Additionsverfahren

1. Allgemeines zum Additionsverfahren

Beim Lösen eines linearen Gleichungssystems (LGS) mittels dieses Lösungsverfahrens steht das Addieren (oder auch Subtrahieren) von Gleichungen im Mittelpunkt.

Das Lösen eines linearen Gleichungssystems mittels des Additionsverfahrens kann auf zwei verschiedene Arten durchgeführt werden:

a) Man eliminiert beim LGS die Variable x.

b) Man eliminiert beim LGS die Variable y.

Man kann auch bei einem LGS beide Gleichungen voneinander abziehen. Hier liegt streng genommen ein Subtraktionsverfahren vor. Da man aber auch eine Subtraktion immer hin zu einer algebraischen Summe („–“ ist gleich „+“ “) umwandeln kann, ist das Subtraktionsverfahren kein eigenständiges Lösungsverfahren. Es kann daher auf das Additionsverfahren zurückgeführt werden.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch ergänzend die Erläuterung zur algebraischen Summer unter dem Reiter Terme 1.2 Eine algebraische Summe an.

 

1. Erster Lösungsweg mittels des Additionsverfahrens

Der erste Lösungsweg beinhaltet, dass man die Variable x eliminiert. Hierfür muss aber gewährleistet sein, dass der Koeffizient beider Variablen jeweils Gegenzahlen sind (hier: 4 und –4). Da das hier noch nicht der Fall ist, muss man die erst Gleichungen mit dem Faktor „–4“ malnehmen (was nichts anderes als eine Äquivalenzumformung ist). Die andere Gleichung bleibt hierbei unverändert. Die mittels Äquivalenzumforumgen veränderte Gleichung wird dann als III. bezeichnet.

I.      x + 7y = 5                         Ι  · (–4)

II.     4x + y = –7

 

I.      –4x – 28y = –20

III.     4x + y = –7

 

Jetzt kann man beide Gleichungen miteinander addieren. Die Gleichung, die man nicht mittels einer Äquivalenzumformung verändert hat, bleibt hierbei unverändert so stehen. Das „–4x“ + „4x“ eliminiert sich hierbei. „–28y“ + „y“ ergibt „27y“ und „–20“ + „–7“ ist „–27“. Durch die Addition von Gleichung II. mit Gleichung I. bleibt jetzt nur noch die Variable y übrig. Jetzt muss man nur noch den Koeffizienten vor der Variablen eliminieren.

IV.     –27y = –27             Ι  · (–27)

 

IV.     y = 1

Die erste Lösungskoordinate setzt man nun als Nächstes in die Gleichung ein, die unverändert blieb bzw. in einer der beiden Ursprungsgleichungen. Anschließend löst man diese Gleichung nach der Variablen x hin auf.

II.      4x + 1 = –7                   Ι  – 1

 

II.      4x = –8                          Ι  : 4

 

II.      x = –2

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Nach der Addition beider Gleichungen behält man normalerweise eine der beiden Ursprungsgleichungen bei. Es handelt sich ja um ein LGS. Deshalb weist diese ja immer auch zwei Gleichungen auf. Der bessern Übersicht wegen wird hier aber darauf verzichtet.

 

Man kann nun die Ergebnisse mittels Probe überprüfen.

I.      –2 + 7 · (1) = 5

II.     4 · (–2) + (1) = –7

 

I.      –2 + 7 = 5

II.     –8 + 1 = –7

 

I.      5 = 5

II.     –7 = –7

Die Probe bestätigt die Richtigkeit des Ergebnisses.

 

Die Lösungsmenge des LGS ergibt daher folgendes Lösungspaar:

 L = {(–2 Ι 1)}.

 

2. Zweiter Lösungsweg mittels Additionsverfahren

Der zweite Lösungsweg sieht vor, dass das LGS nach der Variablen y hin aufgelöst wird. Der Koeffizient muss hier wiederum Gegenzahlen vorweisen (hier: 6 und –6). Damit die eine Gleichung diese vorweist, muss diese mit dem Faktor 6 malgenommen werden (das stellt wiederum eine Äquivalenzumforumg dar). Die andere Gleichung bleibt hierbei wiederum unverändert. Die Gleichung, die man mittels Äquivalenzumformung verändert hat, wird dasnn als III. bezeichnet.

I.     –5x + y = 6                       Ι  · 6

II.     2x – 6y = 48

 

III.     –30x + 6y = 36

II.     2x – 6y = 48

Beide Gleichungen können nun miteinander addiert werden. Die Gleichung, bei der keine Äquivalenzumformung durchgeführt worden ist, bleibt dann unverändert so stehen. Das „–30x“ + „2x“ ergibt „–28x“, das „6y“ + „–6y“ eliminiert sich und das „36“ + 48 ergibt „84“. Durch die Addition, die bei Gleichung II. mit Gleichung I. durchgeführt wurde, bleibt jetzt nur noch die Variable x übrig. Diese Gleichung muss nun nur noch nach der Variablen hin aufgelöst werden.

IV.     –28x = 84               Ι  · (–28)

 

IV.      x = –3

 

Als Nächstes setzt man nun die eine Lösungkoordinate in die Gleichung ein, die nicht verändert wurde bzw. in eine der beiden Ursprungsgleichungen. Daraufhin löst man die Gleichung nach der Variablen y hin auf.

 

I.     –5 · (–3) + y = 6

 

I.     15 + y = 6                        Ι  – 15

 

I.     y = –9

 

Als Lösungsmenge des LGS ergibt sich folgendes Lösungspaar:

L = {(–3 Ι –9)}.

 

Das Ergebnis kann man nun wiederum mittels Probe überprüfen:

I.     –5 · (–3) + (–9) = 6

II.     2 · (–3) – 6 · (–9) = 48

 

I.     15 – 9 = 6

II.     –6 + 54 = 48

 

I.     6 = 6

II.    48 = 48

Die Probe bestätigt die Richtigkeit des Ergebnisses.

 

3. Dritter Lösungsweg mittels Additionsverfahren

Der dritte Lösungsweg beinhaltet, dass man das lineare Gleichungssystem mittels des Additionsverfahrens entweder nach der Variablen x oder der Variablen y hin auflöst. Oft liegt in Mathe ein LGS vor, bei dem das Auflösen nach der einen Variablen oder nach einer anderen Variablen hin in etwa gleich schwer ist. Ist das der Fall, dann muss man immer beide Gleichungen mittels einer Äquivalenzumformung verändern.

Dieses LGS kann man sowohl nach x oder y hin auflösen. Beides ist hier in etwa gleich schwer.

Um das lineare Gleichungssystem nach der Variablen x hin aufzulösen, muss der Koeffizient vor dem x jeweils bei beiden Gleichungen Gegenzahlen vorweisen. Das erreicht man hier, indem man die erste Gleichung mit dem Faktor –3 malnimmt  und die zweite Gleichung mit dem Faktor 2. Dadurch erhält man als Koeffizienten für x die erforderlichen Gegenzahlen (– 6 und 6).

I.     2x – 3y = 6                         Ι  · (–3)

II.     3x – 2y = 12                      Ι  · 2

 

III.     –6x + 9y = –18

IV.     6x – 4y = 24

Beide Gleichungen können nun miteinander addieren werden. Das „–6x“ und das „6x“ eliminieren sich. „9y“ plus „–4y“ ergibt 5y und –18 plus 24 ergibt 6. Dadurch bleibt nur noch die Variable y übrig und die Gleichung kann nach der Variablen hin aufgelöst werden.

V.     5y = 6                                Ι  : 5

 

V.     y = 1,2

Die erste Lösungskoordinate kann man nun in eine der beiden Ursprungsgleichungen einsetzen. Anschließend löst man die Gleichung nach der Variablen x hin auf.

I.     2x – 3 · (1,2) = 6

 

I.     2x – 3,6 = 6                         Ι  + 3,6

 

I.     2x = 9,6                               Ι  : 2

 

I.     x = 4,8

Das Lösungspaar des LGS ist:

      L = {(4,8 Ι 1,2)}.

 

Das Ergebnis kann wiederum mittels Probe überprüft werden:

 

I.     2 · (4,8) – 3 · (1,2) = 6

II.     3 · (4,8) – 2 · (1,2) = 12

 

I.     9,6 – 3,6 = 6

II.     14,4 – 2,4 = 12

 

I.     6 = 6

II.     12 = 12

Die Probe bestätigt, dass die Lösung des LGS korrekt ist.

 

Damit man das lineare Gleichungssystem nach der Variablen y hin umformen kann, muss wiederum der Koeffizient vor dem y bei beiden Gleichungen die Gegenzahlen vorweisen. Das erzielt man, indem man die erste Gleichung mit dem Faktor –2 malnimmt und die zweite Gleichung mit dem Faktor 3. Hierdurch hat dann der Koeffizient die erforderlichen Gegenzahlen (´6 und – 6).

I.     2x – 3y = 6                         Ι  · (–2)

II.     3x – 2y = 12                      Ι  · 3

 

III.     –4x + 6y = –12

IV:     9x – 6y = 36

Jetzt können beide Gleichungen miteinander addiert werden. Das „–4x“ und das „9x“ ergibt „5x“, das „6y“ und das „–6y“ eliminieren sich und das „–12“ und das „36“ ergibt 24. Nun weist die Gleichung nur noch die Variable x auf und kann somit nach dieser Variablen hin umgeformt werden.

V.     5x = 24                               Ι  : 5

 

V.     x = 4,8

Die erste Lösungskoordinate setzt man nun in eine der beiden Ursprungsgleichungen des LGS ein. Daraufhin löst man die Gleichung nach der Variablen hin auf.

I.     2 · (4,8) – 3y = 6

 

I.     9,6 – 3y = 6                          Ι  – 9,6

 

I.     –3y = –3,6                            Ι  : (–3)

 

I.     y = 1,2

Die zweite Lösungskoordinate ist y = 1,2.

 

Als Lösungsmenge des LGS ergibt sich daher Folgendes:

 L = {(4,8 Ι 1,2)}.

 

Mittels Probe kann das Ergebnis überprüft werden:

I.     2 · (4,8) – 3 · (1,2) = 6

II.     3 · (4,8) – 2 · (1,2) = 12

 

I.     9,6 – 3,6 = 6

II.     14,4 – 2,4 = 12

 

I.     6 = 6

II.     12 = 12

Die Probe bestätigt die Korrektheit des Ergebnisses.

 

Das Ergebnis bei beiden Auflösungen des LGS ist identisch. Das muss auch so sein! Es handelt sich ja jeweils um das gleiche lineare Gleichungssystem. Die Lösung ist daher natürlich auch die Gleiche, egal, ob man zuerst mittels des Additionsverfahrens die Variable x oder die Variable y eliminiert.

 

4. Vorgehensweise beim Lösen eines linearen Gleichungssystems mittels des Additionsverfahrens

Um ein lineares Gleichungssystem mittels des Additionsverfahren zu lösen, geht man folgendermaßen vor.

  1. Zuerst schaut man sich genau die beiden Gleichungen an, damit gewahr wird, wie die Gleichungen am leichtesten mittels Äuquivalenzumformungen vereinfacht werden können.
  2. Darauf multipliziert man eine Gleichung mit einer Zahl oder beide Gleichungen mit Zahlen, so dass bei zwei gleichen Variablen deren Koeffizient jeweils Gegenzahlen sind. Keine Gleichung darf hierbei mit der Zahl Null malgenommen werden.
  3. Die beiden Gleichungen werden jetzt miteinander addiert.
  4. Die durch Addition entstandene Gleichung weist jetzt nur noch eine Variable auf. Diese Gleichung muss mann nun nach der Variablen hin auflösen. Dadurch erhält man die erste Lösungskoordinate. Die zweite Gleichung behält man normalerweise unverändert bei (es handelt sich ja um LGS).
  5. Die erste Lösungskoordinate setzt man in einer der beiden Ursprungsgleichungen des LGS ein. Dadurch weist die Gleichung nur noch eine Variable auf. Diese Gleichung löst man nun nach der Variablen hin auf. Das Ergebnis stellt die zweit Lösungskoordinate dar.
  6. Die Probe bestätigt die Lösung des LGS.
  7. Die beiden Lösungskoordinaten ergeben die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.
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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Funktionen, Teil 3

Eine Funktion in Mathe © Samuel G. PIXELIO www.pixelio.de

Beim Stoffgebiet lineare Funktionen in Mathe lernt man bereits, dass bei Funktionen sowohl immer rechnerisch als auch zeichnerisch Funktionsuntersuchungen gemacht werden können. Lineare Funktionen weisen ja auch, wie alle anderen Funktionen, bestimmte Merkmale/Charakteristika auf. So sind lineare Funktionen beispielsweise normalerweise linear steigend oder fallend (das kann man anhand der Funktionsgleichung ablesen) und sie haben einen Schnittpunkt mit der x- und y-Achse (das kann man beides rechnerisch bestimmen). Der Graph einer linearen Funktion ist hierbei eine Gerade – die dann ebenfalls alle Merkmale/Charakteristika aufweist, welche man rechnerisch bestimmt hat oder bestimmen kann. Aus diesem Grund sind im Fach Mathematik lineare Funktionen auch sehr wichtig, da sie zur Gänze bereits darlegen, was das Besondere an ihnen ist. Bei anderen Funktionen verhält es sich dann genauso. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu quadratische Funktionen, Teil 3

Normalparabel in verschiedene Richtungen verschoben

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Wie fit man in Mathe in Algebra ist, zeigt sich augenscheinlich bei dem Stoffgebiet quadratische Funktionen. Hier muss man nämlich schon teils schwierigere Termumformungen machen. Weist nämlich eine quadratische Funktion die Form f(x) = x² + px + q auf, dann kann man beispielsweise nicht sofort sagen, wie der Scheitelpunkt der Funktion ist. Hierfür muss man den Term der Funktion algebraisch in die sogenannte Scheitelpunktform umformen. Nur dann kann man schließlich den Scheitelpunkt der Funktion eindeutig bestimmen. Um diese wichtige Termumformung in Mathe korrekt durchzuführen, muss man aber auch die binomischen Formeln gut verinnerlicht haben, da die Scheitelpunktform einen Term darstellen – bestehend aus einer binomischenen Formel. Mathe ist daher alles andere als leicht, aber auch nicht superschwer – wenn man in diesem Fach immer am Ball bleibt! Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Gleichungen, Teil 6

Fundamentale (Bau-)Prinzipien bei Bauklötzen © Daniel Bleyenberg PIXELIO www.pixelio.de

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Inzwischen bereits ein Dauerthema im Mathematik Nachhilfe Blog stellen lineare Gleichungen dar. Das hat natürlich seine Gründe und ist demzufolge alles andere als grundlos. Außenstehende können nämlich sofort immer das Argument anführen, dass man durch das ständig Gleiche ja nichts Neues lernt! IMMER wieder lineare Gleichungen – ist ja auch immer wieder dasselbe. Es gibt hierfür aber dennoch folgende überaus plausible Gründe: Lineare Gleichungen sind die ersten in Mathe thematisierten Gleichungen. Sie stellen daher das Fundament für alle weiteren in Mathematik noch behandelt werdenden Gleichungen dar; die dort thematisierten algebraischen Gesetzmäßigkeiten sind daher auch Fundamentalgesetzmäßigkeiten/Fundamentalprinzipien; lineare Gleichungen weisen bereits viele verschiedene Aufgabentypen auf, die bei komplexeren Aufgaben wiederum auftreten; lineare Gleichungen sind sehr wichtig allgemein für das Verständnis von Gleichungen und Funktionen. Außerdem ist das hier ein Mathematik Nachhilfe Blog 😉 , die Wiederholung, die Repetitio, ist Blog-immanent 😉 . Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Gleichungen mit Parametern, Teil 2

Das Fachvokabular für Mathe © Stephanie Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

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Die Terminologie in Mathematik ist sehr wichtig. Was? Die Terminologie! Was? Das Fachvokabular ? Was? Das Fachvokabular? Was? Die speziellen Wörter, die man im Fach Mathematik verwendet! Ach so! Versteht man wirklich gleich so oft bei bestimmten/speziellen Wörtern, die im Mathe-Unterricht gebräuchlich sind, BAHNHOF, dann sollte man schleunigst diesbezüglich seine überfälligen Hausaufgaben nachholen. Dann hat man nämlich schon Lücken im Fach Mathematik aufgebaut, die das Verständnis des weiteren dort behandelnden Lernstoffes erschweren. Ein Beispiel gefällig: Schüler und Schülerinnen müssen beispielsweise wissen, was ein Parameter ist (was schon wirklich gut ist, ist: wenn man auch den eher selten verwendeten Fachbegriff bzw. Fachwort Formvariable kennt 😉 ). Nur dann kann man sich ja auch etwas unter diesem Fachvokabular vorstellen – und schließlich gezielt eine Aufgabe lösen! Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchgleichungen, Teil 5

Logik in Mathe S. © Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

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Eine bestimmte Logik ist bei jedem Stoffgebiet in Mathe zentral. Mathematik ist ja Logik pur. Deshalb nimmt dieses Fach in der Schule auch eine sehr, sehr wichtige Stellung ein. Wie sieht nun aber beispielsweise die Logik beim Stoffgebiet Bruchgleichungen aus? Guckt man sich Bruchgleichungen an, so beginnt die Logik beim Aufstellen der Definitionsmenge der jeweiligen Aufgabe. Hiermit steht und fällt ja die Lösung der Aufgabe! Als Nächstes muss man die Gleichung dahingehend vereinfachen, dass man bei den Brüchen deren Hauptnenner bildet. Anschließend löst man die jetzt ganz normale Gleichung nach der Variablen hin auf. Zum Schluss muss man noch die Lösung mit der Definitionsmenge abgleichen und die Lösung angeben. Das ist die Logik bei Buchgleichungen – um diese Gleichungen richtig zu lösen. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu quadratischen Gleichungen, Teil 11

Der richtige Lösungsweg führt in Mathe zum Ziel © JMG PIXELIO www.pixelio.de

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Es gibt bei einer quadratischen Gleichung verschiedene rechnerische Lösungsverfahren. Wendet man diese korrekt an, ergeben jene allesamt das richtige Ergebnis. So funktioniert ja Mathe! Wie gelingt das einem aber? Das Stichwort ist hier: Fleiß! Auch wenn man am Anfang vielleicht nicht zur Gänze verstanden hat, wie die p-q-Formel oder das quadratische Ergänzen funktioniert, dann sollte man auf keinen Fall „den Kopf in den Sand stecken“. Vielmehr sollte man eigenständig versuchen Aufgaben zu lösen. Die Aufgaben überprüft man dann im Unterricht oder mit den gemachten Aufgaben von KlassenkameradInnen. Irgendwann macht es dann nämlich „klick“. Das passiert aber nur, wenn man weiter intensiv die Aufgaben macht – und genau guckt, wie man mittels eines Lösungsverfahren zur Lösung einer quadratischen Gleichung kommt und was man für Fehler hierbei evtl. gemacht hat. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Funktionen, Teil 2

Neuigkeiten aus dem Mathe-Unterricht © Tim Reckmann PIXELIO www.pixelio.de

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Als Schülerin und Schüler lernt man in Mathe als erste Funktionen lineare Funktionen kennen. „Das sind Geraden“, sagt ein emsiger Eleve, als er von seinen Eltern gefragt wird, was das sind. „Den Graph einer linearen Funktion nennt man Gerade“, antwortet der Lehrer bei einem Elternabend auf die gleiche Frage einer Elternhälfte. Der Lehrer muss das auch haargenau so sagen, denn die Darstellung einer linearen Funktion in einem Koordinatensystem ergibt eine Gerade. „Lineare Funktionen kann man aber nicht nur im Koordinatensystem darstellen“, ergänzt er weiter. „Lineare Funktionen weisen auch einen Funktionsterm auf, anhand dem man verschiedene Berechnungen machen kann – die auch wiederum an deren Graph ablesbar sind.“ „Aha“, hört man dann die Eltern sagen. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Gleichungen, Teil 5

Alle Gleichungen liefern ein ''wahres'' Ergebnis © M. Großmann PIXELIO www.pixelio.de

Alle Gleichungen liefern ein “wahres“ Ergebnis © M. Großmann PIXELIO www.pixelio.de

In Mathe ist die Bedeutung von Wörtern zentral, das führt man sich aber nicht immer bewusst vor Augen (wie das übrigens auch oft im realen Leben der Fall ist). Bei der Einführung von Gleichungen bzw. linearen Gleichungen (was ja die ersten im Fach Mathematik sind), bezieht sich die Bedeutung des Wortes auf die Terme rechts und links des Gleichheitszeichens („=“). Sind nämlich hierbei beide Terme gleich, also rechts und links des Gleichheitszeichens, dann ist die Gleichung auch wahr (formal gesehen). 1 = 1 oder 25 = 25 ist ja beispielsweise nichts anderes als eine wahre Aussage. Sind die Terme jedoch nicht gleich, so liefert die Gleichung eine unwahre Aussage (formal gesehen), wie zum Beispiel: 1 ≠ 2 bzw. 25 ≠ 26. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Satz des Pythagoras, Teil 4

Der Satz des Pythagoras © S. Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Der Satz des Pythagoras © S. Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Bei einem rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras. Demzufolge gilt diese sehr berühmte Gesetzmäßigkeit nicht, wenn kein rechtwinkliges Dreieck vorliegt. Ist nun ein rechtwinkliges Dreieck gegeben, dann weist solch ein Dreieck immer eine Hypotenuse und zwei Katheten auf. Was ist aber was? Das ist ganz, ganz einfach – und sollte man deshalb auch nie vergessen. Die Hypotenuse ist immer die Seite im rechtwinkligen Dreieck, die sich gegenüber dem rechten Winkel befindet. Die anderen Seiten sind dann stets die Katheten, da die Hypotenuse ja immer festgelegt ist. Demzufolge ist auch stets klar, wenn man den Satz des Pythagoras an einem beliebigen rechtwinkligen Dreieck aufgestellt, was für eine Gleichung sich ergibt bzw. ergeben muss. Weiterlesen

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