Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Stoffgebiet Funktionen, Teil 3

Der Graph einer Betragsfunktion

Funktionen können in der Mathematik immer in einem Koordinatensystem dargestellt werden. Die Darstellung einer Funktion im Koordinatensystem nennt man den Graph der Funktion. Der Graphen einer Funktion kann hierbei einen ununterbrochen durchgängigen Verlauf vorweisen oder auch eine oder mehrere sogenannte Lücken haben. Eine Lücke stellt nämlich eine Stelle an einer Funktion dar, wo die Funktion nicht definiert ist. Bei der Funktionsgleichung einer Funktion kann man das bereits ebenso sehen, ob eine Funktion unterbrochen ist oder nicht. Besteht die Funktion beispielsweise aus einem Bruchterm, so weist deren Verlauf höchstwahrscheinlich eine oder mehrere Lücken auf. Ebenso zeigen sich Lücken bei der Definitionsmenge. Alle Zahlen, die bei der Definitionsmenge einer Funktion ausgeschlossen sind, sind Lücken bei deren Graphen. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu quadratischen Gleichungen, Teil 9

Eine ''natürliche'' quadratische Ergänzung © olga meier-sander PIXELIO www.pixelio.de

Eine “natürliche“ quadratische Ergänzung © olga meier-sander PIXELIO www.pixelio.de

Die quadratische Ergänzung zur Lösung einer quadratischen Gleichung kann man in Mathe nicht oft genug üben! Dadurch „brennt“ sich zum einen dieser wichtige Lösungsweg zur Bestimmung der Lösung einer quadratischen Gleichung ein sowie insbesondere die binomischen Formeln. Das Entscheidende bei einer quadratischen Ergänzung stellt hierbei der Mittelterm der 1. oder 2. Binomischen Formel dar. Von diesem ausgehend ergänzt man ja mittels einer Äquivalenzumformung den 3. Einzelterm doppelt – indem man den Mittelterm zuerst durch den ersten Einzelterm der unaufgelösten Form und den Faktor 2 teilt. Darauf quadriert man jenen noch! Deshalb heißt ja in der Mathematik jene Algebra-Umformung quadratische Ergänzung. Hat man jedenfalls einmal den Umformungs-Prozess verstanden, ist die quadratische Ergänzung für Schülerinnen und Schüler ein Klacks. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Stoffgebiet Term, Teil 11

Gesetze gibt es überall © Tim Reckmann PIXELIO www.pixelio.de

Gesetze gibt es überall © Tim Reckmann PIXELIO www.pixelio.de

Bei Termen in Mathe treten wiederum bereits aus der Grundschule bekannte Gesetze (Gesetzmäßigkeiten) auf. Damals in der 4. oder 5. Klasse sind diese Mathematik-Gesetze aufgrund deren gewöhnungsbedürftiger Bezeichnung sicherlich Schülerinnen und Schülern ins Auge gesprungen und schwer über die Lippen gekommen. Ich meine hiermit das Assoziativgesetz, das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz. Ja, das sind alles unstrittig sehr schwer auszusprechende Wörter! Und dahinter verbirgt sich jeweils eine algebraische Gesetzmäßigkeit, die bei Termen angewandt werden kann (was vorher bereits schon bei „reinen“ Zahlen der Fall gewesen ist). Das Gute bei diesen drei Gesetzen ist aber, dass man ab einer höheren Klassenstufe in Mathematik in der Regel jene „intuitiv“ anwendet – und dann gar nicht mehr den Namen der angewendeten Gesetzmäßigleit/Regelmäßigkeit weiß. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchtermen, Teil 8

“Ich bin keine blöde Kuh“ © Paul Golla PIXELIO www.pixelio.de

„Summen kürzen nur die Dummen“, heißt eine früher oft geäußerte Phrase aus dem Mathe-Unterricht. Phrasen bestehen aber oft einfach nur aus Worthülsen. Der Wahrheitsgehalt dieser sprachlichen Ausdrücke ist daher mehr als anzweifelbar. Sie sind nämlich einfach häufig schlichtweg falsch. Der Reim bzw. der sprachliche Laut dominiert bei „Summen kürzen nur …“ den Inhalt. Und der Sinn, der den eigentlichen Satzgehalt dominieren sollte, ist hier mindestens nur zweitrangig. In die sensiblen Psychen von Schülerinnen und Schülern kann sich solch eine Phrase aber sehr schnell einbrennen und man denkt wirklich man ist zu dumm für Mathe und dann auch gleich noch oft für vieles anderes. Das stimmt aber definitiv nicht! An Brüchen oder Bruchtermen, bei der diese Phrase zum Zuge kommt, kann man die Intelligenz eines Menschen eh nicht MESSEN im Fach Mathematik auch sowieso überhaupt nicht! Daher gilt wahrheitsgemäß: Nur die Dummen sagen: „Summen kürzen nur die Dummen!“

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Stoffgebiet Term, Teil 10

Noten von Fächern eines Abschlusszeugnisses © Jürgen Bücker PIXELIO www.pixelio.de

Terme sind in Mathe Ausdrücke, die man auf bestimmte algebraische Weise verändern kann. Hierfür gibt es eine Vielzahl von Regeln. Je öfter man die Regeln bei verschiedenen Termen anwendet, desto mehr gehen diese „in Fleisch und Blut über“. Je nach Aufgabe muss man einen Term aber auch erst aufstellen. Liegt eine Textaufgabe vor, so muss man nämlich erst die dort dargelegten schriftsprachlichen Informationen in die Sprache der Mathematik übertragen. Der Schwierigkeitsgrad ist hier in der Regel etwas höher. Man muss ja den dargelegten Zusammenhang verstehen und auch wissen, wie man diesen in einem Term wiedergeben kann. Daher kommt es nicht von ungefähr, dass viele Schülerinnen und Schüler in Mathe Textaufgaben nicht sooo mögen. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Potenzen, Teil 8

Mathe-Nachhilfe in Potenzen und anderen Stoffgebieten © bschpic PIXELIO www.pixelio.de

Vielen Schülerinnen und Schülern wird es oft Angst und Bange, wenn diese die Mathe-Arbeit zu dem Thema Potenzen zurückbekommen. Spätestens wenn der Mathematik-Lehrer sagt: „Der Durchschnitt der Arbeit liegt bei 3,4“, ist bei einem im Unterricht das eigene Nervenkostüm sehr angespannt. Das sehr ungute Gefühl, das man bereits kurz nach der Arbeit hatte, hat sich nun offenbar bewahrheitet. Und die Note 5 oder gar eine 6 ist ja auch alles andere als schön, wenn man solch eine Note tatsächlich schließlich erhält. In einem Hauptfach wie Mathe verursacht diese sofort Versetzungspanik. Viele Eltern schicken daher – so meine Erfahrung – dann ihre Filia oder ihren Filius zur Nachhilfe. In der Regel ist aber nur jene eine Arbeit mörderverhauen worden – und daher eine Mathe-Nachhilfe totaler Quatsch! Die Ursache für das Komplettversagen liegt einfach an der unzureichenden Verinnerlichung der neuen Potenz-Algebra-Materie – und die muss man einfach pauken! Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchgleichungen, Teil 2

Der Beste in Mathe © S. Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Dass Gleichungen nicht immer so einfach zu lösen sind wie lineare Gleichungen, das kann man bereits bei Bruchgleichungen wahrnehmen. Bruchgleichungen richtig aufzulösen, erfordert nämlich schon eine „gute Portion“ an Algebra-Kenntnissen. Das fällt einem besonders dann auf, wenn man dieses Mathe-Können nicht ganz so gut verinnerlicht hat. Ist das bei einer Schülerin oder einem Schüler der Fall, so sollte einem das aber auch zu denken geben! Gleichungen werden schließlich in Mathe nicht leichter. Ganz im Gegenteil. Bis zur Oberstufe kommen nämlich noch viel, viel schwierigere Gleichungen dran – und müssen, wie das bei vorherigen Gleichungen auch der Fall war, je nach Aufgabenstellung korrekt gelöst werden. Daher darf man in Mathe bei Gleichungen (und Funktionen) nie den Anschluss verlieren! Am besten ist es daher in Mathe immer der Primus (der Beste) oder die Prima (die Beste) zu sein! Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchtermen, Teil 7

Mathe-Klausur in der Schule © Klaus-Uwe Gerhardt PIXELIO www.pixelio.de

Mathe-Klausur in der Schule © Klaus-Uwe Gerhardt PIXELIO www.pixelio.de

Es gibt für Schülerinnen und Schüler in Mathematik nichts Schlimmeres, als während einer Unterrichtsstunde in Anführungszeichen nur Bahnhof zu verstehen. Ist das bei den anderen Anwesenden in der Klasse gar nicht der Fall, so ist das für einen selbst supersuperunangenehm. Man erachtet sich nämlich sogleich als zu blöd. Für eine sensible Kinderpsyche ist das alles andere als gut. Daher sollte man unbedingt in Mathe aufpassen, dass dieses absolute Negativ-Phänomen möglichst eine Ausnahme bleibt. Ansonsten kann es wirklich schnell der Fall sein, dass man dauerhaft den Anschluss verliert – und im Mathematik-Unterricht nur noch Bahnhof versteht. Bruchterme stellen hierbei häufig ein Stoffgebiet dar, das einem oftmals anfangs Schwierigkeiten bereitet, besonders wenn man in der Grundschule sich beim Bruchrechnen schon schwer getan hat.Der „Bahnhof“ verflüchtet sich auch hier, je mehr Aufgaben man zu diesem Stoffgebiet gelöst hat! Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Potenzen, Teil 7

Formel zur Berechnung der Fliehkraft © Karl-Heinz Laube PIXELIO www.pixelio.de

Hört das denn mit Potenzen niemals auf in Mathe? Die Antwort lautet ganz klar: nein! Solange man in die Schule geht, werden Potenzen einem im Fach Mathematik immer wieder begegnen. Daher stellen auch die Potenzgesetze ein Fundamentalwissen dar. Hat man dieses Fudamentalwissen nicht, dann kann man sehr leicht ableiten, dass einem die Vereinfachung von Termen mittels algebraischen Umformungen sicherlich äußerst schwer fällt. Und das ist nur sozusagen das Handwerkszeug, das man flink abspulen können sollte. Die eigentliche Mathematik-Problemstellung stellt normalerweise ja noch die viel größere zu bewältigende Schwierigkeit dar. Wie man sieht, können Potenzen in Mathe fiese Fallstricke sein – und das gilt dann oft für die komplette zu lösende Aufgabe. Weiterlesen

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Gleichsetzungsverfahren

1. Allegemeines zum Gleichsetzungsverfahren

Bei diesem Lösungsverfahren eines linearen Gleichungssystems (LGS) steht das Gleichsetzen zweier Gleichungen im Mittelpunkt.

Zum Lösen eines linearen Gleichsetzungsverfahren mittels des Gleichsetzungsverfahren kann man drei verschiedene Wege heranziehen.

a) Man löst das LGS jeweils nach der Variablen x hin auf

b) Man löst das LGS jeweils nach der Variablen y hin auf

c) Man löst das LGS jeweils nach einer gemeinsamen Variablen mit gemeinsamen Faktor hin auf

 

2. Erster Lösungsweg mittels des Gleichsetzungsverfahrens

Der erste Lösungsweg eines LGS mittels des Gleichsetzungsverfahren beinhaltet hier zunächst das Auflösen beider Gleichungen nach dem Term x hin, um die nach x hin aufgelösten Gleichungen darauf gleichzusetzen.

I. 4x – 3y = 4

II. 4x – 5y = 20

Beide Gleichungen werden zuerst nach der Variablen x hin umgeformt.

I. 4x – 3y = 4 Ι + 3y

II. 4x – 5y = 20 Ι + 5y

 

I. 4x = 4 + 3y Ι : 4

II. 4x = 20 + 5y Ι : 4

 

I. x = 1 + 0,75y

II. x = 5 + 1,25y

Darauf setzt man beide nach x hin aufgelöste Gleichungen miteinander gleich.

I. = II. 1 + 0,75y = 5 + 1,25 y

Anschließend löst man die Gleichung nach y hin auf.

I. = II. 1 + 0,75y = 5 + 1,25 y Ι – 0,75y

I. = II. 1 = 5 + 0,5 y Ι – 5

I. = II. –4 = 0,5y Ι : 0,5

I.= II. –8 = y

Die sich ergebende Lösungskoordinate setzt man nun in eine der beiden Ursprungsgleichungen ein.

I. 4x – 3 · (–8) = 4

Darauf löst man die Gleichung nach x hin auf.

I. 4x – 3 · (–8) = 4

I. 4x + 24 = 4 Ι – 24

I. 4x = –20 Ι : 4

I. x = –5

Die Probe bestätigt die Lösung des LGS.

I. 4 · (–5) – 3 · (–8) = 4

II. 4 · (–5) – 5 · (–8) = 20

 

I. –20 + 24 = 4

II. –20 + 40 = 20

 

I. 4 = 4

II. 20 = 20

Die Lösungsmenge des LGS.

L = {–5/ –8}

 

3. Zweiter Lösungsweg mittels des Gleichsetzungsverfahrens.

Der zweite Lösungsweg mittels des Gleichsetzungsverfahren beinhaltet hier zunächst das Auflösen beider Gleichungen nach dem Term y hin, um anschließend die nach y hin aufgelösten Gleichungen gleichzusetzen.

I. 4x – 3y = 4

II. 4x – 5y = 20

Beide Gleichungen löst man nach dem Term y hin auf.

I. 4x – 3y = 4 Ι – 4x

II. 4x – 5y = 20 Ι – 4x

 

I. –3y = 4 – 4x Ι : (–3)

II. –5y = 20 – 4x Ι : (–5)

 

I. y = –{\frac{4}{3}} + {\frac{4}{3}}x

II. y = –4 + 0,8x

Darauf setzt man beide nach y hin aufgelöste Gleichungen gleich.

I. = II. –{\frac{4}{3}} + {\frac{4}{3}}x = –4 + 0,8x

Die Gleichung löst man anschließend nach x hin auf.

I. = II. –{\frac{4}{3}} + {\frac{4}{3}}x = –4 + 0,8x Ι – 0,8

I. = II. –{\frac{4}{3}} + {\frac{8}{15}}x = –4 Ι + {\frac{4}{3}}

I. = II. {\frac{8}{15}}x = –{\frac{8}{3}} Ι : {\frac{8}{15}}

I. = II. x = –5

Die ermittelnde Lösungskoordinate setzt man in eine der beiden Ursprungsgleichungen ein.

I. 4 · (–5) – 3y = 4

Die Gleichung löst man dann nach y hin auf.

I. 4 · (–5) – 3y = 4

I. –20 – 3y = 4 Ι + 20

I. –3y = 24 Ι : (–3)

I. y = –8

 

Die Probe bestätigt die Lösung des LGS.

I. 4 · (–5) – 3 · (–8) = 4

II. 4 · (–5) – 5 · (–8) = 20

 

I. –20 + 24 = 4

II. –20 + 40 = 20

 

I. 4 = 4

II. 20 = 20

Die Lösungsmenge des LGS.

L = {–5/ –8}

 

4. Dritter Lösungsweg mittels des Gleichsetzungsverfahrens

Der dritte Lösungsweg mittels des Gleichsetzungsverfahrens sieht vor, gleiche Variablen mit gleichem Faktor gleichzusetzen.

I. 4x – 3y = 4

II. 4x – 5y = 20

Die erste Gleichung und die zweite Gleichung haben mit „4x“ jeweils die gleiche Variable mit dem gleichen Faktor. Wenn man nun die anderen Variable separiert, kann man daher die beiden Gleichungen miteinandere gleichsetzen.

I. 4x – 3y = 4 Ι + 3y

II. 4x – 5y = 20 Ι + 5y

 

I. 4x = 4 + 3y

II. 4x = 20 + 5y

Beide Gleichungen setzt man nun gleich, indem man die beiden Terme „4 + 3y“ „20 +5y“ miteinander gleichsetzt.

I. = II. 4 + 3y = 20 + 5y

Anschließend löst man die Gleichung nach y hin auf.

I. = II. 4 + 3y = 20 + 5y Ι – 3y

I. = II. 4 = 20 + 2y Ι – 20

I. = II. –16 = 2y Ι : 2

I. = II. –8 = y

Die Lösung setzt man in eine der beiden Ursprungsgleichungen ein, um die andere Lösungskoordinate zu erhalten.

I. 4x – 3 · (–8) = 4

I. 4x + 24 = 4 Ι – 24

I. 4x = –20 Ι : 4

I. x = –5

 

Die Probe bestätigt die Lösung des LGS.

I. 4 · (–5) – 3 · (–8) = 4

II. 4 · (–5) – 5 · (–8) = 20

 

I. –20 + 24 = 4

II. –20 + 40 = 20

 

I. 4 = 4

II. 20 = 20

Die Lösungsmenge des LGS.

L = {–5/ –8}

 

5. Vorgehensweise zum Lösen eines linearen Gleichungssystems mittels des Gleichsetzungsverfahrens

Bei einem Lösen eines LGS mittels Gleichsetzungsverfahren geht man folgendermaßen vor.

  1. Zuerst löst man beide Gleichungen des LGS nach einem Term hin auf, nach x oder y oder 4x.
  2. Darauf setzt man beide nach einem Term hin aufgelösten Gleichungen miteinander gleich. Die andere Gleichung behält man normalerweise bei. Man kann diese aber auch erst am Ende, wenn man die erste Lösungskoorndiate ermittelt hat, wieder aufgreifen.
  3. Die sich ergebende Gleichung mit einer Variablen löst man nach der Variablen hin auf. Dadurch erhält man eine Lösungskoordinate.
  4. Die ermittelnde Lösungskoordinate setzt man in eine der beiden Ursprungsgleichungen ein.
  5. Die Probe bestätigt die Lösung des LGS.
  6. Die Lösungskoordinaten ergeben die Lösungsmenge des LGS.
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