Potenzen sind auch alltagstauglich. Oftmals vergisst man dies, dass man normalerweise schon zigfach Potenzen in seinem Sprachgebrauch verwendet hat – und das unabhängig von einem Mathematik-Zusammenhang: „Das ist ja bescheuert hoch zehn.“ „Das ist ja ärgerlich hoch zwölf.“ „Das ist ja gemein hoch zwanzig.“ Etwas sehr Emotionales wird nämlich gerne mit einer „sprachlichen Potenz“ zum Ausdruck gebracht. Vom Ursprung des Wortes aus gesehen macht das übrigens auch einen sehr großen Sinn. Denn das Wort „Potenz“ stammt vom lateinischen Substantiv „potentia“ und dem lateinischen Adjektiv „potens“ ab. Die deutsche Bedeutung hierfür ist „Stärke“ und „stark“. Hochemotionale Zustände sind auch nichts anderes als sehr starke Empfindungen in einem. Da es nun unzählige hochemotionale Zustände gibt, gibt es auch logischerweise unzählige weitere Hoch-x-Varianten :-).
Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Potenzen
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Löse die Potenz auf.
a) 0,11, 0,12, 0,13, 0,14, 0,15, 0,16
b) 0,41, 0,42, 0,43, 0,44, 0,45, 0,46
c) [latexpage] ($\sqrt{3}$)1, ($\sqrt{3}$)($\sqrt{3}$)2, ($\sqrt{3}$)3, ($\sqrt{3}$)4 ($\sqrt{3}$)5, ($\sqrt{3}$)6
d) (–1)1, (–1)2, (–1)3, (–1)4, (–1)5, (–1)6
e) (–6,5)1, (–6,5)2, (–6,5)3, (–6,5)4, (–6,5)5, (–6,5)6
f) [latexpage] ($\sqrt{2}$)1, ($\sqrt{2}$)2,($\sqrt{2}$)3, ($\sqrt{2}$)4, ($\sqrt{2}$)5, ($\sqrt{2}$)6
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bilde jeweils eine Potenz (manchmal gibt es mehrere Möglichkeiten).
a) 9, b) 4, c) 27, d) 64, e) – 49, f) 625, g) 196
h) 289, i) – 324, j) 400, k) 1600, l) 10000 m) [latexpage] ${\frac{1}{{25}}$
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle das Ergebnis.
a) 50, b) (–7)0, c) 4 – 2, d) 2 – 3, e) [latexpage] (${\frac{2}{{5}}$)0, f) 1 – 3, g) 0,1 – 5, h) 0,6 – 4 i) x0 j) (x · y)0, k) [latexpage] (${\frac{1}{{4}}$) – 2, l) [latexpage] (${\frac{1}{{5}}$) – 3
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Löse den negativen Exponenten auf.
a) (3x) – 2, b) (4xy) – 5, c) (2a) – 1, d) (5ab2) – 3, e) [latexpage] ${\frac{1}{a^–^2}}$, f) (x + 2y) – 2, g) 5 + x – 4 , h) a · (b + c) – 4, i) x – y – 1, j) [latexpage] ${\frac{a^–^4}{b^–^5}}$
Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet Potenzen
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle den Wert der Potenz.
a) 0,11 = 0,1
0,12 = 0,1 · 0,1 = 0,01
0,13 = 0,1 · 0,1 · 0,1 = 0,001 bzw. die Taschenrechner-Anzeige: 1–03 oder 1 – 03
0,14 = 0,1 · 0,1 · 0,1 · 0,1 = 0,0001 bzw. die Taschenrechner-Anzeige: 1–04 oder 1 – 04
0,15 = 0,1 · 0,1 · 0,1 · 0,1 · 0,1 = 0,00001 bzw. die Taschenrechner-Anzeige: 1–05 oder 1 – 05
0,16 = 0,1 · 0,1 · 0,1 · 0,1 · 0,1 · 0,1 = 0,000001 bzw. die Taschenrechner-Anzeige: 1–06 oder 1 – 06
b) 0,41 = 0,4
0,42 = 0,4 · 0,4 = 0,16
0,43 = 0,4 · 0,4 · 0,4 = 0,064
0,44 = 0,4 · 0,4 · 0,4 · 0,4 = 0,0256
0,45 = 0,4 · 0,4 · 0,4 · 0,4 · 0,4 = 0,01024
0,46 = 0,4 · 0,4 · 0,4 · 0,4 · 0,4 · 0,4 = 0,004096 bzw. die Taschenrechner-Anzeige: 4,096 –03 oder: 4,096 –03
c) [latexpage] ($\sqrt{3}$)1 = $\sqrt{3}$
[latexpage] ($\sqrt{3}$)2 = $\sqrt{3}$ · $\sqrt{3}$ = 3
[latexpage] ($\sqrt{3}$)3 = $\sqrt{3}$ · $\sqrt{3}$ · $\sqrt{3}$ = 3 · $\sqrt{3}$ = 5,2 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
[latexpage] ($\sqrt{3}$)4 = $\sqrt{3}$ · $\sqrt{3}$ · $\sqrt{3}$ · $\sqrt{3}$ = 9
[latexpage] ($\sqrt{3}$)5 = $\sqrt{3}$ · $\sqrt{3}$ · $\sqrt{3}$ ·$\sqrt{3}$ · $\sqrt{3}$ = 9 · $\sqrt{3}$ = 15,59 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
[latexpage] ($\sqrt{3}$)6 = $\sqrt{3}$ · $\sqrt{3}$ · $\sqrt{3}$ ·$\sqrt{3}$ · $\sqrt{3}$ · $\sqrt{3}$ = 27
d) (–1)1 = –1
(–1)2 = (–1) · (–1) = 1
(–1)3 = (–1) · (–1) · (–1) = –1
(–1)4 = (–1) · (–1) · (–1) · (–1) = 1
(–1)5 = (–1) · (–1) · (–1) · (–1) · (–1) = –1
(–1)6 = (–1) · (–1) · (–1) · (–1) · (–1) · (–1) = 1
e) (–6,5)1 = –6,5
(–6,5)2 = (–6,5) · (–6,5) = 42,25
(–6,5)3 = (–6,5) · (–6,5) · (–6,5) = –274,625
(–6,5)4 = (–6,5) · (–6,5) · (–6,5) · (–6,5) = 1785,0625
(–6,5)5 = (–6,5) · (–6,5) · (–6,5) · (–6,5) · (–6,5) = –11602,90625
(–6,5)6 = (–6,5) · (–6,5) · (–6,5) · (–6,5) · (–6,5) · (–6,5) = 75418,89063
f) [latexpage] ($\sqrt{2}$)1 = $\sqrt{2}$
($\sqrt{2}$)2 = $\sqrt{2}$ · $\sqrt{2}$ = 2
($\sqrt{2}$)3 = $\sqrt{2}$ · $\sqrt{2}$ · $\sqrt{2}$ = 2 · $\sqrt{2}$ = 2,83 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
($\sqrt{2}$)4 = $\sqrt{2}$ · $\sqrt{2}$ · $\sqrt{2}$ · $\sqrt{2}$ = 4
($\sqrt{2}$)5 = $\sqrt{2}$ · $\sqrt{2}$ · $\sqrt{2}$ · $\sqrt{2}$ · $\sqrt{2}$ = 4 · $\sqrt{2}$ = 5,66 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
($\sqrt{2}$)6 = $\sqrt{2}$ · $\sqrt{2}$ · $\sqrt{2}$ · $\sqrt{2}$ · $\sqrt{2}$ · $\sqrt{2}$ = 8
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Erzeuge aus der Zahl eine Potenz.
a) 9 ist ja eine Quadratzahl, daher ist 3 · 3 = 32
b) 4 ist ebenfalls eine Quadratzahl: 2 · 2 = 22
c) 27, hier muss man erkennen, dass 27 auf die Potenz 33 zurückgeführt werden kann. Denn 3 · 3 · 3 = 27
d) 64 ist wiederum eine Quadratzahl, daher ist 82 = 64. 64 kann aber auch auf die Potenz 26 zurückgeführt werden. Denn 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64
e) – 49; zuerst muss man hier erkennen, dass 49 eine Quadratzahl ist, darüber hinaus darf, das Minus nicht bei der Basis der Potenz hierzu stehen, sondern davor: – 49 = – (7)2. Denn: – (7 · 7)2 = – 49
f) 625 ist eine Quadratzahl, deshalb ist 252= 625. 625 kann aber auch auf die Potenz 54
zurückgeführt werden. Denn 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 625.
g) 196 = ist ebenfalls eine Quadratzahl, da 142 = 196 ist.
h) Bei 289 handelt es sich wiederum um eine Quadratzahl, denn 172 = 289.
i) – 324 kann wiederum auf eine Quadratzahl zurückgeführt werden. Hierbei muss beachtet werden, dass das Minus aber nicht zur Basis der Potenz gehört: – 182.
j) 400 ist erneut eine Quadratzahl: 202.
k) Das Gleiche gilt für 1600, da auch dies eine Quadratzahl ist: 402.
l) 10000 kann ebenfalls auf eine Quadratzahl zurückgeführt werden: 1002. Darüber hinaus ist 10000 auf die Potenz 104 rückführbar, denn 10 · 10 · 10 · 10 = 10000.
m) [latexpage] ${\frac{1}{{25}}$. Hier muss man erkennen, dass im Nenne einer Quadratzahl ist. Daher kann man den Bruch zunächst dahingehend umwandeln: latexpage] (${\frac{1}{{5}}$)2. Den Bruch kann man dann auflösen, indem man das Vorzeichen des Exponenten umgekehrt: 5–2.
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Welchen Wert haben die aufgelösten Potenzen?
a) 50 = 1. Egal welche Basis eine Potenz hat, bei dem Exponenten „0“ ergibt sich immer als Ergebnis 1.
b) (–7)0 = 1. Siehe hierzu die Erläuterung bei Aufgabe a).
c) 4 – 2. Wenn man den negativen Exponenten auflöst, kann man das Ergebnis schnell ermitteln: 4 – 2 = (${\frac{1}{{4}}$)2 = ${\frac{1}{{16}}$ = 0,0625.
d) 2 – 3 = (${\frac{1}{{2}}$)3 = ${\frac{1}{{8}}$ = 0,125.
e) [latexpage] (${\frac{2}{{5}}$)0 = 1
f) 1 – 3 = 1. Ist die Basis eins, so ist, egal, welcher Exponent vorliegt, das Ergebnis immer 1.
g) 0,1 – 5 = [latexpage] (${\frac{1}{{0,1}}$)5 = 105 = 100000
h) 0,6 – 4´´ = [latexpage] (${\frac{1}{{0,6}}$)4 = 7,72 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
i) x0 = 1
j) (x · y)0 = 1
k) [latexpage] (${\frac{1}{{4}}$) – 2 = 42 = 16
l) [latexpage] (${\frac{1}{{5}}$) – 3 = 53 = 125
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Eliminiere den negativen Exponenten.
a) (3x) –2 = [latexpage] (${\frac{1}{{3x}}$)2 = ${\frac{1}{{9x^2}}$
b) (4xy) –5 = [latexpage] (${\frac{1}{{4xy}}$)5 = ${\frac{1}{{1024x^5y^5}}$
c) (2a) –1 = [latexpage] ${\frac{1}{{2a}}$
d) (5ab2) –3 = 5 –3 · a – 3 + b 2 · (–3) = 5 –3 · a –3 · b –6 = ${\frac{1}{{5^3a^3b^6}}$
e) [latexpage] ${\frac{1}{a^–^2}}$ = a2
f) (x + 2y) –2 = ${\frac{1}{{(x+2y)^2}}$
g) 5 + x –4 = 5 + [latexpage] ${\frac{1}{x^4}}$
h) a · (b + c) –4 = [latexpage] ${\frac{a}{(b+c)^4}}$
i) x – y –1 = x – [latexpage] ${\frac{1}{y}}$
j) [latexpage] ${\frac{a^–^4}{b^–^5}}$ = ${\frac{b^5}{a^4}}$