Additionsverfahren

1. Allgemeines zum Additionsverfahren

Beim Lösen eines linearen Gleichungssystems (LGS) mittels dieses Lösungsverfahrens steht das Addieren (oder auch Subtrahieren) von Gleichungen im Mittelpunkt.

Das Lösen eines linearen Gleichungssystems mittels des Additionsverfahrens kann auf zwei verschiedene Arten durchgeführt werden:

a) Man eliminiert beim LGS die Variable x.

b) Man eliminiert beim LGS die Variable y.

Man kann auch bei einem LGS beide Gleichungen voneinander abziehen. Hier liegt streng genommen ein Subtraktionsverfahren vor. Da man aber auch eine Subtraktion immer hin zu einer algebraischen Summe („–“ ist gleich „+“ “) umwandeln kann, ist das Subtraktionsverfahren kein eigenständiges Lösungsverfahren. Es kann daher auf das Additionsverfahren zurückgeführt werden.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch ergänzend die Erläuterung zur algebraischen Summer unter dem Reiter Terme 1.2 Eine algebraische Summe an.

 

1. Erster Lösungsweg mittels des Additionsverfahrens

Der erste Lösungsweg beinhaltet, dass man die Variable x eliminiert. Hierfür muss aber gewährleistet sein, dass der Koeffizient beider Variablen jeweils Gegenzahlen sind (hier: 4 und –4). Da das hier noch nicht der Fall ist, muss man die erst Gleichungen mit dem Faktor „–4“ malnehmen (was nichts anderes als eine Äquivalenzumformung ist). Die andere Gleichung bleibt hierbei unverändert. Die mittels Äquivalenzumforumgen veränderte Gleichung wird dann als III. bezeichnet.

I.      x + 7y = 5                         Ι  · (–4)

II.     4x + y = –7

 

I.      –4x – 28y = –20

III.     4x + y = –7

 

Jetzt kann man beide Gleichungen miteinander addieren. Die Gleichung, die man nicht mittels einer Äquivalenzumformung verändert hat, bleibt hierbei unverändert so stehen. Das „–4x“ + „4x“ eliminiert sich hierbei. „–28y“ + „y“ ergibt „27y“ und „–20“ + „–7“ ist „–27“. Durch die Addition von Gleichung II. mit Gleichung I. bleibt jetzt nur noch die Variable y übrig. Jetzt muss man nur noch den Koeffizienten vor der Variablen eliminieren.

IV.     –27y = –27             Ι  · (–27)

 

IV.     y = 1

Die erste Lösungskoordinate setzt man nun als Nächstes in die Gleichung ein, die unverändert blieb bzw. in einer der beiden Ursprungsgleichungen. Anschließend löst man diese Gleichung nach der Variablen x hin auf.

II.      4x + 1 = –7                   Ι  – 1

 

II.      4x = –8                          Ι  : 4

 

II.      x = –2

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Nach der Addition beider Gleichungen behält man normalerweise eine der beiden Ursprungsgleichungen bei. Es handelt sich ja um ein LGS. Deshalb weist diese ja immer auch zwei Gleichungen auf. Der bessern Übersicht wegen wird hier aber darauf verzichtet.

 

Man kann nun die Ergebnisse mittels Probe überprüfen.

I.      –2 + 7 · (1) = 5

II.     4 · (–2) + (1) = –7

 

I.      –2 + 7 = 5

II.     –8 + 1 = –7

 

I.      5 = 5

II.     –7 = –7

Die Probe bestätigt die Richtigkeit des Ergebnisses.

 

Die Lösungsmenge des LGS ergibt daher folgendes Lösungspaar:

 L = {(–2 Ι 1)}.

 

2. Zweiter Lösungsweg mittels Additionsverfahren

Der zweite Lösungsweg sieht vor, dass das LGS nach der Variablen y hin aufgelöst wird. Der Koeffizient muss hier wiederum Gegenzahlen vorweisen (hier: 6 und –6). Damit die eine Gleichung diese vorweist, muss diese mit dem Faktor 6 malgenommen werden (das stellt wiederum eine Äquivalenzumforumg dar). Die andere Gleichung bleibt hierbei wiederum unverändert. Die Gleichung, die man mittels Äquivalenzumformung verändert hat, wird dasnn als III. bezeichnet.

I.     –5x + y = 6                       Ι  · 6

II.     2x – 6y = 48

 

III.     –30x + 6y = 36

II.     2x – 6y = 48

Beide Gleichungen können nun miteinander addiert werden. Die Gleichung, bei der keine Äquivalenzumformung durchgeführt worden ist, bleibt dann unverändert so stehen. Das „–30x“ + „2x“ ergibt „–28x“, das „6y“ + „–6y“ eliminiert sich und das „36“ + 48 ergibt „84“. Durch die Addition, die bei Gleichung II. mit Gleichung I. durchgeführt wurde, bleibt jetzt nur noch die Variable x übrig. Diese Gleichung muss nun nur noch nach der Variablen hin aufgelöst werden.

IV.     –28x = 84               Ι  · (–28)

 

IV.      x = –3

 

Als Nächstes setzt man nun die eine Lösungkoordinate in die Gleichung ein, die nicht verändert wurde bzw. in eine der beiden Ursprungsgleichungen. Daraufhin löst man die Gleichung nach der Variablen y hin auf.

 

I.     –5 · (–3) + y = 6

 

I.     15 + y = 6                        Ι  – 15

 

I.     y = –9

 

Als Lösungsmenge des LGS ergibt sich folgendes Lösungspaar:

L = {(–3 Ι –9)}.

 

Das Ergebnis kann man nun wiederum mittels Probe überprüfen:

I.     –5 · (–3) + (–9) = 6

II.     2 · (–3) – 6 · (–9) = 48

 

I.     15 – 9 = 6

II.     –6 + 54 = 48

 

I.     6 = 6

II.    48 = 48

Die Probe bestätigt die Richtigkeit des Ergebnisses.

 

3. Dritter Lösungsweg mittels Additionsverfahren

Der dritte Lösungsweg beinhaltet, dass man das lineare Gleichungssystem mittels des Additionsverfahrens entweder nach der Variablen x oder der Variablen y hin auflöst. Oft liegt in Mathe ein LGS vor, bei dem das Auflösen nach der einen Variablen oder nach einer anderen Variablen hin in etwa gleich schwer ist. Ist das der Fall, dann muss man immer beide Gleichungen mittels einer Äquivalenzumformung verändern.

Dieses LGS kann man sowohl nach x oder y hin auflösen. Beides ist hier in etwa gleich schwer.

Um das lineare Gleichungssystem nach der Variablen x hin aufzulösen, muss der Koeffizient vor dem x jeweils bei beiden Gleichungen Gegenzahlen vorweisen. Das erreicht man hier, indem man die erste Gleichung mit dem Faktor –3 malnimmt  und die zweite Gleichung mit dem Faktor 2. Dadurch erhält man als Koeffizienten für x die erforderlichen Gegenzahlen (– 6 und 6).

I.     2x – 3y = 6                         Ι  · (–3)

II.     3x – 2y = 12                      Ι  · 2

 

III.     –6x + 9y = –18

IV.     6x – 4y = 24

Beide Gleichungen können nun miteinander addieren werden. Das „–6x“ und das „6x“ eliminieren sich. „9y“ plus „–4y“ ergibt 5y und –18 plus 24 ergibt 6. Dadurch bleibt nur noch die Variable y übrig und die Gleichung kann nach der Variablen hin aufgelöst werden.

V.     5y = 6                                Ι  : 5

 

V.     y = 1,2

Die erste Lösungskoordinate kann man nun in eine der beiden Ursprungsgleichungen einsetzen. Anschließend löst man die Gleichung nach der Variablen x hin auf.

I.     2x – 3 · (1,2) = 6

 

I.     2x – 3,6 = 6                         Ι  + 3,6

 

I.     2x = 9,6                               Ι  : 2

 

I.     x = 4,8

Das Lösungspaar des LGS ist:

      L = {(4,8 Ι 1,2)}.

 

Das Ergebnis kann wiederum mittels Probe überprüft werden:

 

I.     2 · (4,8) – 3 · (1,2) = 6

II.     3 · (4,8) – 2 · (1,2) = 12

 

I.     9,6 – 3,6 = 6

II.     14,4 – 2,4 = 12

 

I.     6 = 6

II.     12 = 12

Die Probe bestätigt, dass die Lösung des LGS korrekt ist.

 

Damit man das lineare Gleichungssystem nach der Variablen y hin umformen kann, muss wiederum der Koeffizient vor dem y bei beiden Gleichungen die Gegenzahlen vorweisen. Das erzielt man, indem man die erste Gleichung mit dem Faktor –2 malnimmt und die zweite Gleichung mit dem Faktor 3. Hierdurch hat dann der Koeffizient die erforderlichen Gegenzahlen (´6 und – 6).

I.     2x – 3y = 6                         Ι  · (–2)

II.     3x – 2y = 12                      Ι  · 3

 

III.     –4x + 6y = –12

IV:     9x – 6y = 36

Jetzt können beide Gleichungen miteinander addiert werden. Das „–4x“ und das „9x“ ergibt „5x“, das „6y“ und das „–6y“ eliminieren sich und das „–12“ und das „36“ ergibt 24. Nun weist die Gleichung nur noch die Variable x auf und kann somit nach dieser Variablen hin umgeformt werden.

V.     5x = 24                               Ι  : 5

 

V.     x = 4,8

Die erste Lösungskoordinate setzt man nun in eine der beiden Ursprungsgleichungen des LGS ein. Daraufhin löst man die Gleichung nach der Variablen hin auf.

I.     2 · (4,8) – 3y = 6

 

I.     9,6 – 3y = 6                          Ι  – 9,6

 

I.     –3y = –3,6                            Ι  : (–3)

 

I.     y = 1,2

Die zweite Lösungskoordinate ist y = 1,2.

 

Als Lösungsmenge des LGS ergibt sich daher Folgendes:

 L = {(4,8 Ι 1,2)}.

 

Mittels Probe kann das Ergebnis überprüft werden:

I.     2 · (4,8) – 3 · (1,2) = 6

II.     3 · (4,8) – 2 · (1,2) = 12

 

I.     9,6 – 3,6 = 6

II.     14,4 – 2,4 = 12

 

I.     6 = 6

II.     12 = 12

Die Probe bestätigt die Korrektheit des Ergebnisses.

 

Das Ergebnis bei beiden Auflösungen des LGS ist identisch. Das muss auch so sein! Es handelt sich ja jeweils um das gleiche lineare Gleichungssystem. Die Lösung ist daher natürlich auch die Gleiche, egal, ob man zuerst mittels des Additionsverfahrens die Variable x oder die Variable y eliminiert.

 

4. Vorgehensweise beim Lösen eines linearen Gleichungssystems mittels des Additionsverfahrens

Um ein lineares Gleichungssystem mittels des Additionsverfahren zu lösen, geht man folgendermaßen vor.

  1. Zuerst schaut man sich genau die beiden Gleichungen an, damit gewahr wird, wie die Gleichungen am leichtesten mittels Äuquivalenzumformungen vereinfacht werden können.
  2. Darauf multipliziert man eine Gleichung mit einer Zahl oder beide Gleichungen mit Zahlen, so dass bei zwei gleichen Variablen deren Koeffizient jeweils Gegenzahlen sind. Keine Gleichung darf hierbei mit der Zahl Null malgenommen werden.
  3. Die beiden Gleichungen werden jetzt miteinander addiert.
  4. Die durch Addition entstandene Gleichung weist jetzt nur noch eine Variable auf. Diese Gleichung muss mann nun nach der Variablen hin auflösen. Dadurch erhält man die erste Lösungskoordinate. Die zweite Gleichung behält man normalerweise unverändert bei (es handelt sich ja um LGS).
  5. Die erste Lösungskoordinate setzt man in einer der beiden Ursprungsgleichungen des LGS ein. Dadurch weist die Gleichung nur noch eine Variable auf. Diese Gleichung löst man nun nach der Variablen hin auf. Das Ergebnis stellt die zweit Lösungskoordinate dar.
  6. Die Probe bestätigt die Lösung des LGS.
  7. Die beiden Lösungskoordinaten ergeben die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.
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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Funktionen, Teil 3

Eine Funktion in Mathe © Samuel G. PIXELIO www.pixelio.de

Beim Stoffgebiet lineare Funktionen in Mathe lernt man bereits, dass bei Funktionen sowohl immer rechnerisch als auch zeichnerisch Funktionsuntersuchungen gemacht werden können. Lineare Funktionen weisen ja auch, wie alle anderen Funktionen, bestimmte Merkmale/Charakteristika auf. So sind lineare Funktionen beispielsweise normalerweise linear steigend oder fallend (das kann man anhand der Funktionsgleichung ablesen) und sie haben einen Schnittpunkt mit der x- und y-Achse (das kann man beides rechnerisch bestimmen). Der Graph einer linearen Funktion ist hierbei eine Gerade – die dann ebenfalls alle Merkmale/Charakteristika aufweist, welche man rechnerisch bestimmt hat oder bestimmen kann. Aus diesem Grund sind im Fach Mathematik lineare Funktionen auch sehr wichtig, da sie zur Gänze bereits darlegen, was das Besondere an ihnen ist. Bei anderen Funktionen verhält es sich dann genauso. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Stoffgebiet Term, Teil 14

Ermittle die Lösung der Aufagabe! © Stephanie Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Bereits bei dem Stoffgebiet Terme kann in Mathe immer schon eine Textaufgabe/Sachaufgabe als Aufgabe gelöst werden müssen. Hierbei ist es auch möglich, dass diese Textaufgabe/Sachaufgabe bereits aus mehren Teilen besteht – wie das später bei komplexeren Mathematik-Problematiken die Regel ist. Für jeden einzelnen Teil gibt es dann Punkte – oder auch nicht. So ist das. Beim Lösen von Textaufgaben/Sachaufgaben sollte man sich immer vor Augen führen, dass hier das Lesen zentral ist, d. h. auch die Lesegeschwindigkeit. Daher sollte man eine Textaufgabe/Sachaufgabe zuerst immer langsam lesen, damit man deren Inhalt versteht – und deren zur Lösung der Aufgabe relevanten Wörter. Da ein einmaliges Lesen normalerweise nicht ausreicht, sollte man auch eine Textaufgabe/Sachaufgabe immer mehrmals lesen. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Dreisatz, Teil 2

Bio-Eier in idyllischer Umgebung © M. Großmann PIXELIO www.pixelio.de

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Proportional ist ein sehr wichtiges Wort in der Mathematik. Vielen Aufgaben in Mathe liegen nämlich sogenannte proportionale Zuordnungen zugrunde. Was bedeutet aber das Wort proportional genau? Am einfachsten kann man sich das mittels eines Vergleichs vor Augen führen, zum Beispiel bei einem Produkt aus dem Supermarkt. 6 Bio-Eier (natürlich Freilandhaltung) kosten dort beispielsweise 2,10 €. 12 Bio-Eier kosten dann – 4,20 € (also doppelt so viel). Es liegt schließlich eine proportionale Zuordnung vor, d. h. die zugeordneten Größen (hier Bio-Eier → Preis) stehen in einem gleichen Verhältnis zueinander. Das ist sehr praktisch. So kann man schließlich über den sogenannten Dreisatz, der auf proportionalen Zuordnungen fußt, jegliche beliebe Zuordnung berechnen – wie beispielsweise 1 Bio-Ei kostet (wenn man es einzeln im Supermarkt kaufen könnte) oder 105 usw. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Stoffgebiet Prismen, Teil 2

Das Aquarium – ein Prisma für Zierfische © Steve Weißflog PIXELIO www.pixelio.de

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Bei einem Prisma gilt das Gleiche wie bei einem speziellen Viereck. Es können bestimmte Formeln herangezogen werden, um innerhalb einer Aufgabe die gesuchte Größe exakt zu bestimmen. Ein Prisma ist ja auch ein spezieller Körper, der zwei zueinander parallele und kongruente Flächen vorweist. Ein Quadrat, ein Rechteck, ein Parallelogramm oder eine Trapez sind ebenso ganz spezielle Flächen, die jeweils bestimmte Besonderheiten innerhalb ihrer Fläche haben. Das kann man in Mathe nutzen, indem man bei Prismen und speziellen Vierecken Gesetzmäßigkeiten via Formel wiedergegeben kann. Da Prismen dreidimensionale Körper sind, sind natürlich die hier durchzuführenden Rechenoperationen aber auch etwas schwieriger als bei zweidimensionalen Flächen. So ist nun mal die Mathematik! Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu quadratische Funktionen, Teil 3

Normalparabel in verschiedene Richtungen verschoben

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Wie fit man in Mathe in Algebra ist, zeigt sich augenscheinlich bei dem Stoffgebiet quadratische Funktionen. Hier muss man nämlich schon teils schwierigere Termumformungen machen. Weist nämlich eine quadratische Funktion die Form f(x) = x² + px + q auf, dann kann man beispielsweise nicht sofort sagen, wie der Scheitelpunkt der Funktion ist. Hierfür muss man den Term der Funktion algebraisch in die sogenannte Scheitelpunktform umformen. Nur dann kann man schließlich den Scheitelpunkt der Funktion eindeutig bestimmen. Um diese wichtige Termumformung in Mathe korrekt durchzuführen, muss man aber auch die binomischen Formeln gut verinnerlicht haben, da die Scheitelpunktform einen Term darstellen – bestehend aus einer binomischenen Formel. Mathe ist daher alles andere als leicht, aber auch nicht superschwer – wenn man in diesem Fach immer am Ball bleibt! Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Gleichungen, Teil 6

Fundamentale (Bau-)Prinzipien bei Bauklötzen © Daniel Bleyenberg PIXELIO www.pixelio.de

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Inzwischen bereits ein Dauerthema im Mathematik Nachhilfe Blog stellen lineare Gleichungen dar. Das hat natürlich seine Gründe und ist demzufolge alles andere als grundlos. Außenstehende können nämlich sofort immer das Argument anführen, dass man durch das ständig Gleiche ja nichts Neues lernt! IMMER wieder lineare Gleichungen – ist ja auch immer wieder dasselbe. Es gibt hierfür aber dennoch folgende überaus plausible Gründe: Lineare Gleichungen sind die ersten in Mathe thematisierten Gleichungen. Sie stellen daher das Fundament für alle weiteren in Mathematik noch behandelt werdenden Gleichungen dar; die dort thematisierten algebraischen Gesetzmäßigkeiten sind daher auch Fundamentalgesetzmäßigkeiten/Fundamentalprinzipien; lineare Gleichungen weisen bereits viele verschiedene Aufgabentypen auf, die bei komplexeren Aufgaben wiederum auftreten; lineare Gleichungen sind sehr wichtig allgemein für das Verständnis von Gleichungen und Funktionen. Außerdem ist das hier ein Mathematik Nachhilfe Blog 😉 , die Wiederholung, die Repetitio, ist Blog-immanent 😉 . Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Zahlenmengen, Gastbeitrag

Natürliche Zahlen bei einem Kalender © I-vista PIXELIO www.pixelio.de

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Liebe Leser,

mein Name ist Thorsten Schulz und ich bin zertifizierter Nachhilfe-Lehrer in Hannover, Umgebung und online weltweit. In diesem Gastbeitrag von mir soll es um den Stoff gehen, der in der Mathematik geformt wird, also die Zahlen. Genauer gesagt: Mengen von Zahlen. Mehr Informationen über mich und meine Arbeit finden Sie unter Online-Nachhilfe Hannover.

Jeder von uns weiß, was eine Menge ist. Im US-Film Rainman von 1988 hat der Autist Raymond, gespielt von Dustin Hoffmann, blitzschnell eine Menge Zahnstocher gezählt, die eine Serviererin versehentlich fallen ließ. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Gleichungen mit Parametern, Teil 2

Das Fachvokabular für Mathe © Stephanie Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

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Die Terminologie in Mathematik ist sehr wichtig. Was? Die Terminologie! Was? Das Fachvokabular ? Was? Das Fachvokabular? Was? Die speziellen Wörter, die man im Fach Mathematik verwendet! Ach so! Versteht man wirklich gleich so oft bei bestimmten/speziellen Wörtern, die im Mathe-Unterricht gebräuchlich sind, BAHNHOF, dann sollte man schleunigst diesbezüglich seine überfälligen Hausaufgaben nachholen. Dann hat man nämlich schon Lücken im Fach Mathematik aufgebaut, die das Verständnis des weiteren dort behandelnden Lernstoffes erschweren. Ein Beispiel gefällig: Schüler und Schülerinnen müssen beispielsweise wissen, was ein Parameter ist (was schon wirklich gut ist, ist: wenn man auch den eher selten verwendeten Fachbegriff bzw. Fachwort Formvariable kennt 😉 ). Nur dann kann man sich ja auch etwas unter diesem Fachvokabular vorstellen – und schließlich gezielt eine Aufgabe lösen! Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchgleichungen, Teil 5

Logik in Mathe S. © Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

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Eine bestimmte Logik ist bei jedem Stoffgebiet in Mathe zentral. Mathematik ist ja Logik pur. Deshalb nimmt dieses Fach in der Schule auch eine sehr, sehr wichtige Stellung ein. Wie sieht nun aber beispielsweise die Logik beim Stoffgebiet Bruchgleichungen aus? Guckt man sich Bruchgleichungen an, so beginnt die Logik beim Aufstellen der Definitionsmenge der jeweiligen Aufgabe. Hiermit steht und fällt ja die Lösung der Aufgabe! Als Nächstes muss man die Gleichung dahingehend vereinfachen, dass man bei den Brüchen deren Hauptnenner bildet. Anschließend löst man die jetzt ganz normale Gleichung nach der Variablen hin auf. Zum Schluss muss man noch die Lösung mit der Definitionsmenge abgleichen und die Lösung angeben. Das ist die Logik bei Buchgleichungen – um diese Gleichungen richtig zu lösen. Weiterlesen

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