Bei Dreiecken und speziellen Vierecken, wie beispielsweise Quadraten, Rechtecken, Trapezen oder Parallelogrammen, kann man in Mathe die darin befindliche Fläche genau berechnen. Denn für bestimmte Vielecke kann man in Mathematik eine Formel herleiten, die allgemeingültig ist. Das ist superpraktisch, da man dann normalerweise bei bestimmten Aufgaben kinderleicht den Flächeninhalt des gegebenen Vierecks berechnen kann. Kann man je nach Aufgabenstellung die gegebene Formel noch algebraisch korrekt umformen, so stellt der Aufgabenkomplex zur Flächeninhaltsberechnung von Vielecken kein großes Ding bei einer Schülerin oder einem Schüler dar. Dadurch macht auch noch das notwendige Übel Geometrie im Mathe-Unterricht den meisten Schülern Spaß. Schließlich mögen an Mathematik interessierte Schüler in der Regel Geometrie nicht, da für diese alles, was mit zeichnen zu tun hat, eher in den Kunstunterricht gehört.
Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Flächeninhalt von Vielecken
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Gegeben ist ein Rechteck mit den Seiten a und b. Berechnen den Flächeninhalt AR des Rechtecks.
a)
a = 4 cm 3 mm
b = 8 cm 5 mm
b)
a = 6,2 cm
b = 9,3 cm
c)
a = 4 m 9 dm
b = 3 m 2 dm
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Wie groß ist das Grundstück?
Ein Grundstück ist 70 m lang und 20 m breit. Wie viel Ar beträgt die Fläche des Grundstücks?
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne bei folgenden rechtwinkligen Dreiecken ABC den Flächeninhalt.
a) a = 3,2 cm; b = 4,1 cm; γ = 90°;
b) b = 4,8 cm; c = 6,7 cm; α = 90°;
c) a = 2,4 cm; c = 5,9 cm; β = 90°
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Winkel bei C rechtwinklig ist, hat die Seitenlängen a = 6,9 m und b = 4,3 m [a = 3,8 mm, b = 5,4 mm]. Wie groß ist der Flächeninhalt des Dreiecks. Versuche hierfür auch eine Formel aufzustellen.
Lösungen zu dem Mathematik-Stoffgebiet Flächeninhalt von Vielecken
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme den Flächeninhalt des Rechtecks.
Zur Flächeninhalts-Bestimmung eines Rechtecks muss man wissen, dass hier einfach eine Multiplikation von Länge und Breite durchgeführt werden muss.
Daher ist hier die Flächeninhalts-Formel: AR = a · b.
a)
a = 4 cm 3 mm
b = 8 cm 5 mm
Bevor man hier den Flächeninhalt bestimmen kann, muss man als Erstes die Längenangaben anpassen. Am einfachen ist es hier sicherlich, die Zentimeter-Angaben in Millimeter umzurechnen: 4 cm (mal 10) = 40 mm. Die Länge a ist hier also 40 mm + 3 mm = 43 mm; 8 cm (mal 10) = 80 mm. Die Länge b ist hier als 80 mm + 5 mm = 85 mm.
AR = a · b = 43 mm · 85 mm = 3655 mm²
b)
a = 6,2 cm
b = 9,3 cm
Da hier bereits die gleichen Längeneinheiten vorliegen, kann man sofort mit der Berechnung des Flächeninhalts beginnen.
AR = a · b = 6,2 cm · 9,3 cm = 57,66 cm²
c)
a = 4 m 9 dm
b = 3 m 2 dm
Hier muss man wiederum zunächst die Längeneinheiten anpassen. Am einfachsten geht dies, wenn man die Meter-Angaben in Dezimeter umrechnet. 4 m (mal 10) = 40 dm. Die Länge a betragt hier also 40 dm + 9 dm = 49 dm; 3 m (mal 10) = 30 dm. Die Länge b ist hier also 30 dm + 2 dm = 32 dm.
AR = a · b = 49 dm · 32 dm = 1568 dm²
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne die Fläche des Grundstücks in Ar.
Zuerst sollte man die Fläche des Grundstücks in m² ausrechnen. Die Formel zur Flächenberechnung eines Rechtecks muss man hier heranziehen.
AR = a · b = 70 m · 20 m = 1400 m².
Die Größen-Einheit a (das ist das Einheitszeichen der Flächen-Größe Ar) ist nun die nächst größere Fläche zu m². Da die Umrechnungszahl bei Flächen bekanntermaßen 100 ist, ergibt sich hier: AR = 1400 m² (: 100) = 14 a.
Die Fläche des Grundstücks beträgt 14 a.
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Wie groß ist der Flächeninhalt der rechtwinkligen Dreiecke.
a) a = 3,2 cm; b = 4,1 cm; γ = 90°; da der Winkel γ = 90° ist, ist die Seitenlänge c die Hypotenuse des Dreiecks. Daher ist eine Kathete des Dreiecks gleichzeitig die Höhe zu der anderen Katheten-Seite. Deshalb kann die Flächeninhaltsformel für ein Dreieck sofort angewandt werden:
AD = [latexpage] $\frac{g\ {\cdot}\ h}{2}$ = [latexpage] $\frac{a\ {\cdot}\ b}{2}$[latexpage] = $\frac{3,2\ {\cdot}\ 4,1}{2}$ = 13,12 cm²
b) b = 4,8 cm; c = 6,7 cm; α = 90°; hier ist der Winkel α = 90°. Deshalb ist in diesem rechtwinkligen Dreieck die Seitenlänge a die Hypotenuse. Eine der beiden Katheten ist demzufolge auch gleich die Höhe zur anderen Kathete. Daher kann die Formel zur Flächeninhaltsberechnung eines Dreiecks herangezogen werden:
AD = [latexpage] $\frac{g\ {\cdot}\ h}{2}$ = [latexpage] $\frac{a\ {\cdot}\ b}{2}$[latexpage] = $\frac{4,8\ {\cdot}\ 6,7}{2}$ = 16,08 cm²
c) a = 2,4 cm; c = 5,9 cm; β = 90°; da hier der Winkel β = 90° ist, ist hier die Seitenlänge b die Hypotenuse. Somit ist eine Kathete jeweils auch die Höhe zur anderen Kathete. Deshalb kann man auch hier die Formel zur Flächeninhaltsberechnung eines Dreiecks anwenden.
AD = [latexpage] $\frac{g\ {\cdot}\ h}{2}$ = [latexpage] $\frac{a\ {\cdot}\ b}{2}$[latexpage] = $\frac{2,4\ {\cdot}\ 5,9}{2}$ = 14,16 cm²
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne bei einem rechtwinkligen Dreieck den Flächeninhalt. Versuche hierbei eine Formel aufzustellen.
Gegeben sind a = 6,9 m und b = 4,3 m. Der rechte Winkel befindet sich bei C.
Dadurch dass sich hier bei C der rechte Winkel des Dreiecks befindet, ist c die Hypotenuse des Dreiecks und a und b die beiden Katheten. Bei einem rechtwinkligen Dreieck verhält es sich nun immer so: Multipliziert man die beiden Seitenlängen, die die Katheten sind, miteinander, so ergibt sich der Flächeninhalt eines Rechtecks. Dieser Flächeninhalt ist stets doppelt so groß ist wie der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks. Schließlich ist die diagonale des Rechtecks immer die Hypotenuse eines der beiden sich daraus erzeugten rechtwinkligen Dreiecke.
Also kann man hier folgende Formel für die Berechnung des Dreiecks-Flächeninhalts aufstellen: AD = 1. Kathetenlänge mal 2. Kathetenlänge geteilt durch 2. In der Sprache der Mathematik ergibt sich somit diese Formel:
AD = [latexpage] $\frac{a\ {\cdot}\ b}{2}$
Angewandt auf die Aufgabe, ergibt sich folgender Flächeninhalt:
AD = [latexpage] $\frac{a\ {\cdot}\ b}{2}$ =[latexpage] $\frac{6,9\ {\cdot}\ 4,3}{2}$ = 14,835 m²
Bei dem zweiten Dreieck ist a = 3,8 mm und b = 5,4 mm. Da sonst aber alles unverändert ist, bleibt die Rechnung hier die Gleiche.
AD = [latexpage] $\frac{a\ {\cdot}\ b}{2}$ =[latexpage] $\frac{3,8\ {\cdot}\ 5,4}{2}$ = 10,26 mm²