1. Allgemeines zum Prozentrechnen
Das Prozentrechnen basiert auf zwei einfachen Rechenoperationen: dem Multiplizieren und dem Dividieren. Beherrscht man daher diese beiden gut, so wird man auch schnell verstanden haben, wie das Prozentrechnen funktioniert.
Beim Prozentrechnen ist als Erstes das zentrale Zeichen hierbei wichtig: das Prozentzeichen/„%„-Zeichen. In der Grundschule hat man dies aber bereits im Mathematik-Unterricht kennen gelernt. Daher weiß man, dass ein Prozentangabe/Prozentsatz schrittweise über einen Bruch und über eine Dezimalzahl ermittelt werden kann.
2. Beispiele zur Bestimmung der Prozentangabe/Prozentsatzes
Bei einer Pizza, die acht gleich große Stücke vorweist, soll jeweils der prozentuale Anteil eines Pizzastücks berechnet werden.
Der prozentuale Anteil eines Pizzastücks berechnet man nun wie folgt: Da es sich um eine ganze Pizza handelt, steht im Zähler des Bruchs die Zahl 1 und im Nenner die Anzahl der Pizzateile:
da 1 : 8; den Bruch umgerechnet in eine Dezimalzahl ergibt: 0,125; die Dezimalzahl als Prozentangabe angegeben ist schließlich (mal 100): 12,5 %.
Bei einem Rechteck, das zwanzig gleich große Teilflächen besitzt, soll für jede Teilfläche der prozentuale Anteil ermittel werden.
Der prozentuale Anteil einer Rechteckteilfläche ermittelt man folgendermaßen: Da es sich um 1 ein ganzes Rechteck handelt, steht im Zähler des Bruchs eine 1 und im Nenner die Anzahl der Rechteckteilflächen:
da 1 : 20; den Bruch in eine Dezimalzahl umgerechnet, ergibt: 0,05; die Dezimalzahl als Prozentangabe wiedergegeben, ist schließlich (mal 100): 5 %.
Jede Prozentangabe kann man deshalb auch immer wieder hin zu einem Bruch und einer Dezimalzahl hin umrechen.
Es gilt schließlich:
Bezogen auf die Pizza:
Bezogen auf die Rechteckfläche:
2.1 Beispiele zur Bestimmung der Promilleangabe/Promillesatzes
Neben dem Prozentzeichen/% gibt es noch das Promillezeichen/“‰“-Zeichen.
Hierbei gilt:
;
;
;
.
3. Definition der Begriffe: Grundwert G, Prozentwert W und Prozentsatz p %
In der Prozentrechnung treten immer wieder diese drei Begriffe auf: der Grundwert G, der Prozentwert W und der Prozentsatz p %. Einer hiervon muss dann mittels einer Prozentrechnung, abhängig von den beiden anderen gegebenen, stets ermittelt werden. Daher ist es bei der Prozentrechnung elementar, das man bei einer zu lösenden Aufgabe immer genau weiß, um welchen Begriff es sich genau handelt.
Der Grundwert G beinhaltet beim Prozentrechnen immer eine gesamte Menge von etwas.
Beispiele:
In einer Klasse sind 40 Schüler. Daher ist hier der Grundwert G = 35.
Auf einem Parkplatz stehen 25 Autos. Daher ist hier der Grundwert G = 26.
Der Prozentwert W steht beim Prozentrechnen immer für die Größe der Teilmenge.
Beispiele:
10 Schüler in einer Klasse von 40 Schülern sind weiblich. Der Prozentwert W ist hier 10.
Auf einem Parkplatz stehen 25 Autos, 8 davon sind rot. Der Prozentwert W ist hier 8.
Der Prozentsatz p % gibt beim Prozentrechnen den Anteil einer
Gesamtmenge wieder.
Beispiele:
25 % von 40 Schülern sind weiblich. Der Prozentsatz p % ist hier 25 %.
32 % von 25 Autos auf einem Parkplatz sind rot. Der Prozentsatz p % ist hier 32 %.
Bevor man eine Prozentrechnung durchführt, sollte man immer eine genaue Klarheit über die Begriffe Grundwert G, Prozentwert W und Prozentsatz p % haben.
4. Die Formeln zur Berechnung des Grundwerts G, des Prozentwerts W und des Prozentsatzes p %
Der Grundwert ergibt sich in Abhängigkeit von einem gegeben Prozentwert W und Prozentsatz p % immer folgendermaßen: der Prozentwert W muss mit der Zahl 100 multipliziert werden und das Ergebnis darauf durch den Prozentsatz p % dividiert werden.
Daher lässt sich der Grundwert G allgemein mittels dieser Formel wiedergeben:
Beispiel: 10 Schüler in einer Klasse sind weiblich. Das sind 25 % aller in der Klasse befindlichen Schüler. Wie viel Schüler umfasst insgesamt die Schulklasse?
Bezogen auf die Aufgabe ergibt sich:
In der Klasse befinden sich insgesamt 40 Schüler.
Beispiel: 8 Autos auf einem Parkplatz haben die Farbe rot. Das sind 32 % aller dort stehenden Autos. Wie viele Autos befinden sich auf dem Parkplatz?
Bezogen auf die Aufgabe ergibt sich:
Auf dem Parkplatz stehen insgesamt 25 Autos.
Den Prozentwert W errechnet man in Abhängigkeit eines gegebenen Grundwerts G und Prozentsatzes p %. stets folgendermaßen: Der Grundwert wird mit dem Prozentsatz p % multipliziert und im Anschluss wird das Ergebnis durch die Zahl 100 dividiert.
Der Prozentwert W lässt sich deshalb mithilfe dieser Formel wiedergeben:
Beispiel: In einer Klasse befinden sich 40 Schüler. 25 % davon sind weiblich. Wie viele Schüler sind weiblich?
Bezogen auf die Aufgabe ergibt sich:
In der Klasse gibt es 10 Schülerinnen.
Beispiel: Auf einem Parkplatz stehen 25 Autos. 32 % davon sind rot. Wie viele Autos sind das?
Bezogen auf die Aufgabe ergibt sich:
Auf dem Parkplatz stehen 8 rote Autos.
Der Prozentwert p % steht in Abhängigkeit zu einem gegebenen Grundwert G und einem Prozentwert W. und berechnet sich immer folgendermaßen: Der Prozentwert W wird mit der Zahl 100 multipliziert und anschließend wird das Ergebnis durch den Grundwert dividiert.
Der Prozentwert p % kann man daher mittels dieser Formel wiedergeben:
Beispiel: In einer Klasse sind 40 Schüler. 10 davon sind weiblich. Wie viel Prozent sind das?
Bezogen auf die Aufgabe ergibt sich:
In der Klasse sind 25 % der Schüler weiblich.
Beispiel: Auf einem Parkplatz sind 25 Autos. 8 davon sind rot. Wie viel Prozent sind das?
Bezogen auf die Aufgabe ergibt sich:
Auf dem Parkplatz sind 32 % der Autos rot.
5. Wachstumsfaktor und Abnahmefaktor
Bei der Prozentrechnung kann man die Zunahme und die Abnahme eines Grundwertes G sofort berechnen. Hierzu verwendet man bei einer Zunahme des Grundwertes G den sogenannten Wachstumsfaktor und bei einer Abnahme des Grundwertes G den sogenannten Abnahmefaktor.
Der Wachstumsfaktor ermittelt man hierbei bei einer Zunahme des Grundwertes G folgendermaßen, wenn ein Prozentsatz/p % vorliegt:
Ein Wachstum eines Grundwertes G berechnet sich nun immer wie folgt:
- Wachstum = Grundwert G · Wachstumsfaktor
Der Abnahmefaktor ergibt sich bei einer Abnahme des Grundwertes G wie folgt, wenn ein Prozentsatz/p % gegeben ist:
Eine Abnahme des Grundwertes G kann man nun wie folgt ermitteln:
- Abnahme = Grundwert G · Abnahmefaktor
Beispiel für eine Zunahme: Es sind gestern 700 Personen bei einer Ausstellung gewesen. Heute waren 20 % mehr vor Ort. Wie viele Besucher besuchten insgesamt heute die Ausstellung? Berechne diese Anzahl mittels des Wachstumsfaktors.
Der Wachstumsfaktor ist hier:
.
Die Zunahme der Personenanzahl ergibt sich, indem man den Grundwert G mit dem Wachstumfaktor multipliziert.
Zunahme = 700 · 1,2 = 840
Heute besuchten insgesamt 840 Personen die Ausstellung.
Beispiel für eine Zunahme: In einem Teich befanden sich ursprünglich 50 Fische. Inzwischen ist der Bestand um 6 % angewachsen. Wie viele Fische befinden sich nun im Teich?
Der Wachstumsfaktor ist hier:
.
Die Zunahme der Fische kann man nun berechnen, indem man den Grundwert G mit dem Wachstumsfaktor malnimmt.
Zunahme = 50 · 1,06 = 840 = 53
Im Teich befinden sich nun 53 Fische.
Beispiel für eine Abnahme:
Letztes Jahr schoss eine Bundesligamannschaft 130 Tore. Dieses Jahr waren es 10 % weniger. Wie viele Tore wurden dieses Jahr erzielt?
Der Abnahmefaktor ist hier =
.
Die Abnahme der Tore ergibt sich, indem man den Grundwert G mit dem Abnahmefaktor malnimmt.
Abnahme = 130 · 0,9 = 117
Diese Jahr schoss die Bundesligamannschaft insgesamt 117 Tore.
Beispiel für eine Abnahme:
Karl ging letztes Jahr 60-mal ins Kino. Dieses Jahr waren es 5 % weniger an Kinobesuche. Wie oft ging Karl dieses Jahr ins Kino?
Der Abnahmefaktor ist hier:
.
Die Abnahme an Kinobesuchen kann man berechnen, indem man den Grundwert G mit dem Abnahmefaktor multipliziert.
Abnahme = 60 · 0,95 = 57
Karl ging dieses Jahr insgesamt 57-mal ins Kino.
Der Wachstumsfaktor gilt auch für die Zinsrechnung. Hier bezieht sich der Faktor dann aber auf das Kapital K, das anwächst.