Mithilfe des Wachstumsfaktors kann man bei einem Anwachsen eines Grundwerts sofort dessen genaue Zunahme berechnen. Umgekehrt kann man mit Zuhilfenahme des Abnahmefaktors bei dem Geringerwerden eines Grundwerts sogleich dessen Abnahme ausrechnen. Das ist sehr praktisch. So kann man nämlich beispielsweise bei einer Verteuerung der neuen anfallenden Kosten gewahr werden, bei einem Rabatt hingegen den Preis nach der Verbilligung einer Ware. Und beides kommt ja im Alltag sehr häufig vor. Daher haben diese beiden Formeln einen großen Alltagsbezug:
- Wachstum = Grundwert G · Wachstumsfaktor (hier die Gleichung des Wachtumsfaktors:
)
- Abnahme = Grundwert G · Abnahmefaktor (hier die Gleichung des Abnahmefaktors:
)
Im Einzelhandel kann man mittels des Abnahmefaktors auch immer gleich überprüfen: Stimmt die prozentuale angegebene Preissenkung auch wirklich oder weicht diese ein wenig ab. Hin und wieder ist es nämlich in Geschäften so, dass der auf einem Plakat stehende Rabatt in Prozent nicht immer zu 100 % stimmt – statt zum Beispiel einer 35 %igen Preissenkung liegt nach Überprüfung in Anführungszeichen nur eine 34 %ige Reduzierung des Preises vor. Hierbei handelt es sich zwar juristisch gesehen um einen Betrug, der aber voll und ganz im „grünen Bereich“ liegt. Schließlich klingt 35 % einfach viel besser als 34 % und ist somit eine viel bessere Verkaufsstrategie. Außerdem ist ein Preisnachlass real um 34 % auch weiterhin für ein Kunden super und lässt das eigene Schnäppchenherz garantiert höher schlagen.
Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet: Prozentrechnen
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Thomas bekommt auf einen Pullover, der eigentlich 128 € kostet, aufgrund eines Herstellungsfehlers eine Rabatt von 24 %. Wie viel muss Thomas für den Pullover ausgeben?
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ein Geschäft hat den Preis für eine Stereoanlage um 18 % herabgesetzt. Diese kostet nun 600 €. Wie hoch war der ursprüngliche Preis der Stereoanlage?
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ein Fernseher kostet brutto 1020 Euro und netto 960 Euro. Wie hoch ist der gewährte Rabatt in Prozent?
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Übung macht den Meister! Berechne jeweils den Prozentwert.
Von 4 % [12 %; 75 %; 88 %; 9 %; 38 %]
a) 560 m b) 5200 € c) 1520 kg d) 1,2 m² e) 3600 l
5. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne den Preis nach der Preiserhöhung.
Eine Eintrittskarte für eine Zoo kostete ursprünglich 12 €. Jetzt wurde diese um 11,5 % erhöht. Wie viel kostet jetzt der Eintritt?
6. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne die Grundfläche eines Grundstücks.
Eine Grünfläche nimmt 35 % der Gesamtfläche eines Grundstücks ein. Die Grünfläche ist 422 m² groß. Wie groß ist die Gesamtfläche des Grundstücks?
Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet: Prozentrechnen
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne den Kaufpreis von Thomas‘ Pullover.
Ursprünglich kostete der Pullover 128 €. Aufgrund eines Herstellungsfehlers erhält Thomas 28 % Rabatt auf ihn. Mittels des des Abnahmefaktors mal dem Grundwert kann man hier den jetzigen Preis des Pullovers berechnen bzw. die Abnahme.
Der Abnahmefaktor berechnt sich wie folgt:
, eingesetzt ergibt sich:
.
Die Formel hierzu lautet: Abnahme = Grundwert G · Abnahmefaktor, eingesetzt ergibt sich: Abnahme = 128 · 0,72 = 92,16 €
Thomas muss für den Pullover jetzt 92,16 € bezahlen.
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Wie hoch war der Preis einer Stereoanlage vor der Preissenkung?
Die Stereoanlage kostet jetzt 600 €. Sie wurde um 18 % herabgesetzt.
Hier ergibt sich der ursprüngliche Preis über den Wachstumsfaktor:
. Eingesetzt ergibt sich:
.
Die Formel zur Berechnung des Wachstums lautet ja wie folgt: Wachstum = Grundwert G · Wachstumsfaktor.
Wachstum = Grundwert G · Wachstumsfaktor.
Wachstum = 600 € · 1,18 = 708 €.
Die Stereoanlage kostete ursprünglich 708 €.
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Wie hoch war der Rabatt auf einen Fernseher?
Der Grundwert des Fernsehers lag bei 1020 €. Nachdem ein Rabatt auf ihn gewährt wurde, liegt der Preis noch bei 960 €.
Über den Abhnamefaktor ergibt sich hier der Rabatt. Daher muss man diese Formel nach dem Abnahmefaktor hin umstellen:
Abnahme = Grundwert · Abnahmefaktor | : Grundwert
.
Die Werte eingesetzt ergibt sich:
(gerundet zwei Nachkommastellen)
.
Da ja gilt:
, kann man die Gleichung nach der gesuchten Größe hin auflösen.
94 = 100 – p | – 100
–6 = – p | · (–1)
6 = p
Der gewährte Rabatt betrug 6 %.
Das Ergebnis hätte man natürlich auch schon gleich von dem ermittelten Abnahmefaktor 0,94 ablesen können, da dieses die Differenz zwischen 100 % und 94 % ist.
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle jeweils den Prozentwert.
Die Formel zur Berechnung des Prozentwertes ist folgende:
, bei 4 % [12 %; 75 %; 88 %; 9 %; 38 %] ist nun jeweils der Prozentwert gesucht.
a) von 560 m.
Eingesetzt ergibt sich hier bei 4 %:
.
Bei 12 %:
.
Bei 75 %:
.
Bei 88 %:
.
Bei 9 %:
.
Bei 38 %:
.
b) von 5200 €
Eingesetzt ergibt sich bei 4 %:
.
Bei 12 %:
.
Bei 75 %:
.
Bei 88 %:
.
Bei 9 %:
.
Bei 38 %:
.
c) von 1520 kg
Bei 4 % ergibt sich hierbei folgende Rechnung:
.
Bei 12 %:
.
Bei 75 %: W = [latexpage] $\frac{1520\ {\cdot}\ 75}{100}$ = 1140 kg
Bei 88 %: W = [latexpage] $\frac{1520\ {\cdot}\ 88}{100}$ = 1337,6 kg
Bei 9 %: W = [latexpage] $\frac{1520\ {\cdot}\ 9}{100}$ = 136,8 kg
Bei 38 %: W = [latexpage] $\frac{1520\ {\cdot}\ 38}{100}$ = 577,6 kg
d) von 1,2 m²
Bei 4 % ergibt sich hier: [latexpage] $\frac{1,2\ {\cdot}\ 4}{100}$ = 0,048 m²
Bei 12 %: [latexpage] $\frac{1,2\ {\cdot}\ 12}{100}$ = 0,144 m²
Bei 75 %: [latexpage] $\frac{1,2\ {\cdot}\ 75}{100}$ = 0,9 m²
Bei 88 %: [latexpage] $\frac{1,2\ {\cdot}\ 88}{100}$ = 1,056 m²
Bei 9 %: [latexpage] $\frac{1,2\ {\cdot}\ 9}{100}$ = 0,108 m²
Bei 38 %: [latexpage] $\frac{1,2\ {\cdot}\ 38}{100}$ = 0,456 m²
e) von 3600 l
Bei 4 % ergibt sich hier: [latexpage] $\frac{3600\ {\cdot}\ 4}{100}$ = 144 l
Bei 12 %: [latexpage] $\frac{3600\ {\cdot}\ 12}{100}$ = 432 l
Bei 75 %: [latexpage] $\frac{3600\ {\cdot}\ 75}{100}$ = 2700 l
Bei 88 %: [latexpage] $\frac{3600\ {\cdot}\ 88}{100}$ = 3168 l
Bei 9 %: [latexpage] $\frac{3600\ {\cdot}\ 9}{100}$ = 324 l
Bei 38 %: [latexpage] $\frac{3600\ {\cdot}\ 38}{100}$ = 1368 l
5. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Wie hoch ist der Preis nach der Preiserhöhung?
Die ursprünglichen Kosten für eine Eintrittskarte sind 12 €. Der Preis wird nun um 11,5 % angehoben.
Mit folgender Formel kann der Neupreis berechnet werden: Wachstum = Grundwert G ·Wachstumsfaktor. Der Wachstumsfaktor berechnet sich hierbei wie folgt:
, auf die Aufgabe bezogen ergibt sich: Wachstumsfaktor = 1 + [latexpage] ${\frac{11,5}{100}$ = 1,115
Hierdurch ergibt sich diese Rechnung: Wachstum = 12 € · 1,115 = 13,38 €
Der neue Preis der Eintrittskarte beträgt 13,38 €.
6. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Wie groß ist die Gesamtfläche eines Grundstücks?
Eine Grünfläche auf dem Grundstück nimmt 422 m² ein, das sind 35 % der Gesamtfläche.
W ist demzufolge = 422 m² und p = 35 %, gesucht ist also G! Daher muss man hier folgende Formel heranziehen:
, eingesetzt ergibt sich: G = [latexpage] $\frac{422\ {\cdot}\ 100}{35}$ = 1205, 71 m² (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
Die Gesamtfläche des Grundstücks beträgt 1205,71 m².