Zu jeder Rechenoperation gibt es in der Mathematik eine Gegenrechenoperation: Zum Addieren das Subtrahieren, zum Multiplizieren das Dividieren und zum Potenzieren – das Logarithmieren. In Mathe Logarithmen verstehen, geht demzufolge über das Verstandenhaben von Potenzen. Das sollte doch machbar sein! Entscheidend beim Logarithmus ist, dass man sich dieses Wechselverhältnis zu der Potenz immer vor Augen führt: logb y = x entspricht: bx = y. Dadurch kann man jeden Logarithmus zu einer Potenz hin umwandeln – und das Ergebnis ermitteln. Ganz am Anfang „fühlen“ sich Logarithmen irgendwie „fremd“ an. Das liegt einfach an der ungewohnten Schreibweise. Je häufiger man diese aber in Potenzen umwandelt, desto „normaler“ fühlen diese sich aber an.
Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Logarithmen
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösung für x.
a)
2x = 32
3x = 81
5x = 1
b)
$2^x$ = ${\frac{1}{8}}$
$3^x$ = ${\frac{1}{9}}$
$5^x$ = ${\frac{1}{125}}$
c)
$2^x$ = $\sqrt[3]{8}$
$3^x$ = $\sqrt[3]{9}$
$5^x$ = $\sqrt[5]{25}$
d)
$3^x$ = ${\frac{1}{\sqrt[3]{9}}}$
$4^x$ = ${\frac{1}{\sqrt[5]{64}}}$
$2^x$ = ${\frac{1}{\sqrt[3]{16}}}$
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle das Ergebnis des Logarithmus.
a)
log2 1
log2 1024
log$_2$ ${\frac{1}{16}}$
log$_2$ $\sqrt{2}$
b)
log3 243
log3 1
log$_3$ ${\frac{1}{9}}$
log$_3$ $\sqrt{3}$
c)
log4 1
log4 16
log4 0,25
log4 2
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle zwischen welchen ganzen Zahlen der Logarithmus sich befindet.
a) log3 2
b) log2 3
c) log2 5
d) log5 36
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme das Ergebnis des Logarithmus.
a) logb b
b) log2 2m
c) logb 1
d) log$_3$ $\sqrt[n]{3}$
e) log$_b$ (${\frac{1}{b}}$)
Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet Logarithmen
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösung für x.
a)
2x = 32
25 = 32; denn: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32
3x = 81
34 = 81; denn: 3 · 3 · 3 · 3 = 81
5x = 1
50 = 1; das ist eine Besonderheit bei einer Potenz
b) $2^x$ = ${\frac{1}{8}}$
$2^-^3$ = ${\frac{1}{8}}$; denn: ${\frac{1}{2}}$ · ${\frac{1}{2}}$ · ${\frac{1}{2}}$ = ${\frac{1}{8}}$
$3^x$ = ${\frac{1}{9}}$
$3^-^2$ = ${\frac{1}{9}}$; denn: ${\frac{1}{3}}$ · ${\frac{1}{3}}$ = ${\frac{1}{9}}$
$5^x$ = ${\frac{1}{125}}$
$5^-^3$ = ${\frac{1}{125}}$; denn: ${\frac{1}{5}}$ · ${\frac{1}{5}}$ · ${\frac{1}{5}}$= ${\frac{1}{125}}$
c) $2^x$ = $\sqrt[3]{8}$
$2^{\frac{3}{3}}$ = $\sqrt[3]{8}$; denn: $\sqrt[3]{2^3}$ = $\sqrt[3]{8}$
$3^x$ = $\sqrt[3]{9}$
$3^{\frac{2}{3}}$ = $\sqrt[3]{9}$; denn: $\sqrt[3]{3^2}$ = $\sqrt[3]{9}$
$5^x$ = $\sqrt[5]{25}$
$5^{\frac{2}{5}}$ = $\sqrt[5]{25}$; denn: $\sqrt[5]{5^2}$ = $\sqrt[5]{25}$
d) $3^x$ = ${\frac{1}{\sqrt[3]{9}}}$
$3^-^{\frac{2}{3}}$ = ${\frac{1}{\sqrt[3]{9}}}$; denn: $3^{\frac{-2}{3}}$ = $\sqrt[3]{3^-^2}$ = $\sqrt[3]{\frac{1}{3^2}}$ = ${\frac{1}{\sqrt[3]{9}}}$
$4^x$ = ${\frac{1}{\sqrt[5]{64}}}$
$4^-^{\frac{3}{5}}$ = ${\frac{1}{\sqrt[5]{64}}}$; denn: $4^{\frac{-3}{5}}$ = $\sqrt[5]{4^-^3}$ = $\sqrt[5]{\frac{1}{4^3}}$ = ${\frac{1}{\sqrt[5]{64}}}$
$2^x$ = ${\frac{1}{\sqrt[3]{16}}}$
$2^-^{\frac{4}{3}}$ = ${\frac{1}{\sqrt[3]{16}}}$; denn: $2^{\frac{-4}{3}}$ = $\sqrt[3]{2^-^4}$ = $\sqrt[3]{\frac{1}{2^4}}$ = ${\frac{1}{\sqrt[3]{16}}}$
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle das Ergebnis des Logarithmus.
a) log$_2$ 1
log$_2$ 1 entspricht: $2^x$ = 1; Lösung: $2^0$ = 1; x = 0
log$_2$ 1024
log$_2$ 1024 entspricht: $2^x$ = 1024; Lösung: $2^1^0$ = 1024; x = 10
log$_2$ ${\frac{1}{16}}$
log$_2$ ${\frac{1}{16}}$ entspricht: $2^x$ = ${\frac{1}{16}}$; Lösung: $2^-^4$ = ${\frac{1}{2^4}}$ = ${\frac{1}{16}}$; x = –4
log$_2$ $\sqrt{2}$
log$_2$ $\sqrt{2}$ entspricht: $2^x$ = $\sqrt{2}$; Lösung: $2^{\frac{1}{2}}$ = $\sqrt[2]{2^1}$ = $\sqrt{2}$; x = ${\frac{1}{2}}$
b) log$_3$ 243
log$_3$ 243 entspricht: $3^x$ = 243; Lösung: $3^5$ = 243; x = 5
log$_3$ 1
log$_3$ 1 entspricht: $3^x$ = 1; Lösung: $3^0$ = 1; x = 0
log$_3$ ${\frac{1}{9}}$
log$_3$ ${\frac{1}{9}}$ entspricht: $3^x$ = ${\frac{1}{9}}$; Lösung: $3^-^2$ = ${\frac{1}{3^2}}$ = ${\frac{1}{9}}$; x = –2
log$_3$ $\sqrt{3}$
log$_3$ $\sqrt{3}$ entspricht: $3^x$ = $\sqrt{3}$; Lösung: $3^{\frac{1}{3}}$ = $\sqrt[3]{3^1}$ = $\sqrt{3}$; x = ${\frac{1}{3}}$
c) log$_4$ 1
log$_4$ 1 entspricht: $4^x$ = 1; Lösung: $4^0$ = 1; x = 0
log$_4$ 16
log$_4$ 16 entspricht: $4^x$ = 16; Lösung: $4^2$ = 16; x = 2
log$_4$ 0,25
log$_4$ 0,25 entspricht: $4^x$ = 0,25; Lösung: $4^-^1$ = ${\frac{1}{4^1}}$ = ${\frac{1}{4}}$ = 0,25; x = –1
log$_4$ 2
log$_4$ 2 entspricht: $4^x$ = 2; Lösung: $4^{\frac{1}{2}}$ = $\sqrt[2]{4^1}$ = $\sqrt{4}$ = 2; x = ${\frac{1}{2}}$
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt der Logarithmus?
a) log$_3$ 2
log$_3$ 2 entspricht: $3^x$ = 2
$3^0$ = 1; $3^1$ = 3; der Logarithmus liegt zwischen den Zahlen 0 und 1.
b) log$_2$ 3
log$_2$ 3 entspricht: $2^x$ = 3
$2^1$ = 2; $2^2$ = 4; der Logarithmus befindet sich zwischen den Zahlen 1 und 2.
c) log$_2$ 5
log$_2$ 5 entspricht: $2^x$ = 5
$2^2$ = 4; $2^3$ = 8; der Logarithmus liegt zwischen den Zahlen 2 und 3.
d) log$_5$ 36
log$_5$ 36 entspricht: $5^x$ = 36
$5^2$ = 25; $5^3$ = 125; der Logarithmus befindet sich zwischen den Zahlen 2 und 3.
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle das Ergebnis des Logarithmus.
a) log$_b$ b
log$_b$ b entspricht: $b^x$ = b; $b^1$ = b Lösung: x = 1
b) log$_2$ 2$^m$
log$_2$ 2$^m$ entspricht: $2^x$ = $2^m$; $2^m$ = $2^m$; Lösung: x = m
c) log$_b$ 1
log$_b$ 1 entspricht: $b^x$ = 1; $b^0$ = 1; Lösung: x = 0
d) log$_3$ $\sqrt[n]{3}$
log$_3$ $\sqrt[n]{3}$ entspricht: $3^x$ = $\sqrt[n]{3}$; $3^{\frac{1}{n}}$ = $\sqrt[n]{3^1}$ = $\sqrt[n]{3}$; Lösung: x = ${\frac{1}{n}}$
e) log$_b$ (${\frac{1}{b}}$)
log$_b$ (${\frac{1}{b}}$) entspricht: $b^x$ = ${\frac{1}{b}}$; $b^-^b$ = ${\frac{1}{b}}$; Lösung: x = –b