Nimmt der Mathe-Lehrer plötzlich im Unterricht eine Packung Reißnägel aus seiner Hosentasche und entleert die komplette Packung auf seinem Schreibtisch, dann könnten viele Schülerinnen und Schüler denken: „Die viele Mathematik hat ihm offenbar auf Dauer nicht gutgetan und einen ernsten Schaden im Oberstübchen hinterlassen.“ Diese Meinung verfestigt sich noch entschieden, nachdem der Lehrer im Anschluss alle Münzen aus seinem Portemonnaie in die Luft wirft. Als der Lehrer aber schließlich sagt: „Hey! Keine Sorge! Ich bin nicht verrückt geworden, denn fortan beschäftigen wir uns in Mathematik mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung,“ sind viele Schülerinnen und Schüler sehr froh, dass beim Lehrer doch noch „alle Tassen im Schrank sind“ und sie gedanklich hinsichtlich seines Geisteszustandes auf dem Holzweg waren.
Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Wahrscheinlichkeitsrechnung
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Wahrscheinlichkeit bei einem Glücksrad
a) Ein Glücksrad besteht aus drei Farb-Feldern, um die sich ein Zeiger dreht. Die Farbe Grün nimmt hierbei die Hälfte [latexpage] (${\frac{1}{2}$) der Fläche ein, die Farbe Gelb ein Drittel [latexpage] (${\frac{1}{3}$) und die Farbe Blau ein Sechstel [latexpage] (${\frac{1}{6}$). Ermittle jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeiger auf Grün, Gelb oder Blau stehen bleibt.
b) Mache ein Prognose, wie oft der Zeiger nach 1000 Versuchen auf der gelben Fläche des Glücksrads stehen bleibt.
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Macht es Sinn zu wetten, dass eine Frau an einem Roulettetisch sitzt?
In einem Spielkasino wurde festgestellt, dass 60 % aller Spieler am Roulettetisch Frauen sind. Macht es Sinn, bei einer zufällig ausgewählten Person darauf zu wetten, dass sie eine Frau ist?
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle für jedes Zufallsexperiment die Ergebnismenge. Gebe auch an, ob ein Laplace-Versuch vorliegt.
Beim Wurf einer
a) Streichholzschachtel
b) eines Tetraeders
c) eines Kronkorkens
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne die jeweilige Wahrscheinlichkeit bei einem speziellen Skat-Blatt.
Ein normales Skat-Spiel besteht aus 32 Karten. Hierbei treten 4 verschiedene Farben auf, und zwar Kreuz, Pik, Herz und Karo. Darüber hinaus gibt es noch 8 verschiedene Werte, eine 7, 8, 9, 10, Bube, Dame König und Ass.
Bei bestimmten Skat-Varianten kommen nur folgende Skatkarten zum Einsatz:
a) Karten mit Bild
b) Herz-Karten
c) Karten ohne Bilder
d) Schwarze Karten
e) Kreuz-Karten mit Zahl
f) Karo-Karten ohne Bild
Aus diesem Skat-Varianten-Spiel (von a) bis f) ) wird jeweils zufällig eine Karte gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit eines der möglichen Ergebnisse?
5. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bei einem Würfel tritt die die Augenzahl 5 mit einer Wahrscheinlichkeit von [latexpage] ${\frac{1}{6}$ auf. Welcher der nachfolgenden Aussagen sind richtig, welche der Aussagen sind falsch?
a) Bei jedem 6. Wurf würfelt man eine 5.
b) Unter 6 Würfen hat man mindestes eine 5.
c) Wenn 6-mal keine 5 gewürfelt wurde, nimmt die Wahrscheinlichkeit für das Würfeln einer 5 zu.
d) Wird ein Würfel n-mal gewürfelt, beispielsweise n = 600, so tritt die Würfelzahl 5 ungefähr [latexpage] ${\frac{n}{6}$- mal auf (bei n = 600 wäre das Auftreten ungefähr 100-mal).
e) Tritt bei 6 Würfen keine 5 auf, so ist der Würfel gezinkt worden.
f) Wettet jemand 1 € darauf, dass beim nächsten Würfeln eine 5 gewürfelt wird, dann kann man ohne Weiteres 5 € dagegen wetten.
Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet: Wahrscheinlichkeitsrechnung
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Gib die Wahrscheinlichkeiten bei einem Glücksrad wieder.
a) Ein Glücksrad weist dreifarbige Flächen auf. Um diese dreht sich ein Zeiger. Die Farbverhältnisse sind hierbei folgendermaßen: Die Farbe Grün beinhaltet die Hälfte der Fläche [latexpage] (${\frac{1}{2}$), die Farbe Gelb ein Drittel [latexpage] (${\frac{1}{3}$) und die Farbe Blau [latexpage] (${\frac{1}{6}$). Wie hoch ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeiger auf der Farbe Grün, Gelb und Blau stehen bleibt?
Bei dem Drehen des Glücksrad handelt es sich um ein sogenannte Laplace-Experiment, das heißt, dass alle Ereignisse E immer mit der gleichbleibenden Wahrscheinlichkeit auftreten.
P (grün) = [latexpage] ${\frac{1}{2}$ = 0,5 = 50 %
P (gelb) = [latexpage] ${\frac{1}{3}$ = 0,33 (gerundet auf zwei Nachkommastellen) = 33 %
P (blau) = [latexpage] ${\frac{1}{6}$ = 0,17 (gerundet auf zwei Nachkommastellen) = 17 %
b) Wie oft landet der Zeiger bei 1000 Versuchen auf der Farbe Gelb. Mache eine Prognose.
Da es sich hier um ein Laplace-Experiment handelt, bleibt die Wahrscheinlichkeit bei jedem Drehen des Glücksrads gleich. Hierbei gilt:
[latexpage] ${P(E)=\frac{Anzahl~der~zu~E~geh\“orenden~ Ergebnisse}{Anzahl~aller~m\“oglichen~Ergebnisse}$ | · Anzahl aller möglichen Ergebnisse <=>
P(E) · Anzahl aller möglichen Ergebnisse = Anzahl der zu E gehörenden Ergebnisse <=>
Anzahl der zu E gehörenden Ergebnisse = P(E) · Anzahl aller möglichen Ergebnisse
Daraus ergibt sich, dass bei 1000 Versuchen: Anzahl Gelb = 1000 · 0,33 = 330-mal.
In etwas 330-mal bleibt der Zeiger bei 1000 Versuchen auf der Farbe Gelb stehen.
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ist es sinnvoll, darauf zu wetten, dass eine Frau am Roulettetisch sitzt?
In einem Spielcasino konnte man feststellen, dass am Roulettetisch der Frauen-Anteil bei 60 % liegt. Lohnt es sich, bei einer zufällig ausgewählten Person darauf zu wetten, dass diese eine Frau ist?
Ja! Die Antwort muss ein Ja sein. Denn die Wahrscheinlichkeit, dass man richtig liegt und dass es sich bei der ausgewählten Person tatsächlich um eine Frau handelt, liegt mit 60 % klar über den wichtigen 50-%-Wert. Dadurch ist die Wahrscheinlichkeit, richtig zu liegen höher als falsch zu liegen.
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Gib für jedes Zufallsereignis die Ergebnismenge an. Liegt hierbei ein Laplace-Experiment vor?
a) Streichholzschachtel
Eine Streichholzschachtel kann bei einem Wurf in die Luft auf dem Boden zwei verschieden Lagen vorweisen: entweder sieh liegt flach oder hochkant (senkrecht). Die Ergebnismenge ist daher: Ω = {flach; hochkant}. Die niemals die gleichbleibende Wahrscheinlichkeit eintritt, wie oft beide Ereignisse auftreten, liegt hier kein Laplace-Experiment vor.
b) Tetraeder
Ein Tetraeder weist vier gleichmäßige Flächen auf. Daher ist hier die Ergebnismenge: Ω = {Fläche}. Jede der vier Flächen tritt hierbei gleich häufig auf. Deshalb liegt hier ein Laplace-Experiment vor.
c) Kronkorken
Ein Kronkorken kann zwei Ereignisse vorweisen: flache Seite und hohle Seite. Daher ist hier die Ergebnismenge: Ω = {flache Seite; hohle Seite}. Da keine Voraussage gemacht werden, wie oft die Wahrscheinlichkeit eines der beiden Ereignisse eintritt, liegt hier kein Laplace-Experiment vor.
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Wie hoch ist jeweils die Wahrscheinlichkeit bei einem speziellen Skat-Blatt?
Anstatt eines normalen Skat-Blatts mit 32 Karten, das die Karten 7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König, Ass vorweist und die Farben Kreuz, Pik, Herz, Karo, sind bei Skat-Blatt-Varianten nur folgende Skat-Karten im Einsatz:
a) Karten mit Bild
b) Karten mit Herz
c) Karten ohne Bild
d) Schwarze Karten
e) Kreuz-Karten mit Zahl
f) Karo-Karten ohne Bild
Aus dem jeweiligen reduzierten Skat-Blatt von (a bis f) wird jeweils eine Karte gezogen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des zufällig gezogenen Ergebnisses.
a) Karten mit Bild
Bild-Karten gibt es: Bube, Dame und König und diese jeweils 4-mal. Daher gilt: Anzahl aller möglichen Ergebnisse: 3 · 4 = 12 Bildkarten.
Die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Bildkarte zu ziehen ist daher: P (Bild) = [latexpage] ${\frac{1}{12}$ = 0,083 (gerundet auf drei Nachkommastellen) = 8,3 %.
b) Karten mit Herz
Da es acht Herzkarten gibt, ist die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Herzkarte zu ziehen: P (Herz) = [latexpage] ${\frac{1}{8}$ = 0,125 = 12,5 %.
c) Karten ohne Bild
Karten ohne Bild sind: 7, 8, 9, 10 und Ass und das jeweils 4-mal. Deshalb gilt hier: Anzahl aller möglichen Ergebnisse: 5 · 4 = 20 Karten ohne Bild.
Die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Karte ohne Bild zu ziehen, ist daher: P (Karte ohne Bild) = [latexpage] ${\frac{1}{20}$ = 0,05 = 5 %.
d) Schwarze Karten
Schwarze Karten gibt es Kreuz und Pik und das jeweils 8-mal. Daher gilt: Anzahl aller möglichen Ergebnisse: 2 · 8 = 16.
Die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte schwarze Karte zu ziehen, ist daher: [latexpage] ${\frac{1}{16}$ = 0,0625 = 6,25 %.
e) Kreuz-Karten mit Zahl
Kreuz-Karten mit Zahl gibt es die 7, 8, 9, 10. Bei dem Ass steht keine Zahl, sondern nur der Buchstabe A. Daher weist diese Karte weder eine Zahl auf noch ein Bild.
Die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Kreuz-Karte mit Zahl zu ziehen, ist daher: [latexpage] ${\frac{1}{4}$ = 0,25 = 25 %.
f) Karo-Karten ohne Bild
Folgende Karo-Karten ohne Bild gibt es: 7, 8, 9, 10 und Ass.
Die Wahrscheinlichkeit eine Karo-Karte ohne Bild zu ziehen, ist daher: [latexpage] ${\frac{1}{5}$ = 0,2 = 20 %.
5. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Mit einer Wahrscheinlichkeit von [latexpage] ${\frac{1}{6}$ tritt bei einem Würfel die Augenzahl 5 auf. Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
a) Bei jedem 6. Wurf würfelt man eine 5.
Die Aussage ist falsch. Die Wahrscheinlichkeit eine 5 zu würfeln, liegt bei jedem Wurf bei [latexpage] ${\frac{1}{6}$. Das garantiert aber keineswegs, dass bei jedem 6. Wurf immer auch eine 5 dabei ist.
b) Unter sechs Würfen hat man mindestens eine 5.
Die Aussage ist falsch.
Von der gleichbleibenden Wahrscheinlichkeit kann man keine Aussage über das tatsächliche Eintreffen eines Ereignisse nach einer bestimmten Anzahl von Würfen machen.
c) Ist 6-mal keine 5 gewürfelt worden, so nimmt die Wahrscheinlichkeit, dass eine 5 gewürfelt wird, zu.
Die Aussage ist falsch.
Bei jedem Wurf bleibt immer die Wahrscheinlichkeit, dass eine 5 gewürfelt wird, gleich. Und diese ist immer [latexpage] ${\frac{1}{6}$.
d) Beim n-maligen Würfeln, beispielsweise n = 600, tritt die Wahrscheinlichkeit, dass eine 5 gewürfelt wird mit ungefähr [latexpage] ${\frac{n}{6}$ auf. Also bei n = 600 würde ungefähr 100-mal die 5 auftreten.
Die Aussage ist wahr.
Je öfter ein Würfel gewürfelt wird, desto mehr nähert sich die Wahrscheinlichkeit jeder einzelnen Augenzahl der Wahrscheinlichkeit [latexpage] ${\frac{1}{6}$ an. Daher auch die Augenzahl 5.
e) Wird nach 6 Würfen keine 5 gewürfelt, dann ist der Würfel gezinkt.
Die Aussage ist falsch.
Auch wenn nach 6 Würfen keine 5 auftritt, sagt das überhaupt nichts aus, dass der Würfel gezinkt ist.
f) Wettet eine Person 1 € darauf, dass beim nächsten Wurf die Augenzahl 5 erscheint, dann kann man ohne Weiteres 5 € dagegen setzen.
Die Aussage ist wahr.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine 5 eintritt ist [latexpage] ${\frac{1}{6}$ = 0,167 (auf 3 Nachkommastellen gerundet) = 16,7 %. Die Wahrscheinlichkeit, dass keine 5 eintritt ist daher [latexpage] ${\frac{5}{6}$ = 0,833 = 83,3. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses um 5-mal höher. Setzt man daher gedanklich auf jede andere Augenzahl 1 €, so kann man auch ohne Weiteres 5 € auf das Gegenereignis setzen.