Es ist sicherlich nicht gut, wenn sich etwas Künstliches vermehrt. Auf diesen Satz lässt sich die Vermehrung von Geld auf den Punkt bringen. Deshalb sollte man auch in Mathe das Stoffgebiet Zinsrechnung kritisch sehen (natürlich nicht so kritisch, dass man vollkommen die Mitarbeit verweigert ;-)). Schließlich wird hier einem indirekt schmackhaft gemacht, wie man über bestimmte Geldanlage-Möglichkeiten sein angelegtes Geld ordentlich vermehren kann. Seit der Finanzkrise weiß man aber auch, dass zu hohe Prozentsätze bei irgendwelchen Geldanlagen illusorisch sind (und daher der gewährte Zinssatz in den Mathe-Schulbüchern längst veraltet ist ;-)). Geld vermehrt sich nämlich auch nicht von allein – sondern nur auf Kosten anderer!
Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Zinsrechnung
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle den Zeitfaktor i.
a) 4 Monate, 8 Monate, 11 Monate
b) 9 Tage, 38 Tage, 22 Tage, 140 Tage
c) Vom 5.8. bis 23.10.; vom 8.4. bis 12.9.
d) Vom 12.9 bis zum 4.4 des folgenden Jahres
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Wie hoch sind die Zinsen?
a) 500 € zu 4 % (7 Monate)
b) 140 € zu 3 % (4 Monate)
c) 260 € zu 2 % (5 Monate)
d) 80 € zu 5 % (80 Tage)
e) 64 € zu 6 % (10 Tage)
f) 250 € zu 4 % (240 Tage)
g) 1600 € zu 4,5 % (20 Tage)
h) 4000 € zu 4,25 % [latexpage] (${\frac{3}{4}}$ Jahr)
i) 1800 € zu 7,5 % (40 Tage)
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne die Zinsen für das Überziehen eines Kontos.
Beim Zinsrechnen fallen auch Zinsen für das Überziehen eines Kontos an. Bei einem Konto wurden nun über 24 Tage ein Betrag von 180 € überzogen. Dafür werden 14,5 % an Zinsen berechnet. Wie viel an Zinsen sind über diesen Zeitraum angefallen?
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne die Kosten für ein Darlehen.
Ein Unternehmer muss für ein Vierteljahr ein Darlehen in Höhe von 40000 € aufnehmen. Der Zinssatz für das Darlehen beträgt 9 %.
Wie viel an Zinsen fallen über den Darlehens-Zeitraum an?
Wie viel an Geld muss der Unternehmen insgesamt zurückbezahlen?
Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Zinsrechnen
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle jeweils den Zeitfaktor i.
a) 4 Monate, 8 Monate, 11 Monate
Bei Monaten berechnet man den Zeitfaktor wie folgt: i = ${\frac{Monatsanzahl}{12}}$
bei 4 Monaten: i = ${\frac{4}{12}}$ = ${\frac{1}{3}}$ = 0,333 (gerundet auf die 3. Nachkommastelle)
bei 8 Monaten: i = ${\frac{8}{12}}$ = ${\frac{2}{3}}$ = 0,667 (gerundet auf die 3. Nachkommastelle)
bei 11 Monaten: i = ${\frac{11}{12}}$ = 0,917 (gerundet auf die 3. Nachkommastelle)
b) 9 Tage, 38 Tage, 22 Tage, 140 Tage
Bei Tagen berechnet man den Zeitfaktor i folgendermaßen: ${\frac{Tagessanzahl}{360}}$
Bei 9 Tagen: i = ${\frac{9}{360}}$ = ${\frac{1}{40}}$= 0,025
bei 38 Tagen: i = ${\frac{38}{360}}$ = ${\frac{19}{180}}$ = 0,106 (gerundet auf die 3. Nachkommastelle)
Bei 22 Tagen: i = ${\frac{22}{360}}$ = ${\frac{11}{180}}$ = 0,061 (gerundet auf die 3. Nachkommastelle)
Bei 140 Tagen: i = ${\frac{140}{360}}$ = ${\frac{7}{18}}$ = 0,389 (gerundet auf die 3. Nachkommastelle)
c) Vom 5.8. bis 23.10.; vom 8.4. bis 12.9.
Vom 5.8 bis 23.10.:
23 Tage 10 Monate
– [latexpage] ${\underline{5~Tage~8~Monate}$
18 Tage 2 Monate
= 18 Tage + 2 · 30 Tage = 78 Tage
i = ${\frac{78}{360}}$ = ${\frac{13}{60}}$ = 0,217 (gerundet auf die 3. Nachkommastelle)
Vom 8.4. bis 12.9.:
12 Tage 9 Monate
– [latexpage] ${\underline{8~Tage~4~Monate}$
4 Tage 5 Monate
= 4 Tage + 5 · 30 Tage = 154 Tage
i = ${\frac{154}{360}}$ = ${\frac{77}{180}}$ = 0,428 (gerundet auf die 3. Nachkommastelle)
d) Vom 12.9 bis zum 4.4 des folgenden Jahres
Im Folgejahr heißt hier, dass man zu den 4 Monaten bis April noch 12 Monate dazuaddieren muss. Da wiederum das Anlagedatum von der Zahl her höher ist als das Enddatum, muss man zudem ein Monat zu 30 Tagen hin umrechnen und zu dem Enddatum, dem 4., hinzuaddieren. Dadurch verringert sich natürlich die Gesamtmonatsanzahl um einen Monat.
34 Tage 15 Monate
– [latexpage] ${\underline{12~Tage~9~Monate}$
22 Tage 6 Monate
= 22 Tage + 6 · 30 Tage = 202 Tage
i = ${\frac{202}{360}}$ = ${\frac{101}{189}}$ = 0,561 (gerundet auf die 3. Nachkommastelle)
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne jeweils die Zinsen über einen bestimmten Zeitraum.
Ist der genaue Anlagezeitraum gegeben, so macht natürlich immer Sinn, gleich die Formel zur Berechnung von Monats- oder Tageszinsen heranzuziehen! Bei Monatszinsen lautet diese: Z = [latexpage] $\frac{K\ {\cdot}\ p\ {\cdot}\ m}{100\ {\cdot}\ 12}$
a) 500 € zu 4 % (7 Monate)
Z = [latexpage] $\frac{500\ {\cdot}\ 4\ {\cdot}\ 7}{100\ {\cdot}\ 12}$
Z = 11,67 € (gerundet auf die 2. Nachkommastelle)
b) 140 € zu 3 % (4 Monate)
Z = [latexpage] $\frac{140 {\cdot}\ 3\ {\cdot}\ 4}{100\ {\cdot}\ 12}$
Z = 1,4 €
c) 260 € zu 2 % (5 Monate)
Z = [latexpage] $\frac{260 {\cdot}\ 2\ {\cdot}\ 5}{100\ {\cdot}\ 12}$
Z = 2,17 € (gerundet auf die 2. Nachkommastelle)
Zur Berechnung von Tageszinsen zieht man folgende Formel heran: Z = [latexpage] $\frac{K\ {\cdot}\ p\ {\cdot}\ t}{100\ {\cdot}\ 360}$
d) 80 € zu 5 % (80 Tage)
Z = [latexpage] $\frac{80\ {\cdot}\ 5\ {\cdot}\ 80}{100\ {\cdot}\ 360}$
Z = 0,89 € (gerundet auf die 2. Nachkommastelle)
e) 64 € zu 6 % (10 Tage)
Z = [latexpage] $\frac{64\ {\cdot}\ 6\ {\cdot}\ 10}{100\ {\cdot}\ 360}$
Z = 0,11 € (gerundet auf die 2. Nachkommastelle)
f) 250 € zu 4 % (240 Tage)
Z = [latexpage] $\frac{250\ {\cdot}\ 4\ {\cdot}\ 240}{100\ {\cdot}\ 360}$
Z = 6,67 €
g) 1600 € zu 4,5 % (20 Tage)
Z = [latexpage] $\frac{1600\ {\cdot}\ 4,5\ {\cdot}\ 20}{100\ {\cdot}\ 360}$
Z = 4 €
h) 4000 € zu 4,25 % [latexpage] (${\frac{3}{4}}$ Jahr)
Ein Dreiviertel-Jahr sind entweder 9 Monate (${\frac{3}{4}}$ · 12 = 9) Monate oder 270 Tage (${\frac{3}{4}}$ · 360 = 270). Daher kann man auch wahlweise die Formel zur Berechnung von Monatszinsen oder von Tageszinsen heranziehen:
Z = [latexpage] $\frac{4000\ {\cdot}\ 4,25\ {\cdot}\ 9}{100\ {\cdot}\ 12}$
Z = 127,50 €
Z = [latexpage] $\frac{4000\ {\cdot}\ 4,25\ {\cdot}\ 270}{100\ {\cdot}\ 360}$
Z = 127,50 €
i) 1800 € zu 7,5 % (40 Tage)
Z = [latexpage] $\frac{1800\ {\cdot}\ 7,5\ {\cdot}\ 40}{100\ {\cdot}\ 360}$
Z = 15 €
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Wie viel an Kontoüberziehungsgebühren fallen an?
Über 24 Tage wurde bei einem Konto ein Betrag von 180 € überzogen. Hierbei fielen 14,5 % an Zinsen an. Wie viel an Zinsen entstanden für das Überziehen des Kontos?
Z = [latexpage] $\frac{180\ {\cdot}\ 14,5\ {\cdot}\ 24}{100\ {\cdot}\ 360}$
Z = 1,74 €
Es fielen insgesamt 1,74 € an Zinsen an.
Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Bei Textaufgaben muss immer ein Antwortsatz gegeben werden. Lässt man diesen weg, riskiert man, nicht die volle Punktzahl für die Aufgabe zu bekommen.
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Welche Kosten fallen für ein Darlehen an?
Ein Unternehmer braucht dringend Geld und muss deshalb für ein Vierteljahr ein Darlehen über 40000 € aufnehmen. Der Zinssatz des Darlehens beträgt 9 %.
Wie hoch sind die Zinsen, die über den Darlehenszeitraum anfallen?
Welcher Betrag muss der Unternehmen am Ende insgesamt zurückbezahlen?
Ein Vierteljahr sind entweder 3 Monate (${\frac{1}{4}}$ · 12 = 3) oder 90 Tage (${\frac{1}{4}}$ · 360 = 90). Wahlweise kann man daher die Formel zur Berechnung von Monatszinsen oder Tageszinsen benutzen.
Z = [latexpage] $\frac{40000\ {\cdot}\ 9\ {\cdot}\ 3}{100\ {\cdot}\ 12}$
Z = 900 €
Z = [latexpage] $\frac{40000\ {\cdot}\ 9\ {\cdot}\ 90}{100\ {\cdot}\ 360}$
Z = 900 €
Es fallen 900 € an Zinsen für die Inanspruchnahme des Darlehens an.
Der Betrag, der insgesamt vom Unternehme zurückbezahlt werden muss, ist die Höhe des Darlehens plus die Zinsen, die über den Darlehenszeitraum anfielen.
Betrag = Darlehen + Zinsen
Betrag = 40000 € + 900 € = 40900 €
Insgesamt muss der Unternehmer 40900 € zurückbezahlen.