Eine überaus wichtige algebraische Gesetzmäßigkeit stellen die binomischen Formeln dar, da diese ab der 8. Klasse in Mathe immer wieder vorkommen und somit bis zum MSA oder Abi von Schülerinnen und Schülern stets abgerufen werden können müssen. Daher ist ein gewissermaßen blindes Beherrschen der binomischen Formeln Pflicht. Ansonsten ist ein Algebra-Desaster vorprogrammiert. Denn dann kann man mit hoher Wahrscheinlichkeit auch andere algebraische Umformungen nicht korrekt – wodurch sich der komplette Rechenweg verkomplizieren oder gar im schlimmsten Fall komplett falsch sein kann. Verständlicherweise frustet beides gleich stark – und vergellt einem den Spaß an Mathe gänzlich, da die Note in Mathe dann auch „im Keller“ beziehungsweise (wie man in Berlin eher sagt) „im Souterrain“ angekommen ist. So weit sollte es in Mathematik aber erst gar nicht kommen!
Aber wie entgeht man solch einem drohenden Algebra-Desaster? Indem man wie bei allen algebraischen Gesetzmäßigen die Gesetzmäßigkeit, in diesem Fall die binomischen Formeln, übt, übt und noch mal übt – und wenn es sein muss auch bis zum „Erbrechen“. Kann man schließlich die binomischen Formeln, ohne groß überlegen zu müssen, auswendig vorsagen, dann ist eines sicher: Alle drei binomischen Formeln sitzen so, wie es sein muss. Auf kurz oder lang wird sich dann auch in Mathe die Note wieder verbessern – vorausgesetzt man übt alle algebraischen Gesetzmäßigkeiten ähnlich gut wie die binomischen Formeln.
Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet: binomische Formeln
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: das Verstandenhaben der binomischen Formeln! Hat man die binomischen Formeln vollkommen verstanden, dann kann man diese auch auf x-beliebige Variablen anwenden. Zeige dieses bei folgenden Aufgaben!
a) (c + d)²
(c – d)²
(c + d) · (c – d)
b) (s + t)²
(s – t)²
(s + t) · (s – t)
c) (p + q)²
(p – q)²
(p + q) · (p – q)
d) (tatü + tata)²
(tatü – tata)²
(tatü + tata) · (tatü – tata)
e) (miau + wuff)²
(miau – wuff)²
(miau + wuff) · (miau – wuff)
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Löse jeweils die Klammer mithilfe der richtigen binomischen Formel auf!
a) (x + 3)²
(9 + x)²
(3x + 7)²
(2 + 8x)²
(12x + 7y)²
b) (x – 2)²
(1 – x)²
(4x – 3)²
(7 – 14x)²
(5x – 29y)²
c) (x + 7) · (x – 7)
(s + 3) · (s – 3)
(9 + x) · (9 – x)
(5 – t) · (5 + t)
(8x + 4y) · (8x – 4y)
d) (5 + b)²
(4z – 11)²
(19 – 12a)²
(8d + 5e)²
(45 – 88u)²
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Alle folgenden binomischen Formeln wurden nicht korrekt aufgelöst. Finde den Fehler und korrigiere ihn!
a) (2a + 3b)² = 4a² + 6ab + 9b²
b) (p – q)² = q² + 2pq – p²
c) (8s + 9t) · (8s – 9t) = 64s² + 81t²
4 Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Welche der binomischen Formeln wurden richtig aufgelöst und so dass rechts und links der Gleichung eine Wertgleichheit vorliegt. Falls die rechte und die linke Seite der Gleichung nicht wertgleich sind, verbessere den Fehler!
a) (c + d) · (c – d) = c² – d²
b) (s + t)² = 2ts + s² + t²
c) (a – b)² = a – ab + b²
d) (p – q)² = p² – q²
e) (a – b)² = b² – 2ab + a²
f) (a + b)² = b² + 2ab + a²
g) (c – d)² = c² – d² + 2cd
h) (a + b) · (a – b) = –b² + a²
i) (m + n) · (m – n) = n² – m²
j) (q – p) · (q + p) = q² – p²
Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet: binomische Formeln
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Wende stets die binomischen Formeln richtig an!
a) 1. Binomische Formel:
(c + d)² = (c)² + 2 · c · d + (d)² = c² + 2cd + d²
2. Binomische Formel:
(c – d)² = (c)² – 2 · c · d + (d)² = c² – 2cd + d²
3. Binomische Formel:
(c + d) · (c – d) = (c)² – (d)² = c² – d²
b) 1. Binomische Formel:
(s + t)² = (s)² + 2 · s · t + (t)² = s² + 2st + t²
2. Binomische Formel:
(s – t)² = (s)² – 2 · s · t + (t)² = s² – 2st + t²
3. Binomische Formel:
(s + t) · (s – t) = (s)² – (t)² = s² – t²
c) 1. Binomische Formel:
(p + q)² = (p)² + 2 · p · q + (q)² = p² + 2pq + q²
2. Binomische Formel:
(p – q)² = (p)² – 2 · p · q +(q)² = p² – 2pq + q²
3. Binomische Formel:
(p + q) · (p – q) = (p)² – (q)² = p² – q²
d) 1. Binomische Formel:
(tatü + tata)² = (tatü)² + 2 · tatü · tata + (tata)²
= tatü² + 2tatütata + tata²
2. Binomische Formel:
(tatü – tata)² = (tatü)² – 2 · tatü · tata + (tata)²
= tatü² – 2tatütata + tata²
3. Binomische Formel:
(tatü + tata) · (tatü – tata) = (tatü)² – (tata)²
= tatü² – tata²
e) 1. Binomische Formel:
(miau + wuff)² = (miau)² + 2 · miau · wuff + (wuff)² =
miau² + 2miauwuff + wuff²
2. Binomische Formel:
(miau – wuff)² = (miau)² – 2 · miau · wuff + (wuff)² =
miau² – 2miauwuff + wuff²
3. Binomische Formel:
(miau + wuff) · (miau – wuff) = (miau)² – (wuff)² = miau² – wuff²
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Löse die binomischen Formeln jeweils richtig auf.
a) 1. Binomische Formel:
(x + 3)² = (x)² + 2 · x · 3 + (3)² = x² + 6x + 9
1. Binomische Formel:
(9 + x)² = (9)² + 2 · 9 · x + (x)² = 81 + 18x + x²
= x² + 18x + 81
1. Binomische Formel:
(3x + 7)² = (3x)² + 2 · 3x · 7 + (7)² = 9x² + 42x + 49
1. Binomische Formel:
(2 + 8x)² = (2)² + 2 · 2 · 8x + (8x)² = 4 + 32x + 64x²
= 64x² + 32x + 4
1. Binomische Formel:
(12x + 7y)² = (12x)² + 2 · 12x · 7y + (7y)² = 144x² + 168xy + 49y²
b) 2. Binomische Formel:
(x – 2)² = (x)² – 2 · 2 · x + (2)² = x² – 4x + 4
2. Binomische Formel:
(1 – x)² = (1)² – 2 · 1 · x + (x)² = 1 – 2x + x² = x² – 2x + 1
2. Binomische Formel: (4x – 3)² = (4x)² – 2 · 4x · 3 + (3)² = 16x² – 24x + 9
2. Binomische Formel:
(7 – 14x)² = (7)² – 2 · 7 · 14x + (14x)² = 49 – 196x + 196x² = 196x² – 196x + 49
2. Binomische Formel:
(5x – 29y)² = (5x)² – 3 · 5x · 29y + (29y)² =
25x² – 435xy + 841y²
c) 3. Binomische Formel:
(x + 7) · (x – 7) = (x)² – (7)² = x² – 49
3. Binomische Formel:
(s + 3) · (s – 3) = (s)² – (3)² = s² – 9
3. Binomische Formel:
(9 + x) · (9 – x) = (9)² – (x)² = 81 – x² = x² – 81
3. Binomische Formel:
(5 – t) · (5 + t) = (5)² – (t)² = 25 – t² = t² – 25
3. Binomische Formel:
(8x + 4y) · (8x – 4y) = (8x)² – (4y)² = 64x² – 16y²
d) 1. Binomische Formel:
(5 + b)² = (5)² + 2 · 5 · b + (b)² = 25 + 10b + b² =
b² + 10b +25
2. Binomische Formel:
(4z – 11)² = (4z)² – 2 · 4z · 11 + (11)² = 16z² – 88z + 121
2. Binomische Formel:
(19 – 12a)² = (19)² – 2 · 19 · 12a + (12a)²
= 361 – 456a + 144a² = 144a² – 456a + 361
1. Binomische Formel:
(8d + 5e)² = (8d)² + 2 · 8d · 5e + (5e)² =
64d² + 80de + 25e²
2. Binomische Formel:
(45 – 88u)² = (45)² – 2 · 45 · 88u + (88u)² =
2025 – 7920u + 7744u² = 7744u² – 7920 u + 2025
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Finde jeweils den gemachten Fehler beim Auflösen der binomischen Formeln und verbessere ihn.
a) (2a + 3b)² = 4a² + 6ab + 9b²
Bei der Aufgabe a) ist der Mittelterm der 1. Binomischen Formel falsch gebildet worden! Dieser lautet nämlich 2ab, demzufolge ist der richtige Mittelterm: 2 · 2a · 3b = 12ab.
Die richtige Auflösung ist demzufolge: (2a + 3b)² = 4a² + 12ab + 9b²
b) (p – q)² = q² + 2pq – p²
Bei der Aufgabe b) wurde beim Mittelterm und dem Endterm die Vorzeichen vertauscht. Bei der 2. Binomischen Formel hat der Mittelterm nämlich immer ein negatives Vorzeichen/ein „–“ und der Endterm immer ein positives Vorzeichen/ein „+“.
Die richtige Auflösung ist folglich: (p – q)² = q² – 2pq + p²
c) (8s + 9t) · (8s – 9t) = 64s² + 81t²
Bei der Aufgabe c) wurde ein falsches Vorzeichen für den Endterm genommen. Der Endterm der 3. Binomischen Formel hat nämlich immer ein negatives Vorzeichen/ein „–“.
Die richtige Auflösung ist demzufolge: (8s + 9t) · (8s – 9t) = 64s² – 81t²
4 Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Liegt eine Wertgleichheit bei den aufgelösten binomischen Formeln vor? Wenn nicht, verbessere den gemachten Fehler!
a) (c + d) · (c – d) = c² – d²
Hier liegt eine Wertgleichheit vor, da die 3. Binomische Formel korrekt aufgelöst wurde.
b) (s + t)² = 2ts + s² + t²
Hier sind ebenfalls die Terme rechts und links des Gleichheitszeichens wertgleich, da die 1. Binomisch Formel richtig aufgelöst wurde. Denn (s + t)² = 2ts + s² + t² = s² + 2st + t².
c) (a – b)² = a – ab + b²
Bei dieser Aufgabe liegt keine Wertgleichheit mehr vor, da die 2. Binomische Formel falsch aufgelöst wurde. Der Anfangsterm muss hier nämlich korrekt „a²“ sein und der Mittelterm „–2ab“. Somit lautet die korrekte Auflösung: (a – b)² = a² – 2ab + b².
d) (p – q)² = p² – q²
Hier liegt rechts und links der Gleichung keine Wertgleichheit vor, da die 2. Binomische Formel nicht korrekt aufgelöst wurde. Denn hier fehlt komplett der Mittelterm „–2pq“. Auch stimmt das Vorzeichen des Endterms nicht, da dieser „q²“ sein muss. Die wertgleiche Auflösung ist daher: (p – q)² = p² – 2pq + q².
e) (a – b)² = b² – 2ab + a²
Hier wurde die 2. Binomische Formel korrekt aufgelöst, da eine Wertgleichheit vorliegt. Denn (a – b)² = b² – 2ab + a² = a² – 2ab + b².
f) (a + b)² = b² + 2ab + a²
Hier wurde die 1. Binomische Formel richtig aufgelöst, da hier ebenfalls rechts und links des Gleichheitszeichens wertgleiche Terme vorliegen. Denn (a + b)² = b² + 2ab + a² = a² + 2ab + b².
g) (c – d)² = c² – d² + 2cd
Hier wurde die 2. Binomische Formel nicht korrekt aufgelöst, da das Vorzeichen des Mittelterms und des Endterms falsch sind. Denn der Mitelterm müsste „–2cd“ sein und der Endterm „d²“. Daher ist die wertgleiche Auflösung: (c – d)² = c² + d² – 2cd = c² – 2cd + d².
h) (a + b) · (a – b) = –b² + a²
Hier besteht eine Wertgleichheit, da die 3. Binomische Formel richtig aufgelöst wurde. Denn (a + b) · (a – b) = –b² + a² = a² – b².
i) (m + n) · (m – n) = n² – m²
Hier liegt keine Wertgleichheit vor, da die 3. Binomische Formel falsch aufgelöst wurde. Denn das Vorzeichen zwischen dem Anfangs- und dem Endterm stimmt jeweils nicht, da der Anfangsterm „m²“ und der Endterm „–n²“ ist. Daher ist die korrekte Auflösung: (m + n)· (m – n) = –n² + m² = m² – n².
j) (q – p) · (q + p) = q² – p²
Hier liegt eine Wertgleichheit vor, da die 3. Binomische Formel korrekt aufgelöst wurde.