Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Potenzen, Teil 9

Nach dem MSA oder dem Abitur hat man oftmals nur noch begrenzt etwas mit Mathe zu tun. Fast alles, was man im Fach Mathematik lernen musste, ist nicht wirklich alltagskompatibel. Das ist aber auch nicht weiter schlimm. Es geht ja auch nicht um die spätere konkrete Anwendung von dem, was man in der Schule lernte – sondern um das Verstehen! Hat man die durchlaufenden Stoffgebiete in Mathe beispielsweise gut VERSTANDEN, so hat man eine anspruchsvolle Geistesleistung vollbracht. Und das ist viel wert. Denn jede Geistesleistung bringt einen im Leben weiter! Das Gleiche gilt natürlich für körperlich vollbrachte Leistungen! Aus diesem Grund ist das, was man im Fach Mathe lernt, alles andere als unwichtig – ebenso das, was man in allen anderen Fächern lernt. Nur so entwickelt man sich POTENT weiter – sein ganzes Leben lang.

Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Potenzen

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Löse die Potenz auf und ermittle das Ergebnis.

a)   8 · 24^–2

b)   7 · 35^–2

c)   7² · 28^–4

d)   ${\frac{4^4\ {\cdot} ~\mathrm(-2)^-^5}{5^5}$

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Löse das Produkt auf.

a)   (b⁴ – b³) · b⁶

b)   (x^–4 – x^–3) · x⁶

c)   5x³y² · (x⁶ – 2y⁵)

d)   7b³(4a^–2 – 3b^–3$) · 3b^–4

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Wende ein Potenzgesetz an.

a)   ${\frac{2^1^0}{2^9}$

b)   (${\frac{1}{2}$)$^2$ : (${\frac{1}{4}$)$^2$

c)   ${\frac{\mathrm x^7}{\mathrm y^2}$ · ${\frac{\mathrm y^3}{\mathrm x^2}$

d)   ${\frac{\mathrm a^\mathrm n}{\mathrm a^2}$

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Vergleiche Potenz und Potenz.

a)   Ermittle das Ergebnis bei 1)   (2 + 4)³ und 2³ + 4³ sowie bei 2)   (2 · 4)³ und 2³ · 4³.

b)   Ist Folgendes korrekt? Ein Summe wird dahingehend potenziert, dadurch, dass man jeden einzelnen Summanden potenziert und die Potenzen addiert.

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Potenzen

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle das Ergebnis, indem die Potenz aufgelöst wird.

a)   8 · 24^–2 = 8 · ${\frac{1}{24^2}$ = ${\frac{8}{24\ {\cdot}\ 24}$ = ${\frac{8}{576}$ = ${\frac{1}{72}$

b)   7 · $35^-^2$ = 7 · ${\frac{1}{35^2}$ = ${\frac{7}{35\ {\cdot}\ 35}$ = ${\frac{7}{1225}$ = ${\frac{1}{175}$

c)   $7^2$ · $28^-^4$ = 7 · 7 · ${\frac{1}{28^4}$ = ${\frac{49}{28\ {\cdot}\ 28\ {\cdot}\ 28\ {\cdot}\ 28}$ = ${\frac{49}{614656}$ = ${\frac{1}{12544}$

d)   ${\frac{4^4\ {\cdot} ~\mathrm(-2)^-^5}{5^5}$ = ${\frac{4^4}{5^5\ {\cdot}\ (-2)^5}$ = ${\frac{4\ {\cdot}\ 4\ {\cdot}\ 4\ {\cdot}\ 4}{(5\ {\cdot}\ (-2))^5}$ = ${\frac{256}{(-10)^5}$ = ${\frac{256}{(-10)\ {\cdot}\ (-10)\ {\cdot}\ (-10)\ {\cdot}\ (-10)\ {\cdot}\ (-10)}$ = ${\frac{256}{-100000}$ = –${\frac{8}{3125}$

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Forme das Produkt zu einer algebraischen Summe um.

a)   (b⁴ – b³) · b⁶ = b⁴ · b⁶ + (–b³) · b⁶ = b⁴⁺⁶ – b³⁺⁶ = b¹⁰ – b⁹

b)   (x^–4 – x^–3) · x⁶ = x^–4 · x⁶ + (–x^–3) · x⁶ = x^–4+6 – x^–3+6 = x² – x³

c)   5x³y² · (x⁶ – 2y⁵) = 5x³y² · x⁶ + 5x³y² · (–2y⁵) = 5x³+⁶y² – (5 · 2x³y²⁺⁵) = 5x⁹y² – 10x³y⁷

d)   7b³(4a^–2 – 3b^–3) · 3b^–4 = 7b³ · 3b^–4$(4a^–2 – 3b^–3) = 7 · 3b^3+(–4)(4a^–2 – 3b^–3) = 21b^–1(4a^–2 – 3b^–3) = 21b^–1 · 4a^–2 + 21b^–1 · (–3b^–3) = 21 · 4a^–2b^–1 – (21 · 3b^–1+(–3) = 84a^–2b^–1 – 63b^–4

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ziehe ein Potenzgesetz heran.

a)   ${\frac{2^1^0}{2^9}$ = 2$^1^0$ : 2$^9$ = 2$^1^0~^-^~9$ = 2$^1$ = 2

b)   (${\frac{1}{2}$)$^2$ : (${\frac{1}{4}$)$^2$ = (${\frac{1}{2}$ : ${\frac{1}{4}$)$^2$ = (${\frac{1}{2}$ · ${\frac{4}{1}$)$^2$ = (${\frac{4}{2}$)$^2$ = 2$^2$ = 4

c)   ${\frac{\mathrm x^7}{\mathrm y^2}$ · ${\frac{\mathrm y^3}{\mathrm x^2}$ = ${\frac{\mathrm x^7\ {\cdot}~\mathrm y^3}{\mathrm y^2\ {\cdot}~\mathrm x^2}$ =  ${\frac{\mathrm x^7\mathrm y^3}{\mathrm x^2\mathrm y^2}$ = x$^7~^-^~2$y$^3~^-^~2$ = x$^5$y$^1$ = x$^5$y

d)   ${\frac{\mathrm a^\mathrm n}{\mathrm a^2}$ = a$^\mathrm n~^-^~2$

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Welche Auflösung einer Potenz ist bei einer Summe korrekt?

a)   Bestimme das Ergebnis bei 1)   (2 + 4)³ und 2³ + 4³ sowie bei 2)   (2 · 4)³ und 2³ · 4³.

b)   Ist Folgendes richtig? Man potenziert eine Summe, indem man jeden einzelnen Summanden potenziert und die Potenzen addiert.

a)     

1)   (2 + 4)³ und  2³ + 4³

(6)³       und  8 + 64

216       und   72

2)  

(2 · 4)³ und  2³ · 4³

(8)³     und   8 · 64

512     und   512

b)  Wie man bei 1) und 2) sieht, kommt bei 1) ein falsches Ergebnis heraus und bei 2) ein richtiges Ergebnis. Es ist daher falsch, wenn man eine Summe potenziert, indem man deren Summanden potenziert und anschließend addiert.