Monotonie

1. Allgemeines zur Monotonie

Seit man in Mathe lineare Funktionen hatte, weiß man, dass Funktionen steigend oder fallend sind (korrekt in der Sprache der Mathematik: streng monoton steigend bzw. streng monoton fallend). Darüber hinaus weiß man seitdem, dass es auch Funktionen oder Stellen bei Funktionen gibt, die keine Steigung vorweisen.

Liegt nun ein Graph einer Funktion vor, so kann man eindeutig sehen, ob die Funktion streng monoton steigt oder streng monoton fällt. Hierbei schaut man sich die Funktion von links beginnend nach rechts hin an. Hierbei ist Folgendes Gedankenbeispiel hilfreich: Man denkt einfach, man fährt mit einem Fahrrad den dargestellten Graphen von links nach recht ab. Da, wo der Graph „bergab geht“, da ist die Funktion streng monoton fallend. Da, wo die der Graph „bergauf geht“, da ist die Funktion streng monoton steigend. „Fährt“ man hingegen an Stellen des Graphen „geradeaus“, dann weist die Funktion hier keine Steigung auf.

 

Definition

Eine Funktion f ist innerhalb eines Intervalls I definiert. Wenn hierbei für alle x1, x2 aus I gegeben ist:

Aus x1 < x2 ergibt sich: f(x1) < f(x2), dann Aus x1 < x2 ergibt sich: f(x1) > f(x2), dann

ist die Funktion f innerhalb des Intervalls I ist die Funktion f innerhalb des Intervalls I

streng monoton steigend. streng monoton fallend.

 

Ist hingegen anstatt f(x1) < f(x2) bzw. f(x1) > f(x2) es so, dass f(x1) ≤ f(x2) bzw. f(x1) ≥ f(x2) ist, dann sagt man: Die Funktion f ist monoton steigend bzw. fallend innerhalb des Intervalls I.

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