Potenzen begegnen einem in Mathe als Schülerin und Schüler von der Grundschule an bis zum Abitur. Das zeigt deren große Bedeutsamkeit. In der Grundschule wird hierbei die Beziehung einer Potenz zur Multiplikation aufgezeigt. In der Mittelstufe erweitert sich das Anwendungsspektrum von Potenzen. Es kommen Variablen hinzu, die Potenzen vorweisen. Das Zusammenfassen, Ausklammern/Faktorisieren und das Klammernauflösen wird dann hierbei geübt. Hierauf schließen sich die sehr wichtigen binomischen Formeln an und darauf vor Abschluss der Mittelstufe die verschiedenen Potenzgesetze. In der Oberstufe muss man schließlich von unterschiedlichsten Termen Ableitungen machen und daraufhin auch noch Integrale von Termen bilden, auch hier sind Potenzen allgegenwärtig. Wie man sieht – sind im Fach Mathematik Potenzen fundamental wichtig.
Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Potenzen
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Löse die Potenz auf. Klammere hierbei bei Aufgabe b) und c) zuvor aus.
a)
9 · 210
6 · (–7)4
7 · 55
b)
4 · 54 – 2 · 54
3 · 211 + 7 · 211
2 · 36 + 9 · 36
c)
8 · ($\sqrt{3})^4$ – 5 · ($\sqrt{3})^4$
4 · ($\sqrt{2})^6$ – 7 · ($\sqrt{2})^6$
$({\frac{1}{2}})^5$ + 9 · $({\frac{1}{2}})^5$
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle jeweils das Ergebnis und vergleiche es miteinander. Welche Ergebnisse sind größer und welche kleiner als die Zahl 0?
a)
–23; 2$^-^3$; (–2)$^-^3$; –2$^-^3$; (–2)$^3$
b)
(–5)2; 5$^-^2$; –5$^2$; –5$^-^2$; (–5)$^-^2$
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Löse die Potenz auf und gib das Ergebnis in Worten wieder.
a) Die Entfernung der Erde von der Sonne: 1,5 · 108 km
b) Die Größe von Afrika: 3,03 · 107 km2
c) Der Umfang der Erdbahn: 9,4 · 108 km
d) Das Volumen der Erde: 1 · 1012 km3
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Vereinfache den Term.
a) a2 · a3
b) x$^-^6$ · x$^-^1$
c) b4 · b$^-^3$
d) x6 · x$^-^4$ · x$^3$
e) s4 · s3 · s
Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Potenzen
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle das Ergebnis ohne Potenz. Bei Aufgabe b) und c) soll vorher ausgeklammert werden.
a)
9 · 210 = 9 · 1024 = 9216
6 · (–7)4 = 6 · 2401 = 14406
7 · 55 = 7 · 3125 = 21875
b)
4 · 54 – 2 · 54 = (4 – 2) · 54 = 2 · 54 = 2 · 625 = 1250
3 · 211 + 7 · 211 = (3 + 7) · 211 = 10 · 211 = 10 · 2048 = 20480
2 · $3^6$ + 9 · $3^6$ = (2 + 9) · $3^6$ = 11 · $3^6$ = 11 · 729 = 8019
c) 8 · ($\sqrt{3})^4$ – 5 · ($\sqrt{3})^4$ = (8 – 5) · ($\sqrt{3})^4$ = 3 · ($\sqrt{3})^4$ = 3 · 9 = 27
4 · ($\sqrt{2})^6$ – 7 · ($\sqrt{2})^6$ = (4 – 7) · ($\sqrt{2})^6$ = (–3) · ($\sqrt{2})^6$ = (–3) · 8 = –24
$({\frac{1}{2}})^5$ + 9 · $({\frac{1}{2}})^5$ = (1 + 9) · $({\frac{1}{2}})^5$ = 10 · $({\frac{1}{2}})^5$ = 10 · 0,03125 = 0,3125
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme das Ergebnis und vergleiche es. Welche Ergebnisse sind kleiner als die Zahl 0, welche Ergebnisse sind größer als die Zahl 0?
a) –2$^3$; 2$^-^3$; (–2)$^-^3$; –2$^-^3$; (–2)$^3$
–2$^3$ = – (2 · 2 · 2) = –8
2$^-^3$ = ${\frac{1}{2}}$ · ${\frac{1}{2}}$ · ${\frac{1}{2}}$ = ${\frac{1}{8}}$ = 0,125
(–2)$^-^3$ = (–${\frac{1}{2}}$) · (–${\frac{1}{2}}$) · (–${\frac{1}{2}}$) = –${\frac{1}{8}}$ = –0,125
–2$^-^3$ = – (${\frac{1}{2}}$ · ${\frac{1}{2}}$ · ${\frac{1}{2}}$) = –${\frac{1}{8}}$ = –0,125
(–2)$^3$ = (–2) · (–2) · (–2) = –8
Der 1. und der 5. Term liefern dasselbe Ergebnis; ebenso ergeben der 3. und der 4. Term das gleiche Ergebnis. Das Ergebnis des 2. Terms ist positiv. Die Ergebnisse der anderen Terme sind alle negativ.
b) (–5)$^2$; 5$^-^2$; –5$^2$; –5$^-^2$; (–5)$^-^2$
(–5)$^2$ = (–5) · (–5) = 25
5$^-^2$ = ${\frac{1}{5}}$ · ${\frac{1}{5}}$ = ${\frac{1}{25}}$ =´0,04
–5$^2$ = – (5 · 5) = –25
–5$^-^2$ = – (${\frac{1}{5}}$ · ${\frac{1}{5}}$) = –${\frac{1}{25}}$ = –0,04
(–5)$^-^2$ = (–${\frac{1}{5}}$) · (–${\frac{1}{5}}$) = ${\frac{1}{25}}$ = 0,04
Der 2. und der 5. Term liefern dasselbe Ergebnis. Der 1., 2. und 5. Term sind positiv, der 3. und der 4. Term sind negativ.
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Gib die Größen jeweils ohne Potenz wieder. Nenne das Ergebnis in Worten.
a)
Die Entfernung der Erde von der Sonne: 1,5 · 108 km
1,5 · 108 km = 1,5 · 100000000 km = 150000000 km
Die Entfernung der Erde von der Sonne beträgt 150 Millionen Kilometer.
b) Die Größe von Afrika: 3,03 · 10$^7$ km$^2$
3,03 · 10$^7$ km$^2$ = 3,03 · 10000000 km$^2$ = 30300000 km$^2$
Der Kontinent Afrika ist 30 Millionen 300 Tausend km$^2$ groß.
c) Der Umfang der Erdbahn: 9,4 · 10$^8$ km
9,4 · 10$^8$ km = 9,4 · 100000000 km = 940000000 km
Der Umfang der Erdbahn beträgt 940 Millionen Kilometer.
d) Das Volumen der Erde: 1 · 10$^1^2$ km$^3$
1 · 1012 km3 = 1 · 1000000000000 km3 = 1000000000000 km3
Das Volumen der Erde beträgt 1 Billionen km3.
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Wende bei den Termen ein Potenzgesetz an.
a) a$^2$ · a$^3$ = a$^2~^+^~3$ = a$^5$
b) x$^-^6$ · x$^-^1$ = x$^-^6~^+~^(^-^1^)$ = x$^-^7$ = ${\frac{1}{x^7}}$
c) b$^4$ · b$^-^3$ = b$^4~^+^~(-3)$ = b$^1$ = b
d) x$^6$ · x$^-^4$ · x$^3$ = b$^6~^+^~(-4)~+~3$ = x$^5$
e) s$^4$ · s$^3$ · s = s$^4~^+^~3~+~1$ = s$^8$