In Mathe bei quadratischen Gleichungen die Lösungsmenge mittels pq-Formel oder quadratischen Ergänzens zu bestimmen, macht nur Sinn, wenn die quadratische Gleichung alle Glieder vorweist. Konkret heißt das: Liegt eine quadratische Gleichung mit einem quadratischen Glied/„ax²“, mit einem linearen Glied/„bx“ und einem absoluten Glied/„c“ vor, dann muss man obige Lösungsverfahren anwenden. Fehlt hingegen mindestens das lineare Glied oder das absolute Glied, dann löst man die quadratische Gleichung immer anders. Auch Ökonomie ist im Fach Mathematik sehr wichtig, da dies eine nicht zu unterschätzende Zeitersparnis mit sich bringt. Je mehr Routine man aber im Lösen von quadratischen Gleichungen hat, desto mehr wird man aber auch automatisch stets das beste Lösungsverfahren, sprich das am ökonomischsten, anwenden.
Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Quadratische Gleichungen
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung
a) x² + 9 = 0
b) 3x² – 12 = 0
c) –5y² + 0,2 = 0
d) 4y² – 9 = 0
e) 4y² + 9 = 0
f) –0,5x² + 8x = 0
g) –0,5x² + 8 = 0
h) 9a² – 4 = 0
i) 4a – 9a² = 60
j) x² + 6x + 9 = 0
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle mittels der pq-Formel die Lösungsmenge.
a) 3x² – 15x + 12 = 0
b) 2x² + 14x – 25,5 = 0
c) 5x² + 25x – 10 = 0
d) 9x² + 66x + 137 = 0
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge. Klammere hierbei nicht aus!
a) (2x – 5) (2x² – x – 10) = 0
b) (25x² + 20x + 4) (10x + 4) = 0
c) (4x + 9) (x² + 4x + 9) = 0
d) (7y + 2) (4y² – 28y + 49) = 0
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle jeweils auf die schnellste Art und Weise die Lösungsmenge.
a) 9x² + 16x = 0
b) 10x² – 24x + 18 = 0
c) 5x² = 12x
d) 12x² – 3 = 0
Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Quadratische Gleichungen
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung.
a) x² + 9 = 0 | – 9 <=>
Hier fehlt das lineare Glied. Daher bringt man das absolute Glied auf die andere Seite der Gleichung und zieht dann die Wurzel.
x² = –9 | [latexpage] $\sqrt{}$
Da hier die Wurzel negativ wird, gibt es keine Lösung für diese quadratische Gleichung.
L = { } bzw. [latexpage] ${\varnothing}$
b) 3x² – 12 = 0 | + 12
Hier fehlt wiederum das lineare Glied. Daher bringt man zuerst das absolute Glied auf die andere Seite der Gleichung. Danach eliminiert man den Faktor vor dem quadratischen Glied. Darauf zieht man die Wurzel
3x² = 12 | : 3
x² = 4 | [latexpage] $\sqrt{}$ <=>
x = ± 2
L = {–2; 2}
c) –5y² + 0,2 = 0 | – 0,2
Hier fehlt erneut das lineare Glied. Daher verfährt man hier genauso wie bei Aufgabe c).
–5y² = –0,2 | : (–5)
y² = 0,04 | [latexpage] $\sqrt{}$ <=>
y² = ± 0,2
L = {–0,2; 0,2}
d) 4y² – 9 = 0 | + 9
Hier fehlt erneut das lineare Glied. Daher löst man die Aufgabe genauso wie die zwei Aufgaben zuvor.
4y² = 9 | : 4
y² = 2,25 | [latexpage] $\sqrt{}$ <=>
y = ± 1,5
L = {–1,5; 1,5}
e) 4y² + 9 = 0 | – 9
Auch hier fehlt wiederum das lineare Glied. Daher ist der Lösungsweg wie bei den Aufgaben zuvor.
4y² = –9 | : 4
y² = –2,25 | [latexpage] $\sqrt{}$ <=>
L = { } bzw. [latexpage] ${\varnothing}$
f) –0,5x² + 8x = 0
Bei dieser quadratischen Gleichung fehlt das absolute Glied. Daher klammert man hier die Variable x aus.
x · (–0,5x + 8) = 0
Ein Produkt ist gleich null, wenn eines seiner Faktoren gleich null ist!
x = 0
x$_1$ = 0 ist hier eine Lösung
–0,5x + 8 = 0 | – 8
–0,5x = –8 | · (–2)
x = 16
x$_2$ = 16 ist hier die andere Lösung
L = {0; 16}
g) –0,5x² + 8 = 0 | – 8
Hier fehlt wiederum das lineare Glied. Daher bringt man hier das absolute Glied auf die andere Seite der Gleichung. Dann beseitigt man den Faktor vor dem quadratischen Glied und zieht anschließend die Wurzel.
–0,5x² = –8 | · (–2)
x² = 16 | [latexpage] $\sqrt{}$ <=>
x = ± 4
L = {–4; 4}
h) 9a² – 4 = 0 | + 4
Hier fehlt erneut das absolute Glied. Daher schlägt man den Lösungsweg wie bei der Aufgabe zuvor ein.
9a² = 4 | : 9
a² = 2,25 | [latexpage] $\sqrt{}$ <=>
a = ± 1,5
L = {–1,5; 1,5}
i) 4a – 9a² = 60 | – 60
Diese quadratische Gleichung besteht sowohl aus einem quadratischen Glied, einem linearen Glied als auch einem absoluten Glied. Daher löst man diese entweder mittels pq-Formel oder mittels quadratischen Ergänzens. Da beide Lösungswege gleich schnell gehen, wird hier die quadratische Gleichung mittels pq-Formel gelöst werden. Um die pq-Formel anwenden zu können, muss die quadratische Gleichung zuerst in die Normalform gebracht werden.
4a – 9a² – 60 = 0
–9a² + 4a – 60 = 0 | : (–9)
a² – $\frac{4}{9}$ a + $\frac{60}{9}$ = 0
a² – $\frac{4}{9}$ a + $\frac{20}{3}$ = 0
Die pq-Formel lautet: x$_1,_2$ =– [latexpage] ${\frac{p}{2}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{p}{2})^2-q}}$
a$_1,_2$ =[latexpage] ${\frac{4}{18}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{4}{18})^2-\ {\frac{20}{6}}}$ <=>
a$_1,_2$ =[latexpage] ${\frac{4}{18}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ {\frac{16}{324}-\ {\frac{20}{6}}}$ <=>
a$_1,_2$ =[latexpage] ${\frac{4}{18}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ -{\frac{1064}{324}}$
Da hier die Wurzel negativ ist bzw. die Diskriminante, gibt es keine Lösung für diese quadratische Gleichung.
L = { } bzw. [latexpage] ${\varnothing}$
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme mittels pq-Formel die Lösungsmenge.
Bevor man die pq-Formeln anwenden kann, darf die quadratische Gleichung vor dem x² keinen anderen Faktor vorweisen als den Faktor „1“!
a) 3x² – 15x + 12 = 0 | : 3
x² – 5x + 4 = 0
x$_1,_2$ = [latexpage] ${\frac{5}{2}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{5}{2})^2-4}}$
x$_1,_2$ = 2,5± [latexpage] $\sqrt{\ 6,25-4}}$
x$_1,_2$ = 2,5 ± [latexpage] $\sqrt{\ {2,25}}$
x$_1,_2$ = 2,5 ± 1,5
x$_1$ = 2,5 + 1,5 = 4
x$_2$ = 2,5 – 1,5 = 1
L = {1; 4}
b) 2x² + 14x – 25,5 = 0 | : 2
x² + 7x – 12,75 = 0
x$_1,_2$ = – [latexpage] ${\frac{7}{2}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{7}{2})^2+12,75}}$
x$_1,_2$ = –3,5 ± [latexpage] $\sqrt{\ 12,25+12,75}}$
x$_1,_2$ = –3,5 ± [latexpage] $\sqrt{\ 25}}$
x$_1,_2$ = –3,5 ± 5
x$_1$ = –3,5 + 5 = 1,5
x$_2$ = –3,5 – 5 = –8,5
L = {–8,5; 1,5}
c) 5x² + 25x – 10 = 0 | : 5
x² + 5x – 2 = 0
x$_1,_2$ = – [latexpage] ${\frac{5}{2}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{5}{2})^2+2}}$
x$_1,_2$ = –2,5 ± [latexpage] $\sqrt{\ 6,25+2}}$
x$_1,_2$ = –2,5 ± 2,87 (gerundet auf 2 Nachkommastellen)
x$_1$ = –2,5 + 2,87 = 0,37
x$_2$ = –2,5 – 2,87 = –5,37
L = {–5,37; 0,37}
d) 9x² + 66x + 137 = 0 | : 9
x² + 7,33x + 15,22 = 0 (jeweils auf zwei Nachkommastellen gerundet)
x$_1,_2$ = – [latexpage] ${\frac{7,33}{2}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{7,33}{2})^2-15,222}}$
x$_1,_2$ = –3,665 ± [latexpage] $\sqrt{\ 13,432225-15,222}}$
x$_1,_2$ = –3,665 ± [latexpage] $\sqrt{\ -1,789775}}$
L = { } bzw. [latexpage] ${\varnothing}$
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge. Wende hierbei nicht das Distributivgesetz/Verteilungsgesetz an.
Hier liegt ja ein Produkt vor. Die Gleichung ist daher erfüllt, wenn einer der Faktoren gleich null ist. Dann wird ja die komplette Gleichung gleich null.
a) (2x – 5) (2x² – x – 10) = 0
2x – 5 = 0 | + 5
2x = 5 | : 2
x = 2,5
2x² – x – 10 = 0 | : 2
x² – 0,5x – 5 = 0
x$_1,_2$ = [latexpage] ${\frac{0,5}{2}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{0,5}{2})^2+5}}$ <=>
x$_1,_2$ = 0,25 ± [latexpage] $\sqrt{\ (0,25)^2+5}}$ <=>
x$_1,_2$ = 0,25 ± [latexpage] $\sqrt{\ 0,0625+5}}$ <=>
x$_1,_2$ = 0,25 ± [latexpage] $\sqrt{\ 5,0625+5}}$ <=>
x$_1,_2$ = 0,25 ± 2,25 <=>
x$_1$ = 0,25 + 2,25 = 2,5
x$_2$ = 0,25 – 2,25 = –2
L = {–2; 2,5}
b) (25x² + 20x + 4) (10x + 4) = 0
25x² + 20x + 4 = 0 | : 25 <=>
x² + 0,8x + 0,16
x$_1,_2$ = – [latexpage] ${\frac{0,8}{2}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{0,8}{2})^2-0,16}}$ <=>
x$_1,_2$ = – 0,4 ± [latexpage] $\sqrt{\ (0,4)^2-0,16}}$ <=>
x$_1,_2$ = – 0,4 ± [latexpage] $\sqrt{\ 0,16-0,16}}$ <=>
x$_1,_2$ = – 0,4 ± [latexpage] $\sqrt{\ 0}}$ <=>
x$_1,_2$ = – 0,4 ± 0
10x + 4 = 0 | – 4
10x = –4 | : 10
x = –0,4
L = {–0,4}
c) (4x + 9) (x² + 4x + 9) = 0
4x + 9 = 0 | – 9
4x = –9 | : 4
x = –2,25
x² + 4x + 9 = 0
x$_1,_2$ = – [latexpage] ${\frac{4}{2}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{4}{2})^2-9}}$ <=>
x$_1,_2$ = – 2 ± [latexpage] $\sqrt{\ (2)^2-9}}$ <=>
x$_1,_2$ = – 2 ± [latexpage] $\sqrt{\ 4-9}}$ <=>
x$_1,_2$ = – 2 ± [latexpage] $\sqrt{\ -5}}$ <=>
Hier ergibt sich eine negative Wurzel, so dass die quadratische Gleichung keine weitere Lösung mehr liefert.
L = {–2,25}
d) (7y + 2) (4y² – 28y + 49) = 0
7y + 2 = 0 | – 2
7y = –2 | : 7
y = –$\frac{2}{7}$
4y² – 28y + 49 = 0 | : 4
y² – 7y + 12,25 = 0
y$_1,_2$ = [latexpage] ${\frac{7}{2}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{7}{2})^2-12,25}}$ <=>
y$_1,_2$ = 3,5 ± [latexpage] $\sqrt{\ (3,5)^2-12,25}}$ <=>
y$_1,_2$ = 3,5 ± [latexpage] $\sqrt{\ 12,25-12,25}}$ <=>
y$_1,_2$ = 3,5 ± [latexpage] $\sqrt{\ 0}}$ <=>
y$_1,_2$ = 3,5 ± 0
L = {–$\frac{2}{7}$; ${\frac{7}{2}$}
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme so schnell wie möglich die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung.
a) 9x² + 16x = 0 | : 9 <=>
x² + $\frac{16}{9}$x = 0 <=>
x · (x + $\frac{16}{9}$) = 0 <=>
x = 0
x + $\frac{16}{9}$ = 0 | – $\frac{16}{9}$ <=>
x = –$\frac{16}{9}$
L = {–$\frac{16}{9}$; 0}
b) 10x² – 24x + 18 = 0 | : 10 <=>
x² – 2,4x + 1,8
x$_1,_2$ = [latexpage] ${\frac{2,4}{2}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{2,4}{2})^2-1,8}}$ <=>
x$_1,_2$ = 1,2 ± [latexpage] $\sqrt{\ (1,2)^2-1,8}}$ <=>
x$_1,_2$ = 1,2 ± [latexpage] $\sqrt{\ 1,44-1,8}}$ <=>
x$_1,_2$ = 1,2 ± [latexpage] $\sqrt{\ -0,36}}$ <=>
L = { } bzw. [latexpage] ${\varnothing}$
c) 5x² = 12x | – 12x <=>
5x² – 12x = 0 | : 5 <=>
x² – 2,4x = 0 <=>
x · (x – 2,4) = 0
x = 0
x – 2,4 = 0 | + 2,4 <=>
x = 2,4
L = {0; 2,4}
d) 12x² – 3 = 0 | + 3 <=>
12x² = 3 | : 12 <=>
x² = 0,25 | [latexpage] $\sqrt{}$ <=>
x = ± 0,5
L = {–0,5; 0,5}