Wer in Mathematik gegenüber seinen Mitschülern beim Stoffgebiet Potenzen die Aufgaben am schnellsten löst, ist nicht automatisch am potentesten, sprich am stärksten (potens = das lateinische Adjektiv für stark). Der Knabe oder das junge Fräulein kann einfach gut rechnen – und hierbei Potenzgesetze richtig anwenden. Da Potenzen auf der Rechenoperation des Multiplizierens basieren, beherrschte der Knabe oder das junge Fräulein das Malnehmen unter Garantie auch schon sehr gut. Daher war der Switch hin zu Potenzen und deren Potenzgesetze für dieses Kind ein Leichtes. Gut aufpassen und gut mitmachen, zahlt sich schließlich vor allem im Fach Mathematik aus. Dadurch ist man aber auch alles andere als ein Streber oder eine Streberin. Man erfüllt einfach seinen Job, der zu diesem Zeitpunkt Schülerin oder Schüler heißt – und das kontinuierlich.
Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Potenzen
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle das Ergebnis der Potenz.
a) [latexpage] $({\frac{0,3}{0,4})^6$
b) [latexpage] $({\frac{1}{\sqrt{3}})^4$
c) [latexpage] $({\frac{3,5}{\sqrt{2}})^3$
d) [latexpage] $({\frac{5}{\sqrt{2}})^6$
e) [latexpage] $(–{\frac{2}{\sqrt{5}})^6$
f) [latexpage] $({\frac{4,8}{\sqrt{3}})^3$
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle mit dem Taschenrechner das Ergebnis.
a) 39
b) (–4)8
c) 0,88232
d) (–1,4)14
e) [latexpage] $({\frac{6}{7})^1^2$
f) [latexpage] ${(\sqrt{6})^1^5$
g) [latexpage] $(–\sqrt{8})^1^2$
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Gib die Folgenden Terme ohne Bruchstrich wieder.
a) [latexpage] ${\frac{1}{5x}$
b) [latexpage] ${\frac{1}{9x}$
c) [latexpage] ${\frac{1}{(a\ {\cdot}\ b)^4}$
d) [latexpage] $({\frac{a}{b})^3$
e) [latexpage] ${\frac{x}{y}$
f) [latexpage] ${\frac{1}{(\sqrt{x})^5}$
g) [latexpage] ${\frac{b}{c^3}$
h) [latexpage] ${\frac{x^5}{y^4}$
i) [latexpage] ${\frac{1}{(x~+~y)^3}$
j) [latexpage] ${\frac{1}{(1~+~a)}$
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Wende ein Potenzgesetz an!
a) 24 · 23
b) 32 · 36
c) 51 · 53
d) 5–5 · 5–4
e) 3–1 · 3–3
f) 13 · 12
g) 02 · 05
h) 105 · 10–3
Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet Potenzen
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne die Potenz.
a) [latexpage] $({\frac{0,3}{0,4})^6$ =[latexpage] ${\frac{0,3\ {\cdot}\ 0,3\ {\cdot}\ 0,3\ {\cdot}\ 0,3\ {\cdot}\ 0,3\ {\cdot}\ 0,3}{0,4\ {\cdot}\ 0,4\ {\cdot}\ 0,4\ {\cdot}\ 0,4\ {\cdot}\ 0,4\ {\cdot}\ 0,6}$ =[latexpage] ${\frac{0,000729}{0,004096}$ = 0,1778 (gerundet auf vier Nachkommastellen)
b) [latexpage] $({\frac{1}{\sqrt{3}})^4$ =[latexpage] ${\frac{1\ {\cdot}\ 1\ {\cdot}\ 1\ {\cdot}\ 1}{\sqrt{3}\ {\cdot}~\sqrt{3}\ {\cdot}~\sqrt{3}\ {\cdot}~\sqrt{3}}$ =[latexpage] ${\frac{1}{9}$
c) [latexpage] $({\frac{3,5}{\sqrt{2}})^3$ =[latexpage] ${\frac{3,5\ {\cdot}\ 3,5\ {\cdot}\ 3,5}{\sqrt{2}\ {\cdot}~\sqrt{2}\ {\cdot}~\sqrt{2}}$ =[latexpage] ${\frac{42,875}{2\ {\cdot}~\sqrt{2}}$ = 15,1586 (gerundet auf vier Nachkommastellen)
d) [latexpage] $({\frac{5}{\sqrt{2}})^6$ =[latexpage] ${\frac{5\ {\cdot}\ 5\ {\cdot}\ 5\ {\cdot}\ 5\ {\cdot}\ 5\ {\cdot}\ 5}{\sqrt{2}\ {\cdot}~\sqrt{2}\ {\cdot}~\sqrt{2}\ {\cdot}~\sqrt{2} \ {\cdot}~\sqrt{2}\ {\cdot}~\sqrt{2}}$ =[latexpage] ${\frac{15625}{8}$ = 1953,125
e) [latexpage] $(–{\frac{2}{\sqrt{5}})^6$ = [latexpage] ${\frac{(-2)\ {\cdot}\ (-2)\ {\cdot}\ (-2)\ {\cdot}\ (-2)\ {\cdot}\ (-2)\ {\cdot}\ (-2)}{\sqrt{5}\ {\cdot}~\sqrt{5}\ {\cdot}~\sqrt{5}\ {\cdot}~\sqrt{5}\ {\cdot}~\sqrt{5}\ {\cdot}~\sqrt{5}}$ =[latexpage] ${\frac{64}{125}$
f) [latexpage] $({\frac{4,8}{\sqrt{3}})^3$ =[latexpage] ${\frac{4,8\ {\cdot}\ 4,8\ {\cdot}\ 4,8}{\sqrt{3}\ {\cdot}~\sqrt{3}\ {\cdot}~\sqrt{3}}$ =[latexpage] ${\frac{110,592}{3\ {\cdot}~\sqrt{3}}$ = 21,2834 (gerundet auf vier Nachkommastellen)
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle mittels Taschenrechner das Ergebnis der aufgelösten Potenz.
a) 39 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 19683
b) (–4)8 = (–4) · (–4) · (–4) · (–4) · (–4) · (–4) · (–4) · (–4) = 65536
c) 0,8832 = 0,88 · 0,88 · 0,88 · 0,88 · 0,88 · 0,88 · 0,88 · 0,88 · 0,88 · 0,88 · 0,88 · 0,88 · 0,88 · 0,88 · 0,88 · 0,88 · 0,88 · 0,88 · 0,88 · 0,88 · 0,88 · 0,88 · 0,88 · 0,88 · 0,88 · 0,88 · 0,88 · 0,88 · 0,88 · 0,88 · 0,88 · 0,88 = 0,0167 (gerundet auf vier Nachkommastellen)
d) (–1,4)14 = (–1,4) · (–1,4) · (–1,4) · (–1,4) · (–1,4) · (–1,4) · (–1,4) · (–1,4) · (–1,4) · (–1,4) · (–1,4) · (–1,4) · (–1,4) · (–1,4) = 111,1201 (gerundet auf vier Nachkommastellen)
e) [latexpage] $({\frac{6}{7})^1^2$ = [latexpage] ${\frac{6}{7}$ ·[latexpage] ${\frac{6}{7}$ ·[latexpage] ${\frac{6}{7}$ ·[latexpage] ${\frac{6}{7}$ ·[latexpage] ${\frac{6}{7}$ ·[latexpage] ${\frac{6}{7}$ ·[latexpage] ${\frac{6}{7}$ ·[latexpage] ${\frac{6}{7}$ ·[latexpage] ${\frac{6}{7}$ ·[latexpage] ${\frac{6}{7}$ ·[latexpage] ${\frac{6}{7}$ ·[latexpage] ${\frac{6}{7}$ = 0,1573 (gerundet auf vier Nachkommastellen)
f) [latexpage] ${(\sqrt{6})^1^5$ = [latexpage] ${\sqrt{6}$ ·[latexpage] ${\sqrt{6}$ ·[latexpage] ${\sqrt{6}$ ·[latexpage] ${\sqrt{6}$ ·[latexpage] ${\sqrt{6}$ ·[latexpage] ${\sqrt{6}$ ·[latexpage] ${\sqrt{6}$ ·[latexpage] ${\sqrt{6}$ ·[latexpage] ${\sqrt{6}$ ·[latexpage] ${\sqrt{6}$ ·[latexpage] ${\sqrt{6}$ ·[latexpage] ${\sqrt{6}$ ·[latexpage] ${\sqrt{6}$ ·[latexpage] ${\sqrt{6}$ ·[latexpage] ${\sqrt{6}$ = 685700,3606
g) [latexpage] $(–\sqrt{8})^1^2$ = [latexpage] $(–\sqrt{8})$ ·[latexpage] $(–\sqrt{8})$ ·[latexpage] $(–\sqrt{8})$ ·[latexpage] $(–\sqrt{8})$ ·[latexpage] $(–\sqrt{8})$ ·[latexpage] $(–\sqrt{8})$ ·[latexpage] $(–\sqrt{8})$ ·[latexpage] $(–\sqrt{8})$ ·[latexpage] $(–\sqrt{8})$ ·[latexpage] $(–\sqrt{8})$ ·[latexpage] $(–\sqrt{8})$ ·[latexpage] $(–\sqrt{8})$ = 262144
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Löse bei jedem Term den Bruch auf.
Einen Bruch löst man auf, indem man den Nenner mit einem „Hoch –1“ versieht.
a) [latexpage] ${\frac{1}{5x}$ =[latexpage] $5x^-^1$
b) [latexpage] ${\frac{1}{9x}$ =[latexpage] $9x^-^1$
c) [latexpage] ${\frac{1}{(a\ {\cdot}\ b)^4}$ =[latexpage] $(a\ {\cdot}\ b)^-^4$
d) [latexpage] $({\frac{a}{b})^3$ =[latexpage] $(a\ {\cdot}\ (b^-^1))^3$ =[latexpage] $a^3\ {\cdot}\ b^-^3$
e) [latexpage] ${\frac{x}{y}$ =[latexpage] $x\ {\cdot}\ y^-^1$
f) [latexpage] ${\frac{1}{(\sqrt{x})^5}$ =[latexpage] ${(\sqrt{x})^-^5$
g) [latexpage] ${\frac{b}{c^3}$ =[latexpage] $b\ {\cdot}\ c^-^3$
h) [latexpage] ${\frac{x^5}{y^4}$ =[latexpage] $x^5\ {\cdot}\ y^-^4$
i) [latexpage] ${\frac{1}{(x~+~y)^3}$ =[latexpage] $(x~+~y)^-^3$
j) [latexpage] ${\frac{1}{(1~+~a)}$ =[latexpage] $(1~+~a)^-^1$
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösung mittels der Anwendung eines Potenzgesetzes.
Bei einer Multiplikation zwei Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten addiert.
a) 2^4 · 2^3$ = 2^4^+^3$ = 2^7$ = 128
b) 3^2 · 3^6$ = 3^2^+^6$ = 3^8$ = 6561
c) 5^1 · 5^3$ = 5^1^+^3$ = $5^4$ = 625
d) 5^-^5 · 5^-^4$ = 5^(^-^5^)^+^(^-^4^)$ = 5^-^9$ = 5,12 ·10^-^7
e) 3^-^1 · 3^-^3 = 3^(^-^1^)^+^(^-^3^)$ =$3^-^4$ = 0,0123 (gerundet auf vier Nachkommastellen)
f) $1^3 · 1^2$ =1^3^+^2$ = $1^5$ = 1
g) 02 · 05 = 02+5 = 07 = 0
h) 105 · 10–3 =105+(–3) =102 = 100