Ob man in Mathe alle algebraischen Grundkenntnisse gut verinnerlicht hat, zeigt sich ganz besonders bei quadratischen Gleichungen (und quadratischen Funktionen). Beim Lösen einer quadratischen Gleichung muss man ja oftmals eine binomische Formel auflösen oder mittels quadratischen Ergänzens eine binomische Formel heranziehen. Das Ausmultiplizieren muss man ebenso gut beherrschen. Hierbei kann beim Ausmultiplizieren hin und wieder eine Minusklammer auftreten, auch sind Vorzeichen bei der p-q-Formel stets genau zu beachten. Wie man sieht, treten bei quadratischen Gleichungen schon eine Menge an algebraischen Grundkenntnissen auf einmal auf. Hat man vorher im Fach Mathematik bei einer niederen Klasse hier eine Lernlücke gehabt, so tritt diese hier zwangsläufig wieder auf. Spätestens dann sollte man diese aber schließen. Bei höheren Gleichungen in der Oberstufe muss man nämlich wiederum Algebra-Basics gewissermaßen auf Knopfdruck abrufen können.
Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Quadratische Gleichungen
1. Mathematik-Nachhilfe: Forme folgende Terme mittels binomischer Formel in eine algebraische Summe um.
a) (x + 6)²
b) (x – 9)²
c) [latexpage] (x + ${\frac{8}{5}}$)²
d) [latexpage] (a – ${\frac{5}{4}}$)²
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Forme mithilfe der 1. oder der 2. binomischen Formel den Term zu einer binomischen Formel in der unaufgelösten Form um.
a) a² + 12a + 36
b) a² – 5x + 6,25
c) x² – 7x + 12,25
d) x² –[latexpage] ${\frac{4}{5}}$x +[latexpage] ${\frac{4}{25}}$
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge. Mache, wenn möglich, die Probe.
a) (x – 2)² =[latexpage] ${\frac{16}{25}}$
b) (x – 2)² = 12
c) (x + 3)² = 2
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bei welchen Werten von r liegt bei der Gleichung (y – 3)² = r als Lösungsmenge keine oder eine Lösung oder zwei Lösungen vor.
5. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme für die Gleichung (x – d)² = 3 bei unterschiedlichen Werten von d die möglichen Lösungen der Lösungsmenge.
Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet Quadratische Gleichungen
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Wandle jeden Term in eine algebraische Summe um. Ziehe hierfür die binomischen Formeln heran.
a) (x + 6)²
Hier liegt die 1. Binomische Formel vor.
(x + 6)² = (x)² + 2 · x · 6 + (6)² = x² + 12x + 36
b) (x – 9)²
Hier liegt die 2. Binomische Formel vor.
(x – 9)² = (x)² + 2 · x · (–9) + (–9)² = x² – 18x + 81
c) [latexpage] (x + ${\frac{8}{5}}$)²
Hier liegt wiederum die 1. Binomische Formel vor.
[latexpage] (x + ${\frac{8}{5}}$)² = (x)² + 2 · x · ${\frac{8}{5}}$ + (${\frac{8}{5}}$)² = x² + ${\frac{16}{5}}$x + ${\frac{64}{25}}$
d) [latexpage] (a – ${\frac{5}{4}}$)²
Hier liegt erneut die 2. Binomische Formel vor.
[latexpage] (a – ${\frac{5}{4}}$)² = (a)² + 2 · a · (– ${\frac{5}{4}}$) + (–${\frac{5}{4}}$)² = a² – ${\frac{10}{4}}$a + ${\frac{25}{16}}$
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Wende zur Umformung der Terme die 1. und 2. binomische Formel an. Forme in die unaufgelöste Form der binomischen Formeln um.
a) a² + 12a + 36
Hier handelt es sich um die 1. Binomische Formel.
a² + 12a + 36 = (a)² + 2 · a · 6 + (6)² = (a + 6)²
Zieht man am Endterm die Wurzel. Hier bei „36“, so hat man den zweiten Teilterm in der unaufgelösten Form der binomischen Formel.
b) a² – 5x + 6,25
Hier liegt die 2. Binomische Formel vor.
a² – 5x + 6,25 = (a)² + 2 · a · (–2,5) + (2,5)² = (a – 2,5)²
c) x² – 7x + 12,25
Hier liegt die 2. Binomische Formel vor.
x² – 7x + 12,25 = (x)² + 2 · x · (–3,5) + (–3,5)² = (x – 3,5)²
d) x² –[latexpage] ${\frac{4}{5}}$x +[latexpage] ${\frac{4}{25}}$
Hier liegt die 2. Binomische Formel vor.
x² –[latexpage] ${\frac{4}{5}}$x +[latexpage] ${\frac{4}{25}}$ = (x)² +[latexpage] 2 · x · (–${\frac{2}{5}}$) + ([latexpage] –${\frac{2}{5}}$)² = (x – [latexpage] ${\frac{2}{5}}$)²
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Wenn möglich, mache auch die Probe.
a) (x – 2)² =[latexpage] ${\frac{16}{25}}$ | [latexpage] $\sqrt{}$ <=>
x – 2 = ±[latexpage] ${\frac{4}{5}}$ | + 2 <=>
x = ±[latexpage] ${\frac{4}{5}}$ + 2
x$_1$ =[latexpage] ${\frac{4}{5}}$ + 2 <=>
x$_1$ =[latexpage] 2${\frac{4}{5}}$ = 2,8
x$_2$ =[latexpage] –${\frac{4}{5}}$ + 2 <=>
x$_2$ =[latexpage] 1${\frac{1}{5}}$ = 1,2
L = {1,2; 2,8}
Probe:
(1,2 – 2)² =[latexpage] ${\frac{16}{25}}$ <=>
(–0,8)² =[latexpage] ${\frac{16}{25}}$ <=>
[latexpage] ${\frac{16}{25}}$ =[latexpage] ${\frac{16}{25}}$
(2,8 – 2)² =[latexpage] ${\frac{16}{25}}$ <=>
(0,8)² = =[latexpage] ${\frac{16}{25}}$ <=>
[latexpage] ${\frac{16}{25}}$ =[latexpage] ${\frac{16}{25}}$
Die Probe bestätigt die Richtigkeit des Ergebnisses.
b) (x – 2)² = 12 | [latexpage] $\sqrt{}$ <=>
x – 2 = ±[latexpage] $\sqrt{12}$ | + 2 <=>
x = ±[latexpage] $\sqrt{12}$ + 2
x$_1$ =[latexpage] $\sqrt{12}$ + 2
x$_2$ =[latexpage] –$\sqrt{12}$ + 2
L = {–$\sqrt{12}$ + 2; $\sqrt{12}$ + 2}
Probe:
(–$\sqrt{12}$ + 2 – 2)² = 12 <=>
(–$\sqrt{12}$)² = 12 <=>
12 = 12
($\sqrt{12}$ + 2 – 2)² = 12 <=>
($\sqrt{12}$)² = 12 <=>
12 = 12
Die Probe bestätigt die Richtigkeit der Lösung.
c) (x + 3)² = 2 | [latexpage] $\sqrt{}$ <=>
(x + 3) = ±[latexpage] $\sqrt{2}$ | – 3 <=>
x = ±[latexpage] $\sqrt{2}$ – 3
x$_1$ =[latexpage] $\sqrt{2}$ – 3
x$_2$ =[latexpage] –$\sqrt{2}$ – 3
L = {–$\sqrt{2}$ – 3; $\sqrt{2}$ – 3}
Probe:
(–$\sqrt{2}$ – 3 + 3)² = 2 <=>
(–$\sqrt{2}$)² = 2 <=>
2 = 2
($\sqrt{2}$ – 3 + 3)² = 2 <=>
($\sqrt{2}$)² = 2 <=>
2 = 2
Die Probe bestätigt die Richtigkeit des Ergebnisses.
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme, bei welchen Werten von r die Gleichung (y – 3)² = r keine Lösung, eine Lösung oder zwei Lösungen hinsichtlich ihrer Lösungsmenge vorweist.
(y – 3)² = r
Keine Lösung liegt vor, wenn r negativ ist bzw. r < 0 ist. Wenn man dann nämlich die Wurzel zieht, liegt eine negative Wurzel vor und diese ist nicht definiert (n. d.).
Eine Lösung liegt vor, wenn r = 0 ist.
Ist r > 0 , dann hat die quadratische Gleichungen immer zwei Lösungen.
5. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Die Gleichung (x – d)² = 3 liegt vor. Für welche verschiedenen d weist die Lösungsmenge mögliche Lösungen auf?
Da r bei der quadratischen Gleichung 3 ist und daher größer null (> 0), ergeben sich immer zwei Lösungen. Das ist der Fall, egal ob d > 0 ist, d < 0 ist oder d = 0.
Also, bei jeglichen Werten von d liefert die quadratische Gleichung zwei Lösungen.