Bei linearen Ungleichungen gilt es, Schritt für Schritt – wie übrigens auch bei allen Stoffgebieten in Mathe – die Aufgabe zu lösen. Die einzelnen Lösungsschritte sind hierbei natürlich je nach Aufgabe verschieden. Das ist natürlich ebenfalls bei allen Mathematik-Stoffgebieten so! Es gibt aber immer bei jedem Stoffgebiet Standartaufgaben. Daher auch bei linearen Ungleichungen. Eine Standartaufgabe ist hier, dass eine komplette lineare Ungleichung dasteht und man diese lösen muss. Zunächst fasst man alle gleichen Einzelterme rechts und links des Ungleichheitszeichens zusammen. Dann separiert man den Einzelterm mit der Variablen von dem Einzelterm ohne die Variable. Steht schließlich die Variable alleine, d. h. nur mit der Zahl/dem Faktor 1 vor der Variablen, auf einer Seite der Ungleichung und auf der anderen Seite der Einzelterm ohne Variable – dann hat man die lineare Ungleichung gelöst.
Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Linearen Ungleichungen
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge der Ungleichung.
a) 1,2x + 0,4 ≥ –1 + 0,4x
b) 8 + 2a ≥ –3a + 18
c) –5 + 17r < 7 + 11r
d) 60z – 46 > 14 + 48z
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Stelle die Lösungsmenge auf einer Zahlengeraden dar.
a) {x ∈[latexpage] ${\mathbb Q}$ x ≥ –3}
b) {x ∈ ${\mathbb Q}$ x ≥ –2,8}
c) {x ∈ ${\mathbb Q}$ x ≤ –4}
d) {x ∈ ${\mathbb Q}$ x ≤ 1,2}
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge.
a) 1,3 – 2,5z + 5,1 ≥ –2,9z + 3,8 + 0,4z
b) –18a + 16 > –49a + 5 – 7a – 38a
c) 7,5 · (2 + y) + 2,5 · (–2 + y) > 4
d) –${\frac{5}{9}}$x + 5 ≤ –${\frac{7}{3}}$x + ${\frac{8}{3}}$
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Stelle eine Ungleichung auf und gib die Lösungsmenge an.
a) Bei einem Rechteck ist dessen Umfang größer als 27 cm. Die Breite des Rechtecks ist um 3 cm kleiner als die Länge des Rechtecks. Welche Aussagen kann man über die Länge des Rechtecks machen?
b) Bei einem gleichschenkligen Dreieck ist dessen Umfang 30 cm. Hierbei ist die Basis des Dreiecks Minimum 4 cm kleiner als die beiden Schenkel des Dreiecks. Welche Aussagen kann man über die Seiten des Dreiecks machen?
Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Lineare Ungleichungen
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung.
a) 1,2x + 0,4 ≥ –1 + 0,4x | – 0,4x
0,8x + 0,4 ≥ –1 | – 0,4
0,8x ≥ –1,4 | : 0,8
x ≥ –1,75
L = {x | x ≥ –1,75}
b) 8 + 2a ≥ –3a + 18 | + 3a
8 + 5a ≥ 18 | – 8
5a ≥ 10 | : 5
a ≥ 2
L = {a | a ≥ 2}
c) –5 + 17r < 7 + 11r | – 11r
–5 + 6r < 7 | + 5
6r < 12 | : 2
r < 2
L = {r | r < 2}
d) 60z – 46 > 14 + 48z | – 48z
12z – 46 > 14 | + 46
12z > 60 | : 12
z > 5
L = {z | z > 5}
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Gib die Lösungemenge auf einer Zahlengeraden wieder.
a) {x ∈[latexpage] ${\mathbb Q}$ x ≥ –3}
Dergestalt sieht die Lösungsmenge der Ungleichung auf der Zahlengeraden aus:
b) {x ∈ ${\mathbb Q}$ x ≥ –2,8}
Die Lösungsmenge der Ungleichung kann man derart auf einer Zahlengeraden veranschaulichen:
c) {x ∈ ${\mathbb Q}$ x ≤ –4}
Dergestalt kann die Lösungsmenge auf einer Zahlengeraden aussehen:
d) {x ∈ ${\mathbb Q}$ x ≤ 1,2}
Folgendermaßen kann man die Lösungsmenge auf einer Zahlengeraden darstellen:
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung.
a) 1,3 – 2,5z + 5,1 ≥ –2,9z + 3,8 + 0,4z
6,4 – 2,5z ≥ – 2,5z + 3,8 | + 2,5 z
Hier sieht man bereits, dass die Ungleich unendlich viele Lösungen hat, da sich die Variable herauskürzt und die Ungleichung darauf immer wahr ist.
6,4 ≥ 3,8 | – 3,8
2,6 ≥ 0
L = [latexpage]${\mathbb Q}$ oder [latexpage]${\mathbb R}$ (je nach Klassenstufe)
b) –18a + 16 > –49a + 5 – 7a – 38a
–18a + 16 > –94a + 5 | + 94a
76a + 16 > 5 | – 16
76a > –11 | : 76
a > –${\frac{11}{76}}$
L = {a | a > –${\frac{11}{76}}$}
c) 7,5 · (2 + y) + 2,5 · (–2 + y) > 4
15 + 7,5y – 5 + 2,5y > 4
10 + 10y > 4 | – 10
10y > –6 | : 10
y > –0,6
L = {y | ý > –0,6}
d) –${\frac{5}{9}}$x + 5 ≤ –${\frac{7}{3}}$x + ${\frac{8}{3}}$ | + ${\frac{7}{3}}$x
${\frac{16}{9}}$x + 5 ≤ ${\frac{8}{3}}$ | – 5
${\frac{16}{9}}$x ≤ –${\frac{7}{3}}$ | : ${\frac{16}{9}}$
x ≤ –${\frac{21}{16}}$
L = {x | x ≤ –${\frac{21}{16}}$}
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Stelle für die Textaufgabe/Sachaufgabe eine Ungleichung auf und ermittle die Lösungsmenge.
a) Ein Rechteck hat einen Umfang von größer als 27 cm. Die Breite des Rechtecks ist um 3 cm kleiner als dessen Längen. Wie groß sind die Länge und die Breite des Rechtecks?
Der Umfang eines Rechtecks berechnet sich wie folgt:
UR = a + a + b + b = 2a + 2b.
Aus der Aufgabenstellung ergibt sich:
27 cm < 2a + 2b
Ferner ist bekannt: b = a – 3 cm.
Hieraus ergibt sich folgende Ungleichung:
27 cm < 2a + 2 · (a – 3 cm)
27 cm < 2a + 2a – 6 cm
27 cm < 4a – 6 cm | + 6 cm
33 cm < 4a | : 4
8,25 cm < a
a = b + 3 cm
8,25 cm < b + 3 cm | – 6 cm
5,25 cm < b
L = {a; b | a > 8,25 cm; b > 5,25 cm}
Die Länge des Rechtecks ist größer 8,25 cm und die Breite des Rechtecks ist größer 5,25 cm.
b) Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Umfang von 30 cm. Die Basis des Dreiecks ist mindestens 4 cm kleiner als dessen beide Schenkeln. Wie groß sind die Basis und die beiden Schenkel des Dreiecks?
Bei einem gleichschenkligen Dreieck ist der Umfang wie folgt:
UD = a + 2b | – 2b
UD – 2b = a
Ferner ist bekannt:
a ≤ 2b – 4 cm
Hieraus ergibt sich diese Ungleichung:
UD – 2b ≤ 2b – 4 cm
30 cm – 2b ≤ 2b – 4 cm | + 2b
30 cm ≤ 4b – 4 cm | + 4 cm
34 cm ≤ 4b | : 4
8,5 cm ≤ b
a ≤ 2 · (8,5 cm) – 4 cm
a ≤ 17 cm – 4 cm
a ≤ 13 cm
L = {a; b | a ≤ 13 cm; b ≥ 8,5 cm}
Die Basis des gleichschenkligen Dreiecks ist kleiner gleich 13 cm und die Schenkel des gleichschenkligen Dreiecks sind größer gleich 8,5 cm.