Beim Potenzieren, einer höheren Rechenoperation der Mathematik, gibt es genauso klare Regeln wie bei den einfacheren Rechenoperationen, dem Addieren, dem Subtrahieren, dem Multiplizieren und dem Dividieren. Das ist das Schöne beim Potenzieren. Das genauso Schöne bei Potenzen wiederum ist, dass diese auf einer bestimmten Rechenoperation basieren: dem Multiplizieren. Hat man daher verstanden, wie eine Potenz entsteht, so wird man in Mathe auch das Potenzieren verstehen. Es gibt ja dann schließlich keine logische Wissenslücke von der Potenz hin zum Potenzieren. Das ist doch super, dann hat man in Mathematik ein sicherlich kein Probleme bereitendes Stoffgebiet vor der Brust.
Damit das Potenzieren dann auch noch gut „sitzt“, muss man, wie das bei den anderen Rechenoperationen in Mathe auch der Fall ist, üben, üben und nochmals üben. Das Tolle beim „Einbrennen“ der sogenannten Potenzgesetze ist, dass man darauf eigentlich auch schon fit ist für die nächste höhere Rechenoperation – dem Wurzelziehen bzw. Radizieren.
Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Potenzen
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne das Ergebnis der jeweiligen Potenz ohne Potenzschreibweise.
a) 51, 52, 53, … , 510
b) 21, 22, 23, … , 26
c) (–4)1, (–4)2, (–4)3, (–4)4, (–4)5
d) [latexpage] (${\frac{3}{{5}}$)1, [latexpage] (${\frac{3}{{5}}$)2, [latexpage] (${\frac{3}{{5}}$)3, [latexpage] (${\frac{3}{{5}}$)4, [latexpage] (${\frac{3}{{5}}$)5
e) [latexpage] (–${\frac{1}{{4}}$)1, (–[latexpage] ${\frac{1}{{4}}$)2, (–[latexpage] ${\frac{1}{{4}}$)3, (–[latexpage] ${\frac{1}{{4}}$)4, (–[latexpage] ${\frac{1}{{4}}$)5, (–[latexpage] ${\frac{1}{{4}}$)6
f) [latexpage] (–${\frac{4}{{7}}$)1, [latexpage] (–${\frac{4}{{7}}$)2, [latexpage] (–${\frac{4}{{7}}$)3, [latexpage] (–${\frac{4}{{7}}$)4, … ,[latexpage] (–${\frac{4}{{7}}$)10
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne das Ergebnis der aufgelösten Potenzen.
a) 3,54
b) 0,65
c) [latexpage] (${\frac{5}{{8}}$)3
d) (–${\frac{1}{{4}}$)4
e) ($\sqrt{3}$)4
f) (–$\sqrt{9}$)3
g) (0,26)5
h) (–4,8)4
i) (–0,2)6
j) (–${\frac{1}{{3,4}}$)5
k) (–${\frac{0,4}{{1,5}}$)2
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne die folgenden Potenzen, indem die Potenzen aufgelöst werden.
a) 54; 53; 52; 51; 50; 5–1; 5–2; 5–3; 5–4
b) (–4)4; (–4)3; (–4)2; (–4)1; (–4)0; (–4)–1; (–4)–2; (–4)–3; (–4)–4
c) (${\frac{2}{{5}}$)4; (${\frac{2}{{5}}$)3; (${\frac{2}{{5}}$)2; (${\frac{2}{{5}}$)1; (${\frac{2}{{5}}$)0; (${\frac{2}{{5}}$)–1; (${\frac{2}{{5}}$)–2; (${\frac{2}{{5}}$)–3; (${\frac{2}{{5}}$)–4
d) ($\sqrt{6}$)4; ($\sqrt{6}$)3; ($\sqrt{6}$)2; ($\sqrt{6}$)1; ($\sqrt{6}$)0; ($\sqrt{6}$)–1; ($\sqrt{6}$)–2; ($\sqrt{6}$)–3; ($\sqrt{6}$)–4
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: ein Produkt und eine Potenz. Berechne das Ergebnis und unterscheide Produkt und Potenz und Potenz und Potenz.
a) 3 · 4 und 34
b) 4 · 3 und 43
c) 52 und 25
d) (–7)3 und 73
e) (–4) · 4 und (–4)4
f) (–5) · 5 und (–5)5
g) (–6)3 und – 63
h) 42 und (–4)2 und – 42
Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet: Potenzen
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle das Ergebnis der Potenz.
Das Ergebnis kann man sofort ermitteln, indem man die Potenz in den Taschenrechner eingibt. Folgende gängige Tastenbelegung muss man hierfür verwenden: yx. Das „y“ ist die Basis der Potenz, das „x“ ist der Exponent.
Die Potenzen kann man aber auch in ein Produkt zerlegen und über eine Multiplikation schließlich das Ergebnis berechnen.
a)
51 = 5,
52 = 5 · 5 = 25,
53 = 5 · 5 · 5 = 125,
54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625,
55 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 3125,
56 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 15625,
57 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 78125,
58 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 390625,
59 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 1953125,
510 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 9765625
b)
21 = 2,
22 = 2 · 2 = 4,
23 = 2 · 2 · 2 = 8,
24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16,
25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32,
26 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64
c)
(–4)1 = –4,
(–4)2 = (–4) · (–4) = 16,
(–4)3 = (–4) · (–4) · (–4) = –64,
(–4)4 = (–4) · (–4) · (–4) · (–4) = 256,
(–4)5 = (–4) · (–4) · (–4) · (–4) · (–4) = –1024
Beachte bei der Eingabe der Potenz in den Taschenrechner, dass man eine Klammer um die Basis herum mit eingeben muss. Löst man die Potenz mittels einer Multiplikation auf, so sieht, man, dass je nach geradem oder ungeradem Exponenten das Ergebnis einen positiven oder negativen Wert hat. Das liegt an der Vorzeichen-Regel der Multiplikation. Da bei einer ungeraden Anzahl von Faktoren, die negativ sind, das Ergebnis immer negativ ist. Bei geraden Faktoren hingegen, die ebenfalls negativ sind, ist das Ergebnis hingegen immer positiv.
d) [latexpage] (${\frac{3}{{5}}$)1 = [latexpage] ${\frac{3}{{5}}$,
(${\frac{3}{{5}}$)[latexpage]2 = (${\frac{3}{{5}}$) · (${\frac{3}{{5}}$) = ${\frac{9}{{25}}$,
(${\frac{3}{{5}}$)3 = (${\frac{3}{{5}}$) · (${\frac{3}{{5}}$) · (${\frac{3}{{5}}$) = ${\frac{27}{{125}}$,
(${\frac{3}{{5}}$)4 = (${\frac{3}{{5}}$) · (${\frac{3}{{5}}$) · (${\frac{3}{{5}}$) · (${\frac{3}{{5}}$) = ${\frac{81}{{625}}$,
[latexpage] (${\frac{3}{{5}}$)5 = (${\frac{3}{{5}}$) · (${\frac{3}{{5}}$) · (${\frac{3}{{5}}$) · (${\frac{3}{{5}}$) · (${\frac{3}{{5}}$) = ${\frac{243}{{3125}}$
Ist die Basis bei einer Potenz eine Bruchzahl, so verfährt man beim Auflösen der Potenz genauso wie bei einer natürlichen Zahl. Natürlich gilt aber trotzdem bei der Multiplikation von Bruchzahlen die Regel: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.
e) (–${\frac{1}{{4}}$)1 = (–${\frac{1}{{4}}$),
(–${\frac{1}{{4}}$)2 = (–${\frac{1}{{4}}$) · (–${\frac{1}{{4}}$) = ${\frac{1}{{16}}$,
(–${\frac{1}{{4}}$)3 = (–${\frac{1}{{4}}$) · (–${\frac{1}{{4}}$) · (–${\frac{1}{{4}}$) = –${\frac{1}{{64}}$,
(–${\frac{1}{{4}}$)4 = (–${\frac{1}{{4}}$) · (–${\frac{1}{{4}}$) · (–${\frac{1}{{4}}$) · (–${\frac{1}{{4}}$) = ${\frac{1}{{256}}$,
(–${\frac{1}{{4}}$)5 = (–${\frac{1}{{4}}$) · (–${\frac{1}{{4}}$) · (–${\frac{1}{{4}}$) · (–${\frac{1}{{4}}$) · (–${\frac{1}{{4}}$) = –${\frac{1}{{1024}}$,
(–${\frac{1}{{4}}$)6 = (–${\frac{1}{{4}}$) · (–${\frac{1}{{4}}$) · (–${\frac{1}{{4}}$) · (–${\frac{1}{{4}}$) · (–${\frac{1}{{4}}$) · (–${\frac{1}{{4}}$) = ${\frac{1}{{4096}}$
f) (–${\frac{4}{{7}}$)1 = –${\frac{4}{{7}}$
(–${\frac{4}{{7}}$)2 = (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) = ${\frac{16}{{49}}$
(–${\frac{4}{{7}}$)3 = (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) = –${\frac{64}{{343}}$
(–${\frac{4}{{7}}$)4 = (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) = ${\frac{256}{{2401}}$
(–${\frac{4}{{7}}$)5 = (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) = –${\frac{104}{{16807}}$
(–${\frac{4}{{7}}$)6 = (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) = ${\frac{4096}{{117649}}$
(–${\frac{4}{{7}}$)7 = (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) = –${\frac{16384}{{823543}}$
(–${\frac{4}{{7}}$)8 = (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) = ${\frac{65536}{{5764801}}$
(–${\frac{4}{{7}}$)9 = (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) · (–${\frac{4}{{7}}$) = –${\frac{262144}{{40353607}}$
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Löse die Potenz auf.
a) 3,544 = 3,54 · 3,54 · 3,54 · 3,54 = 157,04 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
b) 0,65 = 0,6 · 0,6 · 0,6 · 0,6 = 0,7776
c) (${\frac{5}{{8}}$)3 = ${\frac{5}{{8}}$ · ${\frac{5}{{8}}$ · ${\frac{5}{{8}}$ = ${\frac{125}{{512}}$
d) (–${\frac{1}{{4}}$)4 = (–${\frac{1}{{4}}$) · (–${\frac{1}{{4}}$) · (–${\frac{1}{{4}}$) · (–${\frac{1}{{4}}$) = ${\frac{1}{{256}}$)
e) ($\sqrt{3}$)4 = $\sqrt{3}$ · $\sqrt{3}$ · $\sqrt{3}$ · $\sqrt{3}$ = 9
f) (–$\sqrt{9}$)3 = (–$\sqrt{9}$) · (–$\sqrt{9}$) · (–$\sqrt{9}$) = –29
g) (0,26)5 = 0,26 · 0,26 · 0,26 · 0,26 · 0,26 = 1,19 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
h) (–4,8)4 = (–4,8) · (–4,8) · (–4,8) · (–4,8) = 530,8416
i) (–0,2)6 = (–0,2) · (–0,2) · (–0,2) · (–0,2) · (–0,2) · (–0,2) = 0,000064
j) (–${\frac{1}{{3,4}}$)5 = (–${\frac{1}{{3,4}}$) · (–${\frac{1}{{3,4}}$) · (–${\frac{1}{{3,4}}$) · (–${\frac{1}{{3,4}}$) · (–${\frac{1}{{3,4}}$) = –0,0022 (gerundet auf vier Nachkommastellen)
k) (–${\frac{0,4}{{1,5}}$)2 = (–${\frac{0,4}{{1,5}}$) · (–${\frac{0,4}{{1,5}}$) = 0,071 (gerundet auf drei Nachkommastellen)
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle das Ergebnis der jeweiligen Potenz.
a)
54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
53 = 5 · 5 · 5 = 125
52 = 5 · 5 = 25
51 = 5
50 = 1 denn: für jede Potenz mit dem Exponenten 0 gilt: a0 = 1
5–1 = a – n = [latexpage] ${\frac{1}{5^1}}$ = ${\frac{1}{5}}$ denn: für jede Potenz mit negativem Exponenten gilt: a– n = [latexpage] ${\frac{1}{a^n}}$
5–2 = ${\frac{1}{5^2}}$ = ${\frac{1}{5}}$ · ${\frac{1}{5}}$ = ${\frac{1}{25}}$
5–3 = ${\frac{1}{5^3}}$ = ${\frac{1}{5}}$ · ${\frac{1}{5}}$ · ${\frac{1}{5}}$ = ${\frac{1}{125}}$
5–4 = ${\frac{1}{5^4}}$ = ${\frac{1}{5}}$ · ${\frac{1}{5}}$ · ${\frac{1}{5}}$ · ${\frac{1}{5}}$ = ${\frac{1}{625}}$
b)
(–4)4 = (–4) · (–4) · (–4) · (–4) = 256
(–4)3 =(–4) · (–4) · (–4) = –64
(–4)2 =(–4) · (–4) = 16
(–4)1 = –4
(–4)0 = 1
(–4)–1 = [latexpage] ${\frac{1}{4^1}}$ = ${\frac{1}{4}}$
(–4)–2 = [latexpage] ${\frac{1}{4^2}}$ = ${\frac{1}{4}}$ · ${\frac{1}{4}}$ = ${\frac{1}{16}}$
(–4)–3 = [latexpage] ${\frac{1}{4^3}}$ = ${\frac{1}{4}}$ · ${\frac{1}{4}}$ · ${\frac{1}{4}}$ = ${\frac{1}{64}}$
(–4)–4 = [latexpage] ${\frac{1}{4^4}}$ = ${\frac{1}{4}}$ · ${\frac{1}{4}}$ · ${\frac{1}{4}}$ · ${\frac{1}{4}}$ = ${\frac{1}{256}}$
c) (${\frac{2}{{5}}$)4 = ${\frac{2}{{5}}$ · ${\frac{2}{{5}}$ · ${\frac{2}{{5}}$ · ${\frac{2}{{5}}$ = ${\frac{16}{{625}}$
(${\frac{2}{{5}}$)3 = ${\frac{2}{{5}}$ · ${\frac{2}{{5}}$ · ${\frac{2}{{5}}$ = ${\frac{8}{{125}}$
(${\frac{2}{{5}}$)2 = ${\frac{2}{{5}}$ · ${\frac{2}{{5}}$ = ${\frac{4}{{25}}$
(${\frac{2}{{5}}$)1 = ${\frac{2}{{5}}$
${\frac{2}{{5}}$0 = 1
(${\frac{2}{{5}}$)–1 = ($\frac{1}{\frac{2}{5}}$)1 = ${\frac{5}{2}}$ = 2,5
Beachte, dass durch die Umwandlung von a– n = [latexpage] ${\frac{1}{a^n}}$ hier ein Doppelbruch entsteht. Bei einem Doppelbruch verhält es sich so, dass man diesen hin zu einem normalen Bruch wiederum umformen kann. Hierbei wird der „tiefste“ Nenner der Zähler des „neuen“ Bruchs und der „neue“ Nenner ist immer die Zahl die zwischen dem Doppelbruch steht.
(${\frac{2}{{5}}$)–2 = ($\frac{1}{\frac{2}{5}}$)2 = (${\frac{5}{2}}$)2 = ${\frac{5}{2}}$ · ${\frac{5}{2}}$ = ${\frac{25}{4}}$ = 6,25
(${\frac{2}{{5}}$)–3 = ($\frac{1}{\frac{2}{5}}$)3 = (${\frac{5}{2}}$)3 = ${\frac{5}{2}}$ · ${\frac{5}{2}}$ · ${\frac{5}{2}}$ = ${\frac{125}{8}}$ = 15,625
(${\frac{2}{{5}}$)–4 = ($\frac{1}{\frac{2}{5}}$)4 = (${\frac{5}{2}}$)4 = ${\frac{5}{2}}$ · ${\frac{5}{2}}$ · ${\frac{5}{2}}$ · ${\frac{5}{2}}$ = ${\frac{625}{16}}$ = 39,0625
d) ($\sqrt{6}$)4 = $\sqrt{6}$ · $\sqrt{6}$ · $\sqrt{6}$ · $\sqrt{6}$ = 36
($\sqrt{6}$)3 =$\sqrt{6}$ · $\sqrt{6}$ · $\sqrt{6}$ = 14,7 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
($\sqrt{6}$)2 =$\sqrt{6}$ · $\sqrt{6}$ = 6
($\sqrt{6}$)1 = $\sqrt{6}$
($\sqrt{6}$)0 = 1
($\sqrt{6}$)–1 = ${\frac{1}{\sqrt{(6)^1}}$ = ${\frac{1}{\sqrt{6}}$
($\sqrt{6}$)–2 = ${\frac{1}{\sqrt{(6)^2}}$ = ${\frac{1}{\sqrt{6}}$ · ${\frac{1}{\sqrt{6}}$ = ${\frac{1}{{6}}$
($\sqrt{6}$)–3 = ${\frac{1}{\sqrt{(6)^3}}$ = ${\frac{1}{\sqrt{6}}$ · ${\frac{1}{\sqrt{6}}$ · ${\frac{1}{\sqrt{6}}$ = ${\frac{1}{{14,7}}$ = 0,07 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
($\sqrt{6}$)–4 = ${\frac{1}{\sqrt{(6)^4}}$ = ${\frac{1}{\sqrt{6}}$ · ${\frac{1}{\sqrt{6}}$ · ${\frac{1}{\sqrt{6}}$ · ${\frac{1}{\sqrt{6}}$ = ${\frac{1}{{36}}$
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Potenz und Produkt sowie Potenz und Potenz. Worin liegt jeweils der Unterschied?
a) 3 · 4 und 34; hier liegt mit 3 · 4 ein Multiplikation vor, bestehend aus zwei Faktoren, bei 34 hingegen eine Potenz, die man in folgendes Produkt zerlegen kann: 3 · 3 · 3 · 3. Bei der Multiplikation ist das Ergebnis: 3 · 4 = 12, und bei der Potenz: 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81.
b) 4 · 3 und 43; hier verhält es sich genauso wie bei Aufgabe a), bei 4 · 3 handelt es sich um eine Multiplikation mit dem Ergebnis: 4 · 3 = 12. Bei 43 handelt es sich um eine Potenz mit dem Ergebnis: 4 · 4 · 4 = 64.
c) 52 und 25; hier liegen jeweils zwei Potenzen vor, die aber jeweils eine unterschiedliche Basis und einen unterschiedlichen Exponenten haben. 52 hat der Ergebnis: 5 · 5 = 25; 25 das Ergebnis: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.
d) (–7)3 und 73; beides hier sind wiederum Potenzen. Der Unterschiede liegt darin, dass die eine Potenz eine negative und die andere eine positive Basis hat. Das Ergebnis der einen Potenz ist: (–7)3 = (–7) · (–7) · (–7) = –343. Das Ergebnis der anderen Potenz ist: 73 = 7 · 7 · 7 = 343.
e) (–4) · 4 und (–4)4; hier liegt zum einen Multiplikation vor, zum anderen ein Potenz. Die Multiplikation liefert das Ergebnis: (–4) · 4 = –16 und die Potenz: (–4)4 = (–4) · (–4) · (–4) · (–4) = 256.
f) (–5) · 5 und (–5)5; hier handelt es sich um ein Produkt sowie um eine Potenz. Das Produkt ergibt: (–5) · 5 = –25, die Potenz (–5)5 = (–5) · (–5) · (–5) · (–5) · (–5) = –3125.
g) (–6)3 und – 63; hier liegen zwei Potenzen vor. Bei der einen Potenz ist die Basis negativ, bei der anderen positiv. Die Exponenten sind jeweils gleich. Das Ergebnis von: (–6)3 = (–6) · (–6) · (–6) = –216. Das Ergebnis von – 63 = – (6 · 6 · 6) = –216. Da hier der Exponent negativ ist, kommt bei beiden aufgelösten Potenzen das gleiche Ergebnis heraus.
h) 42 und (–4)2 und – 42; hier liegen drei Potenzen vor. Die erste und die dritte Potenz haben die gleiche Basis, die zweite eine negative. Alle drei Potenzen haben den gleichen Exponenten. 42 ergibt: 4 · 4 = 16. (–4)2 ergibt: (–4) · (–4) = 16. – 42 ergibt:– (4 · 4) = –16.