Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung, Teil 2

Kugel auf Rouletterad © Herbert Käfer PIXELIO www.pixelio.de

Jede Person, die leidenschaftlich Roulette spielt und auf IHRE Zahl hofft, hat offenbar niemals etwas von einem Monsieur Laplace gehört. Der berühmte französische Mathematiker Pierre-Simon Laplace beschäftigte sich nämlich bereits im 18. Jahrhundert intensiv mit auf Wahrscheinlichkeit basierenden Phänomenen. Hierbei stellte er bei verschiedenen Zufallsexperimenten fest: Die Wahrscheinlichkeit bleibt immer von Versuch zu Versuch bei allen eintretenden Ereignissen gleich. Diese einfache und zugleich geniale Feststellung trägt bis heute den Namen des berühmten Mathematikers, da es sich hierbei um die sogenannte Laplace-Regel handelt. Und das ist auch der Grund, warum leidenschaftliche Roulette-Spieler stets vergeblich auf IHRE Zahl warten – und immer mehr an Geld verzocken. Schließlich bleibt bei jedem Roulette-Wurf die Wahrscheinlichkeit gleich (da hier auch die Laplace-Regel gilt) – und diese ist stets zu Ungunsten des Spielenden. Weiterlesen

Please follow and like us:

Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung, Teil 1

Reißnägel © Claudia Hautumm PIXELIO www.pixelio.de

Nimmt der Mathe-Lehrer plötzlich im Unterricht eine Packung Reißnägel aus seiner Hosentasche und entleert die komplette Packung auf seinem Schreibtisch, dann könnten viele Schülerinnen und Schüler denken: „Die viele Mathematik hat ihm offenbar auf Dauer nicht gutgetan und einen ernsten Schaden im Oberstübchen hinterlassen.“ Diese Meinung verfestigt sich noch entschieden, nachdem der Lehrer im Anschluss alle Münzen aus seinem Portemonnaie in die Luft wirft. Als der Lehrer aber schließlich sagt: „Hey! Keine Sorge! Ich bin nicht verrückt geworden, denn fortan beschäftigen wir uns in Mathematik mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung,“ sind viele Schülerinnen und Schüler sehr froh, dass beim Lehrer doch noch „alle Tassen im Schrank sind“ und sie gedanklich hinsichtlich seines Geisteszustandes auf dem Holzweg waren. Weiterlesen

Please follow and like us:

Wahrscheinlichkeitsrechnung

1. Allgemeines zur Wahrscheinlichkeitsrechnung

Karten- und Glücksspiele faszinieren Menschen über die Maßen. Das gilt ganz besonders, wenn man dadurch auch noch Geld gewinnen kann. Schließlich macht es nahezu jedem Spaß durch Spielen Geld zu gewinnen. Daher gibt es auch weltweit unzählige Kasinos und Spielbanken, die das einem ermöglichen – vorausgesetzt man ist mindestens 18 Jahre alt. Glücksspiele sind nämlich bekanntlich auch sehr gefährlich, da sie schnell süchtig machen – und man hierbei schnell jede Menge Geld verlieren kann. Aus diesem Grund macht hier auch eine Altersbegrenzung einen großen Sinn. Aber auch als Erwachsener sollte man sich stets im Klaren sein: Bei Karten- und bei Glücksspielen, die bei Kasinos und Spielbanken zum Einsatz kommen, ist die Wahrscheinlichkeit immer zu Ungunsten des Spielenden bzw. wie man so schön sagt: „Die (Spiel-)Bank gewinnt immer!“

Ein Glücksspiel - das Wüfeln © Claudia Hautumm PIXELIO www.pixelio.de

In Mathe in der Wahrscheinlichkeitsrechnung geht es nun darum, bei einem bestimmten zufälligen Ereignis ganz genau die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen. Hierzu greift man auf sogenannte Zufallsexperimente (beispielsweise mit Münzen, Karten Roulette) zurück, deren Ergebnisse auf die Realität (wie zum Beispiel auf Spielbanken- und Casinowelten) übertragbar sind.

 

2. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

2.1 Zufallsexperiment

Ein Zufallsexperiment basiert, wie der Name es schon sagt, nur auf Zufall. Also alle Ausgänge solch eines Experiments sind einzig und allein vom Zufall abhängig.

 

Beispiele:

Das Werfen einer Münze; das Würfeln mit einem Würfeln; der Ausgang bei einem Roulette-Wurf; das Ziehen einer Kugel aus einem Gefäß, in dem sich verschiedenfarbige Kugeln befinden; das Ziehen einer Karte aus einem Stapel Karten; das Drehen eines Glücksrads, das in verschiedene Zahlen oder Farben unterteilt ist.

 

2.2 Ergebnismenge Ω

Die Ergebnismenge Ω gibt immer die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiment an.

 

Beispiele:

Bei einer Münze mit Kopf und Zahl ist Ω = {Kopf; Zahl}; bei einem Würfel, der aus sechs Zahlen besteht, ist Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}; bei einem Gefäß, in dem sich rote, blaue und grüne Kugeln befinden, ist Ω = {rot; blau; grün}.

 

2.3 Ereignis E

Das Ereignis E ist immer eine Teilmenge der Ergebnismenge Ω. Das Ereignis ist hierbei immer eine eingegrenzte Möglichkeit aller Möglichkeiten der Ergebnismenge.

 

Beispiele:

Das Ereignis: „Zahl“ bei einem Münzwurf, E = {Zahl} {\subset Ω; die ungeraden Zahlen bei einem Würfelwurf, E = {1; 3; 5} {\subset Ω; die Bildkarten bei einem Kartenspiel, E = {Bube; Dame; König} {\subset Ω.

 

2.31 Elementare Summenregel

Um in Mathe die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, gilt folgende einfache Regel: die elementare Summenregel.

Können bei einem Zufallsversuch mehrere Ergebnisse auftreten und man möchte die Wahrscheinlichkeit wissen, dass das Ergebnis oder diese Ergebnisse eintreffen, so fasst man jene zu einem Ereignis zusammen. Alle zu dem Ereignis E gehörenden Ergebnisse a1, a2, a3, …, am weisen dann diese Wahrscheinlichkeit P(E) auf:

P(E) = P(a1) + P(a2) + P(a3) + … + P(am)

 

Beispiele:

Beim Würfeln das Auftreten der Zahlen 1, 3, 5 und 6

P({1, 3, 5, 6}) = P(1) + P(3) + P (5) + P(6) = {\frac{1}{6} + {\frac{1}{6} + {\frac{1}{6} + {\frac{1}{6} = {\frac{4}{6}

Beim Drehen eines Glücksrads, das aus 10 Zahlen besteht und 10 gleichgroßen Feldern, und die Zahlen 2, 5, 7, 8 auftreten.

P({2, 5, 7, 8}) = P(2) + P(5) + P(7) + P(8) = {\frac{1}{10} + {\frac{1}{10} + {\frac{1}{10} + {\frac{1}{10} = {\frac{4}{10}

 

2.4 Elementarereignis

Das Elementarereignis ist ein Ereignis, das immer nur aus einem einzigen Ergebnis besteht.

 

Beispiele:

Beim Münzwurf ist {Zahl} ein Elementarereignis; beim Würfel ist die Augenzahl {4} ein Elementarereignis; bei einem Kartenspiel {Karo Bube}.

 

2.5 Laplace-Experiment

Bei einem Laplace-Experiment handelt es sich um ein Zufallsexperiment, bei dem alle Elementarereignisse mit gleichbleibender Wahrscheinlichkeit auftreten. Diese gleich bleibende Wahrscheinlichkeit der Elementarereignisse kann man mittels der sogenannten Laplace-Regel berechnen.

Die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses, das einer gleich bleibenden Wahrscheinlichkeit unterliegt, kann man folgendermaßen berechnen:

{P(E)=\frac{Anzahl~der~zu~E~geh\"orenden~ Ergebnisse}{Anzahl~aller~m\"oglichen~Ergebnisse}

Beispiele:

Eine Münze besteht aus Kopf und Zahl. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis Kopf auftritt ist: {P(E)=\frac{1}{2} = 0,5 = 50 %. Demzufolge ist auch die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Münzwurf das Ergebnis Zahl auftritt: {P(E)=\frac{1}{2} = 0,5 = 50 %.

Ein Würfel besteht aus den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dass Zahl 5 als Ergebnis auftritt, hat die Wahrscheinlichkeit: {P(E)=\frac{1}{6} = 0,167 (gerundet auf drei Nachkommastellen) = 16,7 %. Daher ist auch die Wahrscheinlichkeit, dass als Ergebnis 1, 2, 3, 4 oder 6 gewürfelt wird: {P(E)=\frac{1}{6} = 0,167.

Ein Roulette-Spiel besteht aus 36 Feldern plus der Null als Feld. Die Wahrscheinlichkeit, dass als Ergebnis eine 10 beim Roulette auftritt, ist daher: {P(E)=\frac{1}{37} = 0,027 (gerundet auf drei Nachkommastellen) = 2,7 %. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit für alle anderen Zahlen als Ergebnis ebenso: {P(E)=\frac{1}{37} = 0,027 = 2,7 %.

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Sei es eine Zahl, ein Würfel oder ein Roulette oder etwas anderes, das bei seiner Wahrscheinlichkeit unter das Laplace-Experiment fällt, in der Realität gelten diese Wahrscheinlichkeiten natürlich ebenso! Würde man daher sehr, sehr oft alle Ergebnisse bei einem Münzwurf, bei einem Würfel usw. notieren, dann würden diese sich von der Wahrscheinlichkeit mehr und mehr der durch das Laplace-Experiment berechnenden Wahrscheinlichkeiten annähern.

 

2.6 Gegenereignis

Liegt ein Ereignis E vor, so kann man auch immer eine eindeutige Aussage über das hierzu gehörige Ereignis {\overline{E}, das sogenannte Gegenereignis von E, machen. Das Gegenereignis {\overline{E} beinhaltet nämlich immer alle Ergebnisse der Ergebnismenge S eines Zufallsversuches, die nicht zu dem Ereignis E gehören.

 

Beispiele:

Bei einem einmaligen Münzwurf trat das Ereignis E „Kopf“ ein. Das Gegenereignis {\overline{E} ist hier „Zahl“.

Beim dreimaligen Würfeln gab es das Ereignis „Augenzahl 2“ und „Augenzahl 3“. Das Gegenereignis {\overline{E} ist hier „Augenzahl 1“, „Augenzahl 4“, „Augenzahl 5“, „Augenzahl 6“.

 

2.61 Komplementärregel

Liegt ein Ereignis E vor und dessen Ergebnismenge S, so gilt folgende Komplementärregel:

Die Wahrscheinlichkeit P(E) des Ereignisses E und die Wahrscheinlichkeit P({\overline{E}) des hierzu gehörigen Gegenereignisses ergeben zusammen immer 1. Daher gilt hier:

P(E) + P({\overline{E}) = 1

Beispiele:

Bei einem Münzwurf ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Kopf“ P(Kopf) = \frac{1}{2} = 0,5 = 50 %. Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses P(Zahl) ist = \frac{1}{2} = 0,5 = 50 %. P(Kopf) + P (Zahl) = 0,5 + 0,5 = 1.

Die Wahrscheinlichkeit bei einem Würfelwurf, dass das Ereignis „Augenzahl 2“ eintritt ist P(Augenzahl 2) = \frac{1}{6} = 0,167 (gerundet auf drei Nachkommastellen) = 16,7 %. Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses (Augenzahl 1, 3, 4, 5, 6) = \frac{5}{6} = 0,833 (gerundet auf drei Nachkommastellen). P(Augenzahl 2) + P(Augenzahl 1, 3, 4, 5, 6) = 0,167 + 0,833 = 1.

Please follow and like us:

Stochastik

Die Stochastik, ein wichtiges Teilgebiet der Mathematik, ist in der Schule lange Zeit eher nur am Rande behandelt worden. Seit der gymnasialen Schulreform und der damit verbundenen neugestalteten Lehrplanausrichtung hat sich das entschieden geändert. Und das ist auch gut so! Schließlich beschäftigt sich die Stochastik mit etwas ganz Wichtigem – dem Zufall. Natürlich denken viele jetzt, dass das Phänomen des Zufalls gerade in unserer logisch-rational aufgebauten Welt nur eine untergeordnete Rolle spielt. Aber mit dieser Ansicht liegt man vollkommen falsch.

Der Irrtum liegt meiner Meinung nach darin begründet, dass die Macht und der Einfluss des Zufalls im Leben oftmals unterschätzt wird. Aber gerade viele entscheidende Ereignisse auf der Welt passieren per Zufall und das – ob man will oder nicht. Denn viele gewichtige Vorgänge, die zufällig passieren, sind nämlich entweder ausgesprochen positiv oder negativ.

Zwillinge © Maren Beßler PIXELIO www.pixelio.de

Ein absolut negatives Ereignis, das jeder kennt und das sowohl die Macht als auch den Einfluss des Zufalls sehr gut unter Beweis stellt, ist der Untergang der Titanic. Als das damals größte Schiff der Welt nämlich 1912 von Southampton aus seine Jungfernfahrt nach New York antrat, kam es dort bekanntlich nie an. Denn die als unsinkbar geltende Titanic rammte mit einer ihrer Schiffsseiten ungefähr 300 Seemeilen von Neufundland entfernt einen Eisberg und sank zwei Stunden nach dem Zusammenstoß. Von den über 2.200 Menschen an Bord mussten aufgrund viel zu wenig an Bord vorhandener Rettungsboote um die 1.500 Menschen sterben. Dadurch erlangte der Untergang der Titanic auch bis heute eine traurige Berühmtheit.

Ein weiteres Beispiel, das die Macht und den Einfluss eines negativen Zufalls sehr gut aufzeigt, ereignete sich im Leben von Ödön von Horváth. Der sehr talentierte österreichisch-ungarische Schriftsteller Ödön von Horváth, der bei den Nationalsozialisten in die Liste der verbotenen Autoren aufgenommen war, konnte zwar noch rechtzeitig 1938 nach dem Anschluss Österreichs ans Deutsche Reich nach Frankreich fliehen. Doch als er kurz darauf in der französischen Hauptstadt Paris auf der Prachtstraße Champs-Élysées abends während eines stürmischen Gewitters spazieren ging, wurde er dort von einem herabfallenden Ast eines Baumes erschlagen.

Aber natürlich passieren zum Glück nicht nur negative Zufälle auf der Welt, sondern auch überaus viele positive: Denn nach statistischen Erhebungen bekamen im Jahre 1977 in Deutschland noch nur 9 von 1.000 Frauen eine Zwillingsgeburt, 2011 durften sich schon 18 von 1.000 Frauen über eine Doppelgeburt freuen. Aber auch das menschliche Leben, das wie alles Leben per Zufall entstanden ist, ist ein sehr gutes Beispiel für ein sehr positives Zufallsereignis. Denn die Lebenserwartung der Menschen auf unserem Planeten erhöht sich immer mehr, da Frauen und Männer auf fast allen Teilen der Welt immer älter werden.

Roulette © Bernhard Friesacher PIXELIO www.pixelio.de

Die Stochastik teilt sich selbst in zwei Gebiete auf. Alle bisher beschriebenen Beispiele lassen sich hierbei dem einen Gebiet zuordnen – der Statistik. Aber natürlich können nicht nur negative und positive Ereignisse statistisch erfasst werden. Denn im Prinzip geht es in der Statistik jeweils um Daten, die einer bestimmten Erhebung zugrunde liegen und die natürlich auf einer gewissen Weise dem Zufall unterliegen. Nach der Ermittlung der statistischen Daten kann man diese mithilfe von mathematischen Begriffen und Verfahren auswerten.

Das zweite Gebiet, das zur Stochastik gehört, ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Hierbei wird bei bestimmten zufälligen Ereignissen mithilfe mathematischer Methoden untersucht, wie häufig das Auftreten dieses oder jenes Zufallsereignisses wahrscheinlich ist. Die klassischen Beispiele der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind hierbei im Bereich Glücksspiel zu finden. Denn in der Wortzusammensetzung Glücksspiel ist ja auch bereits der Zufall stets mitenthalten, da das Wort Glück hier mit dem Wort Zufall identisch ist. Die überaus bekannten Kasinospiele, wie die Kartenspiele Black Jack und Poker oder das Glücksspiel Roulette, sind allesamt solche Zufallsereignisse und unterliegen daher ganz bestimmten, genau berechenbaren Wahrscheinlichkeiten. Aber auch jede Art von Wetten, wie zum Beispiel Sportwetten oder anderweitige Spezialwetten, zählt zum Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung, so dass man auch hier genau berechnen kann – wie groß die eigene Gewinnchance tatsächlich ist.

Loriot wäre sicherlich nicht Loriot, wenn nicht auch etwa vor und während des Spielens von Skat seine eigenen Loriot’schen Eigenarten zum Vorschein kämen.

Mit bestimmten zur Stochastik gehörenden Zufallsereignissen wird man nicht nur in Mathe in der Schule konfrontiert werden, sondern direkt oder indirekt mit 100 %iger Wahrscheinlichkeit sein ganzes Leben über und das – ob man will oder nicht. Denn die meisten Zufallsereignisse passieren in unserer logisch-rational aufgebauten Welt einfach, ohne dass man selbst etwas dagegen machen kann.

Daher sollte in dieser Mathematik-Nachhilfe zum Thema Stochastik auch die bedeutende Macht und der bedeutende Einfluss des Zufalls deutlich werden, um sowohl positive als auch negative Ereignisse besser verarbeiten zu können.

Please follow and like us: