Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchgleichungen, Teil 5

Logik in Mathe S. © Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Logik in Mathe S. © Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Eine bestimmte Logik ist bei jedem Stoffgebiet in Mathe zentral. Mathematik ist ja Logik pur. Deshalb nimmt dieses Fach in der Schule auch eine sehr, sehr wichtige Stellung ein. Wie sieht nun aber beispielsweise die Logik beim Stoffgebiet Bruchgleichungen aus? Guckt man sich Bruchgleichungen an, so beginnt die Logik beim Aufstellen der Definitionsmenge der jeweiligen Aufgabe. Hiermit steht und fällt ja die Lösung der Aufgabe! Als Nächstes muss man die Gleichung dahingehend vereinfachen, dass man bei den Brüchen deren Hauptnenner bildet. Anschließend löst man die jetzt ganz normale Gleichung nach der Variablen hin auf. Zum Schluss muss man noch die Lösung mit der Definitionsmenge abgleichen und die Lösung angeben. Das ist die Logik bei Buchgleichungen – um diese Gleichungen richtig zu lösen. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchtermen, Teil 10

Bruchterme sind super © Esther Stosch PIXELIO www.pixelio.de

Bruchterme sind super © Esther Stosch PIXELIO www.pixelio.de

Alle Aufgaben in Mathe zu Bruchtermen kann man im Prinzip schon. Alles, was man beim Bruchrechnen gelernt hat, muss man ja hier wiederum abrufen. Daher sind Bruchterme ein dankbares Stoffgebiet – wenn man schon top bei Brüchen war. Das Einzige, was wirklich bei Bruchtermen neu ist, ist die eingeschränkte Lösungsmenge sowie die auftretenden Variablen beim Bruch. Aber das Allerallerwichtigste ist: Alle Rechenoperationen sind bekannt! Das Addieren, das Subtrahieren, das Multiplizieren und das Dividieren sind schließlich zu 100 % gleich wie beim Bruchrechnen. Ebenso hat man bereits gelernt, wie man z. B. Variablen mittels des Distributivgesetzes auflöst – wenn man dieses bei Bruchtermen anwenden muss. Nichtsdestotrotz muss man natürlich beim Lösen jeder Aufgabe bei Bruchtermen hochkonzentriert sein – wie immer bei Mathe! Weiterlesen

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Gleichungen mit Parametern

1. Allgemeines zu Gleichungen mit Parametern/Formvariablen

Gleichungen können in Mathe nicht nur eine Variable vorweisen, sondern auch mehrere. Am besten kann man solche Gleichungen verstehen, wenn man sich einmal von der Form her gleiche Gleichungen vor Augen führt.

 

Es sind folgende vier Gleichungen samt Lösung gegeben:

a)    (x + 10)² – (x – 10)² = 100;    L = {{\frac{5}{2}}}

b)    (x + 4)² – (x – 4)² = 16;    L = {1}

c)   (x + 2)² – (x – 2)² = 4;    L = {{\frac{1}{2}}}

d)    (x + 1)² – (x – 1)² = 1;    L = {{\frac{1}{4}}}

e)    (x + {\frac{4}{5}})² – (x – {\frac{4}{5}})²;   L = {{\frac{1}{5}}}

 

Alle diese Gleichungen können auf folgende Form hin verallgemeinert werden:

(x + t)² – (x – t)² = t²

 

Denn bei t = 10 ergibt sich die Gleichung:

a)    (x + 10)² – (x – 10)² = 100

 

Bei t = 4 ist die Gleichung:

b)    (x + 4)² – (x – 4)² = 16

 

Bei t = 2 ist die Gleichung:

c)    (x + 2)² – (x – 2)² = 4

 

Bei t = 1 ist die Gleichung:

d)    (x + 1)² – (x – 1)² = 1

 

Bei t = {\frac{4}{5}} ist die Gleichung:

e)   (x + {\frac{4}{5}})² – (x – {\frac{4}{5}})²;   L = {{\frac{1}{5}}}

 

Die bei der Gleichung zusätzlich neben x auftretende Variable t nennt man Parameter oder Formvariable.

Bei den obigen Gleichungen hat der Parameter/die Formvariable jeweils folgenden Wert:

bei a)   t = 10;   b)   t = 4;   c)   t = 2;   d)  t = 1;   e)   t = {\frac{4}{5}}.

 

Aufgrund der Lösungen der Gleichungen liegt die Vermutung nahe, dass die Lösung einer Gleichung diese Form vorweist:   L = {\frac{\mathrm t}{4}}. Bei den Lösungen b) und c) kann man das sofort sehen, bei den Lösungen a), d) und e) muss man die Brüche jeweils erweitern, um das sehen zu können.

Um sicher sagen zu können, dass alle Gleichungen der Form (x + t)² – (x – t)² = t² die Lösung L = {\frac{\mathrm a}{4}} haben, muss man die Gleichung nach der Variablen x hin umformen.

(x + t)² – (x – t)² = t²

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Bei (x + t)² liegt die 1. Binomische Formel vor und bei (x – t)² die 2. Binomische Formel. Siehe hierzu auch ergänzend unter dem Reiter Binomische Formeln die dort gemachten Ausführungen an.

 

x² + 2tx + t² – (x² – 2tx + t²) = t²

t² + 2tx + t² – x² + 2tx – t² = t²

4tx = t²                  |    : 4t                 (für t ≠ 0)

x = {\frac{\mathrm t^2}{4\mathrm t}}

x = {\frac{\mathrm t}{4}}

 

Probe:

({\frac{\mathrm t}{4}} + t)² – ({\frac{\mathrm t}{4}} – t)² = t²

({\frac{5}{4}}t)² – (–{\frac{3}{4}}t)² = t²

{\frac{25}{16}}t² – {\frac{9}{16}}a = t²

t² = t²

Die Probe bestätigt die Reichtigkeit des Ergebnisses.

 

Jetzt gilt es noch zu überprüfen, was für eine Lösung die Gleichung der Form (x + t)² – (x – t)² = a²  für t = 0 hat.

Bei t = 0 ergibt sich die Gleichung:

(x + 0)² – (x – 0)² = (0)²

x – x = 0

0 = 0

Es gilt also nicht bei t = 0, dass L = {{\frac{\mathrm t}{4}}} ist.

Bei t = 0 ist nämlich L = {\mathbb Q} oder {\mathbb R} (je nach Klassenstufe).

Bei t ≠ 0 ist L = {{\frac{\mathrm t}{4}}}.

 

Bei Gleichungen mit Parameter/Formvariable können immer auch Sonderfälle auftreten. Bei der Gleichung mit der Form (x + t)² – (x – t)² = t² tritt ein Sonderfall bei t = 0 auf. Die Gleichung ist dann nämlich: x² – x² = 0. Sollten Sonderfälle bei einer Gleichung mit Parameter/Formvariable vorkommen, so kann man diese ohne Weiteres aus der Definitionsmenge ausschließen.

Für (x + t)² – (x – t)² = t²  kann daher gelten als Definitionsmenge gelten: D = {t Є {\mathbb Q} Ι t ≠ 0} oder D = {\mathbb Q} \ {0}

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Außer t können die Parameter/Formvariablen noch andere Buchstaben des Alphabets sein.

 

2. Lösungsvariable und Formvariable bei Parametergleichungen

Es ist folgende Gleichung gegeben:

4x + 8y = 24

Für diese Gleichung soll die Lösungsmenge bestimmt werden.

Da hier aber zwei Variablen auftreten, muss noch ganz klar definiert sein:

Was ist die Lösungsvariable und was ist die Formvariable? Ansonsten weiß man ja gar nicht, nach welcher Variablen man die Gleichung hin umformen muss.

Beide Aufgaben machen verdeutlichen dies:

a) Gib die Lösungsmenge an. x ist die Lösungsvariable und y die Formvariable.

4x + 8y = 24        |    – 8y

4x = –8y + 24      |    : 4

x = –2y + 6

L = {–2y + 6}

 

b) Gib die Lösungsmenge an: y ist die Lösungsvariable und x die Formvariable.

4x + 8y = 24        |    – 4x

8y = –4x + 24      |     : 8

y = –0,5x + 3

L = {–0,5x + 3}

Wie man sieht, erhält man je nach Aufgabenstellung eine unterschiedliche Lösungsmenge.

Daher muss folgendes bei Gleichungen mit Formvariablen/Parametern gelten:

Bei jeder Gleichung mit zwei und mehr Variablen muss genau definiert sein, was die Lösungsvariable ist und was die Formvariable(n)/Parameter. Nur dann kann man bei der Gleichung auch die Lösungsmenge bestimmen.

Um die Lösungsvariable zu ermitteln, ist es notwendig die Gleichung so umzuformen, dass auf der einen Seite der Gleichung die Lösungsvariable isoliert steht und auf der anderen Seite der Rest der Gleichung. Das ist identisch mit dem Auflösen einer Gleichung nach einer Variablen hin.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter dem Reiter Gleichungen 3. Äquivalenzumformungen bei Gleichungen an.

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchtermen, Teil 9

Mathe-Hefter Bruchrechnen und andere Schulhefter © Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Mathe-Hefter Bruchrechnen und andere Schulhefter © Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Bei der Addition und der Subtraktion von Bruchtermen ist es in Mathe sehr wichtig, sich vorher genau den Nenner der Bruchterme anzuschauen. Davon hängt ja ab, ob man die Bruchterme sofort addieren oder subtrahieren darf oder nicht. Ist der Nenner gleich, dann darf man das nämlich sofort machen. Das ist genauso wie beim Bruchrechnen. Ein Bruch darf dann auch sofort mit einem anderen Bruch addiert oder subtrahiert werden, wenn die Brüche den gleichen Nenner vorweisen (die Brüche sind dann gleichnamig). Haben diese aber nicht den gleichen Nenner, so muss man erst einen gemeinsamen Nenner bilden. Man sagt: Man muss die Brüche gleichnamig machen. Das gilt natürlich auch für Bruchterme! Gleichnamig macht man hierbei Brüche oder Bruchterme, indem man zuvor den gemeinsamen Hauptnenner der Brüche bildet. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchgleichungen, Teil 1

Aufeinander aufbauende Mathematik-Stoffgegbiete vereinfacht dargestellt © Stephanie Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Bruchterme hat man im Fach Mathe nicht umsonst sehr intensiv gepaukt. Schließlich bilden diese die Grundbausteine von Bruchgleichungen – und späteren gebrochenrationalen Funktionen. Wie man hier augenscheinlich sieht, ist die Mathematik stets aufeinander aufbauend bzw. verschiedene vorherige Stoffgebiete in einem neuen enthalten. Außer Bruchterme muss man nämlich auch bei Bruchgleichungen vor allem Gleichungen gut auflösen können. Beides ist hier bereits nicht mehr sooo leicht. Zum einen sind die Terme, die aufgrund der speziellen Form der Gleichungen auftreten können, teils schon sehr umfangreich, zum anderen muss man bei Bruchgleichungen auch immer den Definitionsbereich bestimmen und diesen mit der Lösung hin abgleichen – und stets aufpassen, dass hier eine Äquivalenzumformung vorliegt. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchtermen, Teil 6

Ein Rucksack mit Mathebuch und anderem Wichtigen für die Grundschule © birgitta hohenester PIXELIO www.pixelio.de

Das Kann-ich-doch-bereits-Phänomen gilt bei dem Stoffgebiet Bruchterme nicht nur für die Multiplikation von Bruchtermen, sondern auch für die Division. Aus der Grundschule wissen gelehrige Schülerinnen und Schüler noch, dass bei Brüchen die Division ähnlich funktioniert wie bei der Multiplikation von Brüchen. Es gibt nur einen klitzekleinen Unterschied. Ein Bruch wird mit einem anderen Bruch dividiert, in dem man beim zweiten Bruch den Kehrwert bildet und dann mit dem ersten malnimmt. Das, was für das Bruchrechnen gilt, das gilt nun wiederum auch für Bruchterme. Daher ist das Kann-ich-doch-bereits-Phänomen alles andere als ein Zufall, sondern es liegt einfach an der gleichen Berechnungsweise – und an dem Gutgelernthaben der Multiplikation und Division von Brüchen aus der eigenen Grundschulzeit. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchtermen, Teil 5

Die Grundlage der Fortentwicklung (in der Schule und im Leben) - das Lernen © www.einstellungstest-polizei-zoll.de PIXELIO www.pixelio.de

„Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner“ – das hat man in Mathe beim Bruchrechnen bei der Multiplikation von Brüchen gelernt. Das ist normalerweise in der Grundschule in der 4. und 5. Klasse der Fall. Hier wird ja das Bruchrechnen von A bis Z durchgenommen. In der 8. Klasse bei speziellen Termen, den Bruchtermen, muss man in Anführungszeichen die Gedächtnisprobe aufs Exempel machen. Denn auch hier gilt wieder bei der Multiplikation von Bruchtermen „Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner“. Hat man die einfache Regel sofort wieder parat, so kann man mit ganz großer Wahrscheinlichkeit diese auch gleich wiederum anwenden. Gelernt ist halt gelernt – daher ist hier die Mathematik im Prinzip wie Fahrradfahren. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchtermen, Teil 4

Fünf Zehntel bzw. gekürzt ein Halb © Franziska Püller PIXELIO www.pixelio.de

Das Erweitern und Kürzen von Brüchen ist etwas, das man in Mathe bereits in der Grundschule gelernt hat. Man erweitert einen Bruch mit dem sogenannten Erweiterungsfaktor und man kürzt einen Bruch mit dem sogenannten Kürzungsfaktor. Hat man das Erweitern und Kürzen von Brüchen im Fach Mathematik einmal verstanden, so kann man sein einst erworbenes Können bei Bruchtermen erneut anwenden. In der Mittelstufe muss man das nämlich erneut bei dem Stoffgebiet Bruchterme abrufen können. Und je besser man das damals verinnerlicht hatte, desto leichter wird man es hier dann richtig reproduzieren können. Darüber hinaus kommen hier noch des Öfteren algebraische Grundkenntnisse wie das Ausklammern/Faktorisieren zum Zuge – was man aber auch bereits vorher in Mathe gelernt hat. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Ungleichungen, Teil 3

''Ungleicher'' Stapel von Steinen © twinlili PIXELIO www.pixelio.de

Bei Ungleichungen in Mathe ist eine Rechenregel überaus entscheidend! Diese lautet: Immer wenn man bei einer Ungleichung eine Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl durchführt, dann dreht sich das Vorzeichen der Ungleichung um. Hierbei handelt sich um eine Äquivalenzumformung. Alle anderen Lösungsschritte, die zur Lösung der Ungleichung führen, macht man genauso wie man das beim Lösen von Gleichungen bereits gelernt hat. Das ist sicherlich auch der Grund, warum Ungleichungen im Fach Mathematik heutzutage nur noch ein Randthema sind. Kann man nämlich Gleichungen lösen, so kann man auch Ungleichungen lösen – vorausgesetzt man beherzigt die einzige Ausnahme mit dem „Vorzeichen-Wechsel“ bei der Multiplikation und Division von negativen Zahlen. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Potenzen, Teil 5

Der Zimmer einer hiesigen Lehranstalt © Manfred Jahreis PIXELIO www.pixelio.de

Wer in Mathematik gegenüber seinen Mitschülern beim Stoffgebiet Potenzen die Aufgaben am schnellsten löst, ist nicht automatisch am potentesten, sprich am stärksten (potens = das lateinische Adjektiv für stark). Der Knabe oder das junge Fräulein kann einfach gut rechnen – und hierbei Potenzgesetze richtig anwenden. Da Potenzen auf der Rechenoperation des Multiplizierens basieren, beherrschte der Knabe oder das junge Fräulein das Malnehmen unter Garantie auch schon sehr gut. Daher war der Switch hin zu Potenzen und deren Potenzgesetze für dieses Kind ein Leichtes. Gut aufpassen und gut mitmachen, zahlt sich schließlich vor allem im Fach Mathematik aus. Dadurch ist man aber auch alles andere als ein Streber oder eine Streberin. Man erfüllt einfach seinen Job, der zu diesem Zeitpunkt Schülerin oder Schüler heißt – und das kontinuierlich. Weiterlesen

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