Ein Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme (LGS) stellt das Gleichsetzungsverfahren dar. Wie der Name es schon vermuten lässt, werden hier die beiden Gleichungen miteinander gleichgesetzt. Damit man dies in Mathe bei zwei Gleichungen durchführen kann, müssen vorher die beiden Gleichungen jeweils nach der GLEICHEN Variablen hin aufgelöst werden. Entweder nach x, nach y oder einem gleichen Faktor von x oder y. Darauf löst man diese Gleichung, wie man das bereits gelernt hat, nach der Variablen hin auf. Das Ergebnis ist eine Lösungskoordinate des LGS. Die zweite Lösungskoordinate des linearen Gleichungssystems ermittelt man, indem man die erste Lösungskoordinate in eine der beiden Ursprungsgleichungen einsetzt und diese Gleichung wiederum nach der Variablen hin auflöst. Beide Lösungskoordinaten bilden schließlich die Lösungsmenge des LGS.
Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet lineare Gleichungssysteme
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems mittels des Gleichsetzungsverfahrens.
a) I. x + y = 7
II. 3x + 10y = 0
b) I. 2x = –3y – 4
II. 4x – 6y = –2
c) I. 2p – 6q = –12
II. 3p – 2q = 11
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Löse das lineare Gleichungssystem mittels des Einsetzungssverfahrens auf.
a) I. 4x – 7y = 1
II. 44x – 21y = 39
b) I. 3q – p = 11
II. 4p + 9q = 19
c) I. 3x – y = 11
II. 19x + 4y = 18
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die gesuchten Zahlen. Stelle hierfür zwei Gleichungen eines LGS auf und bestimme die Lösungsmenge.
Zieht man eine Zahl von einer anderen ab, so erhält man 98. Wenn man zur ersten Zahl das 4-Fache der zweiten Zahl addiert, so ergibt sich 153.
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Was ist hier sinnvoller? Das LGS mittels Gleichsetzungsverfahren zu lösen oder mittels Einsetzungsverfahren.
a) I. 2x = 5y – 5
II. 3x = 4y – 4
b) I. 3x – 7y = 6
II. x + 4y = –17
c) I. 0,5x = 0,5y + 2
II. 2x = y – 5
Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet lineare Gleichungssysteme
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittele mittels des Gleichsetzungsverfahrens die Lösung des LGS.
a) I. x + y = 7
II. 3x + 10y = 0
Es ist hier egal, ob man die Gleichungen nach x oder y hin auflöst. Beides unterscheidet sich nicht vom Schwierigkeitsgrad.
I. x + y = 7 | – y
II. 3x + 10y = 0 | – 10y
I. x = 7 – y
II. 3x = –10y | : 3
I. x = 7 – y
II. x = –[latexpage] ${\frac{10}{3}}$y
I.= II. 7 – y = –${\frac{10}{3}}$y | · 3
I. = II. 21 – 3y = –10y | +3y
I. = II. 21 = –7y | : (–7)
I. = II. –3 = y
Die Lösung setzt man in eine der beiden Ursprungsgleichungen ein. Hier bietet sich die erste an, da diese dann leichter aufzulösen ist.
I. x – 3 = 7 | +3
I. x = 10
Lösung: L = {10/ –3}
b) I. 2x = –3y – 4 | · 2
II. 4x – 6y = –2 | + 6y
Hier bietet sich an, die erste Gleichung mit „· 2″ malzunehmen und bei der zweiten Gleichung das „–6y“ auf die andere Seite der Gleichung zu bringen.
I. 4x = –6y – 8
II. 4x = –2 + 6y
I. = II. –6y – 8 = –2 + 6y | + 6y
I. = II. –8 = –2 = 12y | + 2
I. = II. –6 = 12y | : 12
I. = II. –0,5 = y
I. 2x = –3 · (–0,5) – 4
I. 2x = 1,5 – 4
I. 2x = –2,5 | : 2
I. x = –1,25
Lösung: L = {–1,25/ –0,5}
c) I. 2p – 6q = –12 | + 6q
II. 3p – 2q = 11 | + 2q
Es ist hier wiederum in etwa gleichschwer, die Gleichung nach x oder y hin umzuformen.
I. 2p = –12 + 6q | : 2
II. 3p = 11 + 2q | : 3
I. p = –6 + 3q | : 2
II. p = ${\frac{11}{3}}$ + ${\frac{2}{3}}$q | : 3
I. = II: –6 + 3q = ${\frac{11}{3}}$ + ${\frac{2}{3}}$q | · 3
I. = II. –18 + 9q = 11 + 2q | – 2q
I. = II. –18 + 7q = 11 | + 18
I. = II. 7q = 29 | : 7
I. = II. q = ${\frac{29}{7}}$
Die Lösung muss man nun wiederum in eine der beiden Ursprungsgleichungen einsetzen.
II. 3p – 2 · ${\frac{29}{7}}$ = 11
II. 3p – ${\frac{58}{7}}$ = 11 | + ${\frac{58}{7}}$
II. 3p = ${\frac{135}{7}}$ | : 3
II. p = ${\frac{135}{21}}$
II. p = ${\frac{45}{7}}$
Lösung: L = {${\frac{45}{7}}$/ ${\frac{29}{7}}$}
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ziehe zum Lösen des linearen Gleichungssystems das Einsetzungsverfahren heran.
a) I. 4x – 7y = 1 | + 7y
II. 44x – 21y = 39
Hier bietet es sich an, die erste Gleichung nach x hin aufzulösen.
I. 4x = 1 + 7y | : 4
II. 44x – 21y = 39
I. x = 0,25 + 1,75y
II. 44x – 21y = 39
Darauf setzt man die erste Gleichung in die zweite Gleichung ein und löst diese nach y hin auf.
I. in II. 44 · (0,25 + 1,75y) – 21y = 39
I. in II. 11 + 77y – 21y = 39
I. in II. 11 + 56y = 39 | – 11
I. in II. 56y = 28 | : 56
I. in II. y = 0,5
Die erste Lösungskoordinate setzt man in eine der beiden Ursprungsgleichugnen ein.
I. 4x – 7 · 0,5 = 1
I. 4x – 3,5 = 1 | + 3,5
I. 4x = 4,5 | : 4
I: x = 1,125
Lösung: L = {1,125/ 0,5}
b) I. 3q – p = 11 | – 3q
II. 4p + 9q = 19
Hier ist es am einfachsten, die erste Gleichung nach p hin aufzulösen.
I. –p = 11 – 3q | · (–1)
II. 4p + 9q = 19
I. p = –11 + 3q
II. 4p + 9q = 19
I. in II: 4 · ( –11 + 3q) + 9q = 19
I. in II: –44 + 12q + 9q = 19
I. in II: –44 + 21q = 19 | + 44
I. in II: 21q = 63 | : 21
I. in II: q = 3
I. 3 · 3 – p = 11
I. 9 – p = 11 | – 9
I. –p = 2 | · (–1)
I. p = –2
Lösung: L = {–2/ 3}
c) I. 3x – y = 11 | – 3x
II. 19x + 4y = 18
Hier ist es am einfachsten, die erste Gleichung nach y hin umzuformen.
I. –y = 11 – 3x | · (–1)
II. 19x + 4y = 18
I. y = –11 + 3x
II. 19x + 4y = 18
I. in II. 19x + 4 · (–11 + 3x) = 18
I. in II. 19x – 44 + 12x = 18
I. in II. 31x – 44 = 18 | + 44
I. in II. 31x = 62 | : 31
I. in II. x = 2
I. 3 · 2 – y = 11
I. 6 – y = 11 | – 6
I. –y = 5 | · (–1)
I. y = –5
Lösung: L = {2/ –5}
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Löse das Zahlenrätsel mittels eines linearen Gleichungssystems.
Die Differenz zweier Zahlen ergibt 98. Addiert man zur ersten Zahl das 4-Fache der zweiten Zahl, so erhält man 153.
I. x – y = 98 | + y
II. x + 4y = 153
Hier bietet sich das Einsetzungsverfahren als Lösungsverfahren an, da man die erste Gleichung ja sehr schnell nach x hin umformen kann.
I. x = 98 + y
II. x + 4y = 153
I. in II. 98 + y + 4y = 153
I. in II. 98 + 5y = 153 | – 98
I. in II 5y = 55 | : 5
I. in II y = 11
I. x – 11 = 98 | + 11
I. x = 109
Lösung: L = {109/ 11}
Die beiden gesuchten Zahlen sind 11 und 109.
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Wähle zur Lösung des LGS das passendere Lösungsverfahren, entweder das Gleichsetzungsverfahren oder das Einsetzungsverfahren.
a) I. 2x = 5y – 5 | : 2
II. 3x = 4y – 4 | : 3
Hier bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an. Beide Gleichungen sind ja sehr schnell nach x hin aufgelöst.
I. x = 2,5y – 2,5
II. x = ${\frac{4}{3}}$y – ${\frac{4}{3}}$
I. = II. 2,5y – 2,5 = ${\frac{4}{3}}$y – ${\frac{4}{3}}$ | · 3
I. = II. 7,5y – 7,5 = 4y – 4 | – 4y
I. = II. 3,5y – 7,5 = –4 | + 7,5
I. = II. 3,5y = 3,5 | : 3,5
I. = II. y = 1
I. 2x = 5 · 1 – 5
I. 2x = 5 – 5
I. 2x = 0 | : 2
I. x = 0
Lösung: L = {0/ 1}
b) I. 3x – 7y = 6
II. x + 4y = –17 | – 4y
Hier bietet sich das Einsetzungsverfahren an, da die zweite Gleichung sehr schnell nach y hin umgeformt werden kann.
I. 3x – 7y = 6
II. x = –17 – 4y
II. in I. 3 · (–17 – 4y) – 7y = 6
II. in I. –51 – 12y – 7y = 6
II. in I. –51 – 19y = 6 | + 51
II. in I. –19y = 57 | : (–19)
II. in I. y = –3
II. x + 4 · (–3) = –17
II. x – 12 = –17 | + 12
II. x = –5
Lösung: L = {–5/ –3}
c) I. 0,5x = 0,5y + 2 | · 2
II. 2x = y – 5 | :2
Hier bietet sich wiederum das Gleichsetzungsverfahren an, da beide Gleichungen sehr schnell nach x hin aufgelöst werden können.
I. x = y + 4
II. x = 0,5y – 2,5
I. = II. y + 4 = 0,5y – 2,5 | – 0,5y
I. = II. 0,5y + 4 = –2,5 | – 4
I. = II. 0,5y = –6,5 | · 2
I. = II. y = –13
II. 2x = –13 – 5
II. 2x = –18 | : 2
II. x = –9
Lösung: L = {–9/ –13}