Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Gleichungen mit Parametern, Teil 2

Das Fachvokabular für Mathe © Stephanie Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Das Fachvokabular für Mathe © Stephanie Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Die Terminologie in Mathematik ist sehr wichtig. Was? Die Terminologie! Was? Das Fachvokabular ? Was? Das Fachvokabular? Was? Die speziellen Wörter, die man im Fach Mathematik verwendet! Ach so! Versteht man wirklich gleich so oft bei bestimmten/speziellen Wörtern, die im Mathe-Unterricht gebräuchlich sind, BAHNHOF, dann sollte man schleunigst diesbezüglich seine überfälligen Hausaufgaben nachholen. Dann hat man nämlich schon Lücken im Fach Mathematik aufgebaut, die das Verständnis des weiteren dort behandelnden Lernstoffes erschweren. Ein Beispiel gefällig: Schüler und Schülerinnen müssen beispielsweise wissen, was ein Parameter ist (was schon wirklich gut ist, ist: wenn man auch den eher selten verwendeten Fachbegriff bzw. Fachwort Formvariable kennt 😉 ). Nur dann kann man sich ja auch etwas unter diesem Fachvokabular vorstellen – und schließlich gezielt eine Aufgabe lösen! Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Gleichungen mit Parametern, Teil 1

Gleichungen mit Parametern (Formvariablen) © Claudia Hautumm PIXELIO www.pixelio.de

Gleichungen mit Parametern (Formvariablen) © Claudia Hautumm PIXELIO www.pixelio.de

In Mathe können Gleichungen nicht nur eine Variable vorweisen, sondern auch zwei (oder noch mehr). Solch eine Gleichung nennt man dann Gleichung mit Parameter oder Formvariable. Hierbei ist es wichtig zu wissen: Was ist die Lösungsvariable und was ist die Formvariable? Davon hängt ja entscheidend ab, nach welcher Variablen hin man die Gleichung auflösen muss (klingt logisch, oder?). Bei Formeln zur Berechnung des Flächeninhalts von Vielecken oder dem Volumen von Prismen muss man mittels Äquivalenzumformungen die Gleichung immer nach der Lösungsvariablen hin umformen. Das ist dann später eine praktische Anwendung von Gleichungen mit Parametern/Formvariablen. Hier zeigt sich aber dann auch: Jede Variable kann die Lösungsvariable sein. Je nach Aufgabenstellung kann das deshalb variieren. 😉 Weiterlesen

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Gleichungen mit Parametern

1. Allgemeines zu Gleichungen mit Parametern/Formvariablen

Gleichungen können in Mathe nicht nur eine Variable vorweisen, sondern auch mehrere. Am besten kann man solche Gleichungen verstehen, wenn man sich einmal von der Form her gleiche Gleichungen vor Augen führt.

 

Es sind folgende vier Gleichungen samt Lösung gegeben:

a)    (x + 10)² – (x – 10)² = 100;    L = {{\frac{5}{2}}}

b)    (x + 4)² – (x – 4)² = 16;    L = {1}

c)   (x + 2)² – (x – 2)² = 4;    L = {{\frac{1}{2}}}

d)    (x + 1)² – (x – 1)² = 1;    L = {{\frac{1}{4}}}

e)    (x + {\frac{4}{5}})² – (x – {\frac{4}{5}})²;   L = {{\frac{1}{5}}}

 

Alle diese Gleichungen können auf folgende Form hin verallgemeinert werden:

(x + t)² – (x – t)² = t²

 

Denn bei t = 10 ergibt sich die Gleichung:

a)    (x + 10)² – (x – 10)² = 100

 

Bei t = 4 ist die Gleichung:

b)    (x + 4)² – (x – 4)² = 16

 

Bei t = 2 ist die Gleichung:

c)    (x + 2)² – (x – 2)² = 4

 

Bei t = 1 ist die Gleichung:

d)    (x + 1)² – (x – 1)² = 1

 

Bei t = {\frac{4}{5}} ist die Gleichung:

e)   (x + {\frac{4}{5}})² – (x – {\frac{4}{5}})²;   L = {{\frac{1}{5}}}

 

Die bei der Gleichung zusätzlich neben x auftretende Variable t nennt man Parameter oder Formvariable.

Bei den obigen Gleichungen hat der Parameter/die Formvariable jeweils folgenden Wert:

bei a)   t = 10;   b)   t = 4;   c)   t = 2;   d)  t = 1;   e)   t = {\frac{4}{5}}.

 

Aufgrund der Lösungen der Gleichungen liegt die Vermutung nahe, dass die Lösung einer Gleichung diese Form vorweist:   L = {\frac{\mathrm t}{4}}. Bei den Lösungen b) und c) kann man das sofort sehen, bei den Lösungen a), d) und e) muss man die Brüche jeweils erweitern, um das sehen zu können.

Um sicher sagen zu können, dass alle Gleichungen der Form (x + t)² – (x – t)² = t² die Lösung L = {\frac{\mathrm a}{4}} haben, muss man die Gleichung nach der Variablen x hin umformen.

(x + t)² – (x – t)² = t²

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Bei (x + t)² liegt die 1. Binomische Formel vor und bei (x – t)² die 2. Binomische Formel. Siehe hierzu auch ergänzend unter dem Reiter Binomische Formeln die dort gemachten Ausführungen an.

 

x² + 2tx + t² – (x² – 2tx + t²) = t²

t² + 2tx + t² – x² + 2tx – t² = t²

4tx = t²                  |    : 4t                 (für t ≠ 0)

x = {\frac{\mathrm t^2}{4\mathrm t}}

x = {\frac{\mathrm t}{4}}

 

Probe:

({\frac{\mathrm t}{4}} + t)² – ({\frac{\mathrm t}{4}} – t)² = t²

({\frac{5}{4}}t)² – (–{\frac{3}{4}}t)² = t²

{\frac{25}{16}}t² – {\frac{9}{16}}a = t²

t² = t²

Die Probe bestätigt die Reichtigkeit des Ergebnisses.

 

Jetzt gilt es noch zu überprüfen, was für eine Lösung die Gleichung der Form (x + t)² – (x – t)² = a²  für t = 0 hat.

Bei t = 0 ergibt sich die Gleichung:

(x + 0)² – (x – 0)² = (0)²

x – x = 0

0 = 0

Es gilt also nicht bei t = 0, dass L = {{\frac{\mathrm t}{4}}} ist.

Bei t = 0 ist nämlich L = {\mathbb Q} oder {\mathbb R} (je nach Klassenstufe).

Bei t ≠ 0 ist L = {{\frac{\mathrm t}{4}}}.

 

Bei Gleichungen mit Parameter/Formvariable können immer auch Sonderfälle auftreten. Bei der Gleichung mit der Form (x + t)² – (x – t)² = t² tritt ein Sonderfall bei t = 0 auf. Die Gleichung ist dann nämlich: x² – x² = 0. Sollten Sonderfälle bei einer Gleichung mit Parameter/Formvariable vorkommen, so kann man diese ohne Weiteres aus der Definitionsmenge ausschließen.

Für (x + t)² – (x – t)² = t²  kann daher gelten als Definitionsmenge gelten: D = {t Є {\mathbb Q} Ι t ≠ 0} oder D = {\mathbb Q} \ {0}

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Außer t können die Parameter/Formvariablen noch andere Buchstaben des Alphabets sein.

 

2. Lösungsvariable und Formvariable bei Parametergleichungen

Es ist folgende Gleichung gegeben:

4x + 8y = 24

Für diese Gleichung soll die Lösungsmenge bestimmt werden.

Da hier aber zwei Variablen auftreten, muss noch ganz klar definiert sein:

Was ist die Lösungsvariable und was ist die Formvariable? Ansonsten weiß man ja gar nicht, nach welcher Variablen man die Gleichung hin umformen muss.

Beide Aufgaben machen verdeutlichen dies:

a) Gib die Lösungsmenge an. x ist die Lösungsvariable und y die Formvariable.

4x + 8y = 24        |    – 8y

4x = –8y + 24      |    : 4

x = –2y + 6

L = {–2y + 6}

 

b) Gib die Lösungsmenge an: y ist die Lösungsvariable und x die Formvariable.

4x + 8y = 24        |    – 4x

8y = –4x + 24      |     : 8

y = –0,5x + 3

L = {–0,5x + 3}

Wie man sieht, erhält man je nach Aufgabenstellung eine unterschiedliche Lösungsmenge.

Daher muss folgendes bei Gleichungen mit Formvariablen/Parametern gelten:

Bei jeder Gleichung mit zwei und mehr Variablen muss genau definiert sein, was die Lösungsvariable ist und was die Formvariable(n)/Parameter. Nur dann kann man bei der Gleichung auch die Lösungsmenge bestimmen.

Um die Lösungsvariable zu ermitteln, ist es notwendig die Gleichung so umzuformen, dass auf der einen Seite der Gleichung die Lösungsvariable isoliert steht und auf der anderen Seite der Rest der Gleichung. Das ist identisch mit dem Auflösen einer Gleichung nach einer Variablen hin.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter dem Reiter Gleichungen 3. Äquivalenzumformungen bei Gleichungen an.

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