Oha! Man ist beim Zahnarzt und es steht einem Schlimmes bevor: eine Wurzelbehandlung (eigentlich korrekt in der Sprache der Zahnmedizin, eine Wurzelkanalbehandlung). Unschön ist schon alleine der Gang zum Zahnarzt. Äußerst unangenehm das Herumhantieren des Zahnarzts im Mund und der Horror die Diagnose: „Eine Wurzelbehandlung ist vonnöten.“ Die fiesen Zahnschmerzen ließen bereits nichts Gutes erahnen. Aber im schlimmsten Fall mit ein wenig bohren, dachte man, wäre dem bestimmt wieder Abhilfe geschaffen. Nur zu gerne würde man nun jedoch aufgrund der fiesen anderweitigen Diagnose aus der Zahnarztpraxis rennen und schnell das Weite suchen. Doch die Altersvernunft rät zum ausharren. Als Schülerin oder Schüler muss man jetzt keine Sorge haben, da eine Wurzelbehandlung in jungen Jahren nahezu ausgeschlossen ist. Dafür können in jungen Jahren trotzdem Wurzeln Schmerzen zufügen – das aber in der Mathematik. Hat man jedoch schließlich verstanden, was eine Wurzel in Mathe ist, dann ist man bei diesem Mathematik-Stoffgebiet wieder auf der „schmerzfreien“ Seite.
Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet: Wurzeln
1. Mathe-Nachhilfe Aufgabe: Forme um zur Potenz.
a) [latexpage] $\sqrt{\ {5}$
b) [latexpage] $\sqrt[4]{6}$
c) [latexpage] $\sqrt[6]{7}$
d) [latexpage] $\sqrt[3]{3^2}$
e) [latexpage] $\sqrt[5]{4^4}$
f) [latexpage] $\sqrt[8]{7^3}$
g) [latexpage] ${\frac{4}{\sqrt{64}}$
h) [latexpage] $\sqrt[3]{\frac{1}{3^2}}$
i) [latexpage] $\sqrt{\ {7^-^3}$
j) [latexpage] $\sqrt[4]{\frac{1}{5^2}}$
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Forme um in die Wurzelschreibweise.
a) [latexpage] $x^{\frac{1}{3}}$
b) [latexpage] $a^{\frac{1}{2}}$
c) [latexpage] $y^{\frac{2}{3}}$
d) [latexpage] $x^{\frac{3}{4}}$
e) [latexpage] $x^-^{\frac{2}{5}}$
f) [latexpage] $x^-^{\frac{3}{4}}$
g) a0,5
h) x7,2
i) a0,8
j) m– 5,1
k) m– 2,4
l) a– 0,55
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Forme zu Potenz mit rationalem Exponenten um.
a) [latexpage] $\sqrt{\ {x^4+y^4}$
b) [latexpage]$\sqrt[5]{(a\ {\cdot} \ b)^2}$
c) [latexpage]$\sqrt{x\ {\cdot} \ y}$
d) [latexpage] ${\frac{1}{\sqrt[5]{a}}$
e) [latexpage] ${\frac{6}{\sqrt{a^n}}$
f) [latexpage] ${\frac{-3}{\sqrt[n]{x-y}}$
g) [latexpage] ${\frac{5}{\sqrt[3n]{a+b}}$
h) [latexpage] ${\frac{-2}{\sqrt[n+m]{x^2+1}}$
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Wende ein Wurzelgesetz an, um die Potenzen richtig aufzulösen.
a) [latexpage] $4^{\frac{4}{3}}$ · $4^{\frac{2}{3}}$
b) [latexpage] $3^{\frac{1}{4}}$ · $4^{\frac{3}{4}}$
c) [latexpage] $2^{\frac{1}{6}}$ · $2^-^{\frac{1}{3}}$
d) [latexpage] $7^-^{\frac{3}{5}}$ · $7^-^{\frac{8}{5}}$
e) [latexpage] ${\frac{5}{3}}^{\frac{3}{4}}$ · ${\frac{5}{3}}^-^{\frac{1}{4}}$
f) [latexpage] ${\frac{1}{2}}^-^{\frac{2}{3}}$ · ${\frac{1}{2}}^-^{\frac{1}{2}}$
Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet Wurzeln
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Forme die Wurzel hin zur Potenzschreibweise um.
a) [latexpage] $\sqrt{\ {5}$ =[latexpage] $5^{\frac{1}{2}}$
b) [latexpage] $\sqrt[4]{6}$ =[latexpage] $6^{\frac{1}{4}}$
c) [latexpage] $\sqrt[6]{7}$ =[latexpage] $7^{\frac{1}{6}}$
d) [latexpage] $\sqrt[3]{3^2}$ =[latexpage] $3^{\frac{2}{3}}$
e) [latexpage] $\sqrt[5]{4^4}$ =[latexpage] $4^{\frac{4}{5}}$
f) [latexpage] $\sqrt[8]{7^3}$ =[latexpage] $7^{\frac{3}{8}}$
g) [latexpage] ${\frac{4}{\sqrt{64}}$ =[latexpage] ${\frac{4}{64^{\frac{1}{2}}}$ = 4 ·[latexpage] $64^-^{\frac{1}{2}}$
h) [latexpage] $\sqrt[3]{\frac{1}{3^2}}$ = (${\frac{1}{3^2}})$ =[latexpage] ($3^-^2)^{\frac{1}{3}}$ =[latexpage] $3^-^{\frac{2}{3}}$
i) [latexpage] $\sqrt{\ {7^-^3}$ =[latexpage] ($7^3)^{\frac{1}{2}}$ =[latexpage] $7^{\frac{3}{2}}$
j) [latexpage] $\sqrt[4]{\frac{1}{5^2}}$ =[latexpage] ($5^-^2)^{\frac{1}{4}}$ =[latexpage] $5^-^{\frac{2}{4}}$ =[latexpage] $5^-^{\frac{1}{2}}$
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Wandle zu Zahlen mit Wurzeln um.
a) [latexpage] $x^{\frac{1}{3}}$ =[latexpage] $\sqrt[3]{x}$
Denke daran, dass der Nenner des Exponenten zum Wurzelexponenten wird und der Zähler des Bruchs zum Exponenten des Radikanden.
b) [latexpage] $a^{\frac{1}{2}}$ =[latexpage] $\sqrt[2]{a}$ =[latexpage] $\sqrt{\ {a}$
c) [latexpage] $y^{\frac{2}{3}}$ =[latexpage] $\sqrt[3]{y^2}$
d) [latexpage] $x^{\frac{3}{4}}$ =[latexpage] $\sqrt[4]{x^3}$
e) [latexpage] $x^-^{\frac{2}{5}}$ =[latexpage] ${\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}$ =[latexpage] ${\frac{1}{\sqrt[5]{x^2}}$
f) [latexpage] $x^-^{\frac{3}{4}}$ =[latexpage] ${\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ =[latexpage] ${\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$
g) a0,5 =[latexpage] $a^{\frac{5}{10}}$ =[latexpage] $a^{\frac{2}{5}}$ =[latexpage] $\sqrt[5]{a^2}$
h) x7,2 =[latexpage] $x^{\frac{72}{10}}$ =[latexpage] $x^{\frac{72}{10}}$ =[latexpage] $x^{\frac{36}{5}}$ =[latexpage] $\sqrt[5]{x^3^6}$
i) a0,8 =[latexpage] $a^{\frac{8}{10}}$ =[latexpage] $a^{\frac{4}{5}}$ =[latexpage] $\sqrt[5]{a^4}$
j) m– 5,1 = [latexpage] ${\frac{1}{m^5^,^1}}$ =[latexpage] ${\frac{1}{m^{\frac{51}{10}}}$ =[latexpage] ${\frac{1}{\sqrt[10]{m^5^1}}$
k) m – 2,4 = [latexpage] ${\frac{1}{m^2^,^4}}$ =[latexpage] ${\frac{1}{m^{\frac{24}{10}}}$ =[latexpage] ${\frac{1}{m^{\frac{12}{5}}}$ =[latexpage] ${\frac{1}{\sqrt[5]{m^1^2}}$
l) a – 0,55 = [latexpage] ${\frac{1}{a^0^,^5^5}}$ =[latexpage] ${\frac{1}{a^{\frac{55}{100}}}$ =[latexpage] ${\frac{1}{a^{\frac{11}{20}}}$ =[latexpage] ${\frac{1}{\sqrt[20]{a^1^1}}$
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Gib alle Terme in der Wurzelschreibweise wieder.
a) [latexpage] $\sqrt{\ {x^4+y^4}$ =[latexpage] $(x^4+y^4)^{\frac{1}{2}}$
b) [latexpage]$\sqrt[5]{(a\ {\cdot} \ b)^2}$ = $(a\ {\cdot} \ b)^{\frac{2}{5}}$
c) [latexpage]$\sqrt{x\ {\cdot} \ y}$ =[latexpage]$(x\ {\cdot} \ y)^{\frac{1}{2}}$
d) [latexpage] ${\frac{1}{\sqrt[5]{a}}$ =[latexpage] ${\frac{1}{a^{\frac{1}{5}}}$ = $a^-^{\frac{1}{5}}$
e) [latexpage] ${\frac{6}{\sqrt{a^n}}$ =[latexpage] ${\frac{6}{a^{\frac{n}{2}}}$ =$6^-^{\frac{n}{2}}$
f) [latexpage] ${\frac{-3}{\sqrt[n]{x-y}}$ =[latexpage] ${\frac{-3}{(x-y)^{\frac{1}{n}}}$ = $-3\ {\cdot} \ (x-y)^-^{\frac{1}{n}}$
g) [latexpage] ${\frac{5}{\sqrt[3n]{a+b}}$ =[latexpage] ${\frac{5}{(a+b)^{\frac{1}{3n}}}$ = $5\ {\cdot} \ (a+b)^-^{\frac{1}{3n}}$
h) [latexpage] ${\frac{-2}{\sqrt[n+m]{x^2+1}}$ =[latexpage] ${\frac{-2}{(x^2+1)^{\frac{1}{n+m}}}$ = $-2\ {\cdot} \ (x^2+1)^-^{\frac{1}{n+m}}$
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Löse die Potenzen mittels Potenzgesetz auf.
a) [latexpage] $4^{\frac{4}{3}}$ · $4^{\frac{2}{3}}$ = [latexpage] $4^{\frac{4}{3}+{\frac{2}{3}}$ =[latexpage] $4^{\frac{6}{3}}$ =[latexpage] $4^2$ = 16
Werde zwei gleiche Basen miteinander multipliziert, so addiert man die Exponenten.
Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter Rechenoperationen/Potenzen die dort ausführlich dargelegten Potenzgesetze an.
b) [latexpage] $3^{\frac{1}{4}}$ · $4^{\frac{3}{4}}$ = [latexpage] $3^{\frac{1}{4}+{\frac{3}{4}}$ =[latexpage] $3^{\frac{4}{4}}$ =[latexpage] $3^1$ = 3
Hier gilt das gleiche Potenzgesetz wie bei Aufgabe a).
c) [latexpage] $2^{\frac{1}{6}}$ · $2^-^{\frac{1}{3}}$ = [latexpage] $2^{\frac{1}{6}- {\frac{1}{3}}$ =[latexpage] $3^-^{\frac{1}{6}}$ =[latexpage] ${\frac{1}{3^{\frac{1}{6}}}$ =[latexpage] ${\frac{1}{\sqrt[6]{3}}$
Hier gilt das gleiche Potenzgesetz wie in Aufgabe a).
d) [latexpage] $7^-^{\frac{3}{5}}$ · $7^-^{\frac{8}{5}}$ = [latexpage] $7^-^{\frac{3}{5}- {\frac{8}{5}}$ =[latexpage] $7^-^{\frac{11}{5}}$ =[latexpage] ${\frac{1}{7^{\frac{11}{5}}}$ =[latexpage] ${\frac{1}{\sqrt[5]{7^1^1}}$
e) [latexpage] ${\frac{5}{3}}^{\frac{3}{4}}$ · ${\frac{5}{3}}^-^{\frac{1}{4}}$ =[latexpage] ${\frac{5}{3}}^{\frac{3}{4}- {\frac{1}{4}}$ =[latexpage] ${\frac{5}{3}}^{\frac{1}{2}}$ =[latexpage] $\sqrt{\frac{5}{3}}$ =[latexpage] $\sqrt{1\frac{2}{3}}$
f) [latexpage] ${\frac{1}{2}}^-^{\frac{2}{3}}$ · ${\frac{1}{2}}^-^{\frac{1}{2}}$ =[latexpage] ${\frac{1}{2}}^-^{\frac{2}{3}-{\frac{1}{2}}$ =[latexpage] ${\frac{1}{2}}^{\frac{1}{6}}$ =[latexpage] $\sqrt[6]{\frac{1}{2}}$