Additionsverfahren

1. Allgemeines zum Additionsverfahren

Beim Lösen eines linearen Gleichungssystems (LGS) mittels dieses Lösungsverfahrens steht das Addieren (oder auch Subtrahieren) von Gleichungen im Mittelpunkt.

Das Lösen eines linearen Gleichungssystems mittels des Additionsverfahrens kann auf zwei verschiedene Arten durchgeführt werden:

a) Man eliminiert beim LGS die Variable x.

b) Man eliminiert beim LGS die Variable y.

Man kann auch bei einem LGS beide Gleichungen voneinander abziehen. Hier liegt streng genommen ein Subtraktionsverfahren vor. Da man aber auch eine Subtraktion immer hin zu einer algebraischen Summe („–“ ist gleich „+“ “) umwandeln kann, ist das Subtraktionsverfahren kein eigenständiges Lösungsverfahren. Es kann daher auf das Additionsverfahren zurückgeführt werden.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch ergänzend die Erläuterung zur algebraischen Summer unter dem Reiter Terme 1.2 Eine algebraische Summe an.

 

1. Erster Lösungsweg mittels des Additionsverfahrens

Der erste Lösungsweg beinhaltet, dass man die Variable x eliminiert. Hierfür muss aber gewährleistet sein, dass der Koeffizient beider Variablen jeweils Gegenzahlen sind (hier: 4 und –4). Da das hier noch nicht der Fall ist, muss man die erst Gleichungen mit dem Faktor „–4“ malnehmen (was nichts anderes als eine Äquivalenzumformung ist). Die andere Gleichung bleibt hierbei unverändert. Die mittels Äquivalenzumforumgen veränderte Gleichung wird dann als III. bezeichnet.

I.      x + 7y = 5                         Ι  · (–4)

II.     4x + y = –7

 

I.      –4x – 28y = –20

III.     4x + y = –7

 

Jetzt kann man beide Gleichungen miteinander addieren. Die Gleichung, die man nicht mittels einer Äquivalenzumformung verändert hat, bleibt hierbei unverändert so stehen. Das „–4x“ + „4x“ eliminiert sich hierbei. „–28y“ + „y“ ergibt „27y“ und „–20“ + „–7“ ist „–27“. Durch die Addition von Gleichung II. mit Gleichung I. bleibt jetzt nur noch die Variable y übrig. Jetzt muss man nur noch den Koeffizienten vor der Variablen eliminieren.

IV.     –27y = –27             Ι  · (–27)

 

IV.     y = 1

Die erste Lösungskoordinate setzt man nun als Nächstes in die Gleichung ein, die unverändert blieb bzw. in einer der beiden Ursprungsgleichungen. Anschließend löst man diese Gleichung nach der Variablen x hin auf.

II.      4x + 1 = –7                   Ι  – 1

 

II.      4x = –8                          Ι  : 4

 

II.      x = –2

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Nach der Addition beider Gleichungen behält man normalerweise eine der beiden Ursprungsgleichungen bei. Es handelt sich ja um ein LGS. Deshalb weist diese ja immer auch zwei Gleichungen auf. Der bessern Übersicht wegen wird hier aber darauf verzichtet.

 

Man kann nun die Ergebnisse mittels Probe überprüfen.

I.      –2 + 7 · (1) = 5

II.     4 · (–2) + (1) = –7

 

I.      –2 + 7 = 5

II.     –8 + 1 = –7

 

I.      5 = 5

II.     –7 = –7

Die Probe bestätigt die Richtigkeit des Ergebnisses.

 

Die Lösungsmenge des LGS ergibt daher folgendes Lösungspaar:

 L = {(–2 Ι 1)}.

 

2. Zweiter Lösungsweg mittels Additionsverfahren

Der zweite Lösungsweg sieht vor, dass das LGS nach der Variablen y hin aufgelöst wird. Der Koeffizient muss hier wiederum Gegenzahlen vorweisen (hier: 6 und –6). Damit die eine Gleichung diese vorweist, muss diese mit dem Faktor 6 malgenommen werden (das stellt wiederum eine Äquivalenzumforumg dar). Die andere Gleichung bleibt hierbei wiederum unverändert. Die Gleichung, die man mittels Äquivalenzumformung verändert hat, wird dasnn als III. bezeichnet.

I.     –5x + y = 6                       Ι  · 6

II.     2x – 6y = 48

 

III.     –30x + 6y = 36

II.     2x – 6y = 48

Beide Gleichungen können nun miteinander addiert werden. Die Gleichung, bei der keine Äquivalenzumformung durchgeführt worden ist, bleibt dann unverändert so stehen. Das „–30x“ + „2x“ ergibt „–28x“, das „6y“ + „–6y“ eliminiert sich und das „36“ + 48 ergibt „84“. Durch die Addition, die bei Gleichung II. mit Gleichung I. durchgeführt wurde, bleibt jetzt nur noch die Variable x übrig. Diese Gleichung muss nun nur noch nach der Variablen hin aufgelöst werden.

IV.     –28x = 84               Ι  · (–28)

 

IV.      x = –3

 

Als Nächstes setzt man nun die eine Lösungkoordinate in die Gleichung ein, die nicht verändert wurde bzw. in eine der beiden Ursprungsgleichungen. Daraufhin löst man die Gleichung nach der Variablen y hin auf.

 

I.     –5 · (–3) + y = 6

 

I.     15 + y = 6                        Ι  – 15

 

I.     y = –9

 

Als Lösungsmenge des LGS ergibt sich folgendes Lösungspaar:

L = {(–3 Ι –9)}.

 

Das Ergebnis kann man nun wiederum mittels Probe überprüfen:

I.     –5 · (–3) + (–9) = 6

II.     2 · (–3) – 6 · (–9) = 48

 

I.     15 – 9 = 6

II.     –6 + 54 = 48

 

I.     6 = 6

II.    48 = 48

Die Probe bestätigt die Richtigkeit des Ergebnisses.

 

3. Dritter Lösungsweg mittels Additionsverfahren

Der dritte Lösungsweg beinhaltet, dass man das lineare Gleichungssystem mittels des Additionsverfahrens entweder nach der Variablen x oder der Variablen y hin auflöst. Oft liegt in Mathe ein LGS vor, bei dem das Auflösen nach der einen Variablen oder nach einer anderen Variablen hin in etwa gleich schwer ist. Ist das der Fall, dann muss man immer beide Gleichungen mittels einer Äquivalenzumformung verändern.

Dieses LGS kann man sowohl nach x oder y hin auflösen. Beides ist hier in etwa gleich schwer.

Um das lineare Gleichungssystem nach der Variablen x hin aufzulösen, muss der Koeffizient vor dem x jeweils bei beiden Gleichungen Gegenzahlen vorweisen. Das erreicht man hier, indem man die erste Gleichung mit dem Faktor –3 malnimmt  und die zweite Gleichung mit dem Faktor 2. Dadurch erhält man als Koeffizienten für x die erforderlichen Gegenzahlen (– 6 und 6).

I.     2x – 3y = 6                         Ι  · (–3)

II.     3x – 2y = 12                      Ι  · 2

 

III.     –6x + 9y = –18

IV.     6x – 4y = 24

Beide Gleichungen können nun miteinander addieren werden. Das „–6x“ und das „6x“ eliminieren sich. „9y“ plus „–4y“ ergibt 5y und –18 plus 24 ergibt 6. Dadurch bleibt nur noch die Variable y übrig und die Gleichung kann nach der Variablen hin aufgelöst werden.

V.     5y = 6                                Ι  : 5

 

V.     y = 1,2

Die erste Lösungskoordinate kann man nun in eine der beiden Ursprungsgleichungen einsetzen. Anschließend löst man die Gleichung nach der Variablen x hin auf.

I.     2x – 3 · (1,2) = 6

 

I.     2x – 3,6 = 6                         Ι  + 3,6

 

I.     2x = 9,6                               Ι  : 2

 

I.     x = 4,8

Das Lösungspaar des LGS ist:

      L = {(4,8 Ι 1,2)}.

 

Das Ergebnis kann wiederum mittels Probe überprüft werden:

 

I.     2 · (4,8) – 3 · (1,2) = 6

II.     3 · (4,8) – 2 · (1,2) = 12

 

I.     9,6 – 3,6 = 6

II.     14,4 – 2,4 = 12

 

I.     6 = 6

II.     12 = 12

Die Probe bestätigt, dass die Lösung des LGS korrekt ist.

 

Damit man das lineare Gleichungssystem nach der Variablen y hin umformen kann, muss wiederum der Koeffizient vor dem y bei beiden Gleichungen die Gegenzahlen vorweisen. Das erzielt man, indem man die erste Gleichung mit dem Faktor –2 malnimmt und die zweite Gleichung mit dem Faktor 3. Hierdurch hat dann der Koeffizient die erforderlichen Gegenzahlen (´6 und – 6).

I.     2x – 3y = 6                         Ι  · (–2)

II.     3x – 2y = 12                      Ι  · 3

 

III.     –4x + 6y = –12

IV:     9x – 6y = 36

Jetzt können beide Gleichungen miteinander addiert werden. Das „–4x“ und das „9x“ ergibt „5x“, das „6y“ und das „–6y“ eliminieren sich und das „–12“ und das „36“ ergibt 24. Nun weist die Gleichung nur noch die Variable x auf und kann somit nach dieser Variablen hin umgeformt werden.

V.     5x = 24                               Ι  : 5

 

V.     x = 4,8

Die erste Lösungskoordinate setzt man nun in eine der beiden Ursprungsgleichungen des LGS ein. Daraufhin löst man die Gleichung nach der Variablen hin auf.

I.     2 · (4,8) – 3y = 6

 

I.     9,6 – 3y = 6                          Ι  – 9,6

 

I.     –3y = –3,6                            Ι  : (–3)

 

I.     y = 1,2

Die zweite Lösungskoordinate ist y = 1,2.

 

Als Lösungsmenge des LGS ergibt sich daher Folgendes:

 L = {(4,8 Ι 1,2)}.

 

Mittels Probe kann das Ergebnis überprüft werden:

I.     2 · (4,8) – 3 · (1,2) = 6

II.     3 · (4,8) – 2 · (1,2) = 12

 

I.     9,6 – 3,6 = 6

II.     14,4 – 2,4 = 12

 

I.     6 = 6

II.     12 = 12

Die Probe bestätigt die Korrektheit des Ergebnisses.

 

Das Ergebnis bei beiden Auflösungen des LGS ist identisch. Das muss auch so sein! Es handelt sich ja jeweils um das gleiche lineare Gleichungssystem. Die Lösung ist daher natürlich auch die Gleiche, egal, ob man zuerst mittels des Additionsverfahrens die Variable x oder die Variable y eliminiert.

 

4. Vorgehensweise beim Lösen eines linearen Gleichungssystems mittels des Additionsverfahrens

Um ein lineares Gleichungssystem mittels des Additionsverfahren zu lösen, geht man folgendermaßen vor.

  1. Zuerst schaut man sich genau die beiden Gleichungen an, damit gewahr wird, wie die Gleichungen am leichtesten mittels Äuquivalenzumformungen vereinfacht werden können.
  2. Darauf multipliziert man eine Gleichung mit einer Zahl oder beide Gleichungen mit Zahlen, so dass bei zwei gleichen Variablen deren Koeffizient jeweils Gegenzahlen sind. Keine Gleichung darf hierbei mit der Zahl Null malgenommen werden.
  3. Die beiden Gleichungen werden jetzt miteinander addiert.
  4. Die durch Addition entstandene Gleichung weist jetzt nur noch eine Variable auf. Diese Gleichung muss mann nun nach der Variablen hin auflösen. Dadurch erhält man die erste Lösungskoordinate. Die zweite Gleichung behält man normalerweise unverändert bei (es handelt sich ja um LGS).
  5. Die erste Lösungskoordinate setzt man in einer der beiden Ursprungsgleichungen des LGS ein. Dadurch weist die Gleichung nur noch eine Variable auf. Diese Gleichung löst man nun nach der Variablen hin auf. Das Ergebnis stellt die zweit Lösungskoordinate dar.
  6. Die Probe bestätigt die Lösung des LGS.
  7. Die beiden Lösungskoordinaten ergeben die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.
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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Potenzen, Teil 10

Schwierig hoch 12 © Rainer Sturm PIXELIO www.pixelio.de

Schwierig hoch 12 © Rainer Sturm PIXELIO www.pixelio.de

Auch im Alltag benutzt man in seinem aktiven Wortschatz Potenzen. Das ist immer der Fall, wenn man etwas sehr Schwieriges oder eine – sagen wir mal auch in Anführungszeichen – sehr schwierige Person vor sich hat. „Die Aufgabe, die ich zu bewältigen habe, ist kompliziert hoch zwölf“, sagt ein Schüler zu einem anderen. „Die Person, mit der ich zusammenarbeiten muss, nervt mich im Quadrat“, antwortet eine Frau gegenüber ihrem Freund. Diese Aufgabe oder Person ist natürlich nicht an sich in der jeweiligen Potenz so schwierig bzw. schlimm. Dennoch empfindet ein Mensch das so – was natürlich dennoch real eine sehr schwierige Situation für diese Person ist. Am besten man ist selbst potent genug, um solche immer wieder im Leben auftretenden Situationen so gut wie möglich zu meistern. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchtermen, Teil 10

Bruchterme sind super © Esther Stosch PIXELIO www.pixelio.de

Bruchterme sind super © Esther Stosch PIXELIO www.pixelio.de

Alle Aufgaben in Mathe zu Bruchtermen kann man im Prinzip schon. Alles, was man beim Bruchrechnen gelernt hat, muss man ja hier wiederum abrufen. Daher sind Bruchterme ein dankbares Stoffgebiet – wenn man schon top bei Brüchen war. Das Einzige, was wirklich bei Bruchtermen neu ist, ist die eingeschränkte Lösungsmenge sowie die auftretenden Variablen beim Bruch. Aber das Allerallerwichtigste ist: Alle Rechenoperationen sind bekannt! Das Addieren, das Subtrahieren, das Multiplizieren und das Dividieren sind schließlich zu 100 % gleich wie beim Bruchrechnen. Ebenso hat man bereits gelernt, wie man z. B. Variablen mittels des Distributivgesetzes auflöst – wenn man dieses bei Bruchtermen anwenden muss. Nichtsdestotrotz muss man natürlich beim Lösen jeder Aufgabe bei Bruchtermen hochkonzentriert sein – wie immer bei Mathe! Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchtermen, Teil 9

Mathe-Hefter Bruchrechnen und andere Schulhefter © Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Mathe-Hefter Bruchrechnen und andere Schulhefter © Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Bei der Addition und der Subtraktion von Bruchtermen ist es in Mathe sehr wichtig, sich vorher genau den Nenner der Bruchterme anzuschauen. Davon hängt ja ab, ob man die Bruchterme sofort addieren oder subtrahieren darf oder nicht. Ist der Nenner gleich, dann darf man das nämlich sofort machen. Das ist genauso wie beim Bruchrechnen. Ein Bruch darf dann auch sofort mit einem anderen Bruch addiert oder subtrahiert werden, wenn die Brüche den gleichen Nenner vorweisen (die Brüche sind dann gleichnamig). Haben diese aber nicht den gleichen Nenner, so muss man erst einen gemeinsamen Nenner bilden. Man sagt: Man muss die Brüche gleichnamig machen. Das gilt natürlich auch für Bruchterme! Gleichnamig macht man hierbei Brüche oder Bruchterme, indem man zuvor den gemeinsamen Hauptnenner der Brüche bildet. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchtermen, Teil 8

“Ich bin keine blöde Kuh“ © Paul Golla PIXELIO www.pixelio.de

„Summen kürzen nur die Dummen“, heißt eine früher oft geäußerte Phrase aus dem Mathe-Unterricht. Phrasen bestehen aber oft einfach nur aus Worthülsen. Der Wahrheitsgehalt dieser sprachlichen Ausdrücke ist daher mehr als anzweifelbar. Sie sind nämlich einfach häufig schlichtweg falsch. Der Reim bzw. der sprachliche Laut dominiert bei „Summen kürzen nur …“ den Inhalt. Und der Sinn, der den eigentlichen Satzgehalt dominieren sollte, ist hier mindestens nur zweitrangig. In die sensiblen Psychen von Schülerinnen und Schülern kann sich solch eine Phrase aber sehr schnell einbrennen und man denkt wirklich man ist zu dumm für Mathe und dann auch gleich noch oft für vieles anderes. Das stimmt aber definitiv nicht! An Brüchen oder Bruchtermen, bei der diese Phrase zum Zuge kommt, kann man die Intelligenz eines Menschen eh nicht MESSEN im Fach Mathematik auch sowieso überhaupt nicht! Daher gilt wahrheitsgemäß: Nur die Dummen sagen: „Summen kürzen nur die Dummen!“

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Gleichungen, Teil 2

Eine “zuckersüße“ Gleichung © S. Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Es gibt in Mathe eine Unzahl verschiedener Arten von Gleichungen. Das liegt an den großen Variationsmöglichkeiten von Termen. Eine Gleichung besteht ja aus Termen. Da ein einziger Term selbst wiederum sehr unterschiedliche Mathematik-Zeichen vorweisen kann, entstehen hierdurch jede Menge verschiedenartiger Gleichungen. Neben den Grundrechenarten, der Addition, der Subtraktion, der Multiplikation und der Division, kann ein Term auch Potenzen und Wurzeln vorweisen – und noch einiges mehr an Mathe-Verknüpfungen. Verschiedenartige Gleichungen kann man aber auch sehr gut veranschaulichen, wenn man eine Gleichung zur Funktion macht und sich den Graphen der Funktion anschaut. Dann sieht man nämlich große Unterschiede in dem Verlauf einer Funktion. Eine lineare Funktion, die auf einer linearen Gleichung basiert, ist z. B. eine Gerade, eine quadratische Funktion, die auf einer quadratischen Funktion basiert, ist hingegen eine Parabel. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen, Teil 1

Gleiches fortlaufendes Muster © Rainer Sturm PIXELIO www.pixelio.de

In Mathematik kann eine Gleichung nicht nur für sich alleine betrachtet werden. Zwei lineare Gleichungen können beispielsweise als eine Einheit angesehen werden – und mittels eines rechnerischen Lösungsverfahren wie das Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren oder Additionsverfahren gelöst werden. Was für einen Mehrwert hat das aber bzw. was soll das? Die Sinnfrage ist ja gerade in Mathe bei Schülerinnen und Schülern stets gegenwärtig. Jedes Mathematik-Stoffgebiet hat seinen Sinn – das ist das eine! Schließlich wird hierdurch etwas gelernt, was förderlich für die Hirnleistung ist! Das andere ist: Betrachtet man zwei lineare Gleichungen als eine Einheit, so kann man die jeweilige Beziehung der Gleichungen bzw. der linearen Funktionen zueinander bestimmen. Beziehung heißt hier: Schneiden sich die linearen Funktion, verlaufen sie parallel oder sind sie gar identisch. Weiterlesen

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Doppelbrüche

1. Allgemeines zu Doppelbrüche

In der Mathematik können Brüche nicht nur aus einem einzigen Bruchstrich bestehen, sondern auch mehrere Bruchstriche vorweisen. Ist dies der Fall, so liegt ein sogenannter Doppelbruch vor. Bei einem Doppelbruch wird daher immer ein Bruch durch einen anderen Bruch geteilt. Schließlich ist ein Bruchstrich ja nur ein anderer Ausdruck für ein Geteiltzeichen/„:“.

 

Beispiele für Doppelbrüche:

\frac{1}{\frac{8}{125}}, \frac{6}{\frac{7}{93}}, \frac{\frac{8}{9}}{7}, \frac{\frac{14}{19}}{5}, \frac{\frac{7}{6}}{\frac{10}{93}}, \frac{\frac{12}{17}}{\frac{28}{107}}

 

2. Das Auflösen von Doppelbrüchen

Doppelbrüche lassen sich in Mathe ganz leicht auflösen. Man muss die jeweiligen Doppelbrüche nur jeweils zu einer Division zwischen zwei Brüchen hin umwandeln.

 

2.1 Doppelbrüche mit ganzer Zahl als Zähler

Liegt ein Doppelbruch vor, der nur eine Zahl als Zahl als Zähler vorweist und einen Bruch im Nenner, so kann man diesen folgendermaßen auflösen:

 

Beispiele:

\frac{5}{\frac{4}{7}} = 5 : \frac{4}{7}} = \frac{5}{1}} : \frac{4}{7}} = \frac{5}{1}} · \frac{7}{4}} = {\frac{5\ {\cdot}\ 7}{1\ {\cdot}\ 4} = \frac{35}{4}} = 8\frac{3}{4}}

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Jede natürliche Zahl kann auch als Bruchzahl geschrieben werden. Siehe hierzu auch unter Bruchrechnung 2.2 Das Verhältnis natürliche Zahl und Bruchzahl an.

\frac{12}{\frac{9}{14}} = 12 : \frac{9}{14}} = \frac{12}{1}} : \frac{9}{14}} = \frac{12}{1}} · \frac{14}{9}} = {\frac{12\ {\cdot}\ 14}{1\ {\cdot}\ 9} = \frac{168}{9}} = \frac{56}{3}}= 18\frac{2}{3}}

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zur Division von Brüchen siehe auch unter Bruchrechnung/Multiplikation und Division 3. Die Division von Brüchen an.

\frac{47}{\frac{29}{78}} = 47 : \frac{29}{78}} = \frac{47}{1}} : \frac{29}{78}} = \frac{47}{1}} · \frac{78}{29}} = {\frac{47\ {\cdot}\ 78}{1\ {\cdot}\ 29} = \frac{3666}{29}} = 126\frac{12}{29}}

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zur Umwandlung von unechten Brüchen hin zu gemischten Brüchen siehe auch unter Bruchrechnung 4.1 Das Umrechnen eine unechten Bruchs in einen gemischten Bruch an.

 

2.2 Doppelbrüche mit ganzer Zahl im Nenner

Doppelbrüche können auch nur eine ganze Zahl im Nenner vorweisen. Diese Doppelbrüche löst man dann wie folgt auf.

 

Beispiele:

\frac{\frac{7}{8}}{5} = \frac{7}{8}} : 5 = \frac{7}{8}} : \frac{5}{1}} = \frac{7}{8}} · \frac{1}{5}} = {\frac{7\ {\cdot}\ 1}{8\ {\cdot}\ 5} = \frac{7}{40}}

\frac{\frac{15}{27}}{8} = \frac{15}{27}} : 8 = \frac{15}{27}} : \frac{8}{1}} = \frac{15}{27}} · \frac{1}{8}} = {\frac{15\ {\cdot}\ 1}{27\ {\cdot}\ 8} = \frac{15}{216}} = \frac{5}{72}}

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zum Kürzen von Brüchen siehe auch unter Bruchrechnung/Erweitern und Kürzen, 3. Das Kürzen eines Bruchs an

\frac{\frac{38}{45}}{35} = \frac{38}{45}} : 35 = \frac{38}{45}} : \frac{35}{1}} = \frac{38}{45}} · \frac{1}{35}} = {\frac{38\ {\cdot}\ 1}{45\ {\cdot}\ 35} = \frac{38}{1575}}

 

2.3 Doppelbrüche mit Bruch in Zähler und Nenner

Doppelbrüche weisen natürlich oft auch im Zähler und im Nenner einen Bruch auf. Solche Doppelbrüche löst man folgendermaßen auf:

\frac{\frac{5}{12}}{\frac{7}{13}} = \frac{5}{12}} : \frac{7}{13}} = \frac{5}{12}} · \frac{13}{7}} = {\frac{5\ {\cdot}\ 13}{12\ {\cdot}\ 7} = \frac{65}{84}}

\frac{\frac{12}{19}}{\frac{8}{25}} = \frac{12}{19}} : \frac{8}{25}} = \frac{12}{19}} · \frac{25}{8}} = {\frac{12\ {\cdot}\ 25}{19\ {\cdot}\ 8} = \frac{300}{152}} = \frac{75}{38}} = 1\frac{37}{38}}

\frac{\frac{25}{27}}{\frac{12}{41}} = \frac{25}{27}} : \frac{12}{41}} = \frac{25}{27}} · \frac{41}{12}} = {\frac{25\ {\cdot}\ 41}{27\ {\cdot}\ 12} = \frac{1025}{324}} = 3\frac{53}{324}}

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Wie man sieht, werden alle verschiedene Arten von Doppelbrüchen auf die gleiche Weise aufgelöst. Hierzu muss man deshalb im Prinzip nur die Division und Multiplikation von Brüchen beherrschen.

Später, ab einer höheren Klassenstufe, wenn man nur noch viele frühere auf dem Papier gemachten Rechenoperationen mit dem Taschenrechner durchführt, wird man oftmals auch vergessen haben, wie man Doppelbrüche auflöst. Das Gleiche gilt natürlich für die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von normalen Brüchen. Das ist aber nicht weiter schlimm, da man ja mit dem Taschenrechner, wie gesagt, Doppelbrüche und andere Brüche in Nullkommanix auflösen und das richtige Ergebnis ermitteln kann.

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Addition und Subtraktion

1. Allgemeines zur Addition und Subtraktion von Bruchzahlen

Die ersten Rechenoperationen die man in Mathe beim Bruchrechnen zwischen zwei Bruchzahlen macht, sind das Addieren und das Subtrahieren. Das Schöne hierbei ist: Hat man vorher bei der Addition und Subtraktion sowie der Multiplikation von natürlichen Zahlen keine großen Probleme gehabt, dann wird das normalerweise auch bei der Addition und der Subtraktion von Bruchzahlen so bleiben. Denn im Prinzip werden hier die vorher gelernten Fähigkeiten erneut auf den Prüfstein gestellt, wenn auch nun auf Brüche bezogen.

 

2. Die Addition und Subtraktion von gleichnamigen Brüchen

In der Mathematik spricht man beim Bruchrechnen von gleichnamigen Brüchen, wenn der Nenner der Bruchzahlen gleich ist. Folgendes sind alles gleichnamige Brüche:

 

Beispiele:

{\frac{1}{4}; {\frac{3}{4}; {\frac{7}{4}; {\frac{99}{4};

{\frac{2}{9}; {\frac{7}{9}; {\frac{11}{9}; {\frac{88}{9}

{\frac{2}{15}; {\frac{8}{15}; {\frac{23}{15}; {\frac{116}{15}

Liegt nun in Mathe ein gleichnamiger Bruch vor, bei dem eine Addition oder Subtraktion durchgeführt werden muss, so gilt folgende Regel: Die Zähler dürfen sofort addiert bzw. subtrahiert werden, der Nenner bleibt hierbei erhalten.

 

Beispiele Addition gleichnamiger Brüche:

{\frac{1}{3} + {\frac{4}{3} = {\frac{1+4}{3} = {\frac{5}{3} = 2{\frac{2}{3}

{\frac{2}{7} + {\frac{6}{7} = {\frac{2+6}{7} = {\frac{8}{7} = 1{\frac{1}{7}

{\frac{3}{5} + {\frac{1}{5} + {\frac{4}{5} = {\frac{3+1+4}{5} = {\frac{8}{5} = 1{\frac{3}{5}

{\frac{4}{11} + {\frac{3}{11} + {\frac{7}{11} + {\frac{28}{11} = {\frac{4+3+7+28}{11} = {\frac{42}{11} = 3{\frac{9}{11}

Auch gemischte Brüche, die gleichnamig sind, dürfen sofort addiert werden. Hierbei addiert man die ganzen Zahlen und die jeweiligen Nenner.

3{\frac{1}{5} + 2{\frac{3}{5} = 5{\frac{1+3}{5} = 5{\frac{4}{5}

4{\frac{2}{7} + 3{\frac{4}{7} = 7{\frac{2+4}{7} = 7{\frac{6}{7}

 

Beispiel Subtraktion gleichnamiger Brüche:

{\frac{5}{7}{\frac{4}{7} = {\frac{5-4}{7} = {\frac{1}{7}

{\frac{8}{9}{\frac{4}{9} = {\frac{8-4}{9} = {\frac{4}{9}

{\frac{11}{15}{\frac{4}{15}{\frac{3}{15} = {\frac{11-4-3}{15} = {\frac{4}{15}

{\frac{18}{29}{\frac{5}{29}{\frac{8}{29}{\frac{2}{29} = {\frac{18-5-8-2}{29} = {\frac{3}{29}

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zur Umwandlung von unechten Brüchen hin zu gemischten Brüchen siehe unter Bruchrechnung den Unterpunkt: 4.1 Das Umrechnen eines unechten Bruchs in eine gemischten Bruch an.

Bei Subtraktion gilbt ebenso: Gleichnamige gemischte Brüche dürfen sofort subtrahiert werden.

3{\frac{3}{4} – 2{\frac{1}{4} = 1{\frac{3-1}{4} = 1{\frac{2}{4} = 1{\frac{1}{2}

7{\frac{5}{7} – 4{\frac{3}{7} = 3{\frac{2}{7}

 

3. Addition und Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern

Bei der Addition und Subtraktion von Brüchen, die keinen gleichen Nenner haben, sprich nicht gleichnamig sind, darf man auf keinen Fall sofort die Nenner der Brüche addieren oder subtrahieren. Das würde nämlich definitiv zum falschen Ergebnis führen. Bevor man nämlich Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren oder subtrahieren darf, muss man diese gleichnamig machen. Das macht man, indem man den sogenannten Hauptnenner (das ist immer das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)) der zu addierenden oder subtrahierenden Brüche bildet und die Brüche vom Nenner und Zähler her schließlich auf den Hauptnenner hin erweitert.

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Um den Hauptnenner bzw. das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zu ermitteln, muss man immer die kleinste Zahl finden, die den gemeinsamen Teiler aller Bruch-Nenner beinhaltet.

 

Beispiele für das Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern

a) bei echten Brüchen

{\frac{1}{2} + {\frac{2}{3}

Der Hauptnenner ist hier 6, da dies das kleinste gemeinsame Vielfache von „2“ und „3“ ist. Nach Ermittlung des Hauptnenners werden die Zähler und Nenner der beiden Brüche auf den Hauptnenner hin erweitert.

Da die „2“ in die „6“ 3-mal „hineinpasst“, wird der Bruch {\frac{1}{2} mit dem Faktor 3 erweitert. In die „6“ passt die „3“ 2-mal, daher wird der Bruch {\frac{2}{3} mit dem Faktor 2 erweitert.

{\frac{1\ {\cdot}\ 3}{2\ {\cdot}\ 3} + {\frac{2\ {\cdot}\ 2}{3\ {\cdot}\ 2} = {\frac{3}{6} + {\frac{4}{6}

Jetzt sind die Brüche gleichnamig und dürfen daher addiert werden.

{\frac{3}{6} + {\frac{4}{6} = {\frac{7}{6} = 1{\frac{1}{6}

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zum Erweitern von Brüchen siehe auch unter Bruchrechnung/Erweitern und Kürzen das Kapitel 2. Das Erweitern eines Bruchs an.

{\frac{3}{4} + {\frac{2}{5}

Der Hauptnenner, sprich das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV), ist hier „20“. Daher muss der erste Bruch mit dem Faktor 5 und der zweite Bruch mit dem Faktor 4 erweitert werden.

{\frac{3\ {\cdot}\ 5}{4\ {\cdot}\ 5} + {\frac{2\ {\cdot}\ 4}{5\ {\cdot}\ 4} = {\frac{15}{20} + {\frac{8}{20}

Die gleichnamige Brüche dürfen nun addiert werden.

{\frac{15}{20} + {\frac{8}{20} = {\frac{23}{20} = 1{\frac{3}{20}

{\frac{3}{4}{\frac{2}{7}

Hier ist der Hauptnenner bzw. das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) 28. Deshalb muss man den ersten Bruch mit „7“ erweitern und den zweiten Bruch mit „4“

{\frac{3\ {\cdot}\ 7}{4\ {\cdot}\ 7}{\frac{2\ {\cdot}\ 4}{7\ {\cdot}\ 4} = {\frac{21}{28}{\frac{6}{28}

Bei den nun gleichnamigen Brüchen darf die Subtraktion durchgeführt werden.

{\frac{21}{28}{\frac{6}{28} = {\frac{15}{28}

 

b) bei unechten Brüchen

{\frac{7}{3} + {\frac{8}{5}

Der Hauptnenner bzw. das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist hier „15“. Deshalb muss man den ersten Bruch mit dem Faktor 5 und den zweiten Bruch mit dem Faktor 3 erweitern.

{\frac{7\ {\cdot}\ 5}{3\ {\cdot}\ 5} + {\frac{8\ {\cdot}\ 3}{5\ {\cdot}\ 3} = {\frac{35}{15} + {\frac{24}{15}

Nun dürfen die beiden Brüche addiert werden.

{\frac{35}{15} + {\frac{24}{15} = {\frac{59}{15}

Anschließend muss man den echten Bruch noch in einen gemischten Bruch umwandeln.

{\frac{59}{15} = 3{\frac{14}{15}

{\frac{10}{3}{\frac{5}{4}

Der Hauptnenner die beiden Brüche bzw. das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist hier „12“. Daher muss man den ersten Bruch mit dem Faktor 4 und den zweiten Bruch mit dem Faktor 3 erweitern.

{\frac{10\ {\cdot}\ 4}{3\ {\cdot}\ 4}{\frac{5\ {\cdot}\ 3}{4\ {\cdot}\ 3} = {\frac{40}{12}{\frac{15}{12}

Daraufhin darf man die den einen Bruch von dem anderen Bruch subtrahieren.

{\frac{40}{12}{\frac{15}{12} = {\frac{25}{12}

Zum Schluss muss man noch den unechten Bruch in einen gemischten Bruch umwandeln.

{\frac{25}{12} = 2{\frac{1}{12}

 

c) bei gemischten Brüchen

Bei der Addition und Subtraktion von gemischten Brüchen gilt: Zuerst muss man diese in unechte Brüche umwandeln. Nach dem Gleichnamigmachen mittels des Hauptnenners bzw. des kleinsten gemeinsamen Vielfachens (kgV) dürfen diese addiert oder subtrahiert werden.

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zum Umwandeln von gemischten Brüchen in unechte Brüche siehe auch unter Bruchrechnung 4.2 Das Umrechnen eines gemischten Bruchs in einen unechten Bruch an.

3{\frac{3}{7} + 4{\frac{1}{2} = {\frac{24}{7} + {\frac{9}{2}

Der Hauptnenner die beiden Brüche bzw. das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist hier „14“. Daher muss der erste Bruch mit dem Faktor 2 und der zweit Bruch mit dem Faktor 7 erweitert werden.

{\frac{24\ {\cdot}\ 2}{7\ {\cdot}\ 2} + {\frac{9\ {\cdot}\ 7}{2\ {\cdot}\ 7} = {\frac{48}{14} + {\frac{63}{14}

Darauf darf man die beiden Brüche addieren.

{\frac{48}{14} + {\frac{63}{14} = {\frac{111}{14}

Zum Schluss muss man noch den unechten Bruch in einen gemischten Bruch umwandeln.

{\frac{111}{14} = 7{\frac{13}{14}

4{\frac{1}{6} – 2{\frac{1}{3}

Zuerst wandelt man die gemischten Brüche hin zu unechte Brüche um.

4{\frac{1}{6} – 2{\frac{1}{3} = {\frac{25}{6}{\frac{7}{3}

Darauf macht man die Brüche gleichnamig. Der Hauptnenner bzw. das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist hier „6“. Daher muss man den ersten Bruch nicht erweitern, da dieser bereits den Hauptnenner vorweist, und den zweiten Bruch mit dem Faktor 2.

{\frac{25}{6}{\frac{7\ {\cdot}\ 2}{3\ {\cdot}\ 2} = {\frac{25}{6}{\frac{14}{6}

Darauf darf man den eine Bruch von dem anderen subtrahieren.

{\frac{25}{6}{\frac{14}{6} = {\frac{11}{6}

Anschließend muss man den unechten Bruch noch in einen gemischten Bruch umwandeln.

{\frac{11}{6} = 1{\frac{5}{6}

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Bruchrechnung

1. Allgemeines zur Bruchrechnung

Nach den dem intensiven Erlernen der Grundrechenarten, der Addition, der Subtraktion, der Multiplikation und der Division, muss irgendwann darauf in Mathe eine neue umfangreiche Rechenart gelernt werden: die Bruchrechnung. Bevor man hier aber anfängt wirklich zu rechnen, wird erst einmal erklärt, was genau ein Bruch ist und wie man einen Bruch verändern kann ohne den Wert eines Bruches zu verändern (das Kürzen und Erweitern von Brüchen). Erst dann wird man in der Mathematik mit dem Bruchrechnen beginnen – und das wird einem unter Garantie nicht allzu schwer fallen, wenn man vorher die Grundrechenarten richtig gut gelernt hat. Bei Brüchen muss man nämlich wiederum eine Addition, eine Subtraktion, eine Multiplikation und eine Division durchführen, nur dieses mal anstatt mit positiven ganzen Zahlen (die natürlichen Zahlen meine ich hiermit), sondern eben mit Bruchzahlen.

Ein Bruch im Einzelhandel © iwona golczyk PIXELIO www.pixelio.de

Ein Bruch im Einzelhandel © iwona golczyk PIXELIO www.pixelio.de

2 Bestandteile einer Bruchzahl

Dadurch, dass eine Bruchzahl eine andere Zahl ist, als die bisher gelernten natürlichen Zahlen, hat diese auch logischerweise eine andere Darstellungsform. Jede Bruchzahl weist hierbei drei Charakteristika/Merkmale als Zahl auf. Sie besteht nämlich stets aus einem Zähler, das ist die obere Zahl, und einem Nenner, das ist die untere Zahl. Getrennt werden beide Zahlen durch den Bruchstrich.

Anstatt Bruchzahl ist auch gebräuchlich Bruch zu sagen, der Plural sind Brüche.

 

Beispiele für Bruchzahlen:

{\frac{1}{2};    {\frac{2}{3};    {\frac{5}{7};    {\frac{15}{29};    {\frac{105}{208};    {\frac{2007}{4223};    {\frac{3}{2}, {\frac{8}{5};    {\frac{23}{7};    {\frac{405}{14};    {\frac{2009}{412};    {\frac{7335}{8857}.

 

2.1 Ein Bruch als Ausdruck einer Division

Jeder Bruch kann im Prinzip auch als eine Division wiedergegeben werden, da der Bruchstrich nichts anderes als ein Geteiltzeichen/“:“ ist:

 

Beispiele für Brüche als Ausdruck einer Division:

{\frac{1}{2} = 1 : 2;

{\frac{2}{3} = 2 : 3;

{\frac{5}{7} = 5 : 7;

{\frac{15}{29} = 15 : 29;

{\frac{105}{208} = 105 : 208;

{\frac{2007}{4223} = 2007 : 4223;

{\frac{3}{2} = 3 : 2;

{\frac{8}{5} = 8 : 5;

{\frac{23}{7} = 23 : 7;

{\frac{405}{14} = 405 : 14;

{\frac{2009}{412} = 2009 : 412;

{\frac{7335}{8857} = 7335 : 8857.

 

2.2 Das Verhältnis natürliche Zahl und Bruchzahl

Jede natürliche Zahl kann auch als eine Bruchzahl dargestellt werden. Daher sind alle natürlichen Zahlen eine Teilmenge der Zahlenmenge der Bruchzahlen (die Umkehrung gilt nämlich nicht!).

 

Beispiele:

4 = {\frac{4}{1};

7 = {\frac{7}{1};

23 = {\frac{23}{1};

73 = {\frac{73}{1};

512 = {\frac{512}{1};

7003 = {\frac{7003}{1}.

 

 

3. Bruchanteile einer bestimmten Menge

Ein Bruchzahl lernt man anfangs ist eine Teilmenge/ein Anteil von einer bestimmten Menge. Hierfür wird oft der Vergleich zu einer ganzen Pizza gezogen. Sitzen nun zwei Personen am Essens-Tisch so bekommt jede Person jeweils die Hälfte, als Bruchzahl {\frac{1}{2}, der Pizza (vorausgesetzt man teilt die Pizza salomonisch, sprich gerecht, auf). Sitzen nun drei Personen am Tisch, so erhält jeder ein Drittel, als Bruchzahl {\frac{1}{3}, der Pizza. Bei vier Personen sind es {\frac{1}{4}, bei fünf Personen {\frac{1}{5} usw.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Jede natürliche Zahl kann auch als Bruchzahl dargestellt werden. So kann man beispielsweise für 1 auch {\frac{1}{1}, für 2 auch {\frac{2}{1}, für 12 auch {\frac{12}{1}, für 523 auch {\frac{523}{1} usw schreiben. Entscheidend ist ja, dass man bei der Umwandlung von der natürlichen Zahl hin zu der Bruchzahl den Wert der Zahl nicht verändert. 1 und {\frac{1}{1} sind immer noch vom Wert her 1, 2 und {\frac{2}{1} sind ebenso vom Wert her noch 2 usw.

 

3.1 Der Mathe-Ausdruck „von“ beim Bruchrechnen bzw. Anteile einer Gesamtmenge

Die ersten Rechenaufgaben, die man in Mathe beim Bruchrechnen machen muss, sind sogenannte „von“-Aufgaben. Hierbei muss man immer einen Bruchteil/Anteil von einer Gesamtmenge berechnen.

 

Beispiele:

{\frac{4}{5} m (von 1 m);

{\frac{5}{6} von 240 min;

{\frac{3}{8} von 80 Personen;

{\frac{8}{10} t (von 1 t).

Damit man Anteile in einer verständlichen Mathe-Schreibweise wiedergeben kann, muss man vorher verstanden haben, was der Bruch oder die Bruchzahl „von“ einer bestimmten Menge in der Sprache der Mathematik bedeutet.

 

Beispiele:

{\frac{4}{5} m heißt 1 m (das ist die Gesamtmenge) 4 (: 5) (das ist der Anteil) = 4 : 5 = 0,8 m = 8 dm = 80 cm. Da man aber zu diesem Zeitpunkt in der Schule in Mathe noch keine Dezimalrechnung hatte, berechnet man den „von“-Anteil normalerweise folgendermaßen: 1 m entsprechen 100 cm („mal 10, mal 10“). {\frac{1}{5} m sind 20 cm („geteilt durch fünf“). {\frac{4}{5} m sind daher 80 cm („mal 4“).

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe zum Umrechnen von Größenangaben auch unter Größen den Unterpunkt Umrechnen von Größen an.

 

{\frac{5}{6} von 240 min berechnet man wie folgt: {\frac{1}{6} min entsprechen 40 min („geteilt durch sechs“). {\frac{5}{6} m sind daher 200 min („mal 5“).

{\frac{3}{8} von 80 Personen berechnet man folgendermaßen: {\frac{1}{8} Personen entsprechen 10 Personen („geteilt durch acht“). {\frac{3}{8} m sind daher 30 Personen („mal 3“).

{\frac{8}{10} t von 1 t berechnet man wie folgt: 1 t entsprechen 1000 kg („mal 1000“). {\frac{1}{10} t sind 100 kg („geteilt durch 10“). {\frac{8}{10} t sind daher 800 kg („mal 8“).

Wenn man in einer höheren Klassenstufe ist oder beispielsweise den MSA (Mittleren Schulabschluss) macht, kann es sein, dass man noch einmal in Mathe mit sogenannten „von“-Aufgaben mit Brüchen konfrontiert wird. Dann sollte man aber wissen, dass in der Sprache der Mathematik ein „von“ immer mit einer Multiplikation gleichzusetzen ist. Demzufolge gibt man dann in seinen Taschenrechner nur den Anteil des Bruches mal der gegeben Gesamtmenge (was natürlich auch ein Bruch sein kann) ein.

 

Beispiele:

{\frac{5}{6} m von 84 m = {\frac{5}{6} m 84 m = 70 m;

{\frac{2}{15} kg von {\frac{14}{15} kg = {\frac{2}{15} {\frac{14}{15} kg = {\frac{28}{225} kg.

 

4. Unechte Brüche

Ein Bruch in Mathe besteht ja immer aus einem Zähler und einem Nenne, die beide durch einen Bruchstrich getrennt sind. Ist nun bei einem Bruch der Zähler kleiner als der Nenner, dann liegt ein sogenannter echter Bruch vor.

 

Beispiele für echte Brüche:

{\frac{1}{2};    {\frac{3}{4};    {\frac{7}{8};    {\frac{23}{25};    {\frac{407}{455};    {\frac{1205}{7067}.

Ist nun bei einem Bruch der Zähler größer als der Nenner oder genauso groß wie der Nenner, so liegt ein sogenannter unechter Bruch vor.

 

Beispiele für „unechte Brüche“:

{\frac{4}{3};    {\frac{7}{4};    {\frac{12}{5};    {\frac{35}{19};    {\frac{41}{41};    {\frac{407}{122}; {\frac{555}{555};    {\frac{3107}{241}.

 

Yeah, it’s ABC-disco-time with Grobi!

 

4.1 Das Umrechnen eines unechten Bruchs in einen gemischten Bruch

Jeden unechten Bruch kann man, vorausgesetzt der Zähler ist nicht genauso groß wie der Nenner, in einen sogenannten gemischten Bruch umrechnen. Ein gemischter Bruch besteht hierbei aus einer ganzen Zahl und einer Bruchzahl, wobei die ganze Zahl immer direkt vor die Bruchzahl gestellt wird.

 

Beispiele für gemischte Brüche:

2{\frac{1}{2};    4{\frac{3}{4};    8{\frac{7}{9};    12{\frac{24}{55};    5{\frac{79}{83};    27{\frac{403}{607};    503{\frac{8603}{9979}.

Einen unechten Bruch rechnet man nun immer wie folgt in einen gemischten Bruch um:

Dieser unechte Bruch ist gegeben: {\frac{17}{3}. Mittels einer Division wandelt man nun den Buch um. Hierfür ist es sinnvoll den Bruch in der gewohnten Divisionsschreibweise darzustellen:

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Bei jedem Bruch kann ein Bruchstrich auch in eine Divisionszeichen umgewandelt werden, der Zähler wird dann zum Dividend und der Nenner zum Divisor.

 

{\frac{17}{3} = 17 : 3

Darauf führt man die Division durch, wie man diese vorher in Mathe gelernt hat.

17 : 3 = 5

{\underline{15}

2 Rest

Die drei „passt“ in die 17 5-mal, das ergibt die ganze Zahl des gemischten Bruchs. Die Bruchzahl aus dem gemischten Bruch enthält als Zähler die 2, dem Rest der Division, und als Nenner die 3, den Nenner des unechten Bruchs.

Daher ist der gemischte Bruch zu dem unechten Bruch {\frac{17}{3} = 5{\frac{2}{3}.

Bei der Umwandlung vom unechten Bruch zum gemischten Bruch erhält man die ganze Zahl des gemischten Bruchs immer durch die Durchführung einer Division. Der Divisions-Rest ist beim gemischten Bruch immer der Zähler der Bruchzahl . Der ursprüngliche Nenner beim unechten Bruch ist immer gleich dem Nenner bei der Bruchzahl, die bei einem gemischter Bruch enthalten ist.

 

Beispiele für die Umwandlung unechter Brüche in gemischte Brüche:

{\frac{29}{4} = 29 : 4

29 : 4 = 7

{\underline{28}

1 Rest

Daher ist der gemischte Bruch: 7{\frac{1}{4}.

 

{\frac{88}{5} = 88 : 5

88 : 5 = 17

{\underline{85}

3 Rest

Deshalb ist hier der gemischte Bruch: 17{\frac{3}{5}.

 

{\frac{215}{12} = 215 : 12

215 : 12 = 17

{\underline{12}

95

{\underline{84}

11 Rest

Daher ist hier der gemischte Bruch: 17{\frac{11}{12}.

 

4.2 Das Umrechnen eines gemischten Bruchs in einen unechten Bruch

Des Öfteren muss man beim Bruchrechnen auch einen gemischten Bruch in einen unechten Bruch umwandeln. Hierzu multipliziert man die ganze Zahl mit dem Nenner des Bruchs. Das Ergebnis addiert man schließlich mit dem Zähler des Bruchs. Die sich hierbei ergebende Zahl ist der neue Zähler des unechten Bruchs, der Nenner des gemischten Bruchs bleibt auch beim unechten Bruch erhalten.

 

Mathematik-Nachhilfe-Blog: Das Umrechnen vom gemischten Bruch hin zum unechten Bruch ist im Bruchrechnen einfach die umgekehrte Rechenoperation zum Umrechnen eines unrechten Bruches in einen gemischten Bruch.

 

Beispiele für die Umwandlung gemischter Brüche in unechte Brüche:

4{\frac{1}{2}, der Zähler des unechten Bruchs = 4 · 2 + 1 = 9, der Nenner des gemischten Bruchs bleibt erhalten: {\frac{9}{2};

6{\frac{2}{5}, der Zähler des unechten Bruchs = 6 · 5 + 2 = 32, der Nenner = 5: {\frac{32}{5};

32{\frac{4}{7}, der Zähler des unechten Bruchs = 32 · 7 + 4 = 228, der Nenner = 7: {\frac{228}{7}.

 

5. Dezimalbrüche

Brüche, die im Nenner die Zahl 10 oder eine Potenz von 10 mit natürlichem Exponenten vorweisen, nennt man Dezimalbrüche.

 

Beispiele von Dezimalbrüchen:

{\frac{7}{10};    {\frac{29}{100};    {\frac{335}{1000};    {\frac{12}{100000}.

 

Hier kann man die Seite des Mathematik Nachhilfe Blogs als PDF downloaden: Mathematik-Nachhilfe: Bruchrechnung.

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