Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Zinsrechnen, Teil 3

Banken & Zinsen © Lupo PIXELIO www.pixelio.de

Es ist sicherlich nicht gut, wenn sich etwas Künstliches vermehrt. Auf diesen Satz lässt sich die Vermehrung von Geld auf den Punkt bringen. Deshalb sollte man auch in Mathe das Stoffgebiet Zinsrechnung kritisch sehen (natürlich nicht so kritisch, dass man vollkommen die Mitarbeit verweigert ;-)). Schließlich wird hier einem indirekt schmackhaft gemacht, wie man über bestimmte Geldanlage-Möglichkeiten sein angelegtes Geld ordentlich vermehren kann. Seit der Finanzkrise weiß man aber auch, dass zu hohe Prozentsätze bei irgendwelchen Geldanlagen illusorisch sind (und daher der gewährte Zinssatz in den Mathe-Schulbüchern längst veraltet ist ;-)). Geld vermehrt sich nämlich auch nicht von allein – sondern nur auf Kosten anderer! Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Zinsrechnen, Teil 2

Das Sparbuch hat eine lange Tradition © Klaus Brüheim PIXELIO www.pixelio.de

Ach, wie sich doch auch die Zeiten bei privaten Sparvermögen ändern. Früher war hier das Nonplusultra das gute, alte Sparbuch gewesen. Ganze Generationen hat diese Art des Geldanlegens geprägt. Schließlich kam es einem Festakt gleich, wenn man Jahr für Jahr an einem bestimmten Tag bei seiner „Sparbuch-Bank“ vorbeischaute und hierbei zusehen durfte, wie die angefallenen Zinsen schwarz auf weiß dort eingetragen wurden. Ein vielfaches freudiges „Oh“ war dann immer zu vernehmen, da alle Anwesende sich einfach ganz „Dolle“ über die angefallenen Zinsen freuten. Für Kinder waren diese „Sparbuch-Tage“ aber auch noch aus diesem Grund immer etwas ganz Besonderes: Es gab immer ein Spielzeug gratis mit dazu, das man sich aus einer größeren Anzahl aussuchen durfte. Daher war dies immer für Alt und Jung ein Happyday – auch wenn der Zinssatz für das auf dem Sparbuch angelegte Geld schon damals mickrig war. Damals waren wir Deutschen aber noch bescheiden und mehr wenig zufrieden.

Ach, wie sich doch die Zeiten ändern. Heutzutage gibt es zum einen immer weniger an bescheidenen Bundesbürgern und zum anderen hängt dem guten, alten Sparbuch inzwischen ein Muff sondergleichen an, da dort der Zinssatz mittlerweile ins Bodenlose gesunken ist und man als „alte Oma oder Opa“ gilt, wenn man auf derart noch sein Geld anlegt. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Zinsrechnen, Teil 1

Geld, Geld, Geld © knipseline PIXELIO www.pixelio.de

Die Kultband ABBA konnte bereits ein Lied davon singen. Denn in MONEY MONEY MONEY aus dem Jahre 1976 thematisiert ABBA auf sehr melodische Art und Weise die Sonnen- und Schattenseiten von Geld. Je nachdem, ob man Geld hat, so die Lyrics des Songs, „must money money money be funny in the rich man’s world“ oder „sad“, wenn man hierfür „work all night, all day to pay the bills“. Aus dem Song kann man daher unstrittig heraushören, dass Geld etwas Anziehendes und Abstoßendes zugleich ist. Je älter man wird, desto mehr wird man das noch feststellen, da man immer mehr sehen wird, dass es in der Welt viel an Ungerechtigkeit gibt. Und der Hauptgrund hierfür liegt in der ungerechten Verteilung von Geld. Aber nicht nur ABBA kann hiervon ein Lied singen, sondern Abermillionen andere Menschen weltweit! Weiterlesen

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Zinsrechnung

Die Ermittlung von Zinsen © GG-Berlin PIXELIO www.pixelio.de

1. Allgemeines zu Geld und der Zinsrechnung

Auf der Welt dreht sich immer mehr alles um Geld. Das zeigt sich augenscheinlich darin, dass es immer mehr Reiche gibt und dass Reiche immer reicher werden. Dies ist eindeutig ein Ausdruck eines immer dominanter werdenden Kapitalismus. Das ist aber alles andere als schön, da hiermit auch eine immer größere Ungerechtigkeit einhergeht. Schließlich geht ein Anwachsen von Geld bei Privatpersonen stets nur auf Kosten einer Vielzahl an anderen Menschen. Das ist die bittere Wahrheit des Kapitalismus. Der Geldfluss geht bei einem ungezügelten Kapitalismus nämlich stets vermehrt in eine Richtung – in die Richtung der Kapitalisten bzw. Reichen.

Unabhängig von der globalen Kapitalentwicklung der Welt hat Geld aber auch etwas sehr Gutes. Jeder Warenwert kann in einen allgemeinen Geldwert umgerechnet werden. Dadurch hat man ein Zahlungsmittel mit dem man alles und jedes kaufen sowie gegen Geld alles und jedes verkaufen kann. Das macht das Leben unglaublich einfacher. Ansonsten müsste man stets dies und jenes gegen jenes und dies tauschen und das immer und immer wieder. So würde aber eine moderne Gesellschaft niemals funktionieren. Geld ist daher unstrittig eine große Errungenschaft unserer Zivilisation – aber bei einseitigem Kapitalfluss auch etwas hochgradig Verachtenswertes.

In der Schule kommt Geld bzw. der Geldwert neben dem Stoffgebiet Größen (Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu unter Größen das Unterstoffgebiet Umrechnen von Größen) noch in einem weiteren um einiges wichtigerem Stoffgebiet vor: der Zinsrechnung. Geld hat ja bekanntlich die Eigenschaft, dass man es auf unterschiedlichste Weise vermehren kann. Eine Möglichkeit stellt hierbei eine Geldanlage bei eine Bank dar. Je nach Länge des dort deponierten Geldes erhält man dann Zinsen, da man hierfür von der Bank einen bestimmten Zinssatz garantiert bekommt.

 

2. Die Begriffe Kapital K, Zinsen Z und Zinssatz p %

Das Angenehme beim Zinsrechnen ist zunächst, dass die gleichen Rechnungen durchgeführt werden, wie es bei dem Prozentrechnen der Fall ist. Die Begriffe, um die sich das Zinsrechnen dreht, heißen zwar anders, sie entsprechen aber den Begriffen der Prozentrechnung.

Daher sollte man zunächst wissen, dass bei der Zinsrechnung:

das Kapital K dem Grundwert G entspricht

die Zinsen Z dem Prozentwert W

der Zinsatz p % dem Prozentsatz p %.

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Hierbei ist anzumerken, dass eine genaue Entsprechung von Zinsen Z und Prozentwert W nur immer dann vorliegt, wenn die Zinsen sich auf 1 Jahr beziehen.

 

3. Die Formeln zur Berechnung des Kapitals K, der Zinsen Z und des Zinssatzes p %

Aufgrund des Bezugszeitraumes von einem Jahr lassen sich auch alle Formeln der Prozentrechnung 1 : 1 auf die Zinsrechnung übertragen. Natürlich stehen dann anstatt der Begriffe aus der Prozentrechnung die entsprechenden Begriffe aus der Zinsrechnung.

 

Das Kapital K kann daher stets folgendermaßen berechnet werden:

K = \frac{Z\ {\cdot}\ 100}{p}

 

Beispiel: Eine angelegte Geldsumme warf 72 Euro an Zinsen ab. Der Zinssatz belief sich hierbei auf 1,2 %. Wie viel Geld wurde angelegt?

K = \frac{Z\ {\cdot}\ 100}{p}; bezogen auf die Aufgabe ergibt sich: K = \frac{72\ {\cdot}\ 100}{1,2} = 6000

Es wurden 6000 Euro angelegt.

 

Beispiel: Eine Verzinsung von 1,4 % warf 56 Euro an Zinsen ab. Wie hoch war der angelegte Geldbetrag?

K = \frac{Z\ {\cdot}\ 100}{p}; bezogen auf die Aufgabe ergibt sich: K = \frac{56\ {\cdot}\ 100}{1,4} = 4000

Der angelegte Geldbetrag betrug 4000 Euro.

 

Die Zinsen Z können stets auf diese Weise berechnet werden:

Z = \frac{K\ {\cdot}\ p}{100}

Beispiel: Eine angelegte Geldsumme in Höhe von 6000 Euro wird zu 1,2 % verzinst. Wie hoche fallen die Zinsen aus?

Z = \frac{K\ {\cdot}\ p}{100}; bezogen auf die Aufgabe ergibt sich: Z = \frac{6000\ {\cdot}\ 1,2}{100} = 72

Es fallen 72 Euro an Zinsen an.

 

Beispiel: Ein Geldbetrag in Höhe von 4000 Euro wird zu 1,4 % verzinst. Wie viel an Zinsen sind das?

Z = \frac{K\ {\cdot}\ p}{100}; bezogen auf die Aufgabe ergibt sich: Z = \frac{4000\ {\cdot}\ 1,4}{100} = 56

Das angelegte Geld wirft 56 Euro an Zinsen ab.

 

Der Zinssatz p % kann man stets mithilfe dieser Formel berechnen:

p = \frac{Z\ {\cdot}\ 100}{K}

 

Beispiel: Ein angelegter Geldbetrag in Höhe von 6000 Euro warf 72 Euro an Zinsen ab. Wie hoch war der Zinssatz?

p = \frac{Z\ {\cdot}\ 100}{K}; bezogen auf die Aufgabe ergibt sich: p = \frac{72\ {\cdot}\ 100}{6000} = 1,2

Der Zinssatz lag bei 1,2 %.

 

Beispiel: Es fielen bei einem Geldbetrag von 4000 Euro 56 Euro an Zinsen an. Welcher Zinssatz lag vor?

p = \frac{Z\ {\cdot}\ 100}{K}; bezogen auf die Aufgabe ergibt sich: p = \frac{56\ {\cdot}\ 100}{4000} = 1,4

Der Zinssatz belief sich auf 1,4 %.

 

4. Wachstumsfaktor und Abnahmefaktor

Genauso wie bei der Prozentrechnung kann man auch bei der Zinsrechnung eine Zunahme des Kapitals K sofort berechnen, und zwar mit dem Wachstumsfaktor.

Den Wachstumsfaktor bei einer Zunahme des Kapitals K berechnet man dergestalt, wenn ein Zinssatz p % vorliegt:

  • Wachstumsfaktor = 1 + {\frac{p}{100}

Eine Zunahme eines Kapitals K berechnet man nun folgendermaßen:

  • Wachstum = Kapital K · Wachstumsfaktor

 

Beispiel für eine Zunahme: Ein Betrag von 520 Euro wurde angelegt und wuchs um 5 % an. Wie hoch ist nun der jetzige Betrag?

Der Wachstumsfaktor = 1 + {\frac{5}{100} = 1,05

Die Zunahme ergibt sich mittels der Multiplikation des Kapitals K und des Wachstumsfaktors:

Zunahme = 520 · 1,05 = 546

Der angelegte Betrag ist nun auf 546 € angewachsen.

 

Beispiel für eine Zunahme: Stefan hat 5320 Euro bei einem Zinssatz von 1,5 % für ein Jahr angelegt. Wie hoch ist die Zunahme nach einem Jahr?

Der Wachstumsfaktor ist hier = 1 + {\frac{1,5}{100} = 1,015

Die Zunahme kann man hier wiederum mittels der Multiplikation des Kapitals K und des Wachstumsfaktors ermitteln:

Zunahme = 5320 · 1,015 = 5399,8

Nach einem Jahr ist Stefans angelegtes Geld auf 5399,80 € angewachsen.

 

5. Die Formel der Zinsrechnung in Abhängigkeit zum Zeitfaktor

Bei sämtlichen obigen Formeln geht man davon aus, das der Zeitraum der jeweils gesuchten Begriffe Kapital, Zinsen und Zinssatz % stets ein Jahr umfasst. Nun gibt es aber auch gerade im Geldwesen andere Anlageformen, bei denen monatlich oder täglich Zinsen anfallen. Hierdurch ändert sich je nach Monatszinsen oder Tageszinsen die Formel zur Berechnung.

 

5.1 Die Berechnung von Monatszinsen und Tageszinsen

Die Formel zur Berechnung von Monatszinsen lautet dann:

Z = \frac{K\ {\cdot}\ p\ {\cdot}\ m}{100\ {\cdot}\ 12}

Die Formel zur Berechnung von Tageszinsen lautet dann:

Z = \frac{K\ {\cdot}\ p\ {\cdot}\ t}{100\ {\cdot}\ 360}

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: In der Zinsrechnung hat jeder Monat 30 Tage und somit ein Jahr insgesamt 360 Tage. Ein Zinsmonat umfasst daher 30 Zinstage, ein Zinsjahr 360 Zinstage.

 

Beispiel zur Berechnung von Monatszinsen

Herr Kaiser legt 4500 Euro über 7 Monate zu einem Zinsatz von 2,5 % an. Wie viel an Zinsen erhält er?

Zur Berechnung muss man diese Formel heranziehen: Z = \frac{K\ {\cdot}\ p\ {\cdot}\ m}{100\ {\cdot}\ 12}. Eingesetzt ergibt sich: Z = \frac{4500\ {\cdot}\ 2,5\ {\cdot}\ 7}{100\ {\cdot}\ 12} = 65,63 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)

Herr Kaiser erhält nach 7 Monaten 65,63 € an Zinsen.

 

Beispiel zur Berechnung von Monatszinsen:

Frau Sommer möchte über einen Zeitraum von 8 Monaten 6500 Euro zu einem Zinssatz von 2 % anlegen. Wie viel an Zinsen erhält sie hierfür?

Zum Berechnen der Zinsen ist diese Formel vonnöten: Z = \frac{K\ {\cdot}\ p\ {\cdot}\ m}{100\ {\cdot}\ 12}. Eingesetzt ergibt sich: Z = \frac{6500\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}\ 8}{100\ {\cdot}\ 12} = 86,67 € (gerundet auf zwei Nachkommastellen)

Frau Sommer würde nach 8 Monaten 86,67 € an Zinsen erhalten.

 

Beispiel zur Berechnung von Tageszinsen:

Ein Sparer legt 2560 € zu einem Zinssatz von 2 % 140 Tage lang an. Wie viele Zinsen fallen während dieses Zeitraums an?

Die Formel zur Berechnung der Zinsen ist hier: Z = \frac{K\ {\cdot}\ p\ {\cdot}\ t}{100\ {\cdot}\ 360}; eingesetzt ergibt sich: Z = \frac{2560\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}\ 140}{100\ {\cdot}\ 360} = 19,91 (gerundet auf zwei Nachkommastellen).

Der Sparer bekommt nach 140 Tagen für sein angelegtes Geld 19,91 € an Zinsen.

 

Beispiel zur Berechnung von Tageszinsen:

Ein Tagesgeldkonto bietet eine Verzinsung von 1,5 %. Wie viele Zinsen fallen nach 88 Tagen an, wenn man dort einen Betrag von 3210 Euro anlegt?

Wiederum muss diese Formel hier herangezogen werden: Z = \frac{K\ {\cdot}\ p\ {\cdot}\ t}{100\ {\cdot}\ 360}; eingesetzt ergibt sich: Z = \frac{3210\ {\cdot}\ 1,5\ {\cdot}\ 88}{100\ {\cdot}\ 360} = 11,77

Nach 88 Tagen fallen für den angelegten Betrag 11,77 € an Zinsen an.

 

5.2 Die Berechnung von Monatszinsen und Tageszinsen mittels des Zeitfaktors i

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Beide Formeln zur Berechnung von Monats- und Tageszinsen können auch mittels des sogenannten Zeitfaktors i zusammengefasst wiedergegeben werden.

Z = K · p · i

Der Zeitfakor i ist nichts anderes als der Quotient aus Monatsanzahl geteilt durch 12: {\frac{Monatsanzahl}{12} oder der Tagesanzahl geteilt durch 360: {\frac{Tagesanzahl}{360}.

 

Beispiel zur Berechnung des Zeifaktors bei Monaten:

Ein Geldanlage soll 3 Monate angelegt werden. Berechne den Zinsfaktor.

Der Zeitfaktor ergibt sich mittels dieser Formel i = {\frac{Monatsanzahl}{12}, eingesetzt ergibt sich für i = {\frac{3}{12} = {\frac{1}{4} = 0,25

Der Zeitfaktor i beträgt hier 0,25.

 

Beispiel zur Berechnung des Zeitfaktors bei Tagen:

Eine Geldanlage soll 36 Tage lang angelegt werden. Berechne den Zeitfaktor.

Der Zeitfaktor kann man hier mittels dieser Formel ermitteln: {\frac{Tagesanzahl}{360}, eingesetzt ergibt sich: {\frac{36}{360} = 0,1

Der Zeitfaktor ist hier 0,1.

 

5.21 Der Zeitfaktor i bei einem Zeitraum von Tagen und/oder Monaten

Bei der Zinsrechnung kann es auch vorkommen, dass Zinsen über einen bestimmten Zeitraum von Tagen und/oder Monaten berechnet werden müssen. Hierzu verwendet man normalerweise ebenso den Zeitfaktor i. Im Bankwesen gilt hierbei: Der Einzahlungstag wird bei der Berechnung der Zinsen nicht mitgerechnet. Ferner gilt, wie oben bereits dargelegt: Ein Monat umfasst 30 Tage und ein Jahr 360 Tage.

Bei einem bestimmten Zeitraum, bei dem Zinsen anfallen, ermittelt man alle einzelnen Tage über eine Subtraktion. Hierbei schreibt man den Tag und den Monat des Zinsertragendes ganz oben und darunter immer den Tag und den Monat des Zinsertraganfangs.

 

Beispiel zur Berechnung des Zeitfaktors bei einem Intervall von Tagen und Monaten

Ein Anlagebetrag wird vom 16.2. bis zum 24.4. angelegt.

24 Tage 4 Monate

{\underline{16~Tage~2~Monate}

8 Tage 2 Monate

= 8 Tage + 2 · 30 Tage = 68 Tage

i = {\frac{68}{360} = {\frac{17}{90} = 0,189 (gerundet auf die 3. Nachkommastellen)

Ist bei einem Zeitraum von Tagen und Monaten der Tag, an dem das Geld angelegt wird, höher (von der Zahl her) als der Tag, an dem die Geldanlage endet, so muss man Folgendes beachten: Damit die Subtraktion ein positives Ergebnis liefert, ist es notwendig einen Anlagemonat zu 30 Tage hin umzuwandeln und die 30 Tage hin mittels Addition zu dem Endtag der Geldanlage dazuzurechnen.

 

Beispiel zur Berechnung des Zeitfaktors bei einem Zeitraum von Tagen und Monaten

Ein Anlagebetrag wird vom 20.4. bis zum 16.6. angelegt.

Den 16.6. wandelt man um zum 46.5. (eine Monat löst man hin zu 30 Tagen auf).

16.6: 46 Tage 5 Monate

20.4: – {\underline{20~Tage~4~Monate}

26 Tage 1 Monat

= 26 Tage + 1 · 30 Tage = 56 Tage

i = {\frac{56}{360} = {\frac{7}{45} = 0,156 (gerundet auf die 3. Nachkommastellen)

 

6. Die Berechnung von Zinseszinsen

Häufig legt man Geld deshalb an, damit die jährlich ausgeschütteten Zinsen mit dem angelegten Geldbetrag im Folgejahr mitverzinst werden – und im darauffolgenden Jahr wieder und dem darauffolgenden Jahr erneut… Dadurch wächst das über einen bestimmten längeren Zeitraum angelegte Geld entschieden schneller an, da hier dann ein sogenannter Zinseszins-Effekt vorliegt. Bei dem Zinseszins-Effekt liegt nämlich ein expotentielles Wachstum vor – was auch bei der Berechnungsformel des Zinseszins zum Ausdruck kommt.

Die Formel zur Berechnung des Zinseszins ist hierbei folgende:

Kn = K0 · (1 + {\frac{p}{100})n

Die Formel zur Berechnung des Zinseszins setzt sich hierbei aus dem Zinsfaktor q zusammen, der nichts anderes als der Wachstumsfaktor ist: q = 1 + {\frac{p}{100}. Die Anlagedauer wird hier mit n-Jahren wiedergegeben und der angelegte Grundbetrag mit K0., der angewachsene Betrag mit Kn.

 

Beispiel:

Acht Jahre lang wird ein Betrag von 1500 € zu einem Zinssatz von 3 % angelegt. Auf welchen Betrag ist das angelegte Geld nach dieser Zeit angewachsen?

n = 8; K0 = 1500 €; p % = 3 %

Die Zinseszinsformel muss hier herangezogen werden: Kn = K0 · (1 + {\frac{p}{100})n; eingesetzt ergibt sich: K8 = 1500 € · (1 + {\frac{3}{100})8 = 1900,16 € (gerundet auf zwei Nachkommastellen).

Nach acht Jahren ist der angelegte Geldbetrag auf 1900,16 € angewachsen.

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