Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Potenzen, Teil 6

Potenzen sind in Mathe allgegenwärtig

Potenzen begegnen einem in Mathe als Schülerin und Schüler von der Grundschule an bis zum Abitur. Das zeigt deren große Bedeutsamkeit. In der Grundschule wird hierbei die Beziehung einer Potenz zur Multiplikation aufgezeigt. In der Mittelstufe erweitert sich das Anwendungsspektrum von Potenzen. Es kommen Variablen hinzu, die Potenzen vorweisen. Das Zusammenfassen, Ausklammern/Faktorisieren und das Klammernauflösen wird dann hierbei geübt. Hierauf schließen sich die sehr wichtigen binomischen Formeln an und darauf vor Abschluss der Mittelstufe die verschiedenen Potenzgesetze. In der Oberstufe muss man schließlich von unterschiedlichsten Termen Ableitungen machen und daraufhin auch noch Integrale von Termen bilden, auch hier sind Potenzen allgegenwärtig. Wie man sieht – sind im Fach Mathematik Potenzen fundamental wichtig. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchtermen, Teil 5

Die Grundlage der Fortentwicklung (in der Schule und im Leben) - das Lernen © www.einstellungstest-polizei-zoll.de PIXELIO www.pixelio.de

„Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner“ – das hat man in Mathe beim Bruchrechnen bei der Multiplikation von Brüchen gelernt. Das ist normalerweise in der Grundschule in der 4. und 5. Klasse der Fall. Hier wird ja das Bruchrechnen von A bis Z durchgenommen. In der 8. Klasse bei speziellen Termen, den Bruchtermen, muss man in Anführungszeichen die Gedächtnisprobe aufs Exempel machen. Denn auch hier gilt wieder bei der Multiplikation von Bruchtermen „Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner“. Hat man die einfache Regel sofort wieder parat, so kann man mit ganz großer Wahrscheinlichkeit diese auch gleich wiederum anwenden. Gelernt ist halt gelernt – daher ist hier die Mathematik im Prinzip wie Fahrradfahren. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Gleichungen, Teil 2

Eine “zuckersüße“ Gleichung © S. Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Es gibt in Mathe eine Unzahl verschiedener Arten von Gleichungen. Das liegt an den großen Variationsmöglichkeiten von Termen. Eine Gleichung besteht ja aus Termen. Da ein einziger Term selbst wiederum sehr unterschiedliche Mathematik-Zeichen vorweisen kann, entstehen hierdurch jede Menge verschiedenartiger Gleichungen. Neben den Grundrechenarten, der Addition, der Subtraktion, der Multiplikation und der Division, kann ein Term auch Potenzen und Wurzeln vorweisen – und noch einiges mehr an Mathe-Verknüpfungen. Verschiedenartige Gleichungen kann man aber auch sehr gut veranschaulichen, wenn man eine Gleichung zur Funktion macht und sich den Graphen der Funktion anschaut. Dann sieht man nämlich große Unterschiede in dem Verlauf einer Funktion. Eine lineare Funktion, die auf einer linearen Gleichung basiert, ist z. B. eine Gerade, eine quadratische Funktion, die auf einer quadratischen Funktion basiert, ist hingegen eine Parabel. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchtermen, Teil 4

Fünf Zehntel bzw. gekürzt ein Halb © Franziska Püller PIXELIO www.pixelio.de

Das Erweitern und Kürzen von Brüchen ist etwas, das man in Mathe bereits in der Grundschule gelernt hat. Man erweitert einen Bruch mit dem sogenannten Erweiterungsfaktor und man kürzt einen Bruch mit dem sogenannten Kürzungsfaktor. Hat man das Erweitern und Kürzen von Brüchen im Fach Mathematik einmal verstanden, so kann man sein einst erworbenes Können bei Bruchtermen erneut anwenden. In der Mittelstufe muss man das nämlich erneut bei dem Stoffgebiet Bruchterme abrufen können. Und je besser man das damals verinnerlicht hatte, desto leichter wird man es hier dann richtig reproduzieren können. Darüber hinaus kommen hier noch des Öfteren algebraische Grundkenntnisse wie das Ausklammern/Faktorisieren zum Zuge – was man aber auch bereits vorher in Mathe gelernt hat. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Potenzen, Teil 5

Der Zimmer einer hiesigen Lehranstalt © Manfred Jahreis PIXELIO www.pixelio.de

Wer in Mathematik gegenüber seinen Mitschülern beim Stoffgebiet Potenzen die Aufgaben am schnellsten löst, ist nicht automatisch am potentesten, sprich am stärksten (potens = das lateinische Adjektiv für stark). Der Knabe oder das junge Fräulein kann einfach gut rechnen – und hierbei Potenzgesetze richtig anwenden. Da Potenzen auf der Rechenoperation des Multiplizierens basieren, beherrschte der Knabe oder das junge Fräulein das Malnehmen unter Garantie auch schon sehr gut. Daher war der Switch hin zu Potenzen und deren Potenzgesetze für dieses Kind ein Leichtes. Gut aufpassen und gut mitmachen, zahlt sich schließlich vor allem im Fach Mathematik aus. Dadurch ist man aber auch alles andere als ein Streber oder eine Streberin. Man erfüllt einfach seinen Job, der zu diesem Zeitpunkt Schülerin oder Schüler heißt – und das kontinuierlich. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Ungleichungen, Teil 2

Justitia © Florentine PIXELIO www.pixelio.de

Die Negation von etwas kann es doch nicht geben! Oder doch? Frosch und Nicht-Frosch. Zwerg und Nicht-Zwerg. Husten und Nicht-Husten. Bei Substantiven trifft das bei dem Negationspartikel „nicht“ sowohl als auch zu. Häh? Denn entweder es gibt das eine oder es gibt das eine nicht. Formallogisch gibt es aber beides. Lust und Unlust. Selbständigkeit und Unselbständigkeit. Echtheit und Unechtheit. Bei der Vorsilbe „un“, die das Gegenteil von etwas zum Ausdruck bringt, ist das ebenso der Fall. Beide Partikel bringen etwas zum Ausdruck, das das Gegenteil von etwas Bestimmten ist und deshalb das ursprünglich Gemeinte negiert. Daher ist eine Ungleichung definitiv keine Gleichung!!! Sie ist nämlich eine Nicht-Gleichung bzw. eine Un-Gleichung. Dennoch gibt es in Mathematik zweifelsohne Ungleichungen. Formallogisch wäre daher nun ein für allemal geklärt, dass eine Ungleichung genauso wie alles andere, was ein Negationspartikel als Wortbestandteil hat, zwar das Gegenteil von etwas ist, aber dennoch existiert. Ein Nicht-Mathe-Thema wäre hier auch ein für allemal geklärt. 🙂

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Doppelbrüche

1. Allgemeines zu Doppelbrüche

In der Mathematik können Brüche nicht nur aus einem einzigen Bruchstrich bestehen, sondern auch mehrere Bruchstriche vorweisen. Ist dies der Fall, so liegt ein sogenannter Doppelbruch vor. Bei einem Doppelbruch wird daher immer ein Bruch durch einen anderen Bruch geteilt. Schließlich ist ein Bruchstrich ja nur ein anderer Ausdruck für ein Geteiltzeichen/„:“.

 

Beispiele für Doppelbrüche:

\frac{1}{\frac{8}{125}}, \frac{6}{\frac{7}{93}}, \frac{\frac{8}{9}}{7}, \frac{\frac{14}{19}}{5}, \frac{\frac{7}{6}}{\frac{10}{93}}, \frac{\frac{12}{17}}{\frac{28}{107}}

 

2. Das Auflösen von Doppelbrüchen

Doppelbrüche lassen sich in Mathe ganz leicht auflösen. Man muss die jeweiligen Doppelbrüche nur jeweils zu einer Division zwischen zwei Brüchen hin umwandeln.

 

2.1 Doppelbrüche mit ganzer Zahl als Zähler

Liegt ein Doppelbruch vor, der nur eine Zahl als Zahl als Zähler vorweist und einen Bruch im Nenner, so kann man diesen folgendermaßen auflösen:

 

Beispiele:

\frac{5}{\frac{4}{7}} = 5 : \frac{4}{7}} = \frac{5}{1}} : \frac{4}{7}} = \frac{5}{1}} · \frac{7}{4}} = {\frac{5\ {\cdot}\ 7}{1\ {\cdot}\ 4} = \frac{35}{4}} = 8\frac{3}{4}}

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Jede natürliche Zahl kann auch als Bruchzahl geschrieben werden. Siehe hierzu auch unter Bruchrechnung 2.2 Das Verhältnis natürliche Zahl und Bruchzahl an.

\frac{12}{\frac{9}{14}} = 12 : \frac{9}{14}} = \frac{12}{1}} : \frac{9}{14}} = \frac{12}{1}} · \frac{14}{9}} = {\frac{12\ {\cdot}\ 14}{1\ {\cdot}\ 9} = \frac{168}{9}} = \frac{56}{3}}= 18\frac{2}{3}}

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zur Division von Brüchen siehe auch unter Bruchrechnung/Multiplikation und Division 3. Die Division von Brüchen an.

\frac{47}{\frac{29}{78}} = 47 : \frac{29}{78}} = \frac{47}{1}} : \frac{29}{78}} = \frac{47}{1}} · \frac{78}{29}} = {\frac{47\ {\cdot}\ 78}{1\ {\cdot}\ 29} = \frac{3666}{29}} = 126\frac{12}{29}}

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zur Umwandlung von unechten Brüchen hin zu gemischten Brüchen siehe auch unter Bruchrechnung 4.1 Das Umrechnen eine unechten Bruchs in einen gemischten Bruch an.

 

2.2 Doppelbrüche mit ganzer Zahl im Nenner

Doppelbrüche können auch nur eine ganze Zahl im Nenner vorweisen. Diese Doppelbrüche löst man dann wie folgt auf.

 

Beispiele:

\frac{\frac{7}{8}}{5} = \frac{7}{8}} : 5 = \frac{7}{8}} : \frac{5}{1}} = \frac{7}{8}} · \frac{1}{5}} = {\frac{7\ {\cdot}\ 1}{8\ {\cdot}\ 5} = \frac{7}{40}}

\frac{\frac{15}{27}}{8} = \frac{15}{27}} : 8 = \frac{15}{27}} : \frac{8}{1}} = \frac{15}{27}} · \frac{1}{8}} = {\frac{15\ {\cdot}\ 1}{27\ {\cdot}\ 8} = \frac{15}{216}} = \frac{5}{72}}

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zum Kürzen von Brüchen siehe auch unter Bruchrechnung/Erweitern und Kürzen, 3. Das Kürzen eines Bruchs an

\frac{\frac{38}{45}}{35} = \frac{38}{45}} : 35 = \frac{38}{45}} : \frac{35}{1}} = \frac{38}{45}} · \frac{1}{35}} = {\frac{38\ {\cdot}\ 1}{45\ {\cdot}\ 35} = \frac{38}{1575}}

 

2.3 Doppelbrüche mit Bruch in Zähler und Nenner

Doppelbrüche weisen natürlich oft auch im Zähler und im Nenner einen Bruch auf. Solche Doppelbrüche löst man folgendermaßen auf:

\frac{\frac{5}{12}}{\frac{7}{13}} = \frac{5}{12}} : \frac{7}{13}} = \frac{5}{12}} · \frac{13}{7}} = {\frac{5\ {\cdot}\ 13}{12\ {\cdot}\ 7} = \frac{65}{84}}

\frac{\frac{12}{19}}{\frac{8}{25}} = \frac{12}{19}} : \frac{8}{25}} = \frac{12}{19}} · \frac{25}{8}} = {\frac{12\ {\cdot}\ 25}{19\ {\cdot}\ 8} = \frac{300}{152}} = \frac{75}{38}} = 1\frac{37}{38}}

\frac{\frac{25}{27}}{\frac{12}{41}} = \frac{25}{27}} : \frac{12}{41}} = \frac{25}{27}} · \frac{41}{12}} = {\frac{25\ {\cdot}\ 41}{27\ {\cdot}\ 12} = \frac{1025}{324}} = 3\frac{53}{324}}

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Wie man sieht, werden alle verschiedene Arten von Doppelbrüchen auf die gleiche Weise aufgelöst. Hierzu muss man deshalb im Prinzip nur die Division und Multiplikation von Brüchen beherrschen.

Später, ab einer höheren Klassenstufe, wenn man nur noch viele frühere auf dem Papier gemachten Rechenoperationen mit dem Taschenrechner durchführt, wird man oftmals auch vergessen haben, wie man Doppelbrüche auflöst. Das Gleiche gilt natürlich für die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von normalen Brüchen. Das ist aber nicht weiter schlimm, da man ja mit dem Taschenrechner, wie gesagt, Doppelbrüche und andere Brüche in Nullkommanix auflösen und das richtige Ergebnis ermitteln kann.

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Multiplikation und Division

1. Allgemeines zur Multiplikation und Division von Brüchen

Für die Multiplikation und Division von Bruchzahlen gilt genauso wie bei der Addition und Subtraktion von Brüchen, dass sich die bei den Grundrechenarten erworbenen Fähigkeiten hier entschieden auszahlen. Hierbei profitiert man bei der Multiplikation und Division von Brüchen vor allem, wenn man in Mathe folgende Rechenoperation besonders gut verinnerlicht hat: das Multiplizieren. Ja, man hat hier richtig gelesen: nur das Multiplizieren! Das stellt nämlich eine Besonderheit beim Bruchrechnen dar. Denn sowohl die Multiplikation als auch die Division von Brüchen erfolgt über ein Multiplizieren. Da es sich hierbei, bei dem Multiplizieren und dem Dividieren von Brüchen, aber dennoch um zwei unterschiedliche Rechenoperationen handelt, erfolgt die Berechnung logischerweise auf unterschiedliche Weise. Das ist ja irgendwie auch klar, da ja ansonsten die Multiplikation und die Division von Brüchen haargenau gleich wären. Dieses widerspricht natürlich aber fundamental jeder Mathe-Logik.

 

2. Die Multiplikation von Brüchen

Für die Multiplikation von Brüchen in Mathe gilt: Sowohl echte als auch unechte Brüche werden dahingehend multipliziert, indem man stets Zähler mal Zähler malnimmt und Nenner mal Nenner malnimmt.

Bei der Multiplikation von gemischten Brüchen gilt: Jeder gemischte Bruch, der mit einem anderen Bruch malgenommen wird, muss vorher in einen unechten Bruch umgewandelt werden. Darauf dürfen wiederum sämtliche Zähler miteinander malgenommen werden und sämtliche Nenner.

 

2.1 Die Multiplikation von echten und unechten Brüchen

Bei einer Multiplikation von echten und unechten Brüchen wird sowohl jeder Zähler als auch jeder Nenner miteinander malgenommen.

 

Beispiele für die Multiplikation von echten Brüchen:

{\frac{1}{2} · {\frac{2}{3} = {\frac{1\ {\cdot}\ 2}{2\ {\cdot}\ 3} = {\frac{2}{6} = {\frac{1}{3}

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zum Kürzen von Brüchen siehe auch unter Bruchrechnung/Erweitern und Kürzen das Kapitel 3. Das Kürzen eines Bruchs an.

{\frac{3}{4} · {\frac{5}{7} = {\frac{3\ {\cdot}\ 5}{4\ {\cdot}\ 7} = {\frac{15}{28}

{\frac{14}{15} · {\frac{7}{10} = {\frac{14\ {\cdot}\ 7}{15\ {\cdot}\ 10} = {\frac{98}{150} = {\frac{49}{75}

Die Multiplikation dieser beiden Brüche hätte man auch folgendermaßen machen können:

{\frac{\not14^7}{15} · {\frac{7}{\not10^5} = {\frac{7\ {\cdot}\ 7}{15\ {\cdot}\ 5} = {\frac{49}{75}

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Findet man bei einer Multiplikation bei beiden Brüchen zwischen Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler, so kann man diese beiden Brüche „über Kreuz“ mit dem gemeinsamen Teiler kürzen. Als Hochzahl schreibt man bei dem gekürzten Zähler und Nenner jeweils den Wert hin, der nach dem Kürzen übrig bleibt. Übersieht man jedoch, dass man „über Kreuz“ kürzen kann, dann kann man das wie oben bei der Aufgabe immer noch machen, wenn man die Multiplikation der Brüche durchgeführt hat.

 

Beispiele für die Multiplikation von unechten Brüchen:

{\frac{3}{2} · {\frac{5}{3} = {\frac{3\ {\cdot}\ 5}{2\ {\cdot}\ 3} = {\frac{15}{6} = {\frac{5}{2} = 2{\frac{1}{2}

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zum Umwandeln von unechten Brüchen in gemischte Brüche siehe auch unter Bruchrechnung das Kapitel 4.1 Das Umrechnen eines unechten Bruchs in eine gemischten Bruch an.

{\frac{8}{7} · {\frac{12}{5} = {\frac{8\ {\cdot}\ 12}{7\ {\cdot}\ 5} = {\frac{96}{35} = 2{\frac{26}{35}

{\frac{17}{9} · {\frac{25}{6} = {\frac{17\ {\cdot}\ 25}{9\ {\cdot}\ 6} = {\frac{425}{54} = 7{\frac{47}{54}

 

2.2 Die Multiplikation von gemischten Brüchen

Bevor man gemischte Brüche malnehmen darf, muss man diese immer zuvor in unechte Brüche umwandeln. Anschließend darf man Zähler und Zähler und Nenner Nenner miteinander malnehmen.

 

Beispiele für die Multiplikation von gemischten Brüchen:

2{\frac{1}{2} · 3{\frac{2}{3} = {\frac{5}{2} · {\frac{11}{3} = {\frac{5\ {\cdot}\ 11}{2\ {\cdot}\ 3} = {\frac{55}{6} = 9{\frac{1}{6}

4{\frac{2}{5} · 6{\frac{3}{4} = {\frac{22}{5} · {\frac{27}{4} = {\frac{594}{20} = {\frac{297}{10} = 29{\frac{7}{10}

7{\frac{8}{9} · 12{\frac{15}{17} = {\frac{71}{9} · {\frac{219}{17} = {\frac{15549}{153} = {\frac{5183}{51} = 101{\frac{32}{51}

 

3. Die Division von Brüchen

Ein Division bei Brüchen stellt immer eine Multiplikation dar. Das klingt widersprüchlich, ist es aber nicht. Denn ein Bruch wird durch einen anderen Bruch dividiert, indem man bei dem zweiten Bruch den Kehrwert bildet und anschließend beide Brüche miteinander multipliziert. Der Kehrwert eines Bruches ist hierbei einfach das Vertauschen des Nenners und des Zählers.

 

3.1 Die Division von echten und unechten Brüchen

In Mathe bei der Bruchrechnung darf man nach der Bildung des Kehrwerts sofort sowohl echte als auch unechte Brüche miteinander malnehmen.

 

Beispiele für die Division von echten Brüchen:

{\frac{2}{3} : {\frac{1}{4} = {\frac{2}{3} · {\frac{4}{1} = {\frac{2\ {\cdot}\ 4}{3\ {\cdot}\ 1} = {\frac{8}{3} = 2{\frac{2}{3}

{\frac{7}{9} : {\frac{5}{11} = {\frac{7}{9} · {\frac{11}{5} = {\frac{7\ {\cdot}\ 11}{9\ {\cdot}\ 5} = {\frac{77}{45} = 1{\frac{32}{45}

{\frac{2}{5} : {\frac{7}{10} = {\frac{2}{\not5^1} · {\frac{\not10^2}{7} = {\frac{2\ {\cdot}\ 2}{1\ {\cdot}\ 7} = {\frac{4}{7}

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Hat man den Kehrwert bei der Division von Brüchen gebildet und „über Kreuz“ findet man bei den beiden Brüche zwischen Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler, so kann man diese jeweils mit dem gemeinsamen Teiler kürzen. Als Hochzahl schreibt man über den gekürzten Zähler und Nenner den Wert, der nach dem Kürzen übrig bleibt.

 

Beispiele für die Division von unechten Brüchen:

{\frac{5}{3} : {\frac{7}{4} = {\frac{5}{3} · {\frac{4}{7} = {\frac{5\ {\cdot}\ 4}{3\ {\cdot}\ 7} = {\frac{20}{21}

{\frac{12}{7} : {\frac{20}{3} = {\frac{\not12^3}{7} · {\frac{3}{\not20^5} = {\frac{9}{35}

{\frac{29}{5} : {\frac{34}{7} = {\frac{29}{5} · {\frac{7}{34} = {\frac{203}{170} = 1{\frac{33}{170}

 

3.2 Die Division von gemischten Brüchen

Bei der Division von gemischten Brüchen gilt das Gleiche wie bei der Multiplikation von gemischten Brüchen: Bevor man die Rechenoperation durchführen darf, müssen diese immer vorher in unechte Brüche umgewandelt werden.

 

Beispiele für die Division von gemischten Brüchen:

2{\frac{1}{3} : 3{\frac{2}{5} = {\frac{7}{3} : {\frac{17}{5} = {\frac{7}{3} · {\frac{5}{17} = {\frac{7\ {\cdot}\ 5}{3\ {\cdot}\ 17} = {\frac{35}{51}

4{\frac{2}{7} : 2{\frac{3}{8} = {\frac{30}{7} : {\frac{19}{8} = {\frac{30}{7} · {\frac{8}{19} = {\frac{30\ {\cdot}\ 8}{7\ {\cdot}\ 19} = {\frac{240}{133} = 1{\frac{107}{133}

6{\frac{3}{11} : 9{\frac{5}{17} = {\frac{69}{11} : {\frac{158}{17} = {\frac{69}{11} · {\frac{17}{158} = {\frac{69\ {\cdot}\ 17}{11\ {\cdot}\ 158} = {\frac{1173}{1738}

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Erweitern und Kürzen

1. Allgemeines zum Erweitern und Kürzen von Brüchen

Jeder Bruch hat einen bestimmten Wert. Bruchzahlen haben nun die Eigenschaft, dass man diese verändern kann – und das bei gleichbleibendem Wert. Das klingt zunächst ein wenig kompliziert, das Umwandeln von Brüchen ohne „Wertverlust“ ist aber überaus einfach.

Verändert man nun einen Bruch, ohne dass der Wert des Bruchs hierbei verändert wird, so liegt ein sogenanntes Erweitern oder Kürzen eines Bruches vor.

Ganz easy meistert man übrigens das Erweitern und Kürzen von Brüchen, wenn man wie üblich bei Mathe nach dem Verstehen des Stoffgebiet noch jede Menge Übungsaufgaben hinterherschiebt.

 

2. Das Erweitern eines Bruchs

In Mathematik erweitert man einen Bruch, indem man den Zähler und den Nenner jeweils mit der gleichen Zahl (ungleich 0) multipliziert. Bei einer Erweiterung eines Bruchs liegt daher immer eine Multiplikation zugrunde. Das Wichtige hierbei ist, dass der Wert des ursprünglichen Bruch-Werts nicht verändert wird, da man ja den Zähler und den Nenner stets mit der gleichen Zahl malnimmt.

Die Zahl, mit der ein Bruch erweitert wird, nennt man auch Erweiterungsfaktor.

 

Beispiele Erweitern echter und unechter Brüche:

Der Bruch {\frac{1}{3} soll mit 4 erweitert werden.

{\frac{1\ {\cdot}\ 4}{3\ {\cdot}\ 4} = {\frac{4}{12}

Der Bruch {\frac{4}{7} soll mit 6 erweitert werden.

{\frac{4\ {\cdot}\ 6}{7\ {\cdot}\ 6} = {\frac{24}{42}

Erweitere den Bruch {\frac{12}{5} mit der Zahl 9.

{\frac{12\ {\cdot}\ 9}{5\ {\cdot}\ 9} = {\frac{108}{45}

Erweitere den Bruch {\frac{15}{7} mit der Zahl 11.

{\frac{15\ {\cdot}\ 11}{7\ {\cdot}\ 11} = {\frac{165}{77}

Jeden echten oder unechten Bruch kann man problemlose mit einer x-beliebigen Zahl erweitern. Für gemischte Brüche gilt das aber nicht. Bevor man nämlich einen gemischten Bruch erweitern kann, muss man diesen immer zuerst in einen unechten Bruch umwandeln. Macht man dies nicht, so verändert man den Wert des Bruchs!

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zu den Begriffen echter, unechter und gemischter Bruch siehe auch unter Bruchrechnung den Unterpunkt 4. Unechte Brüche an.

 

Beispiele Erweitern gemischter Brüche:

Der Bruch 4{\frac{2}{3} soll mit 5 erweitert werden.

Zuerst muss man den gemischten Bruch in einen unechten umwandeln!

4{\frac{2}{3} = {\frac{4\ {\cdot}\ 3+2}{3} = {\frac{14}{3}

Darauf kann man den Bruch mit 5 erweitern.

{\frac{14\ {\cdot}\ 5}{3\ {\cdot}\ 5} = {\frac{70}{15}

Der Bruch 7{\frac{8}{9} soll mit 8 erweitert werden.

7{\frac{8}{9} = {\frac{7\ {\cdot}\ 8+9}{9} = {\frac{65}{9}

Jetzt kann man den Bruch mit 8 erweitern.

{\frac{65\ {\cdot}\ 8}{9\ {\cdot}\ 8} = {\frac{520}{72}

 

3. Das Kürzen eines Bruchs

In Mathe kürzt man einen Bruch, indem man den Zähler und den Nenner eines Bruchs mit der gleichen Zahl (ungleich null) dividiert. Hierbei muss die zu teilende Zahl sowohl im Zähler als auch im Nenner als Teiler enthalten sein. Das Kürzen eines Bruchs basiert daher immer auf einer Division. Das Wichtige ist auch hier, dass der ursprüngliche Bruch-Wert nach dem Kürzen unverändert bleibt, da man ja den Zähler und den Nenner jeweils mit der gleichen Zahl dividiert.

Die Zahl, mit der ein Bruch gekürzt wird, nennt man auch Kürzungsfaktor.

 

Beispiele Kürzen echter und unechter Brüche:

Der Bruch {\frac{6}{8} soll gekürzt werden.

Vor dem Kürzen muss man einen gemeinsame Teiler finden. Der gemeinsame Teiler, der in Zähler und Nenner enthalten ist, ist hier „2“.

{\frac{6:2}{8:2} = {\frac{3}{4}.

Kürze den Bruch {\frac{6}{27}.

Der gemeinsame Teiler ist hier „3“.

{\frac{6:3}{27:3} = {\frac{2}{9}

Kürze den Bruch {\frac{77}{14}.

Der gemeinsame Teiler ist hier „7“.

{\frac{77:7}{14:7} = {\frac{11}{2} = 5{\frac{1}{2}

Der Bruch {\frac{154}{55} soll gekürzt werden.

Der gemeinsame Teiler ist hier „11“.

{\frac{154:11}{55:11} = {\frac{14}{5} = 2{\frac{4}{5}

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Ein Bruch ist erst immer so weit wie möglich gekürzt, wenn man im Zähler und Nenner den größten gemeinsamen Teiler (ggT) gefunden hat. Findet man diesen nicht sofort, so kann man aber immer auch einen Bruch schrittweise kürzen.

 

Beispiele für das schrittweise Kürzen eines Bruchs:

Der Bruch {\frac{27}{99} soll gekürzt werden:

Ein gemeinsamer Teiler ist „3“.

{\frac{27:3}{99:3} = {\frac{9}{33}

Wie man sieht, kann man den Bruch darauf wiederum durch „3“ teilen.

{\frac{9:3}{33:3} = {\frac{3}{11}

Hätte man von Anfang an den Bruch {\frac{27}{99} mit dem größten gemeinsamen Teiler, „9“ (Teiler „3“ mal Teiler „3“), gekürzt, wäre das gleiche Ergebnis herausgekommen: {\frac{27:9}{99:9} = {\frac{3}{11}

Kürze den Bruch {\frac{84}{294}.

Ein gemeinsamer Teiler ist „2“.

Kürze den Bruch {\frac{84:2}{294:2} = {\frac{42}{147}

Ein weiterer gemeinsamer Teiler ist „3“.

{\frac{42:3}{147:3} = {\frac{14}{49}

Noch ein weiterer gemeinsamer Teiler ist „7“.

{\frac{14:7}{49:7} = {\frac{2}{7}

Auch hier hätte man sofort dasselbe Ergebnis erhalten, wenn man {\frac{84}{294} durch den größten gemeinsamen Teiler „42“ (Teiler „2“ mal Teiler „3“ mal Teiler „7“) geteilt hätte: {\frac{84:42}{294:42} = {\frac{2}{7}.

 

Beispiele Kürzen gemischter Brüche:

Der Bruch 4{\frac{5}{10}.

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Ein gemischter Bruch kann nur gekürzt werden, wenn man bei dem Bruch einen gemeinsamen Teiler findet. Die ganze Zahl vor dem Bruch bleibt hierbei unverändert.

Der gemeinsame Teiler beim Bruch ist hier die „5“.

4{\frac{5:5}{10:5} = 4{\frac{1}{2}

Kürze den gemischten Bruch 6{\frac{14}{49}.

Der gemeinsame Teiles des Bruchs ist hier „7“.

6{\frac{14:7}{49:7} = 6{\frac{2}{7}

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Bruchrechnung

1. Allgemeines zur Bruchrechnung

Nach den dem intensiven Erlernen der Grundrechenarten, der Addition, der Subtraktion, der Multiplikation und der Division, muss irgendwann darauf in Mathe eine neue umfangreiche Rechenart gelernt werden: die Bruchrechnung. Bevor man hier aber anfängt wirklich zu rechnen, wird erst einmal erklärt, was genau ein Bruch ist und wie man einen Bruch verändern kann ohne den Wert eines Bruches zu verändern (das Kürzen und Erweitern von Brüchen). Erst dann wird man in der Mathematik mit dem Bruchrechnen beginnen – und das wird einem unter Garantie nicht allzu schwer fallen, wenn man vorher die Grundrechenarten richtig gut gelernt hat. Bei Brüchen muss man nämlich wiederum eine Addition, eine Subtraktion, eine Multiplikation und eine Division durchführen, nur dieses mal anstatt mit positiven ganzen Zahlen (die natürlichen Zahlen meine ich hiermit), sondern eben mit Bruchzahlen.

Ein Bruch im Einzelhandel © iwona golczyk PIXELIO www.pixelio.de

Ein Bruch im Einzelhandel © iwona golczyk PIXELIO www.pixelio.de

2 Bestandteile einer Bruchzahl

Dadurch, dass eine Bruchzahl eine andere Zahl ist, als die bisher gelernten natürlichen Zahlen, hat diese auch logischerweise eine andere Darstellungsform. Jede Bruchzahl weist hierbei drei Charakteristika/Merkmale als Zahl auf. Sie besteht nämlich stets aus einem Zähler, das ist die obere Zahl, und einem Nenner, das ist die untere Zahl. Getrennt werden beide Zahlen durch den Bruchstrich.

Anstatt Bruchzahl ist auch gebräuchlich Bruch zu sagen, der Plural sind Brüche.

 

Beispiele für Bruchzahlen:

{\frac{1}{2};    {\frac{2}{3};    {\frac{5}{7};    {\frac{15}{29};    {\frac{105}{208};    {\frac{2007}{4223};    {\frac{3}{2}, {\frac{8}{5};    {\frac{23}{7};    {\frac{405}{14};    {\frac{2009}{412};    {\frac{7335}{8857}.

 

2.1 Ein Bruch als Ausdruck einer Division

Jeder Bruch kann im Prinzip auch als eine Division wiedergegeben werden, da der Bruchstrich nichts anderes als ein Geteiltzeichen/“:“ ist:

 

Beispiele für Brüche als Ausdruck einer Division:

{\frac{1}{2} = 1 : 2;

{\frac{2}{3} = 2 : 3;

{\frac{5}{7} = 5 : 7;

{\frac{15}{29} = 15 : 29;

{\frac{105}{208} = 105 : 208;

{\frac{2007}{4223} = 2007 : 4223;

{\frac{3}{2} = 3 : 2;

{\frac{8}{5} = 8 : 5;

{\frac{23}{7} = 23 : 7;

{\frac{405}{14} = 405 : 14;

{\frac{2009}{412} = 2009 : 412;

{\frac{7335}{8857} = 7335 : 8857.

 

2.2 Das Verhältnis natürliche Zahl und Bruchzahl

Jede natürliche Zahl kann auch als eine Bruchzahl dargestellt werden. Daher sind alle natürlichen Zahlen eine Teilmenge der Zahlenmenge der Bruchzahlen (die Umkehrung gilt nämlich nicht!).

 

Beispiele:

4 = {\frac{4}{1};

7 = {\frac{7}{1};

23 = {\frac{23}{1};

73 = {\frac{73}{1};

512 = {\frac{512}{1};

7003 = {\frac{7003}{1}.

 

 

3. Bruchanteile einer bestimmten Menge

Ein Bruchzahl lernt man anfangs ist eine Teilmenge/ein Anteil von einer bestimmten Menge. Hierfür wird oft der Vergleich zu einer ganzen Pizza gezogen. Sitzen nun zwei Personen am Essens-Tisch so bekommt jede Person jeweils die Hälfte, als Bruchzahl {\frac{1}{2}, der Pizza (vorausgesetzt man teilt die Pizza salomonisch, sprich gerecht, auf). Sitzen nun drei Personen am Tisch, so erhält jeder ein Drittel, als Bruchzahl {\frac{1}{3}, der Pizza. Bei vier Personen sind es {\frac{1}{4}, bei fünf Personen {\frac{1}{5} usw.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Jede natürliche Zahl kann auch als Bruchzahl dargestellt werden. So kann man beispielsweise für 1 auch {\frac{1}{1}, für 2 auch {\frac{2}{1}, für 12 auch {\frac{12}{1}, für 523 auch {\frac{523}{1} usw schreiben. Entscheidend ist ja, dass man bei der Umwandlung von der natürlichen Zahl hin zu der Bruchzahl den Wert der Zahl nicht verändert. 1 und {\frac{1}{1} sind immer noch vom Wert her 1, 2 und {\frac{2}{1} sind ebenso vom Wert her noch 2 usw.

 

3.1 Der Mathe-Ausdruck „von“ beim Bruchrechnen bzw. Anteile einer Gesamtmenge

Die ersten Rechenaufgaben, die man in Mathe beim Bruchrechnen machen muss, sind sogenannte „von“-Aufgaben. Hierbei muss man immer einen Bruchteil/Anteil von einer Gesamtmenge berechnen.

 

Beispiele:

{\frac{4}{5} m (von 1 m);

{\frac{5}{6} von 240 min;

{\frac{3}{8} von 80 Personen;

{\frac{8}{10} t (von 1 t).

Damit man Anteile in einer verständlichen Mathe-Schreibweise wiedergeben kann, muss man vorher verstanden haben, was der Bruch oder die Bruchzahl „von“ einer bestimmten Menge in der Sprache der Mathematik bedeutet.

 

Beispiele:

{\frac{4}{5} m heißt 1 m (das ist die Gesamtmenge) 4 (: 5) (das ist der Anteil) = 4 : 5 = 0,8 m = 8 dm = 80 cm. Da man aber zu diesem Zeitpunkt in der Schule in Mathe noch keine Dezimalrechnung hatte, berechnet man den „von“-Anteil normalerweise folgendermaßen: 1 m entsprechen 100 cm („mal 10, mal 10“). {\frac{1}{5} m sind 20 cm („geteilt durch fünf“). {\frac{4}{5} m sind daher 80 cm („mal 4“).

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe zum Umrechnen von Größenangaben auch unter Größen den Unterpunkt Umrechnen von Größen an.

 

{\frac{5}{6} von 240 min berechnet man wie folgt: {\frac{1}{6} min entsprechen 40 min („geteilt durch sechs“). {\frac{5}{6} m sind daher 200 min („mal 5“).

{\frac{3}{8} von 80 Personen berechnet man folgendermaßen: {\frac{1}{8} Personen entsprechen 10 Personen („geteilt durch acht“). {\frac{3}{8} m sind daher 30 Personen („mal 3“).

{\frac{8}{10} t von 1 t berechnet man wie folgt: 1 t entsprechen 1000 kg („mal 1000“). {\frac{1}{10} t sind 100 kg („geteilt durch 10“). {\frac{8}{10} t sind daher 800 kg („mal 8“).

Wenn man in einer höheren Klassenstufe ist oder beispielsweise den MSA (Mittleren Schulabschluss) macht, kann es sein, dass man noch einmal in Mathe mit sogenannten „von“-Aufgaben mit Brüchen konfrontiert wird. Dann sollte man aber wissen, dass in der Sprache der Mathematik ein „von“ immer mit einer Multiplikation gleichzusetzen ist. Demzufolge gibt man dann in seinen Taschenrechner nur den Anteil des Bruches mal der gegeben Gesamtmenge (was natürlich auch ein Bruch sein kann) ein.

 

Beispiele:

{\frac{5}{6} m von 84 m = {\frac{5}{6} m 84 m = 70 m;

{\frac{2}{15} kg von {\frac{14}{15} kg = {\frac{2}{15} {\frac{14}{15} kg = {\frac{28}{225} kg.

 

4. Unechte Brüche

Ein Bruch in Mathe besteht ja immer aus einem Zähler und einem Nenne, die beide durch einen Bruchstrich getrennt sind. Ist nun bei einem Bruch der Zähler kleiner als der Nenner, dann liegt ein sogenannter echter Bruch vor.

 

Beispiele für echte Brüche:

{\frac{1}{2};    {\frac{3}{4};    {\frac{7}{8};    {\frac{23}{25};    {\frac{407}{455};    {\frac{1205}{7067}.

Ist nun bei einem Bruch der Zähler größer als der Nenner oder genauso groß wie der Nenner, so liegt ein sogenannter unechter Bruch vor.

 

Beispiele für „unechte Brüche“:

{\frac{4}{3};    {\frac{7}{4};    {\frac{12}{5};    {\frac{35}{19};    {\frac{41}{41};    {\frac{407}{122}; {\frac{555}{555};    {\frac{3107}{241}.

 

Yeah, it’s ABC-disco-time with Grobi!

 

4.1 Das Umrechnen eines unechten Bruchs in einen gemischten Bruch

Jeden unechten Bruch kann man, vorausgesetzt der Zähler ist nicht genauso groß wie der Nenner, in einen sogenannten gemischten Bruch umrechnen. Ein gemischter Bruch besteht hierbei aus einer ganzen Zahl und einer Bruchzahl, wobei die ganze Zahl immer direkt vor die Bruchzahl gestellt wird.

 

Beispiele für gemischte Brüche:

2{\frac{1}{2};    4{\frac{3}{4};    8{\frac{7}{9};    12{\frac{24}{55};    5{\frac{79}{83};    27{\frac{403}{607};    503{\frac{8603}{9979}.

Einen unechten Bruch rechnet man nun immer wie folgt in einen gemischten Bruch um:

Dieser unechte Bruch ist gegeben: {\frac{17}{3}. Mittels einer Division wandelt man nun den Buch um. Hierfür ist es sinnvoll den Bruch in der gewohnten Divisionsschreibweise darzustellen:

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Bei jedem Bruch kann ein Bruchstrich auch in eine Divisionszeichen umgewandelt werden, der Zähler wird dann zum Dividend und der Nenner zum Divisor.

 

{\frac{17}{3} = 17 : 3

Darauf führt man die Division durch, wie man diese vorher in Mathe gelernt hat.

17 : 3 = 5

{\underline{15}

2 Rest

Die drei „passt“ in die 17 5-mal, das ergibt die ganze Zahl des gemischten Bruchs. Die Bruchzahl aus dem gemischten Bruch enthält als Zähler die 2, dem Rest der Division, und als Nenner die 3, den Nenner des unechten Bruchs.

Daher ist der gemischte Bruch zu dem unechten Bruch {\frac{17}{3} = 5{\frac{2}{3}.

Bei der Umwandlung vom unechten Bruch zum gemischten Bruch erhält man die ganze Zahl des gemischten Bruchs immer durch die Durchführung einer Division. Der Divisions-Rest ist beim gemischten Bruch immer der Zähler der Bruchzahl . Der ursprüngliche Nenner beim unechten Bruch ist immer gleich dem Nenner bei der Bruchzahl, die bei einem gemischter Bruch enthalten ist.

 

Beispiele für die Umwandlung unechter Brüche in gemischte Brüche:

{\frac{29}{4} = 29 : 4

29 : 4 = 7

{\underline{28}

1 Rest

Daher ist der gemischte Bruch: 7{\frac{1}{4}.

 

{\frac{88}{5} = 88 : 5

88 : 5 = 17

{\underline{85}

3 Rest

Deshalb ist hier der gemischte Bruch: 17{\frac{3}{5}.

 

{\frac{215}{12} = 215 : 12

215 : 12 = 17

{\underline{12}

95

{\underline{84}

11 Rest

Daher ist hier der gemischte Bruch: 17{\frac{11}{12}.

 

4.2 Das Umrechnen eines gemischten Bruchs in einen unechten Bruch

Des Öfteren muss man beim Bruchrechnen auch einen gemischten Bruch in einen unechten Bruch umwandeln. Hierzu multipliziert man die ganze Zahl mit dem Nenner des Bruchs. Das Ergebnis addiert man schließlich mit dem Zähler des Bruchs. Die sich hierbei ergebende Zahl ist der neue Zähler des unechten Bruchs, der Nenner des gemischten Bruchs bleibt auch beim unechten Bruch erhalten.

 

Mathematik-Nachhilfe-Blog: Das Umrechnen vom gemischten Bruch hin zum unechten Bruch ist im Bruchrechnen einfach die umgekehrte Rechenoperation zum Umrechnen eines unrechten Bruches in einen gemischten Bruch.

 

Beispiele für die Umwandlung gemischter Brüche in unechte Brüche:

4{\frac{1}{2}, der Zähler des unechten Bruchs = 4 · 2 + 1 = 9, der Nenner des gemischten Bruchs bleibt erhalten: {\frac{9}{2};

6{\frac{2}{5}, der Zähler des unechten Bruchs = 6 · 5 + 2 = 32, der Nenner = 5: {\frac{32}{5};

32{\frac{4}{7}, der Zähler des unechten Bruchs = 32 · 7 + 4 = 228, der Nenner = 7: {\frac{228}{7}.

 

5. Dezimalbrüche

Brüche, die im Nenner die Zahl 10 oder eine Potenz von 10 mit natürlichem Exponenten vorweisen, nennt man Dezimalbrüche.

 

Beispiele von Dezimalbrüchen:

{\frac{7}{10};    {\frac{29}{100};    {\frac{335}{1000};    {\frac{12}{100000}.

 

Hier kann man die Seite des Mathematik Nachhilfe Blogs als PDF downloaden: Mathematik-Nachhilfe: Bruchrechnung.

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