Immer wieder für einen hervorgerufen Ausdruck des Entsetzens gut ist das in Mathe häufig gebrauchte Wort Term. In einer Runde von Freunden sagt nämlich ein Mathematik-Begeisterter, als die Frage nach dem eigenen Hobby reihum geht: „Ich liebe Terme!“ Die meisten Anwesenden nicken hierbei verständnisvoll und äußern teilweise: „Badeanstalten sind ja auch wirklich großartig und machen enorm viel Spaß!“ Dem entgegnet der Mathe-Term-Liebhaber aber abrupt: Ich meine Terme OHNE ,h‘!“ „Wie bitte?!“ antworten darauf alle Vorortseienden entsetzt. „Meinst du das wirklich ernst oder soll das ein schlechter April-Scherz sein, auch wenn gerade nicht der 1. April ist (an dem Datum sind ja nur „offiziell“ Aprilscherze erlaubt)?!, fahren sie sogleich immer noch überaus entsetzt fort. Die Antwort des Mathematik-Liebhabers kann jedoch nur lauten: „Nein, nein, nein, in der Tat und schlussendlich meine ich natürlich Mathe-Terme!“
Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Terme
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Wertgleichheit bei Termen
a) Folgende beiden Terme ergeben bei jeglichen Einsetzungen den gleichen Wert. Zeige das anhand von Beispielen auf: Terme 1 (a – 2)² und a² – 4a + 4; Terme 2 (1 + x) · (1 – x) und 1 – x²
b) Finde bei den Termen 2 – 3 – x und 2 – (3 – x) Einsetzungen, bei denen die Terme nicht denselben Wert vorweisen.
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bei welchen Termen ist ein Weglassen des Malzeichens erlaubt? Schreibe darauf die Terme ohne Malzeichen.
a) 5 · a · b
b) 6 · 7· x
c) 9 · (a – 4 · 6)
d) 5 · 8² – 1 · x
e) 4 · [latexpage] ${\frac{1}{2}}$ · ${\frac{4\ {\cdot}\ x}{2}}$
f) (6 + x) · (6 – x)
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Vereinfache alle Terme so weit wie möglich.
a) 6x + 2x
3y + 1y
8x – 4x
2,5r – 2,7r
16y – 16y
b) 4x + 5x + 2x
8a + 3a + 12a
14r – 5r – 2r
18s + 7s – 25s
y – 1y – 12y
c) 5xy + 7xy
8st + 6st
12yz – 6yz
–25uv – 38uv
– 8r + r
d) 3,2b + 5,5b
–2,25xy + 1,5xy
3,8t – 0,5t
0,1xz – 2,4xz
0,9a + 2,7a – a
e) 1,5ab – 12ac – ab
–0,55x² + 1x² – 4,72x²
2,9abc – 5,2abc + 0,6abc
2,9u²v – 5,7u²v + 2,1u²v
6,2a²b² – 8,5a²b² + 1,4a²b²
f) ${\frac{3}{4}}$r² – ${\frac{1}{8}}$r² – ${\frac{1}{2}}$r²
${\frac{3}{4}}$xy² – xy² + ${\frac{1}{3}}$xy²
–${\frac{2}{3}}$u + ${\frac{5}{6}}$u – ${\frac{7}{12}}$u
${\frac{9}{10}}$ba – ${\frac{1}{4}}$ba + ${\frac{5}{28}}$ba
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Zeige durch Einsetzen passender Zahlen auf, dass die jeweiligen Terme nicht wertgleich sind.
a) (1 + x)² und (1 + x) · 2
b) (4 · a)² und 4 · a²
c) (–x)² und –x²
Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Term
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Der Begriff der Wertgleichheit bei Termen.
a) Zeige durch Einsetzungen auf, dass die folgenden Terme bei jeglichen Variablen den gleichen Wert liefern: Terme 1 (a – 2)² und a² – 4a + 4; Terme 2 (1 + x) · (1 – x) und 1 – x².
Terme 1: (a – 2)² und a² – 4a + 4
bei a = 1: (1 – 2)² und (1)² – 4 · 1 + 4 = (–1)² und 1 – 4 + 4 = 1 und 1
bei a = 0: (0 – 2)² und 0² – 4 · 0 + 4 = (–2)² und 4 = 4 = 4
bei a = –1: (–1 – 2)² und (–1)² – 4 · (–1) + 4 = (–3)² und 1 + 4 + 4 = 9 und 9
Da der Term (a – 2)² die 2. Binomische Formel in der unaufgelösten Form ist und a² – 4a + 4 die 2. Binomische Formel in der aufgelösten Form, müssen die beiden Terme auch logischerweise immer wertgleiche Ergebnisse ergeben.
b) Zeige Einsetzungen auf, bei denen folgende Terme keine Wertgleichheit liefern: 2 – 3 – x und 2 – (3 – x)
bei positiven x-Werten: x = 1 beispielsweise: 2 – 3 – 1 und 2 – (3 – 1) = –2 und 0
bei negativen x-Werten: x = –1 zum Beispiel: 2 – 3 – (– 1) und 2 – (3 – (– 1)) = 0 und –2
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Zeige die Terme auf, wo ein Weglassen des Malzeichens erlaubt ist. Schreibe diese darauf ohne Malzeichen.
a) 5 · a · b Hier kann man beide Malzeichen weglassen: 5 · a · b = 5ab
b) 6 · 7 · x Hier kann man das zweite Malzeichen weglassen: 6 · 7 · x = 6 · 7x
c) 9 · (a – 4 · 6) Hier kann man das erste Malzeichen weglassen: 9 · (a – 4 · 6) = 9(a – 4 · 6)
d) 5 · 8² – 1 · x Hier kann man das zweite Malzeichen weglassen: 5 · 8² – 1 · x = 5 · 8² – 1x
e) 4 · [latexpage] ${\frac{1}{2}}$ · ${\frac{4\ {\cdot}\ x}{2}}$ Hier kann man das letzte Malzeichen weglassen: 4 · [latexpage] ${\frac{1}{2}}$ · ${\frac{4\ {\cdot}\ x}{2}}$ = 4 · [latexpage] ${\frac{1}{2}}$ · ${\frac{4x}{2}}$
f) (6 + x) · (6 – x) Hier kann man das Malzeichen weglassen: (6 + x) · (6 – x) = (6 + x) (6 – x)
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Vereinfache jeden Term, soweit dies wie möglich ist.
a) 6x + 2x = 8x
a) 3y + 1y = 4y
a) 8x – 4x = 4x
a) 2,5r – 2,7r = –0,2r
a) 16y – 16y = 0
b) 4x + 5x + 2x = 11x
b) 8a + 3a + 12a = 23a
b) 14r – 5r – 2r = 7r
b) 18s + 7s – 25s = 0
b) y – 1y – 12y = –12y
c) 5xy + 7xy = 12xy
c) 8st + 6st = 14st
c) 12yz – 6yz = 6yz
c) –25uv – 38uv = –63uv
c) – 8r + r = –7r
d) 3,2b + 5,5b = 8,7b
d) –2,25xy + 1,5xy = –0,75xy
d) 3,8t – 0,5t = 3,3t
d) 0,1xz – 2,4xz = –2,3xz
d) 0,9a + 2,7a – a = 2,6a
e) 1,5ab – 12ac – ab = 0,5ab – 12ac
e) –0,55x² + 1x² – 4,72x² = –4,27
e) 2,9abc – 5,2abc + 0,6abc = –1,7abc
e) 2,9u²v – 5,7u²v + 2,1u²v = –0,7u²v
e) 6,2a²b² – 8,5a²b² + 1,4a²b² = –0,9a²b²
f) ${\frac{3}{4}}$r² – ${\frac{1}{8}}$r² – ${\frac{1}{2}}$r² = ${\frac{1}{8}}$r²
f) ${\frac{3}{4}}$xy² – xy² + ${\frac{1}{3}}$xy² = ${\frac{1}{12}}$xy²
f) –${\frac{2}{3}}$u + ${\frac{5}{6}}$u – ${\frac{7}{12}}$u = –${\frac{5}{12}}$u
f) ${\frac{9}{10}}$ba – ${\frac{1}{4}}$ba + ${\frac{5}{28}}$ba = ${\frac{29}{35}}$ba
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Mache durch Einsetzen deutlich, dass die Terme nicht wertgleich sind.
Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Um etwas zu widerlegen, braucht man in Mathe nur ein Beispiel, das dies aufzeigt. Hier würden also je zwei unterschiedliche Term-Werte ausreichen, um eindeutig darzulegen, dass die Terme nicht wertgleich sind.
a) (1 + x)² und (1 + x) · 2
x = 2: (1 + 2)² und (1 + 2) · 2 = (3)² und (3) · 2 = 9 und 6
x = 0: (1 + 0)² und (1 + 0) · 2 = (1)² und (1) · 2 = 1 und 2
b) (4 · a)² und 4 · a²
x = 1: (4 · 1)² und 4 · (1)² = (4)² und 4 · 1 = 16 und 4
x = 2: (4 · 2)² und 4 · (2)² = (8)² und 4 · 4 = 64 und 16
c) (–x)² und –x²
x = 1: (–1)² und –(1)² = 1 und –1
x = 2: (–2)² und –(2)² = 4 und –4