1. Funktionsterme einer ganzrationalen Funktion
Der Funktionsterm einer linearen Funktion, a0 + a1x, lässt sich durch die Addition eines Vielfaches von x2 zu diesem Term hin verändern:
a0 + a1x + a2x2.
Hierdurch erhält man eine quadratische Funktion. Macht man nun mit höheren Potenzen von x auf die gleiche Weise weiter, so erhält man Terme die folgende Form vorweisen:
anxn + an– 1xn – 1 + … + a1x + a0.
Solch ein Gebilde wird als Polynom bezeichnet. Hieraus kann man unendlich viele neue Funktionen bilden.
Definition einer ganzrationalen Funktion:
Eine Funktion, bei der jedes n Є ℕ ist, und die folgende Zuordnungsvorschrift hat:
f: ↦ anxn + an – 1xn – 1 + … + a1x + a0
(Zuordnungsvorschrift Ganzrationale Funktion),
heißt ganzrationale Funktion.
Die Koeffizienten an, an– 1, …, a0 sind hierbei reelle Zahlen. Bei an ≠ 0 hat f den Grad n bzw. handelt es sich dann um eine ganzrationale Funktion n-ten Grades.
Beispiele:
f(x) = a1x + a0 besitzt den Grad 1 bzw. es handelt sich hier um eine ganzrationale Funktion 1. Grades.
f(x) = a2x2 + a1x + a0 besitzt den Grad 2 bzw. es handelt es sich hier um eine ganzrationale Funktion 2. Grades.
f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0 besitzt den Grad 3 bzw. es handelt sich hier um eine ganzrationale Funktion 3. Grades.
f(x) = anxn + an – 1xn – 1 + … + a1x + a0 besitzt den Grad n bzw. es handelt sich hier um eine ganztratione Funktion n-ten Grades.
2. Verschiedene ganzrationale Funktionen
Lineare Funktionen: ganzrationale Funktionen 1. Grades
Der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion 1. Grades ist folgender:
f(x) = a1x + a0
Es handelt sich hierbei um eine lineare Funktion.
Das Schaubild einer solchen Funktion stellt eine Gerade dar.
Beispiele:
Es diese Zuordnungsvorschrift gegeben:
x ↦ 3x + 2
(Zuordnungsvorschrift einer linearen Funktion mit positiver Steigung)
Die Funktionsgleichung ist hierbei folgende:
f(x) = 3x + 2
Der Graph der Funktion ist dieser:
Es ist diese Zuordnungsvorschrift gegeben:
x ↦ –2x + 1
(Zuordnungsvorschrift einer linearen Funktion mit negativer Steigung)
Die Funktionsgleichung ist hierbei folgende:
f(x) = –2x + 1
Der Graph der Funktion ist dieser:
