind übrigens auch viele Größen zu sehen, auch berühmt gewordene Zeichentrick-Filmfigur-Größen!

Ich hoffe, dass ihr alle durch meine Nachhilfe-Lektion in Mathe zu Größen etwas gelernt habt – und dass ihr jetzt wieder etwas mehr Spaß im Fach Mathematik habt!

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Gleichungen

Spickzettel zu im Fach Mathe wichtigen Formeln © Claudia Hautumm PIXELIO www.pixelio.de

1. Grundlegendes zu Gleichungen

Was eine Gleichung ist, kann man am einfachsten verstehen, wenn man das zentrale mathematische Zeichen bei Gleichungen verstanden hat das Gleichheitszeichen.

Ein Gleichheitszeichen „verlangt/fordert“ nämlich immer Gleichheit und das bei allen Gleichungen. Aber zwischen was oder wem? Immer zwischen den beiden Termen, die normalerweise rechts und links des Gleichheitszeichens stehen. Hierbei „verlangt/fordert“ ein Gleichheitszeichen aber von beiden Termen „zeichengemäß“, dass sich ihre mögliche Gleichheit stets absolut eindeutig zeigt was jedoch nur über den jeweiligen Term-Wert möglich ist. Aus diesem Grund muss man bei einer Gleichung immer zuerst die Variable bestimmen, um eindeutig feststellen zu können ob das „Verlangen/die Forderung“ des Gleichheitszeichens von den beiden Termen auch wirklich erfüllt wird. Hat man nun die Variable bestimmt und bewiesen, dass rechts und links der Gleichung die Term-Werte gleich groß sind dann ist das Gleichheitszeichen auch endlich „zufrieden“.

In der Sprache der Mathematik gesprochen heißt das korrekt, dass dann eine Lösung für die Gleichung vorliegt. Denn die Aussage der Gleichung ist dann wahr (wenn nach dem Einsetzen der Lösung in die Gleichung eine wahre Aussage entsteht). Alle Lösungen, die man bei einer jeweiligen Gleichung findet, bilden hierbei schließlich die Lösungsmenge. Die Lösungsmenge stellt immer eine Teilmenge in Bezug auf die Grundmenge der Variablen dar. Ist nichts anderes festgelegt, so ist diese Menge immer {\mathbb R}.

Abschließend werden alle Lösungen in der Mathematik wie folgt wiedergegeben: L = {in den geschweiften Klammern stehen alle Lösungen, getrennt durch ein Semikolon und normalerweise zuerst die kleinere Zahl vor der nächst größeren Zahl usw.}, Beispiel: L = {–2; 4}. Hier hat eine Gleichung die Lösungen x = –2 und x = 4.

 

2. Verschiedene Lösungen von Gleichungen

Je nach Gleichung kann eine Gleichung eine oder mehrere Lösungen haben, unendlich viele Lösungen oder keine Lösung.

 

2.1 Eine Lösung einer Gleichung

Es ist folgende Gleichung gegeben: 8x + 4 = 20.

Durch Einsetzen verschiedener Zahlen in die Variable kann man nun jeweils überprüfen, wann durch eine Zahl die Gleichung „wahr“ wird. Anhand der Zahlen x = 0, x = 1 und x = 2 soll das nun überprüft werden (hierbei hätte man natürlich auch jede andere Zahl nehmen können, da es vom Definitionsbereich her keine Einschränkung gibt).

Bei x = 0 ergibt sich:

8 · 0 + 4 = 20 <=> 4 = 20.

Das Ergebnis der Gleichung ist „unwahr“ und demzufolge x = 0 keine Lösung dieser Gleichung.

Bei x = 1 ergibt sich:

8 · 1 + 4 = 20 <=> 8 + 4 = 20 <=> 12 = 20.

Wie man unschwer sieht, ist x = 1 auch keine Lösung der Gleichung, da das Ergebnis wiederum „unwahr“ ist.

Bei x = 2 ergibt sich nun:

8 · 2 + 4 = 20 <=> 16 + 4 = 20 <=> 20 = 20.

Jetzt ist das Ergebnis der Gleichung „wahr“, folglich ist x = 2 eine Lösung dieser Gleichung.

Daher ist L = {2}.

Da in dieser Gleichung nur eine Variable mit der Potenz 1 vorkommt (8x bzw. 8x¹), ist dies auch die einzige Lösung der Gleichung.

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Das Äquivalenzzeichen/ „<=>“ gibt beim schrittweisen Lösen einer Gleichung jeweils an, dass alle Algebra-Umformungen die Lösungsmenge der Ursprungsgleichung/Ausgangsgleichung nicht verändern.

 

2.2 Mehrere Lösungen einer Gleichung

Es ist folgende Gleichung gegeben: x² = 4.

Durch Einsetzen der Zahlen x = – 2, x = – 1, x = 0, x = 1, x = 2 soll überprüft werden, welches Lösungen der Gleichung sind.

Bei x = – 2 ergibt sich:

(– 2)² = 4 <=> 4 = 4;

bei x = – 1 ergibt sich:

(– 1)² = 4 <=> 1 = 4;

bei x = 0 ergibt sich:

0² = 4 <=> 0 = 4;

bei x = 1 ergibt sich:

1² = 4 <=> 1 = 4;

bei x = 2 ergibt sich:

2² = 4 <=> 4 = 4.

Wie man schön sieht, sind x = –2 und x = 2 Lösungen der Gleichung.

Daher ist die Lösung hier L = {–2; 2}.

Da in der Gleichung nur eine Variable mit der Potenz 2 (x²) vorkommt, sind diese beiden die einzigen Lösungen der Gleichung.


2.3 Unendlich viele Lösungen einer Gleichung

Je nach Gleichung kann aber auch die Lösungsmenge gleich aller im Definitionsbereich möglichen Zahlen sein, das heißt, dass es hier dann unendlich viele Lösungen gibt.

Folgende Gleichung ist gegeben: 5x + 2 = 5x + 2

Sind beide Terme rechts und links des Gleichheitszeichens absolut gleich, dann gibt es für eine Gleichung immer unendlich viele Lösungen. Denn, egal welchen Wert man in die Variablen einsetzt, das Ergebnis der Gleichung ist immer „wahr“.

Durch Einsetzen beliebiger Zahlen in die Variablen wie beispielsweise x = –12; x = 0; x = 99999 kann dies leicht überprüft werden.

Bei x = –12 ergibt sich:

5 · (–12) + 2 = 5 · (–12) +2 <=> –60 + 2 = –60 + 2 <=> –58 = –58 ;

bei x = 0 ergibt sich:

5 · 0 + 2 = 5 · 0 + 2 <=> 0 + 2 = 0 + 2 <=> 2 = 2;

bei x = 99999 ergibt sich:

5 · 99999 + 2 = 5 · 99999 + 2 <=> 499995 + 2 = 499995 + 2 <=> 499997 = 499997.

Wie man schön sieht, ist jede Zahl, die man in die Gleichung einsetzt, eine Lösung der Gleichung. Denn alle Ergebnisse der Gleichung sind „wahr“. Die Lösungsmenge ist deshalb, abhängig von der Klassenstufe, die größtmögliche Zahlenmenge. Je nach Klassenstufe ist das entweder {\mathbb Q} oder {\mathbb R} und somit hier die Lösung L = {\mathbb Q} bzw. L = {\mathbb R}.

 

2.4 Keine Lösung einer Gleichung

Aber Gleichungen können auch keine Lösung haben. Dann ist die Lösungsmenge leer.

Folgende Gleichung ist gegeben: 3x + 9 = 3x + 7

Sind beide Variablen rechts und links des Gleichheitszeichens absolut gleich, die anderen rechts und links des Gleichheitszeichens noch vorkommenden Einzelterme jedoch nicht, dann gibt es keine Lösung für die Gleichung. Denn, egal welchen Wert man in die Variablen einsetzt, das Ergebnis ist immer unwahr“.

Durch beliebige Zahlen wie beispielsweise x = –39; x = 0; x = 12003, die man in die Variablen einsetzt, kann man dies leicht überprüfen.

Bei x = –39 ergibt sich:

3 · (–39) + 9 = 3 · (–39) + 7 <=> –117 + 9 = –117 + 7 <=> –108 = –110;

bei x = 0 ergibt sich:

3 · 0 + 9 = 3 · 0 + 7 <=> 0 + 9 = 0 + 7 <=> 9 = 7;

bei x = 12003 ergibt sich:

3 · 12003 + 9 = 3 · 12003 + 7 <=> 36009 + 9 = 36009 + 7 <=> 36018 = 36016.

Wie man schön sieht, ergibt sich durch jede Zahl, die man in die Variablen einsetzt, ein unwahres“ Ergebnis. Die Lösungsmenge bleibt deshalb immer leer und die Zahlenmenge ist demzufolge eine leere Menge.

Die Lösung ist daher hier L = { } bzw. L = {\varnothing}. Beide Schreibweisen sind in Mathe üblich.

 

3. Äquivalenzumformungen bei Gleichungen

Normalerweise kann man die Lösung einer Gleichung nicht dadurch ermitteln, dass man „einfach“ verschiedene Zahlen in die vorhandenen Variablen einer Gleichung einsetzt und gewissermaßen so lange herumprobiert, bis man die richtige Lösung gefunden hat. Denn in der Regel ist eine Gleichung aus zahlreichen sehr unterschiedlichen Einzeltermen aufgebaut, so dass man derart eine mögliche Lösung nicht „erahnen“ und somit finden kann. Außerdem muss man im Fach Mathe Gleichungs-Aufgaben, wie andere Mathematik-Aufgaben auch, stets in einem vorgeschriebenen Zeitintervall lösen. Ein stetiges Ausprobieren von Zahlen, die eine mögliche Lösung der Gleichung sein könnten, widerspricht deshalb auch der schulischen Zielsetzung im Fach Mathematik. Aus diesem Grund muss bei Gleichungen immer ein zielgerichtetes Lösen angewandt werden, das heißt mittels eines Lösungsweges, der möglichst schnell zum richtigen Ergebnis der Gleichung führt. Indem man stetig auf einer Seite der Gleichung die Variable separiert, macht man dies – und dadurch kommt man schließlich zur Lösungsmenge der Gleichung.

Das schrittweise Lösen einer Gleichung bzw. das Separieren der Variablen geht hierbei vielfach über sogenannte Äquivalenzumformungen.

Äquivalenzumformungen sind hierbei immer Rechenoperationen, die mit den Grundrechenarten „+“, „–“, „·“ und „:“ an Gleichungen durchgeführt werden und mit denen man stets Schritt für Schritt näher zur Lösung der Gleichung gelangt. Denn durch zielgerichtete Äquivalenzumformungen wird eine Gleichung immer schrittweise vereinfacht.

 

Definition von Äquivalenzumformungen

Gleichungen nennt man zueinander äquivalent, wenn diese Gleichungen jeweils die gleiche Lösungsmenge vorweisen.

Die sogenannte Additions- und Subtraktionsregel bei Gleichungen

Addiert oder subtrahiert man auf den beiden Seiten einer Gleichung jeweils dieselbe Zahl, dann bleibt die Lösungsmenge hierdurch unverändert. Man sagt die Gleichungen sind äquivalent zueinander.

Die sogenannte Multiplikations- und Divisionsregel bei Gleichungen

Multipliziert man beide Seiten einer Gleichung jeweils mit derselben Zahl oder dividiert man beide Seiten einer Gleichung jeweils durch dieselbe Zahl (die Zahl muss hierbei immer ungleich null sein!), dann bleibt die Lösungsmenge dadurch unverändert. Man sagt die Gleichungen sind äquivalent zueinander.

Bei einer Multiplikation auf beiden Seiten der Gleichung darf niemals als Faktor die Zahl Null verwendet werden, da es sich hierbei um keine Äquivalenzumformung handelt.

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Die Multiplikation und Division darf sich bei Gleichungen immer nur auf die nackte“ Zahl vor den Variablen und anderen vorkommenden reinen“ Zahlen beziehen. Multipliziert man eine Gleichung mit einer Variablen durch oder dividiert man bei einer Gleichung durch eine Variable beziehungsweise kürzt man hierbei eine Variable heraus, so handelt es sich nicht mehr um eine Äquivalenzumformung. Ebenso darf man Gleichungen nicht mit der Zahl Null durchmultiplizieren, da dann alle Gleichungen das gleiche, verfälschte Ergebnis liefern, nämlich unendlich viele Lösungen. Ein Teilen durch Null – wie man bereits seit dem Erlernen der Grundrechenart Division weiß – ist ebenfalls nicht erlaubt.

Anhand einer ausgewogenen Wippe, an deren beiden Enden zwei gleichgroße Boxen stehen, kann anschaulich erklärt werden, was eine Äquivalenzumformung bei Gleichungen genau ist.

Kinder auf Wippe © Dieter Schütz PIXELIO www.pixelio.de

Wir nehmen nun hierbei Folgendes an: In der linken Box der Wippe befinden sich 8 gleichschwere Gewichte, die jeweils 1 kg wiegen, und jeweils 10 gleichschwere Dosen, deren Gewicht unbekannt ist. In der rechten Box der Wippe liegen hingegen 10 gleichschwere Gewichte, die jeweils 1 kg wiegen, und jeweils 4 gleichschwere Dosen, deren Gewicht unbekannt ist. Das vorhandene „ausgewogene“ Gleichgewicht auf der Wippe lässt sich nun mittels dieser Gleichung wiedergeben:

8 + 10x = 10 + 4x.

Das x bei dieser Gleichung ist hier das unbekannte Gewicht der Dosen – und das kann man nun ganz einfach durch Äquivalenzumformen ermitteln.

Wie oben bereits erwähnt, sind Äquivalenzumformungen Rechenoperationen, die mit den Grundrechenarten „+“, „–“, „·“ und „:“ an jeglichen Gleichungen durchgeführt werden können, um sich Schritt für Schritt der Lösung einer Gleichung zu nähern. Bei der Gleichung 8 + 10x = 10 + 4x wird nun exemplarisch aufgezeigt werden, wie Äquivalenzumformungen an Gleichungen korrekt angewendet werden.

Um nun genau zu wissen, welche Äquivalenzumformungen bei einer Gleichung jeweils sinnvoll sind und somit schnellstmöglich zielgerichtet hin zur Lösung führen, muss man sich immer vor Augen führen, wie eine zu lösende Gleichung genau aufgebaut ist.

Wie man an der Gleichung 8 + 10x = 10 + 4x sehen kann, setzt diese sich jeweils rechts und links des Gleichheitszeichens aus zwei Einzeltermen zusammen, die stets mit einem Plus miteinander verbunden sind. Die beiden Einzelterme rechts und links des Gleichheitszeichens bestehen hierbei jeweils aus einer „nackten“ Zahl und einer mit einer Variablen verbundenen Zahl. Jetzt gilt bei dem zielgerichteten Lösen einer Gleichung Folgendes:

Jeweils davon abhängig, nach welchen Rechenzeichen sich die gleichartigen Einzelterme einer Gleichung zusammensetzen, werden die Äquivalenzumformungen durchgeführt – und das stets mittels der umgekehrten Rechenoperation. Konkret heißt das: Bei „+“ werden „–“-Äquivalenzumformungen und bei „–“„+“-Äquivalenzumformungen durchgeführt. Ebenso werden bei „·“ „:“-Äquivalenzumformungen und bei „:“„·“-Äquivalenzumformungen gemacht. Und weil die getätigten Rechenoperationen jeweils Äquivalenzumformungen sein sollen, müssen diese jeweils gleichermaßen rechts und links des Gleichheitszeichen durchgeführt werden. Die getätigte Rechenoperation wird hierbei stets zusätzlich an der rechten Seite der Gleichung hingeschrieben, abgetrennt durch das Operatorzeichen |.

Darüber hinaus müssen natürlich die zielgerichteten Äquivalenzumformungen immer dahin gehen, dass am Ende auf einer Seite der Gleichung nur die unbekannte Variable steht und auf der anderen Seite der Gleichung eine „nackte“ Zahl. Das nennt man das Separieren der Variablen – und nur dadurch erhält man ein absolut eindeutiges Ergebnis.

Wir lösen nun die Gleichung 8 + 10x = 10 + 4x Schritt für Schritt über Äquivalenzumformungen:

Zuerst eliminieren wir hier die „nackte“ Zahl 8, indem die Äquivalenzumformung „– 8“ durchgeführt wird.

8 (–8) + 10x = 10 (–8) + 4x     |   – 8   <=>

0 + 10x = 2 + 4x     <=>

10x = 2 + 4x

Darauf eliminieren wir das „4x“, indem wir die Äquivalenzumformung „– 4x“ machen.

10x (–4x) = 2 + 4x (–4x)    |   – 4x   <=>

6x = 2

Zum Schluss eliminieren wir den Faktor 6, indem wir die Äquivalenzumformung „:6“machen.

6x : 6 = 2 : 6     |   : 6 <=>

x = {\frac{2}{6}   <=>

x = {\frac{1}{3}

Die Lösung der Gleichung ist demzufolge L = {{\frac{1}{3}}.

Hinsichtlich des „ausgewogenen“ Gewichts bei der Wippe kann jetzt genau gesagt werden, dass rechts und links in den Boxen die Dosen jeweils {\frac{1}{3} kg wiegen und dass das Gesamtgewicht rechts und links der Boxen schließlich, 8 + 10 · {\frac{1}{3}. = 10 + 4 · {\frac{1}{3} <=> 8 + {\frac{10}{3}. = 10 + {\frac{4}{3} <=> 11 {\frac{1}{3} = 11 {\frac{1}{3}, jeweils 11 {\frac{1}{3} kg ist.

 

3.1 Die Probe an der Gleichung

Die Lösung in die Ursprungsgleichung einzusetzen, nennt man die Probe. Nur wenn dann „rechts“ und „links“ der Gleichung das gleiche Ergebnis herauskommt, bestätigt die Probe die Richtigkeit der Ergebnisses. Ist das nicht der Fall, so ist der Ergebnis keine Lösung der Gleichung.

Obige Lösung x = {\frac{1}{3} würde dann mittels Probe noch einmal korrekt in der Ursprungsgleichung eingesetzt so aussehen:

8 + 10 · ({\frac{1}{3}) = 10 + 4 · ({\frac{1}{3})    <=>

8 + {\frac{10}{3} = 10 + {\frac{4}{3}    <=>

11{\frac{1}{3} = 11{\frac{1}{3}

Die Probe bestätigt die Richtigkeit des Ergebnisses.

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Wäre bei der Probe nicht eine wahre Aussage entstanden, so hätte es sich nicht um eine Lösung der Gleichung gehandelt.

 

3.2. Übliche Schreibweise von Äquivalenzumformungen in der Schule

In der Schule werden normalerweise die Äquivalenzumformungen jeglicher Gleichungen nur verkürzt wiedergegeben. Man sagt hierbei oftmals auch bei Plus- und Minus-Äquivalenzumformungen, damit die Schüler sich die zielführenden Lösungsschritte besser einprägen können, „es wird der eine Term auf die andere Seite gebracht“ – was zwar aus Mathe-Sicht nicht wirklich zu 100 % korrekt ist. Innerhalb der auf dem Blatt stehenden Lösungsschritte – wo ja keinerlei Phonetik mehr zu höhren ist – ist der zielführende Lösungsweg deshalb aber trotzdem dann richtig. Und das ist aus der Mathematik-Sicht das alles Entscheidende.

Nachfolgend wird anhand der gleichen Gleichung gezeigt, wie verkürzte, in der Schule übliche Äquivalenzumformungen aussehen.

8 + 10x = 10 + 4x     |   – 8    <=>

(hier sagt man, man bringt das „– 8″ auf die andere Seite der Gleichung. Gleichzeitig lässt man dann bei der darauf sich ergebenden Gleichung auf der einen Seite das „+ 8″ weg.

10x = 10 (–8) + 4x           <=>

10x = 2 + 4x     |    – 4x    <=>

(hier sagt man, man bringt das „– 4x“ auf die andere Seite der Gleichung. Gleichzeitig lässt man dann bei der sich daraus ergebende Gleichung wiederum auf der einen Seite das „+ 4x“ weg.

10x (–4x) = 2       <=>

6x = 2     |   : 6     <=>

(bei der Division ist in der Schule ebenfalls eine verkürzte Schreibweise üblich. Diese Rechenoperation wird aber nicht mehr mit einer bestimmten eigenen Aussage gelernt. Man lässt einfach bei der sich daraus ergebenden Gleichung erneut auf der einen Seite der Gleichung das „·“, hier in diesem Beispiel das „· 6“, weg. Auf die gleiche Weise verhält es sich bei Rechenoperationen mit der Grundrechenart Multiplikation.

x = 2 : 6     <=>

x = {\frac{2}{6}        <=>

x = {\frac{1}{3}

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Jede Gleichung kann man auch immer um gewissermaßen 180º drehen. Hierbei handelt es sich auch um eine Äquivalenzumformung.

Beispiel:

8 + 10x = 10 + 4x <=> 10 + 4x = 8 + 10x

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