Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Prozentrechnen, Teil 4

Alkoholfreie Fahrt Pflicht © Viktor Mildenberger PIXELIO www.pixelio.de

Bei der Prozentrechnung in Mathe bekommen Schülerinnen und Schüler nicht nur Prozentangaben näher gebracht, sondern auch Promilleangaben. Beide Begriffe hat man hierbei bereits vorher kennengelernt, wenn auch in einem anderen Zusammenhang. Prozentangaben nämlich in der Regel bei Preissenkungen und Rabatten, Promilleangaben hingegen stets mit Alkohol und Verkehrskontrollen. Hat man schließlich bei einer Verkehrskontrolle zu viel „Benzin“/Alkohol im Blut, sprich zu viele Promille, so verliert man ja bekanntlich seinen Führerschein. In Deutschland liegt hierbei die sogenannte Promillegrenze bei 0,5 ‰. Im Gegensatz zu einer Prozentangabe, die für einen eher förderlich ist, da man hierdurch oftmals Geld sparen kann, ist eine Promilleangabe daher eher mit Angstschweiß verbunden – vorausgesetzt man hat „zu tief ins Glas geschaut“. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Prozentrechnen, Teil 3

Das Prozentzeichen verspricht einen günstigen Einkauf © Thorben Wengert PIXELIO www.pixelio.de

Das Prozentrechnen ist eine der wenigen Mathe-Stoffgebiete, die alltagstauglich sind. Bei fast jedem Einkauf sieht man nämlich in einem Geschäft ein Prozentzeichen, das auf einen ordentlichen Preisnachlass verweist. Sei es im Supermarkt oder in einem Kleidergeschäft oder sonst einem Laden, überall gibt es um einiges verbilligte Ware. Ganz penible Menschen können dann ihre einst erworbenen Mathematik-Fähigkeiten anwenden und haargenau überprüfen, ob die Schnitzel wirklich vom Ursprungspreis her um 30 % herabgesetzt wurden oder der Pullover um gar 60 %. Hierbei wird Folgendes auffallen: Oftmals wurden die herabgesetzten Schnitzel nicht um 30 %, sondern „nur“ um vielleicht 28,7 % oder 29,3 % rabattiert, genauso der Pullover „nur“ vielleicht um 57,8 % oder 58,9 %. Im Prinzip könnte man hier von einem Handelsbetrug sprechen. Letztlich ist es aber geschicktes Marketing und geschickte Verkaufspsychologie. Ein Preisnachlass mit einem Rabatt von 60 Prozent „wirkt“ einfach ganz anders als ein Rabatt mit 57,8 %. Außerdem sollte man als Kunde eh zufrieden sein, dass man diese oder jene Ware so sehr vergünstigt angeboten bekommt!

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Prozentrechnen, Teil 2

Preissenkung in einem Geschäft © Tony Hegewald PIXELIO www.pixelio.de

Mithilfe des Wachstumsfaktors kann man bei einem Anwachsen eines Grundwerts sofort dessen genaue Zunahme berechnen. Umgekehrt kann man mit Zuhilfenahme des Abnahmefaktors bei dem Geringerwerden eines Grundwerts sogleich dessen Abnahme ausrechnen. Das ist sehr praktisch. So kann man nämlich beispielsweise bei einer Verteuerung der neuen anfallenden Kosten gewahr werden, bei einem Rabatt hingegen den Preis nach der Verbilligung einer Ware. Und beides kommt ja im Alltag sehr häufig vor. Daher haben diese beiden Formeln einen großen Alltagsbezug:

  • Wachstum = Grundwert G · Wachstumsfaktor     (Wachstumsfaktor = 1 + {\frac{\mathrm p}{100})
  • Abnahme = Grundwert G · Abnahmefaktor     (Abnahmefaktor = 1 – {\frac{\mathrm p}{100})

Im Einzelhandel kann man mittels des Abnahmefaktors auch immer gleich überprüfen: Stimmt die prozentuale angegebene Preissenkung auch wirklich oder weicht diese ein wenig ab. Hin und wieder ist es nämlich in Geschäften so, dass der auf einem Plakat stehende Rabatt in Prozent nicht immer zu 100 % stimmt – statt zum Beispiel einer 35 %igen Preissenkung liegt nach Überprüfung in Anführungszeichen nur eine 34 %ige Reduzierung des Preises vor. Hierbei handelt es sich zwar juristisch gesehen um einen Betrug, der aber voll und ganz im „grünen Bereich“ liegt. Schließlich klingt 35 % einfach viel besser als 34 % und ist somit eine viel bessere Verkaufsstrategie. Außerdem ist ein Preisnachlass real um 34 % auch weiterhin für ein Kunden super und lässt das eigene Schnäppchenherz garantiert höher schlagen. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Prozentrechnen, Teil 1

Preisnachlasswahnsinn in Prozent © Tony Hegewald PIXELIO www.pixelio.de

Ein nicht allzu schweres Mathe-Stoffgebiet stellt das Prozentrechnen dar. Schließlich basiert es zum einen nur auf der Multiplikation und Division, zum anderen dreht es sich stets um drei Begriffe – wobei der gesuchte Begriff stets mittels einer Mathematik-Formel berechnet werden kann. Daher ist das Prozentrechnen auch für Nicht-Mathe-Fans eine jederzeit zu bewältigende Hürde.

Die drei Begriffe, um die das Prozentrechnen kreist, sind hierbei der Grundwert G, der Prozentwert W und der Prozentsatz p %. Die drei Formeln zur Berechnung des jeweils gesuchten Begriffs setzen sich wie folgt zusammen:

G = \frac{W\ {\cdot}\ 100}{p};              W = \frac{G\ {\cdot}\ p}{100};              p = \frac{W\ {\cdot}\ 100}{G} Weiterlesen

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Prozentrechnung

Das Prozentzeichen © Tony Hegewald PIXELIO www.pixelio.de

1. Allgemeines zum Prozentrechnen

Das Prozentrechnen basiert auf zwei einfachen Rechenoperationen: dem Multiplizieren und dem Dividieren. Beherrscht man daher diese beiden gut, so wird man auch schnell verstanden haben, wie das Prozentrechnen funktioniert.

Beim Prozentrechnen ist als Erstes das zentrale Zeichen hierbei wichtig: das Prozentzeichen/„%„-Zeichen. In der Grundschule hat man dies aber bereits im Mathematik-Unterricht kennen gelernt. Daher weiß man, dass ein Prozentangabe/Prozentsatz schrittweise über einen Bruch und über eine Dezimalzahl ermittelt werden kann.

 

2. Beispiele zur Bestimmung der Prozentangabe/Prozentsatzes

Bei einer Pizza, die acht gleich große Stücke vorweist, soll jeweils der prozentuale Anteil eines Pizzastücks berechnet werden.

Der prozentuale Anteil eines Pizzastücks berechnet man nun wie folgt: Da es sich um eine ganze Pizza handelt, steht im Zähler des Bruchs die Zahl 1 und im Nenner die Anzahl der Pizzateile:

{\frac{1}{8} da 1 : 8; den Bruch umgerechnet in eine Dezimalzahl ergibt: 0,125; die Dezimalzahl als Prozentangabe angegeben ist schließlich (mal 100): 12,5 %.

Bei einem Rechteck, das zwanzig gleich große Teilflächen besitzt, soll für jede Teilfläche der prozentuale Anteil ermittel werden.

Der prozentuale Anteil einer Rechteckteilfläche ermittelt man folgendermaßen: Da es sich um 1 ein ganzes Rechteck handelt, steht im Zähler des Bruchs eine 1 und im Nenner die Anzahl der Rechteckteilflächen:

{\frac{1}{20} da 1 : 20; den Bruch in eine Dezimalzahl umgerechnet, ergibt: 0,05; die Dezimalzahl als Prozentangabe wiedergegeben, ist schließlich (mal 100): 5 %.

Jede Prozentangabe kann man deshalb auch immer wieder hin zu einem Bruch und einer Dezimalzahl hin umrechen.

Es gilt schließlich: p % = {\frac{p}{100}

Bezogen auf die Pizza: 12,5 % = {\frac{12,5}{100} = 0,125

Bezogen auf die Rechteckfläche: 5 % = {\frac{5}{100} = 0,05

 

2.1 Beispiele zur Bestimmung der Promilleangabe/Promillesatzes

Neben dem Prozentzeichen/% gibt es noch das Promillezeichen/“‰“-Zeichen.

Hierbei gilt:p‰ = {\frac{p}{1000}

1‰ = {\frac{1}{1000}; 4‰ = {\frac{4}{1000}; 12‰ = {\frac{12}{1000}; 15‰ = {\frac{15}{1000}

 

Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz im Alltag © Claudia Hautumm PIXELIO www.pixelio.de

3. Definition der Begriffe: Grundwert G, Prozentwert W und Prozentsatz p %

In der Prozentrechnung treten immer wieder diese drei Begriffe auf: der Grundwert G, der Prozentwert W und der Prozentsatz p %. Einer hiervon muss dann mittels einer Prozentrechnung, abhängig von den beiden anderen gegebenen, stets ermittelt werden. Daher ist es bei der Prozentrechnung elementar, das man bei einer zu lösenden Aufgabe immer genau weiß, um welchen Begriff es sich genau handelt.

Der Grundwert G beinhaltet beim Prozentrechnen immer eine gesamte Menge von etwas.

 

Beispiele:

In einer Klasse sind 40 Schüler. Daher ist hier der Grundwert G = 35.

Auf einem Parkplatz stehen 25 Autos. Daher ist hier der Grundwert G = 26.

 

Der Prozentwert W steht beim Prozentrechnen immer für die Größe der Teilmenge.

 

Beispiele:

10 Schüler in einer Klasse von 40 Schülern sind weiblich. Der Prozentwert W ist hier 10.

Auf einem Parkplatz stehen 25 Autos, 8 davon sind rot. Der Prozentwert W ist hier 8.

 

Der Prozentsatz p % gibt beim Prozentrechnen den Anteil einer

Gesamtmenge wieder.

 

Beispiele:

25 % von 40 Schülern sind weiblich. Der Prozentsatz p % ist hier 25 %.

32 % von 25 Autos auf einem Parkplatz sind rot. Der Prozentsatz p % ist hier 32 %.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Bevor man eine Prozentrechnung durchführt, sollte man immer eine genaue Klarheit über die Begriffe Grundwert G, Prozentwert W und Prozentsatz p % haben.

 

4. Die Formeln zur Berechnung des Grundwerts G, des Prozentwerts W und des Prozentsatzes p %

Der Grundwert ergibt sich in Abhängigkeit von einem gegeben Prozentwert W und Prozentsatz p % immer folgendermaßen: der Prozentwert W muss mit der Zahl 100 multipliziert werden und das Ergebnis darauf durch den Prozentsatz p % dividiert werden.

Daher lässt sich der Grundwert G allgemein mittels dieser Formel wiedergeben:

G = \frac{W\ {\cdot}\ 100}{p}

 

Beispiel: 10 Schüler in einer Klasse sind weiblich. Das sind 25 % aller in der Klasse befindlichen Schüler. Wie viel Schüler umfasst insgesamt die Schulklasse?

G = \frac{W\ {\cdot}\ 100}{p}; bezogen auf die Aufgabe ergibt sich: G = \frac{10\ {\cdot}\ 100}{25} = 40

In der Klasse befinden sich insgesamt 40 Schüler.

 

Beispiel: 8 Autos auf einem Parkplatz haben die Farbe rot. Das sind 32 % aller dort stehenden Autos. Wie viele Autos befinden sich auf dem Parkplatz?

G = \frac{W\ {\cdot}\ 100}{p}; bezogen auf die Aufgabe ergibt sich: G = \frac{8\ {\cdot}\ 100}{32} = 25

Auf dem Parkplatz stehen insgesamt 25 Autos.

“Hallo, ich bin ein Baum und wer bist du…“ © Adolf Riess PIXELIO www.pixelio.de

Den Prozentwert W errechnet man in Abhängigkeit eines gegebenen Grundwerts G und Prozentsatzes p %. stets folgendermaßen: Der Grundwert wird mit dem Prozentsatz p % multipliziert und im Anschluss wird das Ergebnis durch die Zahl 100 dividiert.

Der Prozentwert W lässt sich deshalb mithilfe dieser Formel wiedergeben:

W = \frac{G\ {\cdot}\ p}{100}

 

Beispiel: In einer Klasse befinden sich 40 Schüler. 25 % davon sind weiblich. Wie viele Schüler sind weiblich?

W = \frac{G\ {\cdot}\ p}{100}; bezogen auf die Aufgabe ergibt sich: W = \frac{40\ {\cdot}\ 25}{100} = 10

In der Klasse gibt es 10 Schülerinnen.

 

Beispiel: Auf einem Parkplatz stehen 25 Autos. 32 % davon sind rot. Wie viele Autos sind das?

W = \frac{G\ {\cdot}\ p}{100}; bezogen auf die Aufgabe ergibt sich: W = \frac{25\ {\cdot}\ 32}{100} = 8

Auf dem Parkplatz stehen 8 rote Autos.

 

Der Prozentwert p % steht in Abhängigkeit zu einem gegebenen Grundwert G und einem Prozentwert W. und berechnet sich immer folgendermaßen: Der Prozentwert W wird mit der Zahl 100 multipliziert und anschließend wird das Ergebnis durch den Grundwert dividiert.

Der Prozentwert p % kann man daher mittels dieser Formel wiedergeben:

p = \frac{W\ {\cdot}\ 100}{G}

 

Beispiel: In einer Klasse sind 40 Schüler. 10 davon sind weiblich. Wie viel Prozent sind das?

p = \frac{W\ {\cdot}\ 100}{G}; bezogen auf die Aufgabe ergibt sich: p = \frac{10\ {\cdot}\ 100}{40} = 25 %

In der Klasse sind 25 % der Schüler weiblich.

 

Beispiel: Auf einem Parkplatz sind 25 Autos. 8 davon sind rot. Wie viel Prozent sind das?

p = \frac{W\ {\cdot}\ 100}{G}; bezogen auf die Aufgabe ergibt sich: p = \frac{8\ {\cdot}\ 100}{25} = 32 %

Auf dem Parkplatz sind 32 % der Autos rot.

 

5. Wachstumsfaktor und Abnahmefaktor

Bei der Prozentrechnung kann man die Zunahme und die Abnahme eines Grundwertes G sofort berechnen. Hierzu verwendet man bei einer Zunahme des Grundwertes G den sogenannten Wachstumsfaktor und bei einer Abnahme des Grundwertes G den sogenannten Abnahmefaktor.

Der Wachstumfaktor ermittelt man hierbei bei einer Zunahme des Grundwertes G folgendermaßen, wenn ein Prozentsatz/p % vorliegt:

  • Wachstumsfaktor = 1 + {\frac{p}{100}

Ein Wachstum eines Grundwertes G berechnet sich nun immer wie folgt:

  • Wachstum = Grundwert G · Wachstumsfaktor

Der Abnahmefaktor ergibt sich bei einer Abnahme des Grundwertes G wie folgt, wenn ein Prozentsatz/p % gegeben ist:

  • Abnahmefaktor = 1 – {\frac{p}{100}

Eine Abnahme des Grundwertes G kann man nun wie folgt ermitteln:

  • Abnahme = Grundwert G · Abnahmefaktor

 

Beispiel für eine Zunahme: Es sind gestern 700 Personen bei einer Ausstellung gewesen. Heute waren 20 % mehr vor Ort. Wie viele Besucher besuchten insgesamt heute die Ausstellung? Berechne diese Anzahl mittels des Wachstumsfaktors.

Der Wachstumsfaktor ist hier: 1 + {\frac{20}{100} = 1,2.

Die Zunahme der Personenanzahl ergibt sich, indem man den Grundwert G mit dem Wachstumfaktor multipliziert.

Zunahme = 700 · 1,2 = 840

Heute besuchten insgesamt 840 Personen die Ausstellung.

 

Beispiel für eine Zunahme: In einem Teich befanden sich ursprünglich 50 Fische. Inzwischen ist der Bestand um 6 % angewachsen. Wie viele Fische befinden sich nun im Teich?

Der Wachstumsfaktor ist hier: 1 + {\frac{6}{100} = 1,06.

Die Zunahme der Fische kann man nun berechnen, indem man den Grundwert G mit dem Wachstumsfaktor malnimmt.

Zunahme = 50 · 1,06 = 840 = 53

Im Teich befinden sich nun 53 Fische.

 

Beispiel für eine Abnahme:

Letztes Jahr schoss eine Bundesligamannschaft 130 Tore. Dieses Jahr waren es 10 % weniger. Wie viele Tore wurden dieses Jahr erzielt?

Der Abnahmefaktor ist hier = 1 – {\frac{10}{100} = 0,9

Die Abnahme der Tore ergibt sich, indem man den Grundwert G mit dem Abnahmefaktor malnimmt.

Abnahme = 130 · 0,9 = 117

Diese Jahr schoss die Bundesligamannschaft insgesamt 117 Tore.

 

Beispiel für eine Abnahme:

Karl ging letztes Jahr 60-mal ins Kino. Dieses Jahr waren es 5 % weniger an Kinobesuche. Wie oft ging Karl dieses Jahr ins Kino?

Der Abnahmefaktor ist hier = 1 – {\frac{5}{100} = 0,95

Die Abnahme an Kinobesuchen kann man berechnen, indem man den Grundwert G mit dem Abnahmefaktor multipliziert.

Abnahme = 60 · 0,95 = 57

Karl ging dieses Jahr insgesamt 57-mal ins Kino.

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Der Wachstumsfaktor gilt auch für die Zinsrechnung. Hier bezieht sich der Faktor dann aber auf das Kapital K, das anwächst.

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