Logarithmen

1. Bestandteile und Besonderheiten eines Logarithmus

Es sind folgende Gleichungen gegeben: 2^x = 16

2^x = {\frac{1}{8}

2^x = \sqrt{2}

Der Exponent der Gleichungen ist hierbei jeweils gesucht, da dieser die Variable beinhaltet. Um die Lösung der Gleichung zu ermitteln, muss man einen Exponenten finden, durch den die jeweilige Gleichung wahr wird.

Bei der Gleichung 2^x = 16 ist x = 4 die Lösung der Gleichung. Denn: 2^4 = 16.

Bei der Gleichung 2^x = {\frac{1}{8} ist x = –3 die Lösung der Gleichung. Denn: 2^-^3 = {\frac{1}{8}.

Bei der Gleichung 2^x = \sqrt{2} ist x = {\frac{1}{2} die Lösung der Gleichung. Denn: 2^{\frac{1}{2} = \sqrt{2}.

Durch das Anwenden der Potenzgesetze kann man den Exponenten einer derartigen Gleichung ermitteln. Über den Logarithmus geht das ebenso – und auch bei Exponenten, die nicht ganz so einfach zu ermitteln sind.

 

Definition

Es sind zwei positive Zahlen y und b (b ≠ 1) gegeben.

1. Unter dem Logarithmus von y zu Basis b bezeichnet man diejenige Zahl x, mit dem man b potenzieren muss, um y zu erhalten. Es gilt daher für die Zahl x Folgendes: b^x = y.

Die Schreibweise hierfür ist: log_b y.

Die Zahl y vor dem log_b-Symbol nennt man Numerus.

Als Logarithmieren wird das Ermitteln des Logarithmus von y zur Basis b bezeichnet.

2. Liegt ein Logarithmus zur Basis 10 vor, so ist anstatt log_1_0 die gängige Schreibweise lg (für den dekadischen Logarithmus).

 

Beispiele:

Ermittle log_2 16 heißt: Bestimme den Exponenten x, so dass 2^x = 16 ergibt.

Ermittle log_2 {\frac{1}{8} heißt: Bestimme den Exponenten x, so dass 2^x = {\frac{1}{8} ergibt.

Ermittle log_2 \sqrt{2} heißt: Bestimme den Exponenten x, so dass 2^x = \sqrt{2} ergibt.

 

Die Wechselbeziehung zwischen Logarithmus und Potenz gibt man in der Mathematik folgendermaßen wieder:

log_b y = x entspricht: b^x = y

Da ein Logarithmus sich immer auf eine Potenz zurückführen lässt, die die Basis b^x vorweist, sind alle Logarithmuswerte stets positiv (da immer gilt: b > 0).

Beispiele:

log_2 64 entspricht: 2^x = 64. Daher ist x = 6.

log_3 9 entspricht: 3^x = 9. Daher ist x = 2.

log_4 4 entspricht: 4^x = 4. Daher ist x = 1.

lg 100 entspricht: 10^x = 100. Daher ist x = 2.

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Beachte: lg = log_1_0

 

2. Logarithmieren und Potenzieren als Gegenrechenoperationen

Das Logarithmieren stellt die Gegenrechenoperation des Potenzierens dar. Bereits vom Addieren und dessen Gegenrechenoperation dem Subtrahieren sowie vom Multiplizieren und dessen Gegenrechenoperation dem Dividieren weiß man: Gegenrechenoperationen heben sich gegenseitig auf. Das ist auch beim Logarithmieren und Potenzieren der Fall.

 

2.1 Das Logarithmieren und das Potenzieren

Das Logarithmieren und das Potenzieren heben sich als Gegenrechenoperationen auf.

Logarithmieren und Potenzieren als Gegenrechenoperationen

In Worten wiedergegeben: Der Logarithmus zur Basis 2 mit dem Numerus 16 ergibt 4 (Logarithmiere 16 von 4). Die Basis 2 mit dem Exponenten 4 ergibt 16 (Potenziere 2 hoch 4). Hieraus folgt: „log_2 und 2 hoch“ heben sich als Rechenoperationen gegenseitig auf.

 

Das Potenzieren zur Basis b ist die Gegenrechenoperation des Logarithmierens zu Basis b.

Es gilt daher: b^l^o^g^_b^x = x für alle x Є {\mathbb R^+}

 

Beispiele:

log_2 16 = 4 entspricht: 2^4 = 16

log_2 8 = 3 entspricht: 2^3 = 8

log_2 {\frac{1}{2} = –1 entspricht: 2^-^1 = {\frac{1}{2}

 

2.2 Das Potenzieren und das Logarithmieren

Das Potenzieren und das Logarithmieren heben sich als Gegenrechenoperation gegenseitig auf.

Potenzieren und Logarithmieren als Gegenrechenoperationen

In Worten wiedergegeben: Die Basis 2 mit dem Exponenten 3 ergibt 8 (Potenziere 2 hoch 3). Der Logarithmus zur Basis 2 ergibt den Numerus 3 (Logarithmiere 2 von 8).

 

Das Logarithmieren zu Basis b ist die Gegenrechenoperation des Potenzierens zur Basis b.

Es gilt deshalb: log_b b^x = x für alle x Є {\mathbb R}

 

Beispiele:

2^3 = 8 entspricht: log_2 8 = 3

2^4 = 16 entspricht: log_2 16 = 4

2^-^1 = {\frac{1}{2} entspricht: log_2 {\frac{1}{2} = –1

 

3. Die drei verschiedenen Aufgabenkonstellationen bei Logarithmen

Bei einem Logarithmus log_b y = x kann je nach Aufgabe die Basis b gesucht sein, der Numerus y oder das x, der Exponent zur Basis b in der Potenzschreibweise.

 

3.1 Logarithmus mit x als Variable

Es ist folgende Logarithmus-Gleichung gegeben: log_2 16 = x. Diese Gleichung löst man nun derart.

log_2 16 = x <=>

2^x = 16

2^x = 2^4

x = 4

Das x stellt in der Potenzschreibwese den Exponenten dar.

 

Beispiele:

log_5 {\frac{1}{25} = x <=>

5^x = {\frac{1}{25}

5^x = 5^-^2

x = –2

 

lg 0,001 = x <=>

log_1_0 0,001 = x

10^x = 0,001

10^x = {\frac{1}{1000}

10^x = 1^-^3

x = –3

 

3.2 Logarithmus mit Basis b als Variable

Es ist folgender Logarithmus gegeben: log_b 64 = 3. Auf diese Weise löst man nun die Gleichung auf.

log_b 64 = 3 <=>

b^3 = 64

b^3 = 4^3

b = 4

 

Beispiele:

log_b 4 = 1 <=>

b^1 = 4

b^1 = 4^1

b = 4

 

log_b 1024 = 5 <=>

b^5 = 1024

b^5 = 4^5

b = 4

 

3.3 Logarithmus mit Numerus y als Variable

Es ist dieser Logarithmus gegeben: log_2 y = 5. Den Numerus y ermittelt man nun derart.

log_2 y = 5 <=>

2^5 = y

y = 32

 

Beispiele:

log_2 y = 3 <=>

2^3 = y

y = 8

 

log_4 y = {\frac{1}{2} <=>

4^{\frac{1}{2} = y

y = 2

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchtermen, Teil 4

Fünf Zehntel bzw. gekürzt ein Halb © Franziska Püller PIXELIO www.pixelio.de

Das Erweitern und Kürzen von Brüchen ist etwas, das man in Mathe bereits in der Grundschule gelernt hat. Man erweitert einen Bruch mit dem sogenannten Erweiterungsfaktor und man kürzt einen Bruch mit dem sogenannten Kürzungsfaktor. Hat man das Erweitern und Kürzen von Brüchen im Fach Mathematik einmal verstanden, so kann man sein einst erworbenes Können bei Bruchtermen erneut anwenden. In der Mittelstufe muss man das nämlich erneut bei dem Stoffgebiet Bruchterme abrufen können. Und je besser man das damals verinnerlicht hatte, desto leichter wird man es hier dann richtig reproduzieren können. Darüber hinaus kommen hier noch des Öfteren algebraische Grundkenntnisse wie das Ausklammern/Faktorisieren zum Zuge – was man aber auch bereits vorher in Mathe gelernt hat. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Potenzen, Teil 5

Der Zimmer einer hiesigen Lehranstalt © Manfred Jahreis PIXELIO www.pixelio.de

Wer in Mathematik gegenüber seinen Mitschülern beim Stoffgebiet Potenzen die Aufgaben am schnellsten löst, ist nicht automatisch am potentesten, sprich am stärksten (potens = das lateinische Adjektiv für stark). Der Knabe oder das junge Fräulein kann einfach gut rechnen – und hierbei Potenzgesetze richtig anwenden. Da Potenzen auf der Rechenoperation des Multiplizierens basieren, beherrschte der Knabe oder das junge Fräulein das Malnehmen unter Garantie auch schon sehr gut. Daher war der Switch hin zu Potenzen und deren Potenzgesetze für dieses Kind ein Leichtes. Gut aufpassen und gut mitmachen, zahlt sich schließlich vor allem im Fach Mathematik aus. Dadurch ist man aber auch alles andere als ein Streber oder eine Streberin. Man erfüllt einfach seinen Job, der zu diesem Zeitpunkt Schülerin oder Schüler heißt – und das kontinuierlich. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Stoffgebiet Term, Teil 8

Zuerst Terme in Mathe lösen, dann Abkühlen in Thermen © Petra Glanz (Firma GLANZ Bustouristik Haibach) PIXELIO www.pixelio.de

Aufgaben zu Termen kann man niemals genug in Mathe lösen. Hierauf basieren ja alle höheren Mathematik-Stoffgebiete, die noch in der Mittelstufe sowie in der Oberstufe in der Schule behandelt werden. Daher sollte man auch Terme „im Schlaf lösen können“. Das kann man auch ohne Weiteres, wenn man – wie das übrigens bei jedem Mathe-Stoffgebiet der Fall ist – ein paar fundamentale Regeln beherzigt. Die wichtigste bei Termen ist die Vorrangregel. Diese besteht aus drei Teilen:

  1. Ein Term rechnet man immer von links nach rechts, wenn keine andere Regel vorkommt.
  2. Bei einer Klammer wird immer das Innere der Klammer als Erstes berechnet.
  3. Gibt es bei einem Term keine Klammer, so gilt Punktrechnung vor Strichrechnung sowie Potenzrechnung vor Punktrechnung und vor Strichrechnung.

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Potenzen, Teil 4

Ein gängiger Taschenrechner in Mathe © Konstantin Gastmann PIXELIO www.pixelio.de

In der Mathematik können große Zahlen in der Schreibweise einer abgetrennten Zehnerpotenz wiedergegeben werden, die auch „scientific notation“ genannt wird. Die großen Zahlen werden hierbei dahingehend aufgelöst – mittels eines Produktes aus einer Zahl zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz. Beispiel: 55748 = 5,5748 · 10^ 4. Jeder Taschenrechner wandelt übrigens automatisch jede große Zahl zu einer abgetrennten Zehnerpotenz um, wenn diese auf normale Weise als Zahl nicht mehr dort angezeigt werden kann. Auf einigen Taschenrechner wird hierbei anstelle von 5,5748 · 10^ 4} entweder die Schreibweise 5.5748 04 verwendet oder die Schreibweise 5.5748 E 04 (das „E“ steht hier für Exponent). Da die Anzeige bei Taschenrechnern variiert, sollte man auf jeden Fall bei seinem eigenen, den man in Mathe benutzt, wissen, wie dort die „scientific notation“ dargestellt wird. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Ableitungen von Funktionen, Teil 2

Schule und insbesondere Mathe ist anstrengend © Bernd Kasper PIXELIO www.pixelio.de

„Ich habe heute wieder Funktionen abgelitten.“ Meint eine Schülerin oder ein Schüler diese Aussage ernst, so hat das Ableiten von Funktionen auf jeden Fall keine Freude bereitet. Und das ist nicht gut. Denn das sollte es aber! Hat man nämlich in Mathe jegliche Algebra-Kenntnisse der vergangenen Schuljahre gut verinnerlicht, so sind Ableitungen für einen ein Klacks. Ein „Abgelitten“ kommt dann nämlich nicht ansatzweise vor. Vielmehr wendet man dann die verschiedenen Ableitungsregeln aus dem Effeff an und ist dann im Nu mit den Ableitungen der Funktionen fertig. Zurecht kann man dann auch happy auf sich sein, da man bereits das überaus wichtige Basiswissen zur Analysis beherrscht. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Wurzeln, Teil 2

Beim Zahnarzt © Claudia Heck PIXELIO www.pixelio.de

Oha! Man ist beim Zahnarzt und es steht einem Schlimmes bevor: eine Wurzelbehandlung (eigentlich korrekt in der Sprache der Zahnmedizin, eine Wurzelkanalbehandlung). Unschön ist schon alleine der Gang zum Zahnarzt. Äußerst unangenehm das Herumhantieren des Zahnarzts im Mund und der Horror die Diagnose: „Eine Wurzelbehandlung ist vonnöten.“ Die fiesen Zahnschmerzen ließen bereits nichts Gutes erahnen. Aber im schlimmsten Fall mit ein wenig bohren, dachte man, wäre dem bestimmt wieder Abhilfe geschaffen. Nur zu gerne würde man nun jedoch aufgrund der fiesen anderweitigen Diagnose aus der Zahnarztpraxis rennen und schnell das Weite suchen. Doch die Altersvernunft rät zum ausharren. Als Schülerin oder Schüler muss man jetzt keine Sorge haben, da eine Wurzelbehandlung in jungen Jahren nahezu ausgeschlossen ist. Dafür können in jungen Jahren trotzdem Wurzeln Schmerzen zufügen – das aber in der Mathematik. Hat man jedoch schließlich verstanden, was eine Wurzel in Mathe ist, dann ist man bei diesem Mathematik-Stoffgebiet wieder auf der „schmerzfreien“ Seite. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Potenzen, Teil 3

Das Jonglieren mit Bällen © Gilla Peter PIXELIO www.pixelio.de

Bei dem Umformen und Auflösen von Potenzen sollte man sehr fit sein, da in der Oberstufe bei der Analysis das „Jonglieren mit Potenzen“ einen großen Stellenwert einnimmt. Gerade bei den Ableitungen, die man bei verschiedenen Funktionen vornehmen muss, treten nämlich ständig auch wieder Potenzen auf. Das zeigt sich aber auch schon exemplarisch an einer Ableitungsregel: der Potenzregel (Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter Analysis/Ableitungsregeln den Punkt 2 Die Potenzregel). Hier steckt ja das Wort Potenz schon in der Mathe-Gesetzmäßigkeit drin. Daher wird mein Mathematik Nachhilfe Blog auch noch des Öfteren Potenzen aufgreifen. Schließlich kann man „mit Potenzen immer besser jonglieren“ – wenn man Potenz-Übungen, Potenz-Übungen, Potenz-Übungen … macht. Dann ist es auch nur eine Frage der Zeit, bis man ein „Potenzen-Jongleur“ ist – und man damit genauso gut Jonglieren kann wie beispielsweise mit Bällen.

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Ableitungen von Funktionen, Teil 1

Analysis-Aufgaben © Joerg Trampert PIXELIO www.pixelio.de

Geht es in Mathe mit Ableitungen von Funktionen los, dann ist die Oberstufenzeit in diesem Fach eingeläutet – und natürlich auch allgemein, was der eigene schulische Werdegang angeht. Die mit Abstand längste Zeit hat man dann in der jetzigen Lehranstalt verbracht. Deshalb gilt es nicht mehr allzu weit von der Zielgeraden hin zum Abitur noch einmal in allen Fächern besonders aufzupassen. In Mathematik trifft das zunächst ganz besonders auf die Analysis zu. Normalerweise wird man nämlich auch über dieses sehr umfangreiche Teilgebiet der Mathematik sein schriftliches Mathe-Abitur ablegen müssen. Das Gute an der Analysis ist aber, dass viele Aufgaben nach einem bestimmten Schema gelöst werden (wie das übrigens bei kleineren Mathe-Stoffgebieten ebenso der Fall war 😉 bzw. ist). Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Potenzen, Teil 2

''Hoch zwolf'' © Karl-Heinz Laube PIXELIO www.pixelio.de

Potenzen sind auch alltagstauglich. Oftmals vergisst man dies, dass man normalerweise schon zigfach Potenzen in seinem Sprachgebrauch verwendet hat – und das unabhängig von einem Mathematik-Zusammenhang: „Das ist ja bescheuert hoch zehn.“ „Das ist ja ärgerlich hoch zwölf.“ „Das ist ja gemein hoch zwanzig.“ Etwas sehr Emotionales wird nämlich gerne mit einer „sprachlichen Potenz“ zum Ausdruck gebracht. Vom Ursprung des Wortes aus gesehen macht das übrigens auch einen sehr großen Sinn. Denn das Wort „Potenz“ stammt vom lateinischen Substantiv „potentia“ und dem lateinischen Adjektiv „potens“ ab. Die deutsche Bedeutung hierfür ist „Stärke“ und „stark“.  Hochemotionale Zustände sind auch nichts anderes als sehr starke Empfindungen in einem.  Da es nun unzählige hochemotionale Zustände gibt, gibt es auch logischerweise unzählige weitere Hoch-x-Varianten :-). Weiterlesen

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