Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zur Punktspiegelung, Teil 2

Die Flagge von Costa Rica an einer Schule © Dieter Schütz PIXELIO www.pixelio.de

Im Alltag gibt es immer mal wieder vorkommende Phänomene aus dem Mathematik-Unterricht. Ein gutes Beispiel hierfür ist die Punktspiegelung. Viele Automarken, noch mehr Flaggen sowie einige Verkehrsschilder sind nämlich punktsymmetrisch. In der Sprache der Mathematik heißt das, dass bei diesen Zeichen oder Symbolen ein Symmetriezentrum M vorliegt, an dem jeder Symmetriepartner mit dem anderen zusammenfällt, und zwar bei einer 180º-Drehung bzw. einer Halbdrehung. Daher kann man bei solchen Zeichen oder Symbolen recht einfach feststellen, ob eine Punktsymmetrie vorliegt. Das Gleiche gilt für das Zeichnen von punktsymmetrischen Punkten oder Flächen in der Mittelstufe in Mathe. Punktsymmetrische Figuren zu zeichnen, ist nämlich kinderleicht. Auf eine andere Art muss man dies dann wiederum in der Oberstufe abrufen, und zwar bei der Analysis. Hier können nämlich punktsymmetrische Funktionen zum Ursprung auftreten. Die Punktspiegelung ist daher auch im Fach Mathe immer mal wieder vorkommend. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zur Punktspiegelung, Teil 1

Das Brettspiel Halma © Karin Wuelfing PIXELIO www.pixelio.de

Ohne es oft zu wissen, sind wir um uns herum von Punktsymmetrien umgeben. Der Schilderwald im Straßenverkehr hat vielfach eine punktsymmetrische (und auch achsensymmetrische) Symbolik. Das Gleiche gilt für Spielkarten und Spielflächen sowie im Stile eines englischen Landschaftsgarten angelegte Parkflächen. Aber auch unser Alphabet besteht aus Buchstaben, die eine Punktsymmetrie vorweisen. Wie erkennt man aber diese bzw. wann genau ist etwas punktsymmetrisch? In der Mathematik ist eine Punktsymmetrie nichts anderes als eine Punktspiegelung. Jeder Punkt einer bestimmten Figur wird mittels Halbdrehung (180 º) an einem bestimmten Punkt, dem Symmetriezentrum M, gespiegelt. Ist das bei einer Figur, die man sieht, der Fall, so liegt augenscheinlich eine Punktspiegelung vor. Weiterlesen

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Punktspiegelung

Vier Könige eines Skatblatts © andreas stix PIXELIO www.pixelio.de

1. Allgemeines zur Punktspiegelung

Mittels einer Skatkarte kann man sich sehr gut vor Augen führen, was eine Punktspiegelung ist. Nimmt man einen König (den oberen oder den unteren) aus dem Skatblatt und dreht diesen um 180º bzw. macht bei diesem eine Halbdrehung, so kann man keinen Unterschied zwischen der Ausgangslage und der jetzigen Lage feststellen. Solch eine Figur nennt man punktsymmetrisch. Anstelle der Begriffs Halbdrehung ist in der Mathematik auch der Begriff Punktspiegelung gebräuchlich.

 

Beispiel:

Folgende Figur soll mittels einer Halbdrehung um den Punkt M punktsymmetrisch gespiegelt werden.

Figur

 

Man macht vom Punkt A eine Gerade durch den Punkt M. Führt man die Gerade nun mit der gleichen Länge weiter, so erhält man den Punkt A‘. Der Punkt A und der Punkt A‘ werden als Symmetriepartner bezeichnet. Beide Punkte, A und A‘, weisen jeweils den gleichen Abstand zum Punkt M auf. Den Punkt M nennt man Symmetriezentrum. Spiegelt man alle Punkte der Figur auf die gleiche Weise, so erhält man die untere punktsymmetrische Figur.

Punktspiegelung an Figur

 

1.1 Bestimmung des Symmetriepartners eines Punktes mittels Konstruktion

a) Ist ein Punkt P nicht identisch mit dem Symmetriezentrum M, so kann man immer seinen Symmetriepartner derart ermitteln.

  1. Zuerst zeichnet man die Gerade PM.
  2. Darauf zeichnet man entlang dieser Gerade den Punkt P‘. Der Punkt P‘ liegt immer auf der anderen Seite von M. P und P‘ haben immer den gleichen Abstand zu M.

b) Das Symmetriezentrum M ist gleich seinem Symmetriepartner. Daher gilt: M = M‘.

 

Definition:

Liegt eine Halbdrehung um den Punkt M vor, so handelt es sich um eine Punktspiegelung S_M am Spiegelzentrum M.

Folgende Konstruktionsvorschrift ergibt sich hieraus:

a) Ist P ≠ M , so wird der Punkt P‘ auf diese Weise konstruiert:

  • Man zeichnet die Gerade MP.
  • Man zeichnet den Punkt P‘ auf der Geraden MP derart, dass P un P‘ jeweils auf verschiedenen Seiten von M liegen. Hierbei muss zudem die Strecke \overline{MP} und \overline{MP'} stets gleich lang sein.

b) Der Bildpunkt M‘ von M ist mit M identisch. Es gilt daher: M‘ = M.

Das Spiegelzentrum bestimmt immer ganz eindeutig eine Punktspiegelung.

Punktspiegelung des Punktes P am Spiegelzentrum M

 

Beispiel Punktspiegelung eines Dreiecks

Folgendes Dreieck soll an Spiegelzentrum M punktsymmetrisch gespiegelt werden.

Punkspiegelung Dreieck am Spiegelzentrum M

Für die Konstruktion der Punktsymmetrie zeichnet man als Erstes Geraden, die durch den Punkt A unb M gehen, durch den Punkt B und M sowie durch den Punkt C und M. Anschließend sticht man mit einem Zirkeln in das Symmetriezentrum M ein. Von hier aus bestimmt man die Länge der Strecke \overline{MA} , so dass man gegenüber dem Symmetriezentrum wiederum mittels des Zirkels die Strecke \overline{MA'} und den Bildpunkt A‘ ermitteln kann. Ebenso verfährt man bei \overline{MB} und \overline{MB'} zur Ermittlung von B‘ sowie bei \overline{MC} und \overline{MC'} zur Ermittlung von C‘. Wenn man alle Bildpunkt A’B’C‘ so konstruiert hat, verbindet man diese. Das Ergebnis stellt eine Punktspiegelung des ursprünglichen Dreiecks am Spiegelzentrum M dar.

Durchgeführte Punktspiegelung Dreieck am Spiegelzentrum M

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