1. Allgemeines zur Punktspiegelung
Mittels einer Skatkarte kann man sich sehr gut vor Augen führen, was eine Punktspiegelung ist. Nimmt man einen König (den oberen oder den unteren) aus dem Skatblatt und dreht diesen um 180º bzw. macht bei diesem eine Halbdrehung, so kann man keinen Unterschied zwischen der Ausgangslage und der jetzigen Lage feststellen. Solch eine Figur nennt man punktsymmetrisch. Anstelle der Begriffs Halbdrehung ist in der Mathematik auch der Begriff Punktspiegelung gebräuchlich.
Beispiel:
Folgende Figur soll mittels einer Halbdrehung um den Punkt M punktsymmetrisch gespiegelt werden.
Man macht vom Punkt A eine Gerade durch den Punkt M. Führt man die Gerade nun mit der gleichen Länge weiter, so erhält man den Punkt A‘. Der Punkt A und der Punkt A‘ werden als Symmetriepartner bezeichnet. Beide Punkte, A und A‘, weisen jeweils den gleichen Abstand zum Punkt M auf. Den Punkt M nennt man Symmetriezentrum. Spiegelt man alle Punkte der Figur auf die gleiche Weise, so erhält man die untere punktsymmetrische Figur.
1.1 Bestimmung des Symmetriepartners eines Punktes mittels Konstruktion
a) Ist ein Punkt P nicht identisch mit dem Symmetriezentrum M, so kann man immer seinen Symmetriepartner derart ermitteln.
- Zuerst zeichnet man die Gerade PM.
- Darauf zeichnet man entlang dieser Gerade den Punkt P‘. Der Punkt P‘ liegt immer auf der anderen Seite von M. P und P‘ haben immer den gleichen Abstand zu M.
b) Das Symmetriezentrum M ist gleich seinem Symmetriepartner. Daher gilt: M = M‘.
Definition:
Liegt eine Halbdrehung um den Punkt M vor, so handelt es sich um eine Punktspiegelung SM am Spiegelzentrum M.
Folgende Konstruktionsvorschrift ergibt sich hieraus:
a) Ist P ≠ M , so wird der Punkt P‘ auf diese Weise konstruiert:
Man zeichnet die Gerade MP.
Man zeichnet den Punkt P‘ auf der Geraden MP derart, dass P un P‘ jeweils auf verschiedenen Seiten von M liegen. Hierbei muss zudem die Strecke
und
stets gleich lang sein.
b) Der Bildpunkt M‘ von M ist mit M identisch. Es gilt daher: M‘ = M.
Das Spiegelzentrum bestimmt immer ganz eindeutig eine Punktspiegelung
Beispiel Punktspiegelung eines Dreiecks
Folgendes Dreieck soll an Spiegelzentrum M punktsymmetrisch gespiegelt werden.
Für die Konstruktion der Punktsymmetrie zeichnet man als Erstes Geraden, die durch den Punkt A unb M gehen, durch den Punkt B und M sowie durch den Punkt C und M. Anschließend sticht man mit einem Zirkeln in das Symmetriezentrum M ein. Von hier aus bestimmt man die Länge der Strecke
, so dass man gegenüber dem Symmetriezentrum wiederum mittels des Zirkels die Strecke
und den Bildpunkt A‘ ermitteln kann. Ebenso verfährt man bei
und
zur Ermittlung von B‘ sowie bei
und
zur Ermittlung von C‘. Wenn man alle Bildpunkt A’B’C‘ so konstruiert hat, verbindet man diese. Das Ergebnis stellt eine Punktspiegelung des ursprünglichen Dreiecks am Spiegelzentrum M dar
