1. Rechenoperationen und Rechenfähigkeiten
In Mathematik muss man bekanntlich rechnen, rechnen und nochmals rechnen. Je besser man demzufolge rechnen kann, desto weniger Fehler passieren einem beim rechnerischen Lösen von Aufgaben. Die rechnerischen Fähigkeiten eines jeden Schülers hängen hierbei maßgeblich davon ab, wie gut man das elementare Mathe-„Handwerkszeug“ beherrscht – die Rechenoperationen.
Unter Rechenoperationen zählt man bei den Grundrechenarten das Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und das Dividieren und alle darauf basierenden Rechenoperationen wie das Potenzieren, das Wurzelziehen sowie das Logarithmieren. Hierbei lernt man die Rechenoperationen zunächst einzeln, später treten die gelernten Rechenoperationen jeweils beispielsweise bei dem Bruch-, Dezimal- und Prozentrechnen in Kombination wieder auf und anderen komplizierteren zu tätigenden Rechnungen.
Jede dieser Rechenoperationen unterliegt nun bestimmten Rechengesetzen/Rechenregeln. Da die „höheren“ Rechenoperationen wie das Potenzieren, das Wurzelziehen und das Logarithmieren auf den Grundrechenarten aufbauen, kann man tendenziell besser, schneller und vor allem fehlerfreier rechnen, wenn man die Grundrechenarten so gut wie möglich kann. Aufgrund der Tatsache, dass man spätestens ab der 8. Klasse einen Taschenrechner benutzen darf, kann man jedoch bei einem gekonnten Umgang mit dem Taschenrechner wiederum vorher vorhandene und auch spätere Rechenschwächen „umschiffen“ beziehungsweise kaschieren. Das geht aber nur, solange bloß „nackte“ Zahlen vorkommen. Spätestens aber, wenn Terme mit Variablen auftreten, „flackert“ die alte Rechenschwäche aufs Neue auf. Denn auch „höhere“ Rechenoperationen wie das Wurzelziehen und das Logarithmieren kommen in Mathematik bei Termen, Gleichungen und Funktionen vor – und müssen dort vielfach korrekt angewandt werden. Zwar gibt es inzwischen auch Taschenrechner, die beliebig programmierbar sind und auch schwierigere Mathe-Ausdrücke wie Terme, Gleichungen und Funktionen mit unterschiedlichen Variablen und „höheren“ Rechenoperationen wie das Wurzelziehen und Logarithmieren berechnen können, jedoch im Mathe-Abitur sind diese nicht zugelassen. Daher geht kein Weg daran vorbei, im Fach Mathe sich alle Rechenoperationen so gut wie möglich anzueignen – ansonsten verliert man unter Garantie immer schon Punkte aufgrund eines fehlerhaften Rechenweges. Auch besteht die nicht zu unterschätzende Gefahr, dass man durch Rechenfehler den Lösungsweg verkompliziert.
Ebenso sollte man sich im Klaren sein: Je höher die Klassenstufe ist, desto häufiger wird im Fach Mathematik während der Klassenarbeiten die Uhr ticken. Umso mehr gilt das noch für das schriftliche Mathe-Abitur. Hat man daher gerade in der Oberstufe noch irgendwelche Rechenprobleme bei bestimmten Rechenoperationen, dann werden nicht nur die Klassenarbeiten in Mathematik von der Note her mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit alles andere als gut ausfallen – sondern auch das zu absolvierende schriftliche Mathe-Abitur.
2. Die Rechenoperationen bei den Grundrechenarten
Die elementarsten Rechenoperationen treten bei den Grundrechenarten, der Addition, Subtraktion, Multiplikation und der Division, auf. Hierbei bezeichnet man die Rechenoperation bei der Addition als ein Addieren, bei der Subtraktion als ein Subtrahieren, bei der Multiplikation als ein Multiplizieren und die Rechenoperation bei der Division als ein Dividieren.
Das Addieren: Beim Addieren/einem Zusammenzählen werden mindestens zwei Zahlen zusammengezählt/addiert. Das hierbei verwendete Rechenzeichen/Operarator(zeichen) ist das Pluszeichen/„+“. Die einzelnen mathematischen Zahlen/Operanden werden beim Addieren jeweils als Summanden bezeichnet und das Ergebnis als Summe. Es gilt daher beim Addieren folgende allgemeine Mathematik-Rechenoperation.
Summand + Summand = Summe
Beispiele:
1. 3 + 7 = 10
2. 12 + 34 = 46
3. 400 + 2 = 402
4. 7040051 + 778 = 7040829
Um das Addieren als Rechenoperation bei der Addition korrekt rechnerisch durchzuführen, muss man natürlich noch die hierbei auftretenden Rechengesetze/Rechenregeln beherrschen.
Das Subtrahieren: Beim Subtrahieren/einem Abziehen wird mindestens eine Zahl von einer anderen abgezogen/subtrahiert. Das hierbei verwendete Rechenzeichen/Operator(zeichen) ist das Minuszeichen/„–“. Die mathematischen Zahlen/Operanden werden bei beim Subtrahieren unterschieden, und zwar in Minuend und Subtrahend (der Minuend steht hierbei immer vor dem Subtahend), und das Ergebnis wird als Differenz bezeichnet. Es gilt daher beim Subtrahieren diese allgemeine Mathematik-Rechenoperation.
Minuend – Subtrahend = Differenz
Beispiele:
1. 8 – 5 = 3
2. 25 – 14 = 11
3. 2025 – 493 = 1532
4. 5030678 – 9856 = 5020822
Damit man das Subtrahieren als Rechenoperation bei der Subtraktion auch korrekt rechnerisch umsetzten kann, muss man natürlich ebenso die hier geltenden Rechengesetze/Rechenregeln können.
Die umgekehrte Rechenoperation zum Addieren/zum Zusammenzählen stellt das Subtrahieren/das Abziehen dar.
Das Multiplizieren: Beim Multiplizieren/einem Malnehmen werden mindestens zwei Zahlen miteinander malgenommen/multipliziert. Das hierbei verwendete Rechenzeichen/Operator(zeichen) ist das Multiplikationszeichen/„·„. Die mathematischen Zahlen/Operanden werden beim Multiplizieren jeweils als Faktor und das Ergebnis als Produkt bezeichnet. Es gilt daher beim Multiplizieren folgende allgemeine Rechenoperation.
Faktor · Faktor = Produkt
Beispiele:
1. 3 · 4 = 12
2. 18 · 12 = 216
3. 3511 · 432 = 1516752
4. 6693467 · 3406 = 22797948602
Zum korrekten rechnerischen Umsetzen des Multiplizierens als Rechenoperation bei der Multiplikation ist natürlich ebenfalls ein Beherrschen der Rechengesetze/Rechenregeln dieser Grundrechenart vonnöten.
Das Dividieren: Beim Dividieren/einem Teilen wird mindestens eine Zahl durch eine andere geteilt/dividiert. Das hierbei verwendete Rechenzeichen/Operator(zeichen) ist das Divisionszeichen/„:„. Die mathematischen Zahlen/Operanden werden beim Dividieren unterschieden, und zwar in Dividend und Divisor (der Dividend steht hierbei immer vor dem Divisor) , und das Ergebnis wird als Quotient bezeichnet. Es gilt daher beim Dividieren diese allgemeine Rechenoperation.
Dividend : Divisor = Quotient
Beispiele:
1. 9 : 3 = 3
2. 75 : 15 = 5
3. 978 : 2 = 489
4. 5978808 : 36 = 166078
Damit das Dividieren als Rechenoperation bei der Division fehlerfrei angewandt werden kann, muss man hier ebenfalls natürlich die Rechengesetze/Rechenregeln dieser Grundrechenart können.
Die umgekehrte Rechenoperation zum Multiplizieren/zum Malnehmen ist das Dividieren/das Teilen
2.1 Die Rechenoperationen beim Bruchrechnen
Jeder Bruch kann auf eine Division zurückgeführt werden, da jeder Bruch nichts anderes als eine Division darstellt.
Beispiele Zurückführen von Brüchen auf die Division:
1.
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3.
4.
Das Bruchrechnen basiert auf den Grundrechenarten. Daher treten die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division bei Brüchen wieder auf und deren Rechenoperationen. Demzufolge gibt es Brüche, deren Summe man berechnen muss, deren Differenz, deren Produkt und deren Quotient. Deshalb gilt für das Bruchrechnen, dass die Rechengesetze/Rechenregeln der Grundrechenarten beherrscht werden müssen und zudem, dass natürlich die dieser Rechenart zugrunde liegenden Rechengesetze/Rechenregeln korrekt angewandt werden müssen.
Beispiele Addieren bei Brüchen:
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3.
4.
Beispiele Subtrahieren bei Brüchen:
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3.
4.
Beispiele Multiplizieren von Brüchen:
1.
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3.
4.
Beispiele Dividieren von Brüchen:
1.
2.
3.
4.
2.2 Die Rechenoperationen beim Dezimalrechnen
Nahezu jede Dezimalzahl (bis auf nicht-abbrechende Dezimalzahlen, die nicht periodisch sind). können ohne Weiteres als Bruch dargestellt werden und somit wieder auf die Division zurückgeführt werden.
Beispiele Zurückführen von Dezimalzahlen auf Brüche und die Division:
1.
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3.
4.
Das Gleiche, was für das Bruchrechnen gilt, gilt ebenso für das Dezimalrechnen. Auch das Dezimalrechnen basiert auf den Grundrechenarten. Daher kommen auch hier die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division wieder vor sowie deren Rechenoperationen. Folglich treten Dezimalzahlen auf, deren Summe man bilden muss, deren Differenz, deren Produkt und deren Quotient. Deshalb gilt auch beim Dezimalrechnen, dass wiederum die Rechengesetze/Rechenregeln der Grundrechenarten abgerufen werden können müssen und natürlich außerdem die dieser Rechenart zugrunde liegenden Rechenregeln beachtet werden müssen.
Beispiele Addieren bei Dezimalzahlen:
1. 3,4 + 5,3 = 8,7
2. 12,9 + 53,8 = 66,7
3. 443,72 + 867,88 = 1311,6
4. 956,75 + 84555,845 = 85512,595
Beispiele Subtrahieren bei Dezimalzahlen:
1. 7,9 – 4,5 = 3,4
2. 15,81 – 2,2 = 13,61
3. 4078,74 – 975,65 = 3103,09
4. 685942,5 – 65,5647 = 685876,9353
Beispiele Multiplizieren bei Dezimalzahlen:
1. 8,5 · 7,3 = 62,05
2. 12,61· 4,1 = 51,701
3. 657,43· 73,82 = 48531,4826
4. 17945,21· 74562,645 = 1338042322,68045
Beispiele Dividieren bei Dezimalzahlen:
1. 4,6 : 2,5 = 1,84
2. 78,65 : 1,25 = 62,92
3. 876,06 : 12,5 = 70,0848
4. 1456,44 : 10,6 = 137,4
2.3 Die Rechenoperationen beim Prozentrechnen
Jede Prozentangabe lässt sich als Bruch darstellen und kann somit auf die Division zurückgeführt werden.
Beispiele Zurückführen von Prozentangaben auf Brüche und die Division
1.
2.
3.
4.
Da bei der Prozentrechnung immer Proportionalitätsverhältnisse vorliegen, bei der der gesuchte Wert jeweils mittels eines Dreisatzes bestimmt werden kann, lässt sich die Prozentrechnung auf die Multiplikation und Division zurückführen. Denn diese beiden Grundrechenarten müssen beim Dreisatz stets angewandt werden. Daher treten hier als Rechenoperationen das Multiplizieren und das Dividieren auf.
2.4 Die Rechenoperationen beim Zinsrechnen
Die Zinsrechnung ist ein Teilgebiet der Prozentrechnung. Daher kommen auch hier stets Proportionalitätsverhältnisse vor, bei denen jeweils der gesuchte Wert mit dem Dreisatz bestimmt werden kann. Da der Dreisatz auf die Multiplikation und die Division zurückgeführt werden kann, basiert die Zinsrechnung ebenso auf diesen beiden Grundrechenarten. Deshalb treten auch hier wiederum als Rechenoperationen das Multiplizieren und das Dividieren auf.
3. Die Rechenoperationen beim Potenzieren
Die nächst höhere Rechenoperation, die nach den Grundrechenarten folgt, ist das Potenzieren. Eine Potenz kann hierbei auf eine spezielle Multiplikation zurückgeführt werden, und zwar auf diejenige, bei der die Faktoren jeweils gleich sind. Daher stellt eine Potenz nur eine verkürzte Schreibweise/Darstellung dieser besonderen Multiplikation dar. Eine Potenz selbst besteht hierbei aus einer Basis/„a“und einem Exponenten/„n„. Folgende allgemeine Mathematik-Rechenoperation liegt deshalb dem Potenzieren zugrunde.
a · a · a · a · a · a · ……… · a = an
n-Faktoren von a ergeben an
Beispiele:
1. 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 59
2. 27 · 27 · 27 · 27 · 27· 27 · 27 = 277
3. 8003· 8003 · 8003 · 8003 · 8003 = 80035
4.
5 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32· 7,32 · 7,32· 7,32 · 7,32 = 7,328
Liegt eine Potenz vor, so gibt man in der Sprache der Mathematik die Potenz mit „a“ hoch „n“ wieder.
Beispiele:
1. 34 heißt in Mathe richtig wiedergegeben 3 hoch 4.
2. 125 heißt in der Mathematik korrekt 12 hoch 5.
4. Die Rechenoperationen beim Wurzelziehen/Radizieren
Auf gleicher Ebene zum Potenzieren steht das Wurzelziehen/Radizieren. Denn eine Wurzel kann nahezu immer auf eine Potenz zurückgeführt werden, da das Wurzelziehen/Radizieren die umgekehrte Rechenoperation zum Potenzieren ist. Die Wurzel selbst wird mit folgendem Rechenzeichen/Operatorzeichen wiedergegeben: √. Eine Wurzel besteht hierbei jeweils aus einem Radikanden/„a“und einem Wurzeleponenten/ „n„. Das Zurückführen einer Wurzel auf eine Potenz zeigt sich in deren Beziehungsverhältnis.
denn: xn = a
die n-te-Wurzel aus a = x denn: x hoch n = a
Beispiele:
1.
denn: 52 = 2
2.
denn: 84 = 4096
3.
denn: 215 = 32768
4.
denn:
5.
denn: 2,52 = 6,25
5. Die Rechenoperationen beim Logarithmieren
Eine weitere in Mathe zu lernende Rechenoperation stellt das Logarithmieren dar. Hierbei wird das Logarithmieren immer angewandt, wenn bei einer Potenz die Variable im Exponenten ermittelt werden soll. Der Logarithmus selbst wird mit folgendem Rechenzeichen/Operatorzeichen wiedergegeben: log. Ein Logarithmus besteht hierbei aus einer Basis/„b“ und einem Numerus/„y“. Zwischen einem Logarithmus und einer Potenz besteht nun folgendes Beziehungsverhältnis:
logby = x, denn: bx = y
Beispiele:
log3 81 = 4, denn: 34 = 81
log8 64 = 2 , denn: 82 = 64
log3 2187 = 7, denn: 37= 2187
denn:
log0,4 2,5 = –1, denn: 0,4–1 = 2,5