1. Allgemeines zur Addition und Subtraktion von Bruchzahlen
Die ersten Rechenoperationen die man in Mathe beim Bruchrechnen zwischen zwei Bruchzahlen macht, sind das Addieren und das Subtrahieren. Das Schöne hierbei ist: Hat man vorher bei der Addition und Subtraktion sowie der Multiplikation von natürlichen Zahlen keine großen Probleme gehabt, dann wird das normalerweise auch bei der Addition und der Subtraktion von Bruchzahlen so bleiben. Denn im Prinzip werden hier die vorher gelernten Fähigkeiten erneut auf den Prüfstein gestellt, wenn auch nun auf Brüche bezogen.
2. Die Addition und Subtraktion von gleichnamigen Brüchen
In der Mathematik spricht man beim Bruchrechnen von gleichnamigen Brüchen, wenn der Nenner der Bruchzahlen gleich ist. Folgendes sind alles gleichnamige Brüche:
Beispiele:
[latexpage] ${\frac{1}{4}$; [latexpage] ${\frac{3}{4}$; [latexpage] ${\frac{7}{4}$; [latexpage] ${\frac{99}{4}$;
[latexpage] ${\frac{2}{9}$; [latexpage] ${\frac{7}{9}$; [latexpage] ${\frac{11}{9}$; [latexpage] ${\frac{88}{9}$
[latexpage] ${\frac{2}{15}$; [latexpage] ${\frac{8}{15}$; [latexpage] ${\frac{23}{15}$; [latexpage] ${\frac{116}{15}$
Liegt nun in Mathe ein gleichnamiger Bruch vor, bei dem eine Addition oder Subtraktion durchgeführt werden muss, so gilt folgende Regel: Die Zähler dürfen sofort addiert bzw. subtrahiert werden, der Nenner bleibt hierbei erhalten.
Beispiele Addition gleichnamiger Brüche:
${\frac{1}{3}$ + ${\frac{4}{3}$ = ${\frac{1+4}{3}$ = ${\frac{5}{3}$ = 2${\frac{2}{3}$
${\frac{2}{7}$ + ${\frac{6}{7}$ = ${\frac{2+6}{7}$ = ${\frac{8}{7}$ = 1${\frac{1}{7}$
${\frac{3}{5}$ + ${\frac{1}{5}$ + ${\frac{4}{5}$ = ${\frac{3+1+4}{5}$ = ${\frac{8}{5}$ = 1${\frac{3}{5}$
${\frac{4}{11}$ + ${\frac{3}{11}$ + ${\frac{7}{11}$ + ${\frac{28}{11}$ = ${\frac{4+3+7+28}{11}$ = ${\frac{42}{11}$ = 3${\frac{9}{11}$
Auch gemischte Brüche, die gleichnamig sind, dürfen sofort addiert werden. Hierbei addiert man die ganzen Zahlen und die jeweiligen Nenner.
3${\frac{1}{5}$ + 2${\frac{3}{5}$ = 5${\frac{1+3}{5}$ = 5${\frac{4}{5}$
4${\frac{2}{7}$ + 3${\frac{4}{7}$ = 7${\frac{2+4}{7}$ = 7${\frac{6}{7}$
Beispiel Subtraktion gleichnamiger Brüche:
${\frac{5}{7}$ – ${\frac{4}{7}$ = ${\frac{5-4}{7}$ = ${\frac{1}{7}$
${\frac{8}{9}$ – ${\frac{4}{9}$ = ${\frac{8-4}{9}$ = ${\frac{4}{9}$
${\frac{11}{15}$ – ${\frac{4}{15}$ – ${\frac{3}{15}$ = ${\frac{11-4-3}{15}$ = ${\frac{4}{15}$
${\frac{18}{29}$ – ${\frac{5}{29}$ – ${\frac{8}{29}$ – ${\frac{2}{29}$ = ${\frac{18-5-8-2}{29}$ = ${\frac{3}{29}$
Bei Subtraktion gilbt ebenso: Gleichnamige gemischte Brüche dürfen sofort subtrahiert werden.
3${\frac{3}{4}$ – 2${\frac{1}{4}$ = 1${\frac{3-1}{4}$ = 1${\frac{2}{4}$ = 1${\frac{1}{2}$
7${\frac{5}{7}$ – 4${\frac{3}{7}$ = 3${\frac{2}{7}$
3. Addition und Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern
Bei der Addition und Subtraktion von Brüchen, die keinen gleichen Nenner haben, sprich nicht gleichnamig sind, darf man auf keinen Fall sofort die Nenner der Brüche addieren oder subtrahieren. Das würde nämlich definitiv zum falschen Ergebnis führen. Bevor man nämlich Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren oder subtrahieren darf, muss man diese gleichnamig machen. Das macht man, indem man den sogenannten Hauptnenner (das ist immer das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)) der zu addierenden oder subtrahierenden Brüche bildet und die Brüche vom Nenner und Zähler her schließlich auf den Hauptnenner hin erweitert.
Um den Hauptnenner bzw. das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zu ermitteln, muss man immer die kleinste Zahl finden, die den gemeinsamen Teiler aller Bruch-Nenner beinhaltet.
Beispiele für das Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern
a) bei echten Brüchen
${\frac{1}{2}$ + ${\frac{2}{3}$
Der Hauptnenner ist hier 6, da dies das kleinste gemeinsame Vielfache von „2“ und „3“ ist. Nach Ermittlung des Hauptnenners werden die Zähler und Nenner der beiden Brüche auf den Hauptnenner hin erweitert.
Da die „2“ in die „6“ 3-mal „hineinpasst“, wird der Bruch ${\frac{1}{2}$ mit dem Faktor 3 erweitert. In die „6“ passt die „3“ 2-mal, daher wird der Bruch ${\frac{2}{3}$ mit dem Faktor 2 erweitert.
${\frac{1\ {\cdot}\ 3}{2\ {\cdot}\ 3}$ + ${\frac{2\ {\cdot}\ 2}{3\ {\cdot}\ 2}$ = ${\frac{3}{6}$ + ${\frac{4}{6}$
Jetzt sind die Brüche gleichnamig und dürfen daher addiert werden.
${\frac{3}{6}$ + ${\frac{4}{6}$ = ${\frac{7}{6}$ = 1${\frac{1}{6}$
${\frac{3}{4}$ + ${\frac{2}{5}$
Der Hauptnenner, sprich das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV), ist hier „20“. Daher muss der erste Bruch mit dem Faktor 5 und der zweite Bruch mit dem Faktor 4 erweitert werden.
${\frac{3\ {\cdot}\ 5}{4\ {\cdot}\ 5}$ + ${\frac{2\ {\cdot}\ 4}{5\ {\cdot}\ 4}$ = ${\frac{15}{20}$ + ${\frac{8}{20}$
Die gleichnamige Brüche dürfen nun addiert werden.
${\frac{15}{20}$ + ${\frac{8}{20}$ = ${\frac{23}{20}$ = 1${\frac{3}{20}$
${\frac{3}{4}$ – ${\frac{2}{7}$
Hier ist der Hauptnenner bzw. das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) 28. Deshalb muss man den ersten Bruch mit „7“ erweitern und den zweiten Bruch mit „4“
${\frac{3\ {\cdot}\ 7}{4\ {\cdot}\ 7}$ – ${\frac{2\ {\cdot}\ 4}{7\ {\cdot}\ 4}$ = ${\frac{21}{28}$ – ${\frac{6}{28}$
Bei den nun gleichnamigen Brüchen darf die Subtraktion durchgeführt werden.
${\frac{21}{28}$ – ${\frac{6}{28}$ = ${\frac{15}{28}$
b) bei unechten Brüchen
${\frac{7}{3}$ + ${\frac{8}{5}$
Der Hauptnenner bzw. das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist hier „15“. Deshalb muss man den ersten Bruch mit dem Faktor 5 und den zweiten Bruch mit dem Faktor 3 erweitern.
${\frac{7\ {\cdot}\ 5}{3\ {\cdot}\ 5}$ + ${\frac{8\ {\cdot}\ 3}{5\ {\cdot}\ 3}$ = ${\frac{35}{15}$ + ${\frac{24}{15}$
Nun dürfen die beiden Brüche addiert werden.
${\frac{35}{15}$ + ${\frac{24}{15}$ = ${\frac{59}{15}$
Anschließend muss man den echten Bruch noch in einen gemischten Bruch umwandeln.
${\frac{59}{15}$ = 3${\frac{14}{15}$
${\frac{10}{3}$ – ${\frac{5}{4}$
Der Hauptnenner die beiden Brüche bzw. das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist hier „12“. Daher muss man den ersten Bruch mit dem Faktor 4 und den zweiten Bruch mit dem Faktor 3 erweitern.
${\frac{10\ {\cdot}\ 4}{3\ {\cdot}\ 4}$ – ${\frac{5\ {\cdot}\ 3}{4\ {\cdot}\ 3}$ = ${\frac{40}{12}$ – ${\frac{15}{12}$
Daraufhin darf man die den einen Bruch von dem anderen Bruch subtrahieren.
${\frac{40}{12}$ – ${\frac{15}{12}$ = ${\frac{25}{12}$
Zum Schluss muss man noch den unechten Bruch in einen gemischten Bruch umwandeln.
${\frac{25}{12}$ = 2${\frac{1}{12}$
c) bei gemischten Brüchen
Bei der Addition und Subtraktion von gemischten Brüchen gilt: Zuerst muss man diese in unechte Brüche umwandeln. Nach dem Gleichnamigmachen mittels des Hauptnenners bzw. des kleinsten gemeinsamen Vielfachens (kgV) dürfen diese addiert oder subtrahiert werden.
3${\frac{3}{7}$ + 4${\frac{1}{2}$ = ${\frac{24}{7}$ + ${\frac{9}{2}$
Der Hauptnenner die beiden Brüche bzw. das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist hier „14“. Daher muss der erste Bruch mit dem Faktor 2 und der zweit Bruch mit dem Faktor 7 erweitert werden.
${\frac{24\ {\cdot}\ 2}{7\ {\cdot}\ 2}$ + ${\frac{9\ {\cdot}\ 7}{2\ {\cdot}\ 7}$ = ${\frac{48}{14}$ + ${\frac{63}{14}$
Darauf darf man die beiden Brüche addieren.
${\frac{48}{14}$ + ${\frac{63}{14}$ = ${\frac{111}{14}$
Zum Schluss muss man noch den unechten Bruch in einen gemischten Bruch umwandeln.
${\frac{111}{14}$ = 7${\frac{13}{14}$
4${\frac{1}{6}$ – 2${\frac{1}{3}$
Zuerst wandelt man die gemischten Brüche hin zu unechte Brüche um.
4${\frac{1}{6}$ – 2${\frac{1}{3}$ = ${\frac{25}{6}$ – ${\frac{7}{3}$
Darauf macht man die Brüche gleichnamig. Der Hauptnenner bzw. das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist hier „6“. Daher muss man den ersten Bruch nicht erweitern, da dieser bereits den Hauptnenner vorweist, und den zweiten Bruch mit dem Faktor 2.
${\frac{25}{6}$ – ${\frac{7\ {\cdot}\ 2}{3\ {\cdot}\ 2}$ = ${\frac{25}{6}$ – ${\frac{14}{6}$
Darauf darf man den eine Bruch von dem anderen subtrahieren.
${\frac{25}{6}$ – ${\frac{14}{6}$ = ${\frac{11}{6}$
Anschließend muss man den unechten Bruch noch in einen gemischten Bruch umwandeln.
${\frac{11}{6}$ = 1${\frac{5}{6}$