Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Potenzen, Teil 7

Hört das denn mit Potenzen niemals auf in Mathe? Die Antwort lautet ganz klar: nein! Solange man in die Schule geht, werden Potenzen einem im Fach Mathematik immer wieder begegnen. Daher stellen auch die Potenzgesetze ein Fundamentalwissen dar. Hat man dieses Fudamentalwissen nicht, dann kann man sehr leicht ableiten, dass einem die Vereinfachung von Termen mittels algebraischen Umformungen sicherlich äußerst schwer fällt. Und das ist nur sozusagen das Handwerkszeug, das man flink abspulen können sollte. Die eigentliche Mathematik-Problemstellung stellt normalerweise ja noch die viel größere zu bewältigende Schwierigkeit dar. Wie man sieht, können Potenzen in Mathe fiese Fallstricke sein – und das gilt dann oft für die komplette zu lösende Aufgabe.

Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Potenzen

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Wende ein Potenzgesetz an.

a) (–1)² · (–1)⁴

b) 1,5^–2 · 1,5^⁴

c) 0,4² · 0,4²

d) (–3)⁴ · $(–3)^–4

e) (–10)^–5 · (–10)^–3

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Vereinfache den Term.

a)   5a³ · 3a⁴ · 2a²

b)   9a³b⁴c⁵ · 4ab⁵c²

c)   a^–2 ·  a · a^–5

d)   8pq^–2r² · 5p^–2q⁴r⁶

e)   24p⁴q^–2 · 0,75p^–1q⁴

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Löse die Klammer auf.

a)  

b)   (a · b)^–3

c)  (5s · $\sqrt{4}})^0$

d)   (s · t · $\sqrt{2}})^4$

e)  (4 · $\sqrt{3}})^4$

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne überschlagsmäßig das Ergebnis.

a)   2¹¹

b)   2¹⁴

c)   2³⁰

d)   2⁴⁰

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Potenzen

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Vereinfache den Term mittels Potenzgesetz.

a)  (–1)² · (–1)⁴ = (–1)²⁺⁴ = (–1)⁶ = 1

b)   1,5^–2 · 1,5⁴ = 1,5^–2+4 = 1,5² = 2,25

c)   0,4² · 0,4² = 0,4²⁺² = 0,4⁴ = 0,0256

d)   (–3)⁴ · (–3)^–4 = (–3)^4–4 = (–3)⁰ = 1

e)   (–10)^–5 · (–10)^–3 = (–10)^–5–3 = (–10)^–8 = 0,00000001

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Wende ein Potenzgesetz an.

a)   5a³ · 3a⁴ · 2a² = 5 · 3 · 2a³⁺⁴⁺² = 30a⁹

b)   9a³b⁴c⁵ · 4ab⁵c² = 9 · 4 · a³⁺¹ · b⁴⁺⁵ · c⁵⁺² = 36a⁴b⁹c⁷

c)   a^–2 · a · a^–5 = a^–2+1–5 = a^–6 = ${\frac{1}{\mathrm a^6}}$

d)   8pq^–2r² · 5p^–2q⁴r⁶ = 8 · 5 · p^1–2 · q^–2+4 · r²⁺⁶ = 40p^–1q²r⁸

e)   24p⁴q^–2 · 0,75p^–1q⁴ = 24 · 0,75 · p^4–1 · q^–2+4 = 18p³q²

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Entferne bei dem Term algebraisch die Klammer.

a)   (–0,5 · $\sqrt{2}})^-^1$ = –${\frac{1}{2}}^-^1$ · $\sqrt{2}}^-^1$ = –2 · ${\frac{1}{\sqrt{2}}$ = –${\frac{2}{\sqrt{2}}$

b)   (a · b)$^-^3$ = a$^-^3$ · b$^-^3$ = ${\frac{1}{\mathrm a^3\ {\cdot}\ \mathrm b^3}}$

c)  (5s · $\sqrt{4}})^0$ = 5s$^0$ · $\sqrt{4}}^0$ = 1 · 1 = 1

d)   (s · t · $\sqrt{2}})^4$ = s$^4$ · t$^4$ · $\sqrt{2}}^4$ = s$^4$ · t$^4$ · $2^{\frac{4}{2}}$ = s$^4$ · t$^4$ · $2^2$ = s$^4$ · t$^4$ · 4 = 4 · s$^4$ · t$^4$

e) (4 · $\sqrt{3}})^4$ = 4$^4$ · $\sqrt{3}}^4$ = 256 · $3^{\frac{4}{2}}$ = 256· $3^2$= 256 · 9 = 2304

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittele mittels Überschlag das Ergebnis der Potenz.

a)   2¹¹ = 2048 ≈ 2000

Das Zeichen „≈“ steht in Mathe für „ungefähr“.

b)   2¹⁴ = 16384 ≈ 16000

c)   2³⁰ = 1073741824 ≈ 1100000000

d)   2⁴⁰ = 1099511628000 ≈ 1100000000000