Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Wurzeln, Teil 3

Wurzeln in Mathe sind nicht komisch © gänseblümchen PIXELIO www.pixelio.de

Ja, das stimmt! Das ist eher ein lahmer Kalauer! Mit Zähnen und Bäumen in Mathematik „wurzeln“ – hahaha. Leider ist Mathe nicht wie Karneval, wo nahezu alles erlaubt ist! Die Wurzel von Zähnen und die Baumwurzel sind als Karnevalskostüm sicherlich lustig. Die Wurzel in Mathe hat damit aber jedoch rein gar nichts mit zu tun – zumindest was die reale Umsetzung angeht. Kalauern ist hier demzufolge auch sehr fehl am Platze. „Wurzeln“ in Mathematik kann man nämlich nur, wenn man die hierfür bestehenden Wurzelgesetze gut gelernt hat. Das ist auch der Grund, warum bei Klassenarbeiten zu diesem Stoffgebiet der Notendurchschnitt eher im Keller liegt… Und das empfindet dann spätestens eine Schülerin oder ein Schüler bei einer schlechten Mathe-Note – nicht mehr witzig. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Wurzeln, Teil 2

Beim Zahnarzt © Claudia Heck PIXELIO www.pixelio.de

Oha! Man ist beim Zahnarzt und es steht einem Schlimmes bevor: eine Wurzelbehandlung (eigentlich korrekt in der Sprache der Zahnmedizin, eine Wurzelkanalbehandlung). Unschön ist schon alleine der Gang zum Zahnarzt. Äußerst unangenehm das Herumhantieren des Zahnarzts im Mund und der Horror die Diagnose: „Eine Wurzelbehandlung ist vonnöten.“ Die fiesen Zahnschmerzen ließen bereits nichts Gutes erahnen. Aber im schlimmsten Fall mit ein wenig bohren, dachte man, wäre dem bestimmt wieder Abhilfe geschaffen. Nur zu gerne würde man nun jedoch aufgrund der fiesen anderweitigen Diagnose aus der Zahnarztpraxis rennen und schnell das Weite suchen. Doch die Altersvernunft rät zum ausharren. Als Schülerin oder Schüler muss man jetzt keine Sorge haben, da eine Wurzelbehandlung in jungen Jahren nahezu ausgeschlossen ist. Dafür können in jungen Jahren trotzdem Wurzeln Schmerzen zufügen – das aber in der Mathematik. Hat man jedoch schließlich verstanden, was eine Wurzel in Mathe ist, dann ist man bei diesem Mathematik-Stoffgebiet wieder auf der „schmerzfreien“ Seite. Weiterlesen

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Wurzeln

1. Das Wurzelziehen als Gegenrechenoperation des Potenzierens

Zum Addieren gibt es in Mathe bekanntermaßen die Gegenrechenoperation, das Subtrahieren. Das Gleiche gilt für das Multiplizieren, denn hier kennt auch jeder die Gegenrechenoperation: das Dividieren. Wie sieht das nun beim Potenzieren aus? Richtig! Jeder in Mathematik nicht gänzlich auf den Kopf gefallene Schüler weiß auch, dass es hierfür eine Gegenrechenoperation gibt. Egal, ob man den Namen hierfür kennt oder nicht – gemeint ist hier: das Radizieren bzw. auf Deutsch: das Wurzelziehen.

Da eine Wurzel immer auf eine Potenz zurückgeführt werden kann, lässt sich diese neue Rechenoperation, das Radizieren/Wurzelziehen am besten aufgrund des Beziehungsverhältnisses Potenz/Wurzel erklären.

Gegeben ist folgende Potenz: 43

Die diesen Wert hat: 43 = 4 4 4 = 64

Die Gegenrechenoperation ist nun hier: \sqrt[3]{64} = 4

 

Gleichung mit Potenz und Variable x als Basis

Bei einer Variablen/Zahl unter einer Potenz und dem Ergebnis a besteht folgende Wechselbeziehung bzw. die Möglichkeit dieser Gegenrechenoperation (veranschaulicht auf dem anderen Bild).

 

 

 

Variable x in Gleichung mit n-ter Wurzel separiert

Durch das Ziehen der n-ten Wurzel von a erhält man x.

 

 

 

 

Aus dieser Beziehung zwischen Potenz und Wurzel ergibt sich folgende Definition:

Es ist eine nichtnegative Zahl a gegeben (alle Zahlen größer 0).

Die n-te Wurzel (n ≥ 2) ist diejenige nichtnegative Zahl x, aus der man mit n potenziert die Zahl a erhält.

Die n-te Wurzel aus a in der Sprache der Mathematik hat die Form: \sqrt[n]{a}.

Die Zahl n nennt man Wurzelexponent, die unter dem Wurzelzeichen stehende Zahl a bezeichnet man als Radikand.

 

Beispiele:

\sqrt{64} = 8, denn 8 8 = 64 (gesprochen: die Wurzel aus 64, alternativ: die Quadratwurzel aus 64)

\sqrt[3]{729} = 9, denn 9 9 9 = 729 (gesprochen: die 3. Wurzel aus 729, alternativ: die Kubikwurzel aus 729)

\sqrt[4]{1296} = 6, denn 6 6 6 6 = 1296 (gesprochen: die 4. Wurzel aus 1296)

\sqrt[5]{243} = 3, denn 3 3 3 3 3 = 243 (gesprochen: die 5. Wurzel aus 243)

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Weist die Wurzel keinen Wurzelexponenten auf, so handelt es sich immer um eine Quadratwurzel: \sqrt{\ {5} = \sqrt[2]{5}.

 

1.1 Berechnung der n-Wurzel mit dem Taschenrechner

Bei Taschenrechnern für den Mathematik-Unterricht kann man die n-te Wurzel immer mit dieser Taste berechnen: \sqrt[x]{y}. Normalerweise befindet sich diese Taste auf der 2. Belegung des Taschenrechners.

Bei Taschenrechnern, die die Taste \sqrt[x]{y} nicht vorweisen, kann man die n-te Wurzel aber auch folgendermaßen berechnen: Man gibt zuerst den Radikanden in den Taschenrechner ein und drückt als Nächstes die Taste x^y. Darauf gibt man den Kehrwert des Wurzelexponenten ein – und das entweder als Bruch oder Dezimalzahl.

 

Beispiele:

729(^{\frac{1}{3}}) = 9

1296(^{\frac{1}{4}}) = 6 oder: 1296^0^,^2^5 = 6

243(^{\frac{1}{5}}) = 3 oder: 1296^0^,^2 = 3

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Je nach Taschenrechner ist es wichtig, um den Exponenten eine Klammer zu setzen.

 

2. Die Wechselbeziehung zwischen Wurzelziehen und Potenzieren

Ziehen der n-ten Wurzel und Potenzieren mit n

Das Ziehen der n-ten Wurzel wird durch die Gegenrechenoperation, durch das Potenzieren mit n, wieder aufgelöst beziehungsweise rückgängig gemacht.

Denn: (\sqrt[n]{a})n = a für a ≥ 0

 

Beispiele:

(\sqrt[4]{4096})4 = 4096

(\sqrt[3]{27})3 = 27

(\sqrt[5]{4913})^5 = 4913

(\sqrt[6]{0,74})^6 = 0,74

 

 

Potenzieren mit n und Ziehen der n-ten Wurzel

Das Potenzieren von n wird durch die Gegenrechenoperation, das Ziehen der n-ten Wurzel wieder aufgelöst beziehungsweise rückgängig gemacht.

Denn: \sqrt[n]{a^n} = a für a ≥ 0

 

Beispiele:

\sqrt[5]{3^5} = 3

\sqrt[7]{6^7} = 6

 

 

 

2.1 Die Lösungsmenge einer Gleichung der Form x^n = a

Je nach Exponent in Beziehung zu a kann eine Gleichung der Form x^n = a eine Lösung oder zwei Lösungen haben oder keine Lösung vorweisen.

 

Definition:

Für die Lösungsmenge der Gleichung x^n = a gilt

bei geradem Exponenten n: bei ungeradem Exponenten:

{\sqrt[n]{a}; – \sqrt[n]{a}}, wenn a > 0; {\sqrt[n]{a}}, wenn a > 0;

{0}, wenn a = 0; {0}, wenn a = 0;

{ }, wenn a < 0; {– \sqrt[n]{\vert a\vert}}, wenn a < 0.

 

3. Die Erweiterung des Potenzbegriffs: auf gebrochen rationale Exponenten

Jede Wurzel kann auch als Potenz wiedergegeben werden. Hierfür ist nur eine Erweiterung des Potenz-Begriffes vonnöten, und zwar dahingehend, dass der Exponent der Potenz auch gebrochen rationale Zahlen beinhalten kann.

 

Definition:

Eine Potenz mit einem gebrochen rationalem Exponenten kann man zu einer Wurzel hin umwandeln.

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} (für m Є {\mathbb Z}, und n Є {\mathbb N^*}, a > 0)

Hierbei wird der Nenner des Bruchs zum Wurzelexponenten und der Zähler des Bruchs zum Exponenten des Radikanden.

Bei m = 1 tritt dieser Sonderfall auf: a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}.

 

Beispiele:

4^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{4^3}

6^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{6^2}

8^-^{\frac{4}{7}} = 8^{\frac{-4}{7}} = \sqrt[7]{8^-^4} = \sqrt[7]{\frac{1}{8^4}}

32,5 = 3^{\frac{5}{2}} = \sqrt[2]{3^5}

 

4. Wurzelgesetze

Genauso wie bei Potenzen gibt es in Mathe zu Wurzeln Rechenoperationen, die klaren Regeln unterliegen. Diese werden als Wurzelgesetze bezeichnet. Hierbei gibt es folgende Unterteilungen:

  • Wurzelgesetz für die Multiplikation von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten
  • Wurzelgesetz für die Division von Wurzeln bei gleichem Wurzelexponenten
  • Wurzelgesetz für das Wurzelziehen einer Wurzel

 

4.1 Wurzelgesetz für die Multiplikation von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten

Liegt eine Multiplikation zweier Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten vor, so ergibt sich hieraus diese Gesetzmäßigkeit:

\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a\ {\cdot} \ b} für a ≥ 0, b ≥ 0

Bei der Multiplikation zweier verschiedener Radikanden, deren Wurzelexponenten gleich sind, werden die Radikanden miteinander malgenommen. Der Wurzelexponent bleibt hierbei bestehen.

 

Beispiele:

\sqrt[3]{5} \sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{5\ {\cdot} \ 25} = \sqrt[3]{125} = 5

\sqrt{\ {3} \sqrt{\ {27} = \sqrt{3\ {\cdot} \ 27} = \sqrt{\ {81} = 9

 

4.2 Wurzelgesetz für die Division von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten

Bei einer Division zweier Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten ergibt sich folgende Gesetzmäßigkeit:

{\frac{{\sqrt[n]{a}}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} für a ≥ 0, b > 0

Bei der Division zweier verschiedener Radikanden, die den gleichen Wurzelexponenten vorweisen, wird der Quotient beider Radikanden genommen bzw. der zweite Radikand durch den ersten Radikanden dividiert. Der Wurzelexponent bleibt hierbei bestehen.

 

Beispiele:

{\frac{{\sqrt[3]{81}}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{81}{3}} = \sqrt[3]{27} = 9

{\frac{{\sqrt{45}}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{45}{5}} = \sqrt{9} = 3

 

4.3 Wurzelgesetz für das Wurzelziehen aus einer Wurzel

Zieht man aus einer Wurzel die Wurzel, so liegt folgende Gesetzmäßigkeit vor:

{\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m\ {\cdot} \ n]{a} für a ≥ 0

Bei einer Wurzel zieht man die Wurzel, indem man die Wurzelexponenten miteinander multipliziert. Der Radikand der Wurzel bleibt hierbei erhalten.

 

Beispiele:

{\sqrt[4]{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[4\ {\cdot} \ 3]{64} = \sqrt[12]{64}

{\sqrt{\sqrt{16}} = \sqrt[2\ {\cdot} \ 2]{16} = \sqrt[4]{16} = 2

 

4.4 Sonderfälle von Wurzelgesetzen

Aus den obigen Wurzelgesetzen lassen sich folgende Sonderfälle an Wurzelgesetzen ableiten.

 

4.41 Das teilweise Wurzelziehen

1a) \sqrt[n]{a^n\ {\cdot} \ b} = a · \sqrt[n]{b} (für a ≥ 0, b ≥ 0)

 

Beispiele:

\sqrt[4]{5\ {\cdot} \ 16} = \sqrt[4]{5\ {\cdot} \ 2^4} = 2 · \sqrt[4]{5}

\sqrt[3]{8\ {\cdot} \ 2} = \sqrt[3]{2^3\ {\cdot} \ 2} = 2 · \sqrt[3]{2}

\sqrt[3]{48} = \sqrt[3]{8\ {\cdot} \ 6} = \sqrt[3]{2^3\ {\cdot} \ 6} = 2 · \sqrt[3]{6}

\sqrt{12} = \sqrt{4\ {\cdot} \ 3} = \sqrt{2^2\ {\cdot} \ 3} = 2 · \sqrt{3}

 

1b) \sqrt{a^2\ {\cdot} \ b} = \vert a\vert · \sqrt{b} (für b ≥ 0)

 

Beispiele:

\sqrt{9x^2} = 3 · \vert x\vert

\sqrt{x^2y^2} = \vert xy\vert

\sqrt{36a^4} = \sqrt{36a^2\ {\cdot} \  a^2} = 6 · \vert a\vert · \vert a\vert = 6 · \vert a^2\vert

\sqrt{81m^2n^2} = 9 · \vert m\vert · \vert n\vert

 

2) \sqrt[n]{\frac{a}{b^n}} = {\frac{1}{b}} · \sqrt[n]{a} (für a ≥ 0, b > 0)

\sqrt{\frac{a^2}{b}} = {\frac{\vert a\vert}{\sqrt{b}}} (für b > 0)

\sqrt{\frac{a}{b^2}} = {\frac{\sqrt{a}}{\vert b\vert}} (für a ≥ 0, b ≠ 0)

3) \sqrt[m\ {\cdot} \ n]{a^n} = \sqrt[m]{a} (für a ≥ 0)

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Rechenoperationen

Die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division

1. Rechenoperationen und Rechenfähigkeiten

In Mathematik muss man bekanntlich rechnen, rechnen und nochmals rechnen. Je besser man demzufolge rechnen kann, desto weniger Fehler passieren einem beim rechnerischen Lösen von Aufgaben. Die rechnerischen Fähigkeiten eines jeden Schülers hängen hierbei maßgeblich davon ab, wie gut man das elementare Mathe-„Handwerkszeug“ beherrscht – die Rechenoperationen.

Unter Rechenoperationen zählt man bei den Grundrechenarten das Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und das Dividieren und alle darauf basierenden Rechenoperationen wie das Potenzieren, das Wurzelziehen sowie das Logarithmieren. Hierbei lernt man die Rechenoperationen zunächst einzeln, später treten die gelernten Rechenoperationen jeweils beispielsweise bei dem Bruch-, Dezimal- und Prozentrechnen in Kombination wieder auf und anderen komplizierteren zu tätigenden Rechnungen.

Jede dieser Rechenoperationen unterliegt nun bestimmten Rechengesetzen/Rechenregeln. Da die „höheren“ Rechenoperationen wie das Potenzieren, das Wurzelziehen und das Logarithmieren auf den Grundrechenarten aufbauen, kann man tendenziell besser, schneller und vor allem fehlerfreier rechnen, wenn man die Grundrechenarten so gut wie möglich kann. Aufgrund der Tatsache, dass man spätestens ab der 8. Klasse einen Taschenrechner benutzen darf, kann man jedoch bei einem gekonnten Umgang mit dem Taschenrechner wiederum vorher vorhandene und auch spätere Rechenschwächen „umschiffen“ beziehungsweise kaschieren. Das geht aber nur, solange bloß „nackte“ Zahlen vorkommen. Spätestens aber, wenn Terme mit Variablen auftreten, „flackert“ die alte Rechenschwäche aufs Neue auf. Denn auch „höhere“ Rechenoperationen wie das Wurzelziehen und das Logarithmieren kommen in Mathematik bei Termen, Gleichungen und Funktionen vor – und müssen dort vielfach korrekt angewandt werden. Zwar gibt es inzwischen auch Taschenrechner, die beliebig programmierbar sind und auch schwierigere Mathe-Ausdrücke wie Terme, Gleichungen und Funktionen mit unterschiedlichen Variablen und „höheren“ Rechenoperationen wie das Wurzelziehen und Logarithmieren berechnen können, jedoch im Mathe-Abitur sind diese nicht zugelassen. Daher geht kein Weg daran vorbei, im Fach Mathe sich alle Rechenoperationen so gut wie möglich anzueignen – ansonsten verliert man unter Garantie immer schon Punkte aufgrund eines fehlerhaften Rechenweges. Auch besteht die nicht zu unterschätzende Gefahr, dass man durch Rechenfehler den Lösungsweg verkompliziert.

Ebenso sollte man sich im Klaren sein: Je höher die Klassenstufe ist, desto häufiger wird im Fach Mathematik während der Klassenarbeiten die Uhr ticken. Umso mehr gilt das noch für das schriftliche Mathe-Abitur. Hat man daher gerade in der Oberstufe noch irgendwelche Rechenprobleme bei bestimmten Rechenoperationen, dann werden nicht nur die Klassenarbeiten in Mathematik von der Note her mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit alles andere als gut ausfallen – sondern auch das zu absolvierende schriftliche Mathe-Abitur.

 

2. Die Rechenoperationen bei den Grundrechenarten

Die elementarsten Rechenoperationen treten bei den Grundrechenarten, der Addition, Subtraktion, Multiplikation und der Division, auf. Hierbei bezeichnet man die Rechenoperation bei der Addition als ein Addieren, bei der Subtraktion als ein Subtrahieren, bei der Multiplikation als ein Multiplizieren und die Rechenoperation bei der Division als ein Dividieren.

 

Das Addieren: Beim Addieren/einem Zusammenzählen werden mindestens zwei Zahlen zusammengezählt/addiert. Das hierbei verwendete Rechenzeichen/Operarator(zeichen) ist das Pluszeichen/„+“. Die einzelnen mathematischen Zahlen/Operanden werden beim Addieren jeweils als Summanden bezeichnet und das Ergebnis als Summe. Es gilt daher beim Addieren folgende allgemeine Mathematik-Rechenoperation.

Summand + Summand = Summe

Beispiele:

1. 3 + 7 = 10

2. 12 + 34 = 46

3. 400 + 2 = 402

4. 7040051 + 778 = 7040829

Um das Addieren als Rechenoperation bei der Addition korrekt rechnerisch durchzuführen, muss man natürlich noch die hierbei auftretenden Rechengesetze/Rechenregeln beherrschen.

 

Das Subtrahieren: Beim Subtrahieren/einem Abziehen wird mindestens eine Zahl von einer anderen abgezogen/subtrahiert. Das hierbei verwendete Rechenzeichen/Operator(zeichen) ist das Minuszeichen/„„. Die mathematischen Zahlen/Operanden werden bei beim Subtrahieren unterschieden, und zwar in Minuend und Subtrahend (der Minuend steht hierbei immer vor dem Subtahend), und das Ergebnis wird als Differenz bezeichnet. Es gilt daher beim Subtrahieren diese allgemeine Mathematik-Rechenoperation.

Minuend Subtrahend = Differenz

Beispiele:

1. 8 – 5 = 3

2. 25 – 14 = 11

3. 2025 – 493 = 1532

4. 5030678 – 9856 = 5020822

Damit man das Subtrahieren als Rechenoperation bei der Subtraktion auch korrekt rechnerisch umsetzten kann, muss man natürlich ebenso die hier geltenden Rechengesetze/Rechenregeln können.

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Die umgekehrte Rechenoperation zum Addieren/zum Zusammenzählen stellt das Subtrahieren/das Abziehen dar.

 

Das Multiplizieren: Beim Multiplizieren/einem Malnehmen werden mindestens zwei Zahlen miteinander malgenommen/multipliziert. Das hierbei verwendete Rechenzeichen/Operator(zeichen) ist das Multiplikationszeichen/·„. Die mathematischen Zahlen/Operanden werden beim Multiplizieren jeweils als Faktor und das Ergebnis als Produkt bezeichnet. Es gilt daher beim Multiplizieren folgende allgemeine Rechenoperation.

Faktor · Faktor = Produkt

Beispiele:

1. 3 · 4 = 12

2. 18 · 12 = 216

3. 3511 · 432 = 1516752

4. 6693467 · 3406 = 22797948602

Zum korrekten rechnerischen Umsetzen des Multiplizierens als Rechenoperation bei der Multiplikation ist natürlich ebenfalls ein Beherrschen der Rechengesetze/Rechenregeln dieser Grundrechenart vonnöten.

 

Das Dividieren: Beim Dividieren/einem Teilen wird mindestens eine Zahl durch eine andere geteilt/dividiert. Das hierbei verwendete Rechenzeichen/Operator(zeichen) ist das Divisionszeichen/:„. Die mathematischen Zahlen/Operanden werden beim Dividieren unterschieden, und zwar in Dividend und Divisor (der Dividend steht hierbei immer vor dem Divisor) , und das Ergebnis wird als Quotient bezeichnet. Es gilt daher beim Dividieren diese allgemeine Rechenoperation.

Dividend : Divisor = Quotient

Beispiele:

1. 9 : 3 = 3

2. 75 : 15 = 5

3. 978 : 2 = 489

4. 5978808 : 36 = 166078

Damit das Dividieren als Rechenoperation bei der Division fehlerfrei angewandt werden kann, muss man hier ebenfalls natürlich die Rechengesetze/Rechenregeln dieser Grundrechenart können.

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Die umgekehrte Rechenoperation zum Multiplizieren/zum Malnehmen ist das Dividieren/das Teilen

 

2.1 Die Rechenoperationen beim Bruchrechnen

Jeder Bruch kann auf eine Division zurückgeführt werden, da jeder Bruch nichts anderes als eine Division darstellt.

Beispiele Zurückführen von Brüchen auf die Division:

1. {\frac{1}{4} = 1 : 4

2. {\frac{9}{13} = 9 : 13

3. {\frac{5}{907} = 5 : 907

4. {\frac{30010}{667859} = 30010 : 667859

Das Bruchrechnen basiert auf den Grundrechenarten. Daher treten die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division bei Brüchen wieder auf und deren Rechenoperationen. Demzufolge gibt es Brüche, deren Summe man berechnen muss, deren Differenz, deren Produkt und deren Quotient. Deshalb gilt für das Bruchrechnen, dass die Rechengesetze/Rechenregeln der Grundrechenarten beherrscht werden müssen und zudem, dass natürlich die dieser Rechenart zugrunde liegenden Rechengesetze/Rechenregeln korrekt angewandt werden müssen.

Beispiele Addieren bei Brüchen:

1. {\frac{1}{5} + {\frac{2}{5} = {\frac{3}{5}

2. {\frac{5}{12} + {\frac{3}{7} = {\frac{71}{84}

3. {\frac{3}{205} + {\frac{12}{19} = {\frac{2517}{3895}

4. {\frac{141}{5075} + {\frac{507}{4960} = {\frac{654477}{5034400}

 

Beispiele Subtrahieren bei Brüchen:

1. {\frac{3}{7} {\frac{2}{7} = {\frac{1}{7}

2. {\frac{22}{23} {\frac{8}{9} = {\frac{14}{207}

3. {\frac{7}{402} {\frac{3}{1115} = {\frac{6599}{448230}

4. {\frac{151}{4738} {\frac{121}{68905} = {\frac{9831357}{326471890}

 

Beispiele Multiplizieren von Brüchen:

1. {\frac{2}{5} · {\frac{3}{7} = {\frac{6}{35}

2. {\frac{7}{12} · {\frac{19}{25} = {\frac{133}{300}

3. {\frac{305}{2007} · {\frac{33}{35} = {\frac{671}{4683}

4. {\frac{907}{3008} · {\frac{5534}{12877} = {\frac{2509669}{19367008}

 

Beispiele Dividieren von Brüchen:

1. {\frac{3}{7} : {\frac{3}{5} = {\frac{5}{7}

2. {\frac{11}{29} : {\frac{5}{12} = {\frac{132}{145}

3. {\frac{10}{411} : {\frac{554}{679} = {\frac{3395}{113847}

4. {\frac{123}{3217} : {\frac{7004}{9001} = {\frac{1107123}{22531868}

 

2.2 Die Rechenoperationen beim Dezimalrechnen

Nahezu jede Dezimalzahl (bis auf nicht-abbrechende Dezimalzahlen, die nicht periodisch sind). können ohne Weiteres als Bruch dargestellt werden und somit wieder auf die Division zurückgeführt werden.

 

Beispiele Zurückführen von Dezimalzahlen auf Brüche und die Division:

1. 0,2 = {\frac{2}{10} = 2 : 10

2. 0,347 = {\frac{347}{1000} = 347 : 1000

3. 45,87539 = {\frac{4587539}{100000} = 458753 : 100000

4. 876,9659007 = {\frac{8769659007}{10000000} = 8769659007 : 10000000

Das Gleiche, was für das Bruchrechnen gilt, gilt ebenso für das Dezimalrechnen. Auch das Dezimalrechnen basiert auf den Grundrechenarten. Daher kommen auch hier die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division wieder vor sowie deren Rechenoperationen. Folglich treten Dezimalzahlen auf, deren Summe man bilden muss, deren Differenz, deren Produkt und deren Quotient. Deshalb gilt auch beim Dezimalrechnen, dass wiederum die Rechengesetze/Rechenregeln der Grundrechenarten abgerufen werden können müssen und natürlich außerdem die dieser Rechenart zugrunde liegenden Rechenregeln beachtet werden müssen.

 

Beispiele Addieren bei Dezimalzahlen:

1. 3,4 + 5,3 = 8,7

2. 12,9 + 53,8 = 66,7

3. 443,72 + 867,88 = 1311,6

4. 956,75 + 84555,845 = 85512,595

 

Beispiele Subtrahieren bei Dezimalzahlen:

1. 7,9 – 4,5 = 3,4

2. 15,81 – 2,2 = 13,61

3. 4078,74 – 975,65 = 3103,09

4. 685942,5 – 65,5647 = 685876,9353

 

Beispiele Multiplizieren bei Dezimalzahlen:

1. 8,5 · 7,3 = 62,05

2. 12,61 · 4,1 = 51,701

3. 657,43 · 73,82 = 48531,4826

4. 17945,21 · 74562,645 = 1338042322,68045


Beispiele Dividieren bei Dezimalzahlen:

1. 4,6 : 2,5 = 1,84

2. 78,65 : 1,25 = 62,92

3. 876,06 : 12,5 = 70,0848

4. 1456,44 : 10,6 = 137,4

 

2.3 Die Rechenoperationen beim Prozentrechnen

Jede Prozentangabe lässt sich als Bruch darstellen und kann somit auf die Division zurückgeführt werden.

 

Beispiele Zurückführen von Prozentangaben auf Brüche und die Division

1. 5 % = {\frac{5}{100} = 5 : 100

2. 12,76 % = {\frac{1276}{10000} = 1276 : 10000

3. 67,987 % = {\frac{67987}{100000} = 67987 : 100000

4. 8765,87 % = {\frac{876587}{10000} = 876587 : 10000

Da bei der Prozentrechnung immer Proportionalitätsverhältnisse vorliegen, bei der der gesuchte Wert jeweils mittels eines Dreisatzes bestimmt werden kann, lässt sich die Prozentrechnung auf die Multiplikation und Division zurückführen. Denn diese beiden Grundrechenarten müssen beim Dreisatz stets angewandt werden. Daher treten hier als Rechenoperationen das Multiplizieren und das Dividieren auf.

 

2.4 Die Rechenoperationen beim Zinsrechnen

Die Zinsrechnung ist ein Teilgebiet der Prozentrechnung. Daher kommen auch hier stets Proportionalitätsverhältnisse vor, bei denen jeweils der gesuchte Wert mit dem Dreisatz bestimmt werden kann. Da der Dreisatz auf die Multiplikation und die Division zurückgeführt werden kann, basiert die Zinsrechnung ebenso auf diesen beiden Grundrechenarten. Deshalb treten auch hier wiederum als Rechenoperationen das Multiplizieren und das Dividieren auf.

 

3. Die Rechenoperationen beim Potenzieren

Die nächst höhere Rechenoperation, die nach den Grundrechenarten folgt, ist das Potenzieren. Eine Potenz kann hierbei auf eine spezielle Multiplikation zurückgeführt werden, und zwar auf diejenige, bei der die Faktoren jeweils gleich sind. Daher stellt eine Potenz nur eine verkürzte Schreibweise/Darstellung dieser besonderen Multiplikation dar. Eine Potenz selbst besteht hierbei aus einer Basis/„a“und einem Exponenten/„n„. Folgende allgemeine Mathematik-Rechenoperation liegt deshalb dem Potenzieren zugrunde.

a · a · a · a · a · a · ……… · a = an

n-Faktoren von a ergeben an

 

Beispiele:

1. 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 5{^{9}}

2. 27 · 27 · 27 · 27 · 27 · 27 · 27 = 27{^{7}}

3. 8003 · 8003 · 8003 · 8003 · 8003 = 8003{^{5}}

4 {\frac{3}{7} · {\frac{3}{7} · {\frac{3}{7} · {\frac{3}{7} = ({\frac{3}{7}){^{4}}

5 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 · 7,32 = 7,32{^{8}}

Liegt eine Potenz vor, so gibt man in der Sprache der Mathematik die Potenz mit „a“ hoch „n“ wieder.

Das Hohelied auf das zweithöchste Gut des Menschen: der Freiheit! Einfach nur wunderschön!!!

 

Beispiele:

1. 34 heißt in Mathe richtig wiedergegeben 3 hoch 4.

2. 125 heißt in der Mathematik korrekt 12 hoch 5.

 

4. Die Rechenoperationen beim Wurzelziehen/Radizieren

Auf gleicher Ebene zum Potenzieren steht das Wurzelziehen/Radizieren. Denn eine Wurzel kann nahezu immer auf eine Potenz zurückgeführt werden, da das Wurzelziehen/Radizieren die umgekehrte Rechenoperation zum Potenzieren ist. Die Wurzel selbst wird mit folgendem Rechenzeichen/Operatorzeichen wiedergegeben: \sqrt. Eine Wurzel besteht hierbei jeweils aus einem Radikanden/„a“und einem Wurzeleponenten/ „n„. Das Zurückführen einer Wurzel auf eine Potenz zeigt sich in deren Beziehungsverhältnis.

\sqrt[n]{a} = x denn: xn = a

die n-te-Wurzel aus a = x denn: x hoch n = a

 

Beispiele:

1. \sqrt{25} = 5 denn: 52 = 2

2. \sqrt[4]{4096} = 8 denn: 84 = 4096

3. \sqrt[15]{32768} = 2 denn: 215 = 32768

4. {\sqrt{\frac{49}{100} = {\frac{7}{10} denn: ({\frac{7}{10})2 = {\frac{49}{100}

5. \sqrt{6,25} = 2,5 denn: 2,52 = 6,25

 

5. Die Rechenoperationen beim Logarithmieren

Eine weitere in Mathe zu lernende Rechenoperation stellt das Logarithmieren dar. Hierbei wird das Logarithmieren immer angewandt, wenn bei einer Potenz die Variable im Exponenten ermittelt werden soll. Der Logarithmus selbst wird mit folgendem Rechenzeichen/Operatorzeichen wiedergegeben: log. Ein Logarithmus besteht hierbei aus einer Basis/„b“ und einem Numerus/„y“. Zwischen einem Logarithmus und einer Potenz besteht nun folgendes Beziehungsverhältnis:

logby = x denn: bx = y

 

Beispiele:

log3 81 = 4 denn 34 = 81

log8 64 = 2 denn 82 = 64

log3 2187 = 7 denn 37= 2187

log_{\frac{1}{4} 2 = –{\frac{1}{2} denn ({\frac{1}{4})^-^{\frac{1}{2}} = 2

log_0_,_4 2,5 = –1 denn 0,4^-^1 = 2,5

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