„Die Probe aufs Exempel machen“, diese Redensart/dieses Sprichwort passt auch bestens zu Gleichungen. Bei jeder Gleichung kann man nämlich mittels des über Äquivalenzumformungen ausfindig gemachten Ergebnisses überprüfen – ob dieses auch wirklich das richtige ist! Hierzu muss man nur einfach stets „die Probe aufs Exempel machen“. Aber wie geht das nun genau bei jeder einzelnen Gleichung? Ganz einfach. Indem man jede ermittelte Lösung in die Ursprungsgleichung einsetzt. Die Ursprungsgleichung ist hierbei immer die Gleichung, an der noch keine Äquivalenzumformungen vorgenommen wurden. „Für mich ist das nicht ganz logisch, da doch eine Lösung eine Lösung ist – und deshalb eigentlich nicht falsch sein kann“, könnte hier jetzt ein „mitdenkender“ Schüler entgegenhalten. Der Mathematik-Lehrer kann zwar den Einwand seines Schülers nachvollziehen, aber trotzdem nichts gegen die Mathe-Tatsache machen, dass nicht jede ermittelte Lösung einer Gleichung auch eine wirkliche Lösung einer Gleichung ist – was demzufolge ebenso der Schüler „schlucken“ muss.
So viel sei aber doch verraten: Die „Scheinlösungen“ hängen oftmals davon ab, dass nicht wirklich immer eine Äquivalenzumformung vorliegt, bis ein klares Ergebnis ermittelt werden kann. Bei linearen Gleichungen tritt das „Scheinlösungen“-Problem aber noch nicht auf – vorausgesetzt man entwickelt nicht einen „eigenen“ Lösungsweg. Dennoch macht es bereits bei linearen Gleichungen Sinn „die Probe aufs Exempel zu machen“. Schließlich können auch hier einem schon „unbeabsichtigt“ Fehler bei den gemachten Äquivalenzumformungen passieren. Macht man hier nun „die Probe aufs Exempel“, so kann man eindeutig erkennen, dass die vermeintliche Lösung dann doch nicht die richtige ist. Anschließend kann man durch Überprüfen der einzelnen Lösungsschritte augenscheinlich sehen, wo sich ärgerlicherweise ein Algebra-Fehler eingeschlichen hat.
„Scheinlösungen“ treten bei Gleichungen aber nicht nur auf, wenn zur Lösung einer Aufgabe keine durchgehenden Äquivalenzumformungen durchgeführt werden, sondern auch bei einem eingeschränkten Definitionsbereich. Ist nämlich ein ermitteltes Ergebnis nicht innerhalb des Definitionsbereiches liegend, so handelt es sich hier ebenfalls um eine „Scheinlösung“.
Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Gleichungen
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Wende zur Lösung der Gleichung Äquivalenzumformungen an. Mache anschließend die Probe, ob das ermittelte Ergebnis richtig ist.
a) 4x + 2 = 18
b) 9x + 7 = 88
c) –15 + 12x = 33
d) 4u – 32 = 0
e) 3y + 8 + 7y + 2 = 100
f) 4t – 3 – 8t + 4 = 41
g) –5 + 12x + 3x + 12 = 112
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Steffen sagt, die Lösung der Gleichung ist 1, Michaela sagt, dass die Lösung aber 2 sei. Wer hat recht? Löse zunächst die Gleichung mittels Äquivalenzumformungen und mache anschließend die Probe.
Um diese Gleichung handelt es sich: 5x + 3 + 7x – 12 + 2x – 12x + 13 = 8
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge. Mache anschließend die Probe.
a) 6x + 8 + 4 – 5x = 39
b) 7 + 10x – 2 – 5x = 95
c) 6x + 8 – 7x = 14
d) 5y + 9 + 3y = –4 + 6y + 23
e) 12x + 19 + 2x = 3x + 19 – 7x
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Begründe, welcher Lösungsweg ein falsches Ergebnis liefert.
a) 4x – 4 = 3x – 3 | – 3x / + 4 <=>
x = 1
L = {1}
b)
4x – 4 = 3x – 3 <=>
4 · (x – 1) = 3 · (x – 1) | : (x – 1) <=>
3 = 2
L = { } bzw. L = Ø.
5. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Stelle zu jedem Zahlenrätsel eine Gleichung auf und ermittle die gesuchte Zahl.
a) Wenn man eine Zahl von 36 abzieht, so erhält man das 5-Fache der gesuchten Zahl.
b) Addiert man zum 4-Fachen einer Zahl 15, dann erhält man das 9-Fache dieser Zahl.
c) Subtrahiert man 10 vom 7-Fachen einer Zahl, so erhält man 11.
d) Verringert man das 9-Fache einer Zahl um 10, so erhält man das Gleiche, wie wenn man das 7-Fache einer Zahl um 20 vergrößert.
e) Zieht man vom 8-Fachen einer Zahl 14 ab, dann erhält man dasselbe, wie wenn man vom 12-Fachen einer Zahl 14 subtrahiert.
Lösung zum Mathe-Stoffgebiet Gleichungen
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Löse die Gleichungen mittels Äquivalenzumformungen, anschließend nehme die „Probe“ vor.
a)
4x + 2 = 18 | – 2 <=>
4x = 16 | : 4 <=>
x = 4
L = {4}
Probe:
4 · 4 + 2 = 18 <=>
16 + 2 = 18 <=>
18 = 18
b)
9x + 7 = 88 | – 7 <=>
9x = 81 | : 9 <=>
x = 9
L = {9}
Probe:
9 · 9 + 7 = 88 <=>
81 + 7 = 88 <=>
88 = 88
Wie die Probe zeigt, ist das über Äquivalenzumformungen ermittelte Ergebnis bei den Aufgaben a) und b) korrekt.
c)
–15 + 12x = 33 | + 15 <=>
12x = 48 | : 12 <=>
x = 4
L = {4}
Probe:
–15 + 12 · 4 = 33 <=>
–15 + 48 = 33 <=>
33 = 33
d)
4u – 32 = 0 | + 32 <=>
4u = 32 | : 4 <=>
u = 8
L = {8}
Probe:
4 · 8 – 32 = 0 <=>
32 – 32 = 0 <=>
0 = 0
Auch hier bestätigt die Probe jeweils, dass die mittels Äquivalenzumformungen ermittelten Lösungen der Aufgaben c) und d) richtig sind.
e)
3y + 8 + 7y + 2 = 100 <=>
10y + 10 = 100 | – 10 <=>
10y = 90 | : 10 <=>
y = 9
L = {9}
Probe:
3 · 9 + 8 + 7 · 9 + 2 = 100 <=>
27 + 8 + 63 + 2 = 100 <=>
100 = 100
f)
4t – 3 – 8t + 4 = 41 <=>
–4t + 1 = 41 | – 1 <=>
–4t = 40 | : (–4) <=>
t = –10
L = {–10}
Probe:
4 · (–10) – 3 – 8 · (–10) + 4 = 41 <=>
–40 – 3 + 80 + 4 = 41 <=>
41 = 41
Bei den Aufgaben e) und f) beweist die Probe ebenfalls, dass die vorher mittels Äquivalenzumformungen ermittelten Ergebnisse korrekt sind.
g)
–5 + 12x + 3x + 12 = 112 <=>
7 + 15x = 112 | – 7 <=>
15x = 105 | : 15 <=>
x = 7
L = {7}
Probe:
–5 + 12 · 7 + 3 · 7 + 12 = 112 <=>
–5 + 84 + 21 + 12 = 112 <=>
112 = 112
Ebenso zeigt sich bei der Aufgabe g) anhand der durchgeführten Probe, dass die mittels Äquivalenzumformungen ermittelte Lösung richtig ist.
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Wer hat mit seiner Behauptung recht? Steffen oder Michaela?
5x + 3 + 7x – 12 + 2x – 12x + 13 = 8 <=>
2x + 4 = 8 | – 4 <=>
2x = 4 | : 2 <=>
x = 2
L = {2}
Probe:
5 · 2 + 3 + 7 · 2 – 12 + 2 · 2 – 12 · 2 + 13 = 8 <=>
10 + 3 + 14 – 12 + 4 – 24 + 13 = 8 <=>
8 = 8
Die ermittelte Lösung und die daraufhin gemachte Probe zeigen eindeutig auf, dass Michaela mit ihrer Aussage recht hat. Denn die Lösung der Aufgabe ist unstrittig 2.
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle zunächst die Lösung der Gleichung, nehme anschließend die „Probe“ vor.
a)
6x + 8 + 4 – 5x = 39 <=>
x + 12 = 39 | – 12 <=>
x = 27
L = {27}
Probe:
6 · 27 + 8 + 4 – (5 · 27) = 39 <=>
162 + 8 + 4 – 135 = 39 <=>
39 = 39
b)
7 + 10x – 2 – 5x = 95 <=>
5 + 5x = 95 | – 5 <=>
5x = 90 | : 5 <=>
x = 18
L = {18}
Probe:
7 + 10 · 18 – 2 – 5 · 18 = 95 <=>
7 + 180 – 2 – (90) = 95 <=>
95 = 95
Die gemachten Proben bei Aufgabe a) und b) bestätigen beide, dass die mittels Äquivalenzumformungen ermittelten Lösungen richtig sind.
c)
6x + 8 – 7x = 14 <=>
–x + 8 = 14 | – 8 <=>
–x = 6 | : (–1) <=>
x = –6
L = {–6}
Probe:
6 · (–6) + 8 – 7 · (–6) = 14 <=>
–36 + 8 + 42 = 14 <=>
14 = 14
d)
5y + 9 + 3y = –4 + 6y + 23 <=>
8y + 9 = 19 + 6y | – 9 <=>
8y = 10 + 6y | – 6y <=>
2y = 10 | : 2 <=>
y = 5
L = {5}
Probe:
5 · 5 + 9 + 3 · 5 = –4 + 6 · 5 + 23 <=>
25 + 9 + 15 = –4 + 30 + 23 <=>
49 = 49
Wie die beiden Proben von Aufgabe c) und d) eindeutig zeigen, sind die vorher mittels Äquivalenzumformungen ermittelten Lösungen korrekt.
e)
12x + 19 + 2x = 3x + 19 – 7x <=>
14x + 19 = –4x + 19 | – 19 <=>
14x = –4x | + 4x <=>
18x = 0 | : 18 <=>
x = 0
L = {0}
Probe:
12 · 0 + 19 + 2 · 0 = 3 · 0 + 19 – (7 · 0) <=>
0 + 19 + 0 = 0 + 19 – 0 <=>
0 = 0
Auch hier bestätigt die Probe ganz klar, dass die bei Aufgabe e) mittels Äquivalenzumformungen ermittelte Lösung richtig ist.
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Lege eindeutig dar, mittels welchen Lösungsweges ein falsches Ergebnis erzielt wird.
Hierzu schauen wir uns erst einmal genau den Lösungsweg von Aufgabe a) an:
a)
4x – 4 = 3x – 3 | – 3x / + 4 <=>
Zunächst wurden hier die gleichartigen Terme mittels Äquivalenzumformungen vereinfacht. Dadurch ergab sich auch sofort folgende Lösung:
x = 1
L = {1}
Da in Aufgabe a) alle gemachten Umformungen der Ursprungsgleichung Äquivalenzumformungen sind, ist auch das hierdurch ermittelte Ergebnis korrekt. Die Probe wird das ebenso noch einmal belegen:
a)
4 · 1 – 4 = 3 · 1 – 3 <=>
4 – 4 = 3 – 3 <=>
0 = 0
Nun schauen wir uns einmal genau den Lösungsweg von Aufgabe b) an:
b)
4x – 4 = 3x – 3 <=>
Zunächst wurden hier links und rechts der Gleichung gleichartige Faktoren ausgeklammert. Links der Faktor 4, rechts der Faktor 3. Hierdurch ergab sich folgende Gleichung:
4 · (x – 1) = 3 · (x – 1) | : (x – 1)
Anschließend wurde die Gleichung dahingehend vereinfacht, dass der Term (x – 1) mittels Division herausgekürzt wurde. Und hier liegt der Fehler! Denn das Herauskürzen einer oder mehrerer Variablen aus einer Gleichung ist keine Äquivalenzumformung mehr. Deshalb hätte hier rechts auch nicht das Äquivalenzzeichen ( „<=>“) mehr stehen dürfen. Folglich ist auch das ermittelte Ergebnis falsch.
3 = 2
L = { } bzw. L = Ø.
Bei Aufgabe a) haben wir ja gesehen, dass die absolut gleiche Aufgabe eindeutig eine andere Lösung liefert, die definitiv richtig ist. Die Lösung bei Aufgabe b) ist hingegen immer „keine Lösung“ bzw. eine „leere Menge“ – und demzufolge definitiv falsch.
5. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Stelle die passende Gleichung zu dem Zahlenrätsel auf und löse das Zahlenrätsel.
a)
36 – x = 5x
Auf der linken Seite der Gleichung handelt es sich um eine Differenz, da das Wort „abziehen“ vorkommt. Auf der rechten Seite liegt ein Produkt vor, da das Wort „5-fach“ enthalten ist.
36 – x = 5x | + x <=>
36 = 6x | : 6 <=>
6 = x
L = {6}
Probe:
36 – 6 = 5 · 6 <=>
30 = 30
Die gesuchte Zahl ist hier 6. Die Probe belegt auch die Richtigkeit der gemachten Äquivalenzumformungen.
b)
4x + 15 = 9x
Auf der linken Seite der Gleichung handelt es sich um eine Summe, da das Wort „addiert“ vorkommt. Der erste Summand/Einzelterm besteht aufgrund des Wortes „4-fach“ aus einem Produkt. Der linke Term der Gleichung ist ein Produkt, da wiederum das Wort „fach“ auftritt.
4x + 15 = 9x | – 4x <=>
15 = 5x | : 5 <=>
x = 3
L = {3}
Probe:
4 · 3 + 15 = 9 · 3 <=>
12 + 15 = 27 <=>
27 = 27
Die Lösung des Zahlenrätsels ist 3. Ebenso belegt die Probe die Richtigkeit der Äquivalenzumformungen.
c)
7x – 10 = 11
Auf der linken Seite der Gleichung steht eine Differenz, da das Wort „subtrahiert“ vorkommt. Auf der rechten Seite der Gleichung aufgrund von „erhält“ der „nackte“ Term-Wert.
7x – 10 = 11 | + 10 <=>
7x = 21 | : 7 <=>
x = 3
L = {3}
Probe:
7 · 3 – 10 = 11 <=>
21 – 10 = 11 <=>
11 = 11
Die Lösung ist hier die Zahl 3. Die Probe legt wiederum offen, dass die gemachten Äquivalenzumformungen richtig sind.
d)
9x – 10 = 7x + 20
Auf der linken Seite der Gleichung handelt es sich um eine Differenz, da das Wort „verringert“ vorkommt. Der erste Teil der Differenz, der Minuend, setzt sich aus einem Produkt zusammen, da das Wort „9-Fach“ in der Aufgabenstellung enthalten ist. Auf der rechten Seite der Gleichung handelt es sich aufgrund des Wortes „vergrößert“ um eine Summe. Hierbei besteht ein Summand aus einem Produkt, da wiederum das Wort „fach“ verwendet wird.
9x – 10 = 7x + 20 | + 10 <=>
9x = 7x + 30 | – 7x <=>
2x = 30 | : 2 <=>
x = 15
L = {15}
Probe:
9 · 15 – 10 = 7 · 15 + 20 <=>
135 – 10 = 105 + 20 <=>
125 = 125
Die Lösung des Zahlenrätsels ist 15. Die Probe zeigt auf, dass die durchgeführten Äquivalenzumformungen korrekt sind.
e)
8x – 14 = 12x – 14
Auf der linken Seite steht eine Differenz, da das Wort „abziehen“ vorkommt. Der erste Teil der Subtraktion, der Minuend, besteht wegen des „8-Fachen“ aus einem Produkt. Der rechte Teil der Gleichung ist gleich aufgebaut. Denn auch hier steht eine Differenz, da das Wort „subtrahiert“ vorkommt. Ebenso setzt sich der Minuend aufgrund des „12-Fachen“ wiederum aus einem Produkt zusammen,
Mit etwas geschultem Auge kann man von der Gleichung bereits die Lösung ablesen, ohne eine Äquivalenzumformung machen zu müssen. Da nämlich rechts und links der Gleichung die „nackte“ Zahl gleich ist und diese sich daher eliminiert, ist die Lösung der Gleichung x = 0. Mittels Äquivalenzumformungen wird dieses Ergebnis ebenfalls bestätigt werden.
8x – 14 = 12x – 14 | + 14 <=>
8x = 12 x | – 8x <=>
0 = 4x | : 4 <=>
0 = x
L = {0}
Probe:
8 · 0 – 14 = 12 · 0 – 14 <=>
0 – 14 = 0 – 14 <=>
– 14 = – 14
Die Lösung des Zahlenrätsels ist 0. Die Probe belegt, dass die durchgeführten Äquivalenzumformungen richtig sind.