1. Allgemeines zum Additionsverfahren
Beim Lösen eines linearen Gleichungssystems (LGS) mittels dieses Lösungsverfahrens steht das Addieren (oder auch Subtrahieren) von Gleichungen im Mittelpunkt.
Das Lösen eines linearen Gleichungssystems mittels des Additionsverfahrens kann auf zwei verschiedene Arten durchgeführt werden:
a) Man eliminiert beim LGS die Variable x.
b) Man eliminiert beim LGS die Variable y.
Man kann auch bei einem LGS beide Gleichungen voneinander abziehen. Hier liegt streng genommen ein Subtraktionsverfahren vor. Da man aber auch eine Subtraktion immer hin zu einer algebraischen Summe („–“ ist gleich „+“ „–“) umwandeln kann, ist das Subtraktionsverfahren kein eigenständiges Lösungsverfahren. Es kann daher auf das Additionsverfahren zurückgeführt werden.
1. Erster Lösungsweg mittels des Additionsverfahrens
Der erste Lösungsweg beinhaltet, dass man die Variable x eliminiert. Hierfür muss aber gewährleistet sein, dass der Koeffizient beider Variablen jeweils Gegenzahlen sind (hier: 4 und –4). Da das hier noch nicht der Fall ist, muss man die erst Gleichungen mit dem Faktor „–4“ malnehmen (was nichts anderes als eine Äquivalenzumformung ist). Die andere Gleichung bleibt hierbei unverändert. Die mittels Äquivalenzumforumgen veränderte Gleichung wird dann als III. bezeichnet.
I. x + 7y = 5 | · (–4)
II. 4x + y = –7
I. –4x – 28y = –20
III. 4x + y = –7
Jetzt kann man beide Gleichungen miteinander addieren. Die Gleichung, die man nicht mittels einer Äquivalenzumformung verändert hat, bleibt hierbei unverändert so stehen. Das „–4x“ + „4x“ eliminiert sich hierbei. „–28y“ + „y“ ergibt „27y“ und „–20“ + „–7“ ist „–27“. Durch die Addition von Gleichung II. mit Gleichung I. bleibt jetzt nur noch die Variable y übrig. Jetzt muss man nur noch den Koeffizienten vor der Variablen eliminieren.
IV. –27y = –27 | · (–27)
IV. y = 1
Die erste Lösungskoordinate setzt man nun als Nächstes in die Gleichung ein, die unverändert blieb bzw. in einer der beiden Ursprungsgleichungen. Anschließend löst man diese Gleichung nach der Variablen x hin auf.
II. 4x + 1 = –7 | – 1
II. 4x = –8 | :4
II. x = –2
Nach der Addition beider Gleichungen behält man normalerweise eine der beiden Ursprungsgleichungen bei. Es handelt sich ja um ein LGS. Deshalb weist diese ja immer auch zwei Gleichungen auf. Der bessern Übersicht wegen wird hier aber darauf verzichtet.
Man kann nun die Ergebnisse mittels Probe überprüfen.
I. –2 + 7 · (1) = 5
II. 4 · (–2) + (1) = –7
I. –2 + 7 = 5
II. –8 + 1 = –7
I. 5 = 5
II. –7 = –7
Die Probe bestätigt die Richtigkeit des Ergebnisses.
Die Lösungsmenge des LGS ergibt daher folgendes Lösungspaar:
L = {(–2 | 1)}.
2. Zweiter Lösungsweg mittels Additionsverfahren
Der zweite Lösungsweg sieht vor, dass das LGS nach der Variablen y hin aufgelöst wird. Der Koeffizient muss hier wiederum Gegenzahlen vorweisen (hier: 6 und –6). Damit die eine Gleichung diese vorweist, muss diese mit dem Faktor 6 malgenommen werden (das stellt wiederum eine Äquivalenzumforumg dar). Die andere Gleichung bleibt hierbei wiederum unverändert. Die Gleichung, die man mittels Äquivalenzumformung verändert hat, wird dasnn als III. bezeichnet.
I. –5x + y = 6 | · 6
II. 2x – 6y = 48
III. –30x + 6y = 36
II. 2x – 6y = 48
Beide Gleichungen können nun miteinander addiert werden. Die Gleichung, bei der keine Äquivalenzumformung durchgeführt worden ist, bleibt dann unverändert so stehen. Das „–30x“ + „2x“ ergibt „–28x“, das „6y“ + „–6y“ eliminiert sich und das „36“ + 48 ergibt „84“. Durch die Addition, die bei Gleichung II. mit Gleichung I. durchgeführt wurde, bleibt jetzt nur noch die Variable x übrig. Diese Gleichung muss nun nur noch nach der Variablen hin aufgelöst werden.
IV. –28x = 84 | · (–28)
IV. x = –3
Als Nächstes setzt man nun die eine Lösungkoordinate in die Gleichung ein, die nicht verändert wurde bzw. in eine der beiden Ursprungsgleichungen. Daraufhin löst man die Gleichung nach der Variablen y hin auf.
I. –5 · (–3) + y = 6
I. 15 + y = 6 | – 15
I. y = –9
Als Lösungsmenge des LGS ergibt sich folgendes Lösungspaar:
L = {(–3 | –9)}.
Das Ergebnis kann man nun wiederum mittels Probe überprüfen:
I. –5 · (–3) + (–9) = 6
II. 2 · (–3) – 6 · (–9) = 48
I. 15 – 9 = 6
II. –6 + 54 = 48
I. 6 = 6
II. 48 = 48
Die Probe bestätigt die Richtigkeit des Ergebnisses.
3. Dritter Lösungsweg mittels Additionsverfahren
Der dritte Lösungsweg beinhaltet, dass man das lineare Gleichungssystem mittels des Additionsverfahrens entweder nach der Variablen x oder der Variablen y hin auflöst. Oft liegt in Mathe ein LGS vor, bei dem das Auflösen nach der einen Variablen oder nach einer anderen Variablen hin in etwa gleich schwer ist. Ist das der Fall, dann muss man immer beide Gleichungen mittels einer Äquivalenzumformung verändern.
Dieses LGS kann man sowohl nach x oder y hin auflösen. Beides ist hier in etwa gleich schwer.
Um das lineare Gleichungssystem nach der Variablen x hin aufzulösen, muss der Koeffizient vor dem x jeweils bei beiden Gleichungen Gegenzahlen vorweisen. Das erreicht man hier, indem man die erste Gleichung mit dem Faktor –3 malnimmt und die zweite Gleichung mit dem Faktor 2. Dadurch erhält man als Koeffizienten für x die erforderlichen Gegenzahlen (– 6 und 6).
I. 2x – 3y = 6 | · (–3)
II. 3x – 2y = 12 | · 2
III. –6x + 9y = –18
IV. 6x – 4y = 24
Beide Gleichungen können nun miteinander addieren werden. Das „–6x“ und das „6x“ eliminieren sich. „9y“ plus „–4y“ ergibt 5y und –18 plus 24 ergibt 6. Dadurch bleibt nur noch die Variable y übrig und die Gleichung kann nach der Variablen hin aufgelöst werden.
V. 5y = 6 | : 5
V. y = 1,2
Die erste Lösungskoordinate kann man nun in eine der beiden Ursprungsgleichungen einsetzen. Anschließend löst man die Gleichung nach der Variablen x hin auf.
I. 2x – 3 · (1,2) = 6
I. 2x – 3,6 = 6 | + 3,6
I. 2x = 9,6 | : 2
I. x = 4,8
Das Lösungspaar des LGS ist:
L = {(4,8 | 1,2)}.
Das Ergebnis kann wiederum mittels Probe überprüft werden:
I. 2 · (4,8) – 3 · (1,2) = 6
II. 3 · (4,8) – 2 · (1,2) = 12
I. 9,6 – 3,6 = 6
II. 14,4 – 2,4 = 12
I. 6 = 6
II. 12 = 12
Die Probe bestätigt, dass die Lösung des LGS korrekt ist.
Damit man das lineare Gleichungssystem nach der Variablen y hin umformen kann, muss wiederum der Koeffizient vor dem y bei beiden Gleichungen die Gegenzahlen vorweisen. Das erzielt man, indem man die erste Gleichung mit dem Faktor –2 malnimmt und die zweite Gleichung mit dem Faktor 3. Hierdurch hat dann der Koeffizient die erforderlichen Gegenzahlen (´6 und – 6).
I. 2x – 3y = 6 | · (–2)
II. 3x – 2y = 12 | · 3
III. –4x + 6y = –12
IV: 9x – 6y = 36
Jetzt können beide Gleichungen miteinander addiert werden. Das „–4x“ und das „9x“ ergibt „5x“, das „6y“ und das „–6y“ eliminieren sich und das „–12“ und das „36“ ergibt 24. Nun weist die Gleichung nur noch die Variable x auf und kann somit nach dieser Variablen hin umgeformt werden.
V. 5x = 24 | : 5
V. x = 4,8
Die erste Lösungskoordinate setzt man nun in eine der beiden Ursprungsgleichungen des LGS ein. Daraufhin löst man die Gleichung nach der Variablen hin auf.
I. 2 · (4,8) – 3y = 6
I. 9,6 – 3y = 6 | – 9,6
I. –3y = –3,6 | : (–3)
I. y = 1,2
Die zweite Lösungskoordinate ist y = 1,2.
Als Lösungsmenge des LGS ergibt sich daher Folgendes:
L = {(4,8 | 1,2)}.
Mittels Probe kann das Ergebnis überprüft werden:
I. 2 · (4,8) – 3 · (1,2) = 6
II. 3 · (4,8) – 2 · (1,2) = 12
I. 9,6 – 3,6 = 6
II. 14,4 – 2,4 = 12
I. 6 = 6
II. 12 = 12
Die Probe bestätigt die Korrektheit des Ergebnisses.
Das Ergebnis bei beiden Auflösungen des LGS ist identisch. Das muss auch so sein! Es handelt sich ja jeweils um das gleiche lineare Gleichungssystem. Die Lösung ist daher natürlich auch die Gleiche, egal, ob man zuerst mittels des Additionsverfahrens die Variable x oder die Variable y eliminiert.
4. Vorgehensweise beim Lösen eines linearen Gleichungssystems mittels des Additionsverfahrens
Um ein lineares Gleichungssystem mittels des Additionsverfahren zu lösen, geht man folgendermaßen vor.
- Zuerst schaut man sich genau die beiden Gleichungen an, damit gewahr wird, wie die Gleichungen am leichtesten mittels Äuquivalenzumformungen vereinfacht werden können.
- Darauf multipliziert man eine Gleichung mit einer Zahl oder beide Gleichungen mit Zahlen, so dass bei zwei gleichen Variablen deren Koeffizient jeweils Gegenzahlen sind. Keine Gleichung darf hierbei mit der Zahl Null malgenommen werden.
- Die beiden Gleichungen werden jetzt miteinander addiert.
- Die durch Addition entstandene Gleichung weist jetzt nur noch eine Variable auf. Diese Gleichung muss mann nun nach der Variablen hin auflösen. Dadurch erhält man die erste Lösungskoordinate. Die zweite Gleichung behält man normalerweise unverändert bei (es handelt sich ja um LGS).
- Die erste Lösungskoordinate setzt man in einer der beiden Ursprungsgleichungen des LGS ein. Dadurch weist die Gleichung nur noch eine Variable auf. Diese Gleichung löst man nun nach der Variablen hin auf. Das Ergebnis stellt die zweit Lösungskoordinate dar.
- Die Probe bestätigt die Lösung des LGS.
- Die beiden Lösungskoordinaten ergeben die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.