Bei einer Wurzel denkt man entweder etwa an eine Pflanzenwurzel, wie die beispielsweise von einem Baum, oder an irgendein Wurzelgemüse wie etwa Karotten, Radieschen oder Pastinaken. Irgendwann gibt es aber diesbezüglich auch in der Schule im Fach Mathe eine „Horizonterweiterung“. Wurzeln findet man nämlich nicht nur im Boden vor, sondern diese gibt es auch in der Mathematik. Wurzeln sind in der Mathematik nämlich hierfür dar, um eine Potenz aufzulösen, bzw. das Wurzelziehen stellt die umgekehrte Rechenoperation zum Potenzieren dar. Interessanterweise stammt das in Mathe gebräuchliche Wort Wurzel tatsächlich von der Boden-Wurzel her. Das zeigt sich in der lateinischen Vokabel, dem Radizieren, dem Wurzelziehen. „Radizieren“ stammt nämlich von dem lateinischen Wort „radix“ her – der (Pflanzen-)Wurzel. Aber mal ehrlich: das Wurzelzeichen sieht doch wirklich auch aus wie eine Wurzel – wie eine Zahnwurzel :-).
Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Wurzeln
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Gebe die folgenden Potenzen in der Wurzelschreibweise wieder.
a) [latexpage] $3^{\frac{1}{2}}$; [latexpage] $2^{\frac{1}{3}}$; [latexpage] $8^{\frac{1}{4}}$; [latexpage] $12^{\frac{1}{5}}$
b) [latexpage] $4^{\frac{2}{3}}$; [latexpage] $2^{\frac{5}{4}}$; [latexpage] $5^{\frac{6}{7}}$; [latexpage] $15^{\frac{3}{8}}$
c) [latexpage] $3^-^{\frac{1}{2}}$; [latexpage] $7^-^{\frac{2}{3}}$; [latexpage] $5^-^{\frac{3}{2}}$; [latexpage] $8^-^{\frac{2}{7}}$;
d) 40,5; 52,5; 31,4; 22,1
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle den Wert der aufgelösten Potenz mithilfe des Umformens in die Wurzelschreibweise.
a) [latexpage] $16^{\frac{1}{4}}$;
b) [latexpage] $27^{\frac{1}{3}}$;
c) [latexpage] $0,25^{\frac{1}{2}}$;
d) [latexpage] $32^{\frac{1}{5}}$;
e) [latexpage] $64^{\frac{1}{6}}$;
f) [latexpage] (${\frac{1}{64})^{\frac{1}{2}}$;
g) [latexpage] $4^{\frac{5}{2}}$;
h) [latexpage] $27^{\frac{5}{3}}$;
i) [latexpage] $81^{\frac{4}{3}}$;
j) [latexpage] $8^{\frac{3}{4}}$;
k) [latexpage] $64^{\frac{2}{2}}$;
l) [latexpage] $36^-^{\frac{1}{2}}$
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Forme die Wurzel hin um zu rationale Exponenten.
a) [latexpage] $\sqrt[4]{x^5}$
b) [latexpage] $\sqrt{\ {x+y}$
c) [latexpage] $\sqrt[3]{x^2}$
d) [latexpage] $\sqrt{\ {(x+y)^3}$
e) [latexpage] $\sqrt{\ {x^3}$
f) [latexpage] $\sqrt[3]{(a-b)^2}$
g) [latexpage]$\sqrt[3]{a\ {\cdot} \ b}$
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne mithilfe eines Wurzelgesetzes.
a) [latexpage] $\sqrt{\ {6}$ ·[latexpage] $\sqrt{\ {216}$
b) [latexpage] $\sqrt{\ {27}$ ·[latexpage] $\sqrt{\ {3}$
c) [latexpage] $\sqrt[3]{5}$ ·[latexpage] $\sqrt[3]{25}$
d) [latexpage] $\sqrt{\ {125}$ ·[latexpage] $\sqrt{\ {5}$
e) [latexpage] $\sqrt[4]{3}$ ·[latexpage] $\sqrt[4]{27}$
f) [latexpage] $\sqrt[3]{2}$ ·[latexpage] $\sqrt[3]{4}$
g) [latexpage] $\sqrt[3]{7}$ ·[latexpage] $\sqrt[3]{49}$
h) [latexpage] $\sqrt[5]{4}$ ·[latexpage] $\sqrt[5]{8}$
i) [latexpage] $\sqrt[3]{18}$ ·[latexpage] $\sqrt[3]{12}$
j) [latexpage] $\sqrt[4]{216}$ ·[latexpage] $\sqrt[4]{6}$
Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet Wurzeln
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Forme die Potenz hin zur Wurzelschreibweise um.
a) [latexpage] $3^{\frac{1}{2}}$ = $\sqrt[2]{3^1}$ = [latexpage] $\sqrt{\ {3}$
Der Nenner des Bruchs wird zum Wurzelexponenten und der Zähler des Bruchs zum Exponenten des Radikanden. Da hier eine Quadratwurzel vorliegt, lässt man in der gängigen Mathematik-Schreibweise den Wurzelexponenten weg.
[latexpage] $2^{\frac{1}{3}}$ = $\sqrt[3]{2^1}$ = $\sqrt[3]{2}$
[latexpage] $8^{\frac{1}{4}}$ = $\sqrt[4]{8^1}$ = $\sqrt[4]{8}$
[latexpage] $12^{\frac{1}{5}}$ = $\sqrt[5]{12^1}$ = $\sqrt[5]{12}$
b) [latexpage] $4^{\frac{2}{3}}$ = $\sqrt[3]{4^2}$
Achte hierbei wiederum darauf, dass der Nenner des Bruchs zum Wurzelexponenten wird und der Zähler des Bruchs zum Exponenten des Radikanden.
[latexpage] $2^{\frac{5}{4}}$ = $\sqrt[4]{2^5}$
[latexpage] $5^{\frac{6}{7}}$ = $\sqrt[7]{5^6}$
[latexpage] $15^{\frac{3}{8}}$ = $\sqrt[8]{15^3}$
c) [latexpage] $3^-^{\frac{1}{2}}$ = [latexpage] ${\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ = [latexpage] ${\frac{1}{\sqrt[2]{3^1}}$ = [latexpage] ${\frac{1}{\sqrt{3}}$
Zuerst muss man den negativen Exponenten der Potenz auflösen. Danach wandelt man die Potenz in die Wurzelschreibweise um. Zum Schluss kann man die gängige Schreibweise für eine Quadratwurzel verwenden.
[latexpage] $7^-^{\frac{2}{3}}$ = [latexpage] ${\frac{1}{7^{\frac{2}{3}}}$ = [latexpage] ${\frac{1}{\sqrt[3]{7^2}}$
[latexpage] $5^-^{\frac{3}{2}}$ = [latexpage] ${\frac{1}{5^{\frac{3}{2}}}$ = [latexpage] ${\frac{1}{\sqrt[2]{5^3}}$
[latexpage] $8^-^{\frac{2}{7}}$ = [latexpage] ${\frac{1}{8^{\frac{2}{7}}}$ = [latexpage] ${\frac{1}{\sqrt[7]{8^2}}$
d) 40,5 = [latexpage] $4^{\frac{5}{10}}$ = [latexpage] $4^{\frac{1}{2}}$ = $\sqrt[2]{4^1}$ = [latexpage] $\sqrt{\ {4}$
Zuerst wandelt man die Dezimalzahl in einen Bruch um, darauf kürzt man diesen, falls das möglich ist. Dann kann man die Potenz hin zur Wurzelschreibweise hin umwandeln.
52,5 = [latexpage] $5^{\frac{25}{10}}$ = [latexpage] $5^{\frac{5}{2}}$ = [latexpage] $\sqrt[2]{5^5}$ = [latexpage] $\sqrt{\ {5^5}$
31,4 = [latexpage] $3^{\frac{14}{10}}$ = [latexpage] $3^{\frac{7}{5}}$ = [latexpage] $\sqrt[5]{3^7}$
22,1 = [latexpage] $2^{\frac{21}{10}}$ = [latexpage] $\sqrt[10]{2^2^1}$
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Wie lautet der Wert der Potenz, nachdem diese in die Wurzelschreibweise gebracht wurde?
a) [latexpage] $16^{\frac{1}{4}}$ = $\sqrt[4]{16^1}$ = $\sqrt[4]{16}$ = 2 denn: 2 · 2 · 2 · 2 = 16
b) [latexpage] $27^{\frac{1}{3}}$ = $\sqrt[3]{27^1}$ = $\sqrt[3]{27}$ = 3 denn: 3 · 3 · 3 = 27
c) [latexpage] $0,25^{\frac{1}{2}}$ = $\sqrt[2]{0,25^1}$ = [latexpage] $\sqrt{\ {0,25}$ = 0,5 denn: 0,5 · 0,5 = 0,25
d) [latexpage] $32^{\frac{1}{5}}$ = $\sqrt[5]{32^1}$ = [latexpage] $\sqrt{\ {32}$ = 2 denn: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32
e) [latexpage] $64^{\frac{1}{6}}$ = $\sqrt[6]{64^1}$ = $\sqrt[6]{64}$ = 2 denn: 2 · 2 · 2· 2 · 2 · 2 = 64
f) [latexpage] (${\frac{1}{64})^{\frac{1}{2}}$ = [latexpage] ${\frac{1}{\sqrt[2]{64^1}}$ = [latexpage] ${\frac{1}{\sqrt{64}}$ = ${\frac{1}{8}}$ denn: ${\frac{1}{8}}$ · ${\frac{1}{8}}$ = ${\frac{1}{64}}$
g) [latexpage] $4^{\frac{5}{2}}$ = $\sqrt[2]{4^5}$ = [latexpage] $\sqrt{\ {1024}$ = 32 denn: 32 · 32 = 1024
h) [latexpage] $27^{\frac{5}{3}}$ = $\sqrt[3]{27^5}$ = $\sqrt[3]{14348907}$ = 243 denn: 243 · 243 · 243 = 14348907
i) [latexpage] $81^{\frac{4}{3}}$ = $\sqrt[4]{81^3}$ = $\sqrt[4]{531441}$ = 27 denn: 27 · 27 · 27 · 27 = 531441
j) [latexpage] $8^{\frac{3}{4}}$ = $\sqrt[3]{8^4}$ = $\sqrt[4]{4096}$ = 8 denn: 8 · 8 · 8· 8 = 4096
k) [latexpage] $64^{\frac{2}{3}}$ = $\sqrt[2]{64^2}$ = $\sqrt[2]{4096}$ = 64 denn: 64 · 64 = 4096
l) [latexpage] $36^-^{\frac{1}{2}}$ = [latexpage] ${\frac{1}{36^{\frac{1}{2}}}$ = [latexpage] ${\frac{1}{\sqrt[2]{36^1}}$ = [latexpage] ${\frac{1}{\sqrt[2]{36}}$ = [latexpage] ${\frac{1}{6}}$ denn: [latexpage] ${\frac{1}{6}}$ ·[latexpage] ${\frac{1}{6}}$ =[latexpage] ${\frac{1}{36}}$
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Gib in der Schreibweise mit rationalem Exponenten an.
a) [latexpage] $\sqrt[4]{x^5}$ = [latexpage] $x^{\frac{5}{4}}$
Der Wuzelexponent wird zum Nenner des Bruchs beim rationalen Exponenten. Der Exponent beim Radikanden zum Zähler des Bruchs beim rationalen Exponenten.
b) [latexpage] $\sqrt{\ {x+y}$ = [latexpage] $(x+y)^{\frac{1}{2}}$
c) [latexpage] $\sqrt[3]{x^2}$ = [latexpage] $x^{\frac{2}{3}}$
d) [latexpage] $\sqrt{\ {(x+y)^3}$ = [latexpage] $(x+y)^{\frac{3}{2}}$
e) [latexpage] $\sqrt{\ {x^3}$ = [latexpage] $x^{\frac{3}{2}}$
f) [latexpage] $\sqrt[3]{(a-b)^2}$ = [latexpage] $(a-b)^{\frac{2}{3}}$
g) [latexpage]$\sqrt[3]{a\ {\cdot} \ b}$ = [latexpage] $(a\ {\cdot} \ b)^{\frac{1}{3}}$
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Wende ein Wurzelgesetz an.
a) [latexpage] $\sqrt{\ {6}$ ·[latexpage] $\sqrt{\ {216}$ = [latexpage]$\sqrt[2]{6\ {\cdot} \ 216}$ = [latexpage]$\sqrt[2]{1296}$ = [latexpage] $\sqrt{\ {1296}$ = 36
Liegt der gleiche Wurzelexponent vor, so kann man die Radikanden miteinander multiplizieren.
b) [latexpage] $\sqrt{\ {27}$ ·[latexpage] $\sqrt{\ {3}$ = [latexpage]$\sqrt[2]{27\ {\cdot} \ 3}$ = [latexpage]$\sqrt[2]{81}$ = [latexpage] $\sqrt{\ {81}$ = 9
Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Liegt eine Wurzel vor, ohne dass ein Wurzelexponent als Zahl auftritt, so handelt es sich immer um eine Quadratwurzel.
c) [latexpage] $\sqrt[3]{5}$ ·[latexpage] $\sqrt[3]{25}$ = [latexpage]$\sqrt[3]{5\ {\cdot} \ 25}$ = [latexpage]$\sqrt[3]{125}$ = 5
d) [latexpage] $\sqrt{\ {125}$ ·[latexpage] $\sqrt{\ {5}$ = [latexpage]$\sqrt[2]{125\ {\cdot} \ 5}$ = [latexpage]$\sqrt[2]{625}$ = [latexpage] $\sqrt{\ {625}$ = 25
e) [latexpage] $\sqrt[4]{3}$ ·[latexpage] $\sqrt[4]{27}$ = [latexpage]$\sqrt[4]{3\ {\cdot} \ 27}$ = [latexpage]$\sqrt[4]{81}$ = 3
f) [latexpage] $\sqrt[3]{2}$ ·[latexpage] $\sqrt[3]{4}$ = [latexpage]$\sqrt[3]{2\ {\cdot} \ 4}$ = [latexpage]$\sqrt[3]{8}$ = 2
g) [latexpage] $\sqrt[3]{7}$ ·[latexpage] $\sqrt[3]{49}$ = [latexpage]$\sqrt[3]{7\ {\cdot} \ 49}$ = [latexpage]$\sqrt[3]{343}$ = 7
h) [latexpage] $\sqrt[5]{4}$ ·[latexpage] $\sqrt[5]{8}$ = [latexpage]$\sqrt[5]{4\ {\cdot} \ 8}$ = [latexpage]$\sqrt[5]{32}$ = 2
i) [latexpage] $\sqrt[3]{18}$ ·[latexpage] $\sqrt[3]{12}$ = [latexpage]$\sqrt[3]{18\ {\cdot} \ 12}$ = [latexpage]$\sqrt[3]{216}$ = 6
j) [latexpage] $\sqrt[4]{216}$ ·[latexpage] $\sqrt[4]{6}$ = [latexpage]$\sqrt[4]{216\ {\cdot} \ 6}$ = [latexpage]$\sqrt[4]{1296}$ = 6